Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации на примере задачи управления производством электроэнергии

Диссертация: Методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации на примере задачи управления производством электроэнергии
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Существует значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. К ним относятся, в первую очередь, известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегродифференциальными уравнениями Пугачева. Различные вопросы анализа статистических систем… Читать ещё >

Содержание

  • 1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 8 УРАВНЕНИЯ
    • 1. 1. Общие понятия
    • 1. 2. Линейные стохастические уравнения
    • 1. 3. Стохастические дифференциальные уравнения Ито
    • 1. 4. Стохастические дифференциальные уравнения 25 Стратоновича
    • 1. 5. Стохастическое разложение Тейлора
  • A. Детерминистические разложения Тейлора
  • B. Разложение Ито-Тейлора
  • C. Разложение Стратоновича-Тейлора
  • D. Приближения кратных интегралов Стратоновича
  • E. Генерирование кратных интегралов Стратоновича
  • F. Связи между кратными интегралами Ито и 38 Стратоновича
  • 2. СТАХОСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В 41 ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ
    • 2. 1. Методы аппроксимации и интерполяции
  • A. Аппроксимация Эйлера
  • B. Интерполяция в дискретном времени
    • 2. 2. Кусочная аппроксимация и сильная сходимость
  • A. Критерий «абсолютной ошибки»
  • B. Доверительные интервалы для абсолютной ошибки
  • C. Порядок сильной сходимости
    • 2. 3. Аппроксимация моментов и слабая сходимость
  • A. Средняя ошибка
  • B. Систематическая и статистическая ошибки
  • C. Порядок слабой сходимости 50 2.4. Численная устойчивость
  • A. Численная устойчивость в детерминистическом случае
  • B. Жесткие стохастические дифференциальные уравнения
  • C. Численная асимптотическая устойчивость
  • 3. СИЛЬНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ
    • 3. 1. Сильная схема Тейлора
  • A. Схема Эйлера
  • B. Схема Милыитейна
  • C. Сильная схема Тейлора порядка
  • D. Сильная схема Тейлора порядка
    • 3. 2. Явные сильные схемы
  • A. Явные сильные схемы порядка
  • B. Сильная явная схема порядка
  • C. Сильные явные схемы порядка
  • D. Двухшаговая сильная схема порядка
  • E. Двухшаговая сильная схема порядка
    • 3. 3. Неявные сильные схемы
  • A. Неявная схема Эйлера
  • B. Неявная схема Милыитейна
  • C. Неявные сильные схемы Тейлора порядков 1.5 и
  • D. Неявные сильные схемы Рунге-Кутта
  • E. Неявные сильные двухшаговые схемы
  • 4. СЛАБЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ 78 4.1. Слабые схемы Тейлора
  • A. Слабая схема Эйлера
  • B. Слабая схемы Эйлера порядка
  • C. Слабая схема Тейлора порядка
  • D. Слабые схемы Тейлора порядка
    • 4. 2. Явные слабые схемы
  • A. Явные слабые схемы порядка
  • B. Явная слабая схема порядка
    • 4. 3. Неявные слабые численные схемы
  • A. Неявные схемы Тейлора
  • B. Слабые неявные схемы порядка
  • C. Метод типа «предиктор-корректор»
  • D. Методы типа «предиктор-корректор» порядка
  • 5. ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ 91 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
    • 5. 1. Модель поведения одного потребителя
  • A. Идентификация параметров модели
  • B. Исследование свойств метода идентификации
  • C. Численный пример
    • 5. 2. Модель поведения нескольких потребителей
  • A. Идентификация параметров модели
  • B. Численное моделирование
  • C. Численный пример
  • Заключение
  • Литература
  • Приложения

Методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации на примере задачи управления производством электроэнергии (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Детерминированные математические модели могут быть использованы при решении многих прикладных задач. Однако они не отображают всего многообразия реальных физических явлений. Действительно, у многих технических систем разброс выходных сигналов под действием различных шумов и помех достаточно мал. Это дает возможность изучения таких объектов детерминированными методами. Однако анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным, поскольку во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера, малые по сравнению с неслучайными факторами, но оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системыслучайный разброс начальных положений и скоростей, возникающий из-за неточности измерений, ошибок изготовления и др. и приводящий к статистическим переходным режимам даже в детерминистических системах. Описание таких явлений классическими методами затруднительно и приводит к следующим проблемам: переходы из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных «толчков" — существование распределения случайных параметров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового векторанепрерывность дискретного спектра автоколебанийвозникновение элементов хаоса при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналовпоявление систематической составляющей в выходном сигнале при наличии статистической связи параметрических и аддитивных шумовуменьшение запаса устойчивости или возникновение неустойчивых режимов под влиянием параметрических шумовневозможность избежания основного резонанса при широкополосном спектре параметрических возмущений, так что изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет смыслсущественные различия поведение движение систем с шумами и без них на больших интервалах времени, несмотря на совпадение в среднеквадратическом смысле.

Вот почему исследования вероятностных процессов в нелинейных динамических системах относятся к числу важнейших теоретических и практических задач. Необходимость решения таких задач является актуальной при изучении различных явлений: расчет полета летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентностианализ движения транспортных средств по неровной дорогеоценка перемещений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействияхисследование качки судов при нерегулярном морском волнениианализ технологических процессов производстваизучение отклонений элементов орбиты спутника от расчетных, возникающих из-за неточности изготовления ракеты-носителя и ошибок в работе систем управленияанализ изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсовфлуктуация шумов усилителя в системах регулирования и следящих системахнепредсказуемый спроса в экономических системах и т. д.

Существует значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. К ним относятся, в первую очередь, известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегродифференциальными уравнениями Пугачева. Различные вопросы анализа статистических систем управления, автоматического регулирования, радиотехники, радиоэлектроники и т. д. рассматривали Андреев Н. И. [4], Богуславский И. А. [15], Дашевский M.JI. [29], Казаков И. Е. [34 — 36], Кляцкин В. И. [37], Красовский А. А. [42, 43], Малахов А. Н. [49, 50], Параев Ю. И. [56], Первозванский А. А. [57], Свешников А. А. [74], Синицын И. Н. [75], Солодовников В. В. [77], Тихонов В. И. [81, 82], и др., а в области нелинейной механики — Диментберг М. Ф. [30,31], КоломиецВ.Г. [38] и др.

Неотъемлемой частью рассмотренных выше вопросов являются стохастические дифференциальные уравнения. Поскольку явные решения известны для небольшого числа уравнений, изучение численных методов их решения играет важную роль. Следует отметить, что существуют два различные подходы для нахождения численных решений. Если необходимо аппроксимировать ветви процесса решения, используются методы преобразования в среднеквадратическом смысле, а численные схемы называются схемами численной аппроксимации. С другой стороны если некоторые моменты или в общем случае математическое ожидание функционала решения являются целью исследования, используются методы слабой аппроксимации.

В данной работе рассмотрены основные вопросы теории стохастических дифференциальных уравнений, показаны различные численные методы решения, а также приведены примеры использовании стохастических дифференциальных уравнений для решения практических задач.

Основные результаты вычислений приведены в таблице 5.3. Кроме того, как и детерминистическом случае NKILE '.

N-l.

Оценка максимального правдоподобия для сг2 является смещенной, для получения несмещенной оценки необходимо выполнить преобразование вида, А '.

В зависимости от целей исследователя идентифицированная модель может быть использована в различных целях: прогнозирование развития процесса или его управление. В моделях роста популяций, учитывая тот факт, что это эпидемиологические модели, нас интересует в большей степени прогноз. Используя результаты, приведенные в таблицах 5.1 и 5.2, можно вычислить доверительный интервал 100(1-ог)% прогнозного значения.

Г0ехр

Крог 2а/2(7фпрог.

Г0ехр ju —.

СГ.

Крог + 2а/2СГфпрог в представлении Ито, и в интерпретации Стратоновича. Несмотря на то, что доверительные интервалы имеют разные алгебраические ожидания, точность прогноза совпадает в обоих случаях.

Заключение

.

Итак, целью представленной работы была разработка методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений и в применении этих методов для повышения эффективности управления конкретными системами^! |Ч — iI7J.

Для достижения цели исследования были решены следующие задачи:

1) проанализирована теория стохастических дифференциальных уравнений и методы численной аппроксимации их решений;

2) проанализированы сильные численные схемы решения стохастических дифференциальных уравнений;

3) разработаны методы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений;

4) показано применение разработанных методов на примерах определения и прогнозирования поведения потребителей электроэнергии.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Т.А., Артемьев С. С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1986. Т. 288. № 4. С. 777−780.
  2. Дж. Стохастические системы. М.: Мир, 1987. 376 с.
  3. Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
  4. Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления. М.: Наука, 1980.415 с.
  5. А.А., Витт А. А., Хайкин С. З. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.568 с.
  6. В.М. Статистический анализ нелинейных систем с использованием теории марковских случайных процессов. Минск: МВИЗРУ ПВО, 1969. 144 с.
  7. С.Е., Демидов Г. В. Определение плотности распределения решения дифференциального уравнения с помощью сплайнов II Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984. Т. 15. № 4. С. 3−10.
  8. О.Б., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. 336 с.
  9. Ю.М., Медведев B.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1982. 304с.
  10. Ю.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. 447 с.
  11. И.Бабицкий В. И., Крупенин B.JI. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985. 320 с.
  12. Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. Т. 2. 296 с.
  13. О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 4С0 с.
  14. К.Н., Митрспольский Ю. А. Асимптотические методы з теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1958.408 с.
  15. И.А. Статистический анализ многомерных систем при использовании полиномов Зрмита многих переменных II Автоматика и телемеханика. 1969. № 7. С. 36−51.
  16. С.М., Светушхов Н. Н. О фундаментальном решении уравнения Осккера-Планка-Холмсгороза с особенностями з коэффициентах II МАИ. М., 1986. 10 с. (Деп. з ВИНИТИ, Jfa2744−586).
  17. Ю.Г., Псгснышез С. А. Метод численного интегрирования многомерного уравнения Ооккера-Планка на основе усеченных алгоритмов быстрого преобразования Оурье // Радиотехника к электроника. 1989. Т. 34. Лзб. С. 1241−1249.
  18. К.Г., Хрисаноз СМ. Интегральные уравнения для совместных плотностей распределения // Дифