Управление дискретным спектром дифференциальных операторов возмущениями минимального ранга

1°. Спектральные задачи для линейных операторов давно привлекают внимание исследователей. Особый интерес представляет задача управления дискретным спектром дифференциальных операторов. Дискретный спектр состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности и описывает важные характеристики физических и химических объектов (квадраты частот собственных колебаний механических систем, энергетические уровни квантовых объектов и т. п.) Явления резонанса, энергетические сдвиги излучения и ряд других нежелательных явлений могут быть устранены путём введения блоков обратной связи, позволяющих изменить в заданном направлении спектральные характеристики операторов, описывающих динамику и статику изучаемых объектов.

2°. Рассматриваемая в диссертации задача управления дискретным спектром касается изменения конечного числа точек дискретного спектра с помощью конечномерного возмущения, однако, преследует три важные цели, определяющие новизну исследования: исследуется роль возмущений минимально возможного ранга, поведение их норм при удалении п собственных значений при п —> оо, а также получение оценок погрешности, допустимой при приближённом построении возмущений.

Общий характер влияния на спектр конечномерных возмущений достаточно хорошо изучен в работах А. Вайнштейна и Н. Ароншайна [18, с. 307−310], Ю. Н. Андреева [1, 2], А. Г. Бутковского [6, 7], Е. Я. Смирнова [39] и ряд других авторов [8, 43, 45, 47, 49, 53]. В работах Г. Г. Исламо-ва [12]-[15] впервые поставлена задача изучения возмущений минимального ранга, поведения их норм при большом числе изменяемых собственных значений и при приближённом построении возмущений. Мы углубляем эти исследования применительно к самосопряжённым операторам с чисто точечным спектром, а также несамосопряжённым операторам, подобным самосопряжённым.

Следуя [13], перейдём к постановке задачи о построении возмущений минимального ранга для операторов. Ограниченный оператор К, действующий в комплексном банаховом пространстве X, называется конечномерным, если он представим в виде п.

Кх = ^^ щ (х, Ъ^, щ G X, bi? X*{i = 1, п), i=1 где X*—сопряжённое пространство, (x, bi)—значение функционала 6гна элементе х.

Пусть замкнутый оператор, А: X —У X с областью определения D (A) имеет собственные значения в некоторой «запрещённой» области Q комплексной плоскости C (Q ф С). Требуется указать такой конечномерный оператор К: X —V X, при котором оператор V — А — К не будет иметь точек спектра a (V) вО, т. е.Пс ГДе P (V)—резольвентное множество оператора V. Сформулированная задача относится к классу задач управления спектром линейного оператора и возникает при анализе итерационных процессов решения уравнений, в управлении квантовыми объектами, исследовании колебательных систем и в ряде других проблем [1, 2, б, 7, 39].

Известно, что существенный спектр оператора, А не может измениться при воздействии конечномерным оператором К [18]. Поэтому операторы.

V = А — К и, А имеют одинаковые существенные спектры. Однако дискретные спектры этих операторов могут сильно отличаться, что очень важно для приложений.

Переход от спектра, а (А) к спектру сг{А — К) образно можно представить как «удаление» собственных значений оператора, А из области Q и преобразование части спектра сг (А), лежащей вне Понятно, что конечномерными возмущениями можно удалить те, и только те, точки ц спектра сг (А), при которых оператор, А — ±1 фредгольмов (индекса нуль). Более того, при определённых условиях такими точками могут быть лишь изолированные собственные значения конечной алгебраической кратности. Например, в случае гильбертова пространства X это верно для нормального оператора.

Приведём ещё одно из условий. Пусть существует такое разложение, А = V + К, что Q С P (V) и rang if < оо, где rang if—размерность образа КХ. При фиксированном /i? О уравнение Ах — цх = / эквивалентно уравнению x—R (/iV)Kx = R (y, V) f, R (fi V) = (V — /i/)-1— резольвента оператора V, которое однозначно разрешимо при любом / е X в том и только том случае, когда детерминант Вайнштейна-Ароншайна [18, с. 307]: ш () = det (/ + R (AV)K) = det (/ + KR (AV)), A e P (V), в точке ц отличен от нуля. При выполнении условия Q П Р{А) ф 0 голоморфная функция и-(А) ф 0. Следовательно, нули функции о-(А) и только они являются точками спектра оператора А, лежащими в P (V). При этом в силу формулы Вайнштейна-Ароншайна [18, с. 310] алгебраическая кратность, А? fin сг (А) равна кратности, А как нуля функции ш (А) и, следовательно, конечна, а само, А будет изолированной точкой спектра сг (А).

Среди всех конечномерных операторов К, «исправляющих» спектр оператора, А описанным выше способом, выделим те, которые имеют минимальный ранг. Такие возмущения мы назовём экстремальными: они являются решениями экстремальной задачи.

Величина го минимального ранга в задаче (1) указывает на то, что оператором меньшего ранга уже нельзя исправить спектр требуемым образом.

При рассмотрении задачи (1) возникают две разные по трудности подзадачи: а) оценка минимального значения функционала rang К] б) отыскание возмущения К, доставляющего минимум функционалу rang К.

Изучение подзадачи а) естественно начать с поиска двойственного функционала. Возмущение К: X —> X назовём допустимым в задаче (1), если Q С Р (А — К) и rang if < оо. Пусть К—произвольное допустимое возмущение, А Е П. Тогда уравнения Ах = Хх и х = —(V — Л/)-1 Кх (V = А —К, I—тождественный оператор) эквивалентны. Отсюда rang if ^ М{ХЛ) для любого Л G и произвольного допустимого возмущения К. Здесь М (Х-А) = dimker (A — XI)—геометрическая кратность числа Л. Это означает, что целевая функция экстремальной задачи мажорируется сверху целевой функцией задачи (1). По аналогии с математическим программированием утверждение о совпадении экстремальных значений целевых функций задач (1) и (2) назовём теоремой двойственrangК —"¦ min, О, С Р (А — К).

1).

М (АА) ->¦ max, Л 6 Q,.

2) ности, а задачу (2)—двойственной к задаче (1).

Исламовым Г. Г. доказана следующая теорема двойственности.

Теорема 0.1. [13] Пусть множество Г2 П о-(А) пусто или конечно и состоит из изолированных собственных значений оператора, А конечной алгебраической кратности. Тогда экстремальные значения целевых функций задач (1) и (2) совпадают.

Замечание 1. Из доказательства данной теоремы вытекает, что существует такое возмущение К минимального ранга, которое оставляет без изменения точки спектра сг (А), лежащие вне области О, и переводит все изолированные собственные значения оператора, А из области О, в одну и ту же наперёд заданную точку? ^ О.

Замечание 2. Если нуль не принадлежит замыканию то условию теоремы 0.1 удовлетворяют потенциально-компактные операторы ([35, с. 459]). Если же О,—ограниченное подмножество комплексной плоскости, то условию теоремы 0.1 удовлетворяют замкнутые операторы с компактной резольвентой.

3°. Кратко остановимся на содержании диссертации. Диссертация состоит из Введения, двух глав и Списка литературы. Нумерация определений, лемм, теорем, замечаний независимая: первое число обозначает номер главы, второе—порядковый номер внутри главы. В пределах глав используется сквозная нумерация формул.

1. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1967.

2. Андреев Ю. Н. // Автоматика и телемеханика. 1977, № 3, 5−50.

3. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

4. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

5. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.

6. Бутковский А. Г. Структурная теория распределённых систем. М.: Наука, 1977.

7. Бутковский А. Г., Самойленко Р. И. Управление квантовомеханически-ми процессами. М.: Наука, 1984.

8. Веремей Е. И., Еремеев В. В. Синтез оптимальных систем с заданными модальными свойствами // Оптим. упр. мех. системами. JI. 1983, 3−12.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. 3. М.: Мир, 1974.

11. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

12. Исламов Г. Г. Об управлении спектром динамической системы // Дифференциальные уравнения. 1987, том 23, № 8. 1299−1302.

13. Исламов Г. Г. Экстремальные возмущения замкнутых операторов // Известия вузов. Иатематика. 1989, № 1. 35−41.

14. Исламов Г. Г. Свойства одноранговых возмущений // Известия вузов. Математика. 1989, № 4. 29−35.

15. Исламов Г. Г. Об одном свойстве мультипликаторов линейных периодических систем // Известия вузов. Математика. 1999, № 2. 57−59.

16. Калман Р. Е., Арбиб М., Фалб П. Очерки по математической теории систем М.: Мир, 1971.

17. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982.

18. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

19. Клочков М. А. Одноранговые возмущения одного класса дифференциальных операторов // Тезисы докладов 4-й Российской универ-ситетско-академической научно-практической конференции. Часть 6. Ижевск: Изд-во Удм. Ун-та, 1999. С. 23.

20. Клочков М. А. Возмущения минимального ранга для оператора Бельтрами // «Понтрягинские чтения-XI.» Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2000. С. 82.

21. Клочков М. А. Оценка нормы возмущений минимального ранга// Вестник Тамбовского университета. Т.5, вып.4, 2000. С. 459.

22. Клочков М. А. Возмущения минимального ранга для обыкновенных дифференциальных уравнений // Удм. гос. ун-т.-Ижевск, 2001.-18с. Деп. в ВИНИТИ. 23.01.01, № 196-В01.

23. Клочков М. А. Конструкции конечномерных возмущений // Вестник Удмуртского университета. Математика. 2001, № 3. С.59−64.

24. Клочков М. А. Управление колебаниями прямоугольной мембраны // Пятая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция. Ижевск, 2001. Т.10. С.11−13.

25. Клочков М. А. Управление колебаниями струны // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2001. С.136−137.

26. Клочков М. А. Управление колебаниями струны // Вестник Удмуртского университета. Математика. 2002, № 1. С.33−42.

27. Клочков М. А. Оценка точности вычисления конечномерных возмущений// Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции.—Воронеж, ВГУ, 2003. С. 125−126.

28. Клочков М. А. Описание класса всех одноранговых возмущений дискретного спектра // Современные методы теории краевых задач. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2004. С.111−112.

29. Короткое В. Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1983.

30. Лаке и Филлипс. Теория рассеяния, М.: Мир, 1971.

31. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Наука, 1988.

32. Моисеев Е. И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биор-тогонального ряда // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, № 7. 1229−1237.

33. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

34. Найфэ А.

Введение

в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

35. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

36. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. T. l, М.: Мир, 1982.

37. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

38. Сигалов М. Г. Интегральные возмущения, Сибирский мат. ж., 7 (1966), № 2, 375−408.

39. Смирнов Е. Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981.

40. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

41. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: ЛБЗ, 2001.

42. Фок В. А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.

43. Якубович В. А., Якубович Е. Д. Эквивалентные обратные связи в линейных стационарных системах управления // Автоматика и телемеханика, 1984, № 2. 54−65.

44. A. A. Abramov, A. Aslanyan, Е. В. Davies. Bounds on complex eigenvalues and resonances // http://front.math.ucdavis.edu/math.SP/9 911 238.

45. Balas M.J. Математическая структура задачи управления линейными распределёнными системами с помощью конечномерной обратной связи // Lect. Notes and Contr. Inf. Sci. 1983, 54, 1−34.

46. Benzinger H.E. A canonical form for a class of ordinary differential operators // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 63 Number 2 (1977), 281−286.

47. Clarke B.M.N. Размещение собственных значений расширенных гиперболических систем с помощью обратной связи // J. Math. Anal, and Appl. 1983, 97, № 2, 417−440.

48. Joyce R. McLaughlin and Arturo Portnoy. Perturbation expansions for eigenvalues and eigenvectors for a rectangular membrane subject to a restorative force // Electronic research announcements of the AMS. Volume 3, p. 72−77(August 19,1997).

49. Moroz A.I. Оптимальная обратная связь для линейных нестационарных систем // Int. J. Contr. 1984, 39, № 5, 929−938.

50. Poltoratski A. G. Canonical systems and finite rank perturbations of spectra // http://front.math.ucdavis.edu/math.SP/9 606 214.

51. Rakosevich V. Extremal perturbations of bounded operators // IX Conference on Applied Mathematics D. Herceg, Lj. Cvetkovich, eds. Institute of mathematics Novi Sad, 1995, 209−212.

52. Rafael del Rio, B. Simon. Point spectrum and mixed spectral types for rank one perturbations // Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 3593−3599.

53. Reid Russel M. Управление с обратной связью собственными значениями осциллятора в гильбертовом пространстве // Int. J. Contr. 1983, 38, № 1, 237−244.

54. Sakawa Y. Стабилизация линейных диффузионных систем с помощью обратной связи // SIAM J. Contr. and Optim. 1983, 21, № 5, 667−676.

55. В. Simon. Spectral analysis of rank one perturbations and applications, in CRM Proc. and Lecture Notes, Vol. 8, pp. 109−149, Amer. Math. Society, Providence, RI, 1995.