Обратные коэффициентные задачи для стержней

Обратными коэффициентными задачами теории упругости называют задачи, в которых требуется определить коэффициенты дифференциальных операторов по некоторой дополнительной информации о решениях, например, по амплитудно-частотным характеристикам. Первые обратные коэффициентные задачи были посвящены в первую очередь проблемам геофизики и сейсморазведки, и долгие годы эти области знания стимулировали развитие математического аппарата и численных методов в этом направлении. В последние годы область приложения таких задач постоянно расширяется. Это проблемы акустического контроля при создании функционально-градиентных материалов, задачи эластографии в медицинской диагностике мягких тканей, контроль скорости восстановления костной ткани в месте перелома, задачи идентификации новых композиционных материалов сложной структуры, неразрушающего контроля элементов конструкций.

Выделяют три типа обратных коэффициентных задач в теории упругости. Первый тип — это задачи, в которых необходимо найти модули Ляме и плотность как функции координат по измерению поля смещений на границе. Второй тип — это задачи, к которым приводятся геометрические обратные задачи об определении форм полостей или включений малого характерного размера. Третий тип — задачи об определении структуры существенно неоднородного предварительного напряженного состояния.

В настоящей работе решены некоторые задачи первого и второго типов для стержневых систем.

Первый тип задач был инициирован в первую очередь проблемами геофизики и исследовался достаточно давно, начиная с классической работы Герглотца [102]. В начале XIX века в геофизике был поставлен вопрос: можно ли, располагая картиной движения фронтов поверхностных сейсмических волн, порожденных землетрясениями, найти скорость распространения сейсмических волн внутри Земли? Такая проблема есть обратная кинематическая задача', которая была решена в 1905;1907 гг. немецкими геофизиками Г. Герглотцем [102] и Е. Вихертом [11В] для шара, моделирующего сферически-симметричную модель Земли. Было показано, что единственность решения обратной задачи имеет место только в предположении, что скорость распространения возмущений монотонно растет с глубиной. Решение этой модельной задачи сыграло большую роль в развитии представлений о глубинном строении Земли и сформировало некоторые принципы глубинного зондирования Земли. На основе сейсмических наблюдений впервые было построено распределение скорости продольных и поперечных волн вдоль радиуса Земли и были выделены основные элементы структуры земного шара: коры, оболочки, ядра.

С потребностями геофизики, а именно, гравитационной и магнитной • разведки, связано возникновение обратной задачи теории потенциала. Общая формулировка этой задачи состоит в следующем [69]: вне некоторой области, ограниченной поверхностью, задан потенциал (объемных масс, простого слоя или магнитный), порожденный телом, лежащим внутри области. Необходимо определить форму и плотность тела. К такой постановке приводят, к примеру, задачи рудной геофизики об отыскании залежей полезных ископаемых по аномалиям силы тяжести. Нужно отметить, что эта задача не имеет единственного решения без дополнительных предположений. Тела, имеющие разную плотность и разный носитель плотности, могут создавать вне поверхности одно и то же поле тяготения (к примеру, тело с большой плотностью и малым носителем и тело с меньшей плотностью и большим носителем). По этой причине относительно плотности всегда делаются некоторые упрощающие предположения, чаще всего считают плотность тела заданной [69]. В таком предположении первая теорема единственности для обратной задачи ньютоновского потенциала была получена П. С. Новиковым [62]. В дальнейшем исследованием обратных задач теории потенциала в различных постановках занимались такие ученые, как Л. Н. Сретенский [76], И. М. Рапопорт [68], А. Н. Тихонов [78], М. М. Лаврентьев [46]. В настоящее время существенно развиты теория и численные методы решения обратных задач этого класса.

В 1943 г. А. Н. Тихоновым [78] была впервые исследована проблема устойчивости решения обратных задач для обратной задачи теории потенциала. Результаты этой работы послужили основой нового направления в области исследования некорректных в классическом смысле задач, получивших название условно-корректных задач [69] (корректных по А. Н. Тихонову).

Фундаментальные результаты в исследованиях обратных коэффициентных задач для различных типов операторов были получены Ю. А. Аниконовым [5], С. И. Кабанихиным [40], М. М. Лаврентьевым [4852,83], В. Г. Романовым[69−73,116], В. Г. Яхно[89−90].

Для задач второго типа коэффициенты дифференциальных операторов отличны от постоянных значений лишь в некоторой малой подобласти исследуемого тела и их требуется восстановить по информации о граничных полях смещений [12−14,42].

Приведем некоторые сведения об исследованных в последнее время обратных коэффициентных задачах теории упругости и стержневых систем и вычислительных аспектах их численной реализации.

В работе [7] приведен способ решения следующей задачи: идентифицированы виды закрепления каждого из концов однородного стержня (заделка, свободное опирание, упругое опирание, упругая заделка, плавающая заделка, свободный конец) и его параметры (коэффициенты жесткости пружинок при упругом закреплении) по собственным частотам его колебаний. Показана двойственность и устойчивость этой задачи. Представлен метод решения задачи по девяти собственным частотам.

В работе [45] решена обратная задача определения дефектов строительных конструкций по резонансным частотам крутильных колебаний. Выполнено решение задачи по определению геометрической неоднородности материала стержня по резонансным частотам. Получены для частных случаев аналитические формулы решения обратной задачи. Проведено численное решение обратных задач восстановления неоднородности стержня и исследовано влияние точности задания исходной информации на точность восстановления параметров неоднородности.

В работе [60] рассмотрена задача о продольных колебаниях пьезокерамического стержня с толщинной поляризацией. Построено аналитическое решение при нулевых механических граничных условиях на торцах стержня. В случае, когда электроды отделенного диэлектрическими промежутками участка стержня разомкнуты, для первых нормальных мод найдены собственные частоты колебаний. Эти значения сопоставлены со спектром продольных колебаний стержня со сплошными электродами. Согласно методу низкочастотной томографии приведены данные о месторасположении и приближенной форме неоднородности. Проведено сопоставление с экспериментальными исследованиями.

В [66] рассмотрены задачи определения или доопределения матриц жесткости, матриц масс, граничных условий, структурных изменений параметров конструкции в процессе ее эксплуатации. Приведены решения отдельных задач идентификации дискретных и континуальных моделей упругих систем. Основное внимание уделено проблеме идентификации жесткостей балок. Предполагается, что в качестве исходной информации для решения указанных выше задач выступают собственные частоты и соответствующие им формы колебаний рассматриваемой конструкции и некоторых ее модификаций, которые (частоты и формы колебаний) определяются экспериментальным путем. При построении расчетных алгоритмов используются вариационные, конечно-разностные методы, функции чувствительности изменения отдельных параметров системы на динамическое поведение конструкции, методы минимизации квадратичного функционала невязки.

В статье [93] дается краткое описание видов некорректных задач, трудностей решения таких задач, а также принятых в настоящее время методов решения. Описано явление некорректности в задаче идентификации параметров модели по экспериментальным данным, содержащим случайную погрешность. Предложен итерационный подход, минимизирующий функционал невязки в методе наименьших квадратов. Подход основан на корректировке параметров каждой следующей итерации на основе анализа параметров предыдущей итерации. В статье приведен пример использования предложенного подхода для двухпараметрической модели, а также рассмотрено влияние исходного приближения и параметра регуляризации на точность восстановления. Остается открытым вопрос применимости данного метода к реальным задачам, где точное значение восстанавливаемых параметров неизвестно и не может быть использовано для корректировки итерационного метода.

В статье [103] предлагается метод решения некорректных обратных задач, а именно, задач, сводящихся к граничным интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, основанный на минимизации регуляризирующего функционала особого вида. Данный функционал незначительно отличается от функционала Тихонова, однако в статье отсутствует какое-либо упоминание работ А. Н. Тихонова. Доказывается, что задача минимизации регуляризирующего функционала имеет единственное решение. Показываются необходимые и достаточные условия минимума регуляризирующего функционала. Приводится пример итерационного подхода к решению некорректной задачи. Приведены результаты численных экспериментов как с «точными», так и с «зашумленными» исходными данными задачи.

В статье [92] дано определение вариационного неравенства и показана важность регуляризованных методов при их решении. В частности, авторы описывают применение принципа итерационной регуляризации для этой цели. Кроме того, для указанных задач применяется проекционный численный метод, называемый АРР, принцип вспомогательной задачи. В статье предложен подход, содержащий объединение указанных методов. Приведен алгоритм, доказана его сильная сходимость.

Для восстановления разрывных коэффициентов достаточно широко используется метод расширенного лагранжиана.

Так, например, в [98] задача о идентификации разрывных параметров в эллиптических системах сформулирована как проблема минимизации, комбинирующая метод наименьших квадратов и метод ошибки в уравнениях. Эта проблема эквивалентна задаче перевала в расширенном лагранжиане. После дискретизации задачи методом конечного элемента она решалась при помощи алгоритма Узавы.

В [96] для решения обратных эллиптических задач с кусочно-постоянными коэффициентами предложен подход множества уровня. Геометрия разрывности коэффициентов представлена функциями множества уровня. Обратная задача решена при использовании вариационной формулировки расширенного лагранжиана. Соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа дало эволюционное уравнение для функций множества уровня и постоянных значений коэффициентов. Было использовано составное представление множества уровня, которое допускает большое число точек разрыва. Для решения задачи точное число точек разрыва не требуется, необходима только верхняя граница. Численные эксперименты показали, что метод пригоден для восстановления коэффициентов с достаточно сложной геометрией при умеренной величине зашумления данных наблюдения. Предложенный метод устойчив к начальному приближению геометрии разрывных коэффициентов.

В [95] разрывные коэффициенты восстановлены при помощи регуляризации полной вариации. Этот подход дает хорошие результаты при восстановлении резко меняющихся коэффициентов. В добавлении к методу наименьших квадратов введены две новые методики. Во-первых, использован фильтрующий шаг для устранения ошибки наблюдения, во-вторых, были введены два расширения метода наименьших квадратов, использующие соответственно наблюдения градиента и потока параметра состояния. Численные эксперименты показали, что комбинация этих двух методик дает возможность успешно восстанавливать разрывные коэффициенты даже при больших ошибках наблюдения.

В [112] была решена задача о восстановлении изгибной жесткости в уравнении Эйлера-Бернулли при переопределенных данных. В [112] восстанавливались кусочно-постоянные функции, причем точки разрыва были известны и задача, таким образом, сводилась к восстановлению неизвестных констант. Первоначальная задача была переопределенной (количество условий больше, чем количество неизвестных констант). Для ее решения был использован метод вариационного вложения. С помощью его первоначальная обратная задача была заменена задачей минимизации квадратичного функционала для исходного уравнения, которая далее была сведена к хорошо обусловленной краевой задаче высшего порядка. Показано, что решение первоначальной обратной задачи находится среди решений полученной вариационной задачи, которая решалась при помощи итерационной схемы конечных разностей, имеющей ошибку аппроксимации второго порядка.

В [111] было проведено исследование идентификации коэффициента неоднородной изгибной жесткости в стационарной теории Эйлера-Бернулли для балки при заданной нагрузке. В работе были обсуждены различные типы граничных условий, были установлены условия для корректной постановки исходной обратной задачи. Также приведены численные результаты, полученные с помощью регуляризующего алгоритма.

Работы [100,109,110] посвящены использованию принципа итеративной регуляризации для идентификации параметров в эллиптических краевых задачах.

В [119] идентификация физических параметров в эллиптических краевых задачах при использовании метода наименьших квадратов с Н-регуляризацией или ВУ-регуляризацией сформулирована как задача минимизации с ограничениями. Полученная задача далее дискретизировалась на основе конечноэлементных аппроксимаций. Показано, что метод решения дискретизированной задачи сходится для обоих случаев регуляризации. Доказано, что конечноэлементная задача минимизации эквивалентна последовательности задач минимизации без ограничений. Численные эксперименты показали: во-первых, глобальную сходимость алгоритма, во-вторых, то, что он работает хорошо также и для идентификации параметров, имеющих резкие разрывы и осцилляции.

Целый ряд работ посвящен идентификации коэффициентов Ляме в упругих телах и биологических тканях [97,99,101,104,105,113].

В [105] представлены эксперименты следующего характера: производились взаимно-коррелирующие последовательные эхотомограммы биологических тканей, возбуждаемые нестационарным источником на поверхности. Эти эксперименты показали, что за время интервала между двумя эхотомограммами можно измерить смещение упругой волны в любой точке ткани. В предположении, что известна история смещений распространяющейся сдвиговой волны, были идентифицированы изменения жесткости внутри ткани в терминах коэффициентов Ляме. В экспериментах рассматривалась доминантная частота, называемая авторами центральной частотой. Далее для перемещения применялось преобразование Фурье, и вычислялась трансформанта по центральной частоте. При использовании этой трансформанты предложенный метод стартовал с асимптотического приближения геометрической оптики. Исследуя далее изменение амплитуды перемещения вдоль геометрических лучей внутри среды, авторы показали возможность восстановления модуля сдвига ¡-л без непосредственного численного вычисления производных от данных смещения, что часто является источником больших погрешностей в задачах идентификации.

В работе [113] обсужден следующий вопрос: что можно сказать о распределении жесткостей в биологических тканях на основе косвенных измерений? Это привело авторов к рассмотрению обратной задачи об идентификации коэффициентов в гиперболических системах второго порядка, моделирующих распространение упругих волн. Входной информацией для поставленной обратной задачи служил зависящий от времени вектор перемещений внутри среды. В изотропном случае были установлены достаточные условия для идентификации единственным образом волновых скоростей и одновременного восстановления плотности и параметров Ляме. В анизотропном случае приведены контрпримеры, доказывающие неединственность и показывающие структуру множества сдвиговых тензоров, соответствующих одинаковым исходным данным.

В работах [97],[99] рассматривалась задача об определении модулей Ляме в плоском изотропном линейном упругом теле по известным смещениям и граничных усилиях. В работе [99] показано, что когда модули являются константами, они могут быть определены точно. Пространственные законы изменения модулей упругости могут быть найдены численно при рассмотрении уравнений линейной упругости как гиперболическихприведена устойчивая схема конечных разностей для решения этих систем. Приведенные вычислительные эксперименты продемонстрировали ее эффективность. В работе [97] задача о нахождении модулей Ляме решалась при помощи вариационного методаприведены оценки для модулей, полученные путем минимизации функционала невязки, и указан предел погрешности для найденных оценок.

В работе [104] рассмотрена обратная задача об определении двух коэффициентов Ляме в задаче о колебаниях изотропной мембраны. Предложенный подход основан на регуляризации функционала граничной вариации ВУ. Проведен анализ сходимости. Результаты численных экспериментов демонстрируют успешное восстановление двух параметров Ляме в двумерной задаче в случае постоянного, кусочно-постоянного, и линейных законов изменения. Показано влияние уровня зашумленности исходных данных на результаты восстановления.

Исследование [107] посвящено выявлению дефектов в однородных стержнях и состоит в нахождении местоположения и расчете масштаба разрушений в стержне. Была рассмотрена конечно-элементная модель однородного стержня. Для нее была развита процедура решения обратных задач определения разрушений, использующая собственные значения некоторой матрицы. Показано, что геометрические параметры стержня могут быть реконструированы из одной пары: собственного числа и соответствующего собственного вектора. Однако как показали численные эксперименты, построенная процедура оказалась чувствительна к возмущениям, так как при использовании зашумленных данных точность восстановления значительно снижалась. Для понижения чувствительности построенной модели авторами было предложено использовать уточняющие данные. С теоретической точки зрения предложенный подход можно считать эффективным, но на практике получить дополнительную информацию достаточно сложно, и это обстоятельство накладывает на процедуру реконструкции много ограничений. Для решения этой проблемы была использована новая методика, названная авторами фильтрацией информации.

В работе [106] рассматривалась обратная задача о восстановлении переменной площади поперечного сечения в стержне при анализе продольных колебаний. Конечно-элементная дискретизация дифференциального уравнения, описывающего колебания, приводила к анализу пучка матриц с особой структурой. Далее задача сводилась к реконструкции однозначно определенной матрицы Якоби, при этом использовалась половина ее собственного спектра и половина спектра ее главной подматрицы.

Общим вопросам теории некорректных и обратных задач посвящены работы [9], [28], [34], [35], [43], [44], [53], [58], [67], [81], [91], [94], [108], [114], [115], [117].

Подчеркнем, что большой интерес к обратным коэффициентным задачам для обыкновенных дифференциальных операторов и операторов в частных производных второго и четвертого порядка продиктован большим числом приложений исследуемых задач в различных областях знания-акустика, идентификация биологических тканей, геофизика. Все вышеизложенное определяет актуальность и практическую значимость настоящей работы.

Основной целью настоящей работы является разработка методов определения законов изменения модулей Юнга и сдвига, плотности в стержне как функций координат, разработка методов идентификации полостей малого размера по данным частотного зондирования.

Научная новизна результатов работы.

Впервые с единых позиций разработана методика определения законов неоднородностей (упругие модули, плотность, полости малого относительного размера) на основе строгого исследования обратных коэффициентных задач второго и четвертого порядка.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2006 г., 2007 г.), на III, IV, V школах-семинарах.

Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика" (г. Ростов-на-Дону, г. Краснодар 2004; 2006 гг.), на V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк 2008 г.), на международной научной школе-конференции «Тараповские чтения» (г. Харьков 2008 г.), на IX Всероссийской конференции по биомеханике (г. Нижний Новгород 2008 г.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Достоверность результатов.

Достоверность выносимых на защиту результатов работы основана на корректном сведении краевых задач для продольных и изгибных колебаний неоднородного стержня к интегральным уравнениям Фредгольма, на строгом аппарате интегральных уравнений, теории некорректных задач. Операторные уравнения для исследования обратных коэффициентных задач выведены двумя способами. Первый способ основан на использовании обобщенного соотношения взаимности, второй способ основан на применении метода линеаризации. Полученные численные результаты в настоящей диссертационной работе подвергались проверке путем сравнения с точным решением для случаев, когда задача могла быть решена аналитически.

Приведем кратко основное содержание работы.

Первая глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе на основе обобщенного соотношения взаимности сформулированы операторные уравнения для общего случая обратных коэффициентных задач. Во втором и третьем параграфах даны постановки обратных задач для восстановления модуля упругости, плотности в стержне при продольных колебаниях (задачи 1−3) — модуля упругости, плотности в стержне при изгибных колебаниях (задачи 4−6). На основании подхода, сформулированного в первом параграфе, выведены операторные уравнения для решения поставленных обратных задач. В четвертом параграфе доказаны теоремы единственности для поставленных обратных задач. Также показано, что в рамках исследования только одной из задач (о продольных или об изгибных колебаниях) невозможно восстановить обе функции: модуль упругости и плотность, так как в этом случае восстановление искомых характеристик неединственно. В пятом параграфе рассмотрены основные подходы к исследованию обратных коэффициентных задач.

Вторая глава посвящена исследованию прямых и обратных задач для неоднородных стержней при продольных колебаниях и состоит из четырех параграфов. В первом параграфе на основе сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода решена прямая задача о нахождении функции смещения на свободном конце стержня при известных характеристиках стержня. Далее при помощи метода линеаризации был построен итерационный процесс для решения обратной задачи о восстановлении модуля упругости в стержне при продольных колебаниях. Выход из построенного процесса производился, когда значение функционала невязки становилось меньше погрешности входных измерений. Начальное приближение было найдено в классе линейных функций из условия минимума функционала невязки на компактном множестве. Проведены вычислительные эксперименты по нахождению сингулярных чисел для оператора в уравнении Фредгольма 1-го рода. Показано, что сингулярные числа можно условно разбить на два подмножества, причем сингулярные числа первого подмножества определяются достаточно устойчиво, а сингулярные числа второго подмножества находятся на уровне погрешности вычислений. Сделан вывод, что число сингулярных чисел находящихся в первом подмножестве, связано с числом частот, рассматриваемых на частотном отрезке. Во втором параграфе решена обратная задача о восстановлении плотности в стержне при анализе продольных колебаний. Было установлено, что для обеспечения единственности решения необходима априорная информация о значении функции плотности в месте защемления стержня. В третьем параграфе решена задача об идентификации полости малого размера в стержне. Исследование задачи было разбито на два этапа. На первом этапе при использовании резонансных частот для стержня, ослабленного полостью, на основании асимптотического подхода был найден носитель полости. На втором этапе на найденном носителе форма полости была уточнена при помощи регуляризующего алгоритма Тихонова. В четвертом параграфе рассмотрена задача о восстановлении модуля сдвига при анализе крутильных колебаний стержня.

Третья глава посвящена исследованию прямых и обратных задач для неоднородных стержней при изгибных колебаниях и состоит из трех параграфов. В первом параграфе решена задача о восстановлении модуля упругости в стержне при анализе изгибных колебаний. Показано, что для обеспечения единственности решения задачи необходимо знать значение функции на свободном конце стержня. Во втором параграфе решена обратная задача о восстановлении плотности в стержне при анализе изгибных колебаний. В третьем параграфе решена задача о восстановлении двух функций плотности и модуля упругости при совместном анализе продольных и изгибных колебаний. Для всех рассмотренных задач представлены вычислительные эксперименты по восстановлению различных гладких законов неоднородностей: полиномиальных (монотонных и немонотонных), тригонометрических, функций с большим градиентом. Приведены вычислительные эксперименты, показывающие, что разрывные функции восстанавливаются значительно хуже гладких.

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в 14 работах [4, 11−23], опубликованных в открытой печати, из них 3 статьи в журналах, определенных ВАК РФ для публикации основных научных результатов. Фамилия соискателя до вступления в брак — Бочарова О. В., после вступления в брак — Денина О. В. Часть работ выполнена в соавторстве с научным руководителем А. О. Ватульяном. В работах [12, 19−23].

А.О. Ватульяну принадлежат постановка задач, основные идеи по их реализации, обсуждение результатов. Автору диссертации принадлежит реализация этих идей, решение прямых задач на основе сведения исходных задач к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, построение операторных уравнений для решения обратных задач, составление алгоритмов и программ, проведение серий расчетов, анализ результатов вычислительных экспериментов. В работах [11−13] автору диссертации принадлежит решение прямой и обратной задач для стержня ослабленного малой полостью при анализе продольных колебаний стержня, Р. С. Жаркову принадлежит решение прямой и обратной задач для стержня, ослабленного малой полостью при анализе изгибных колебаний стержня. В работе [4] автору принадлежит методика решения обратной задачи при изгибных колебаниях стержня, Аникиной Т. А. принадлежит вывод интегральных уравнений и численные расчеты. В работе [17] автору принадлежит изложенный в диссертации метод идентификации локальных и распределенных неоднородностей в стержнях, Н. О. Солуянову принадлежит иной метод определения малых локальных канонических неоднородностей, основанный на конечномерных аппроксимациях обратной задачи.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 05−01−734 и в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009;2010 годы) по проекту № 2.1.2/1527.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Сформулированы постановки коэффициентных обратных задач для упругих стержней о восстановлении модуля Юнга, модуля сдвига, плотности и формы поперечного сечения по амплитудно-частотным характеристикам.

2. В рамках асимптотического подхода при использовании информации о резонансных частотах для стержня решена задача об определении параметров малой полости в стержне.

3. Разработаны методы построения итерационных процессов при формулировке операторных соотношений в коэффициентных обратных задачах для продольных, крутильных и изгибных колебаний.

4. Разработаны алгоритмы и программы, реализующие процедуру определения модуля Юнга, модуля сдвига, плотности и формы поперечного сечения, как функций координат.

5. Проведены масштабные вычислительные эксперименты в коэффициентных обратных задачах для стержней при различных видах неоднородностей (слабонеоднородных, полиномиальных (монотонных и немонотонных), тригонометрических, показательных с большим градиентом, разрывных). Представлены рекомендации по выбору частотного диапазона, позволяющие наиболее эффективно осуществлять численное решение поставленных задач.

6. Решены обратные задачи об определении трех характеристик стержня: модуля Юнга, модуля сдвига и плотности как функций координат при совместном анализе продольных, изгибных и крутильных колебаний стержня.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.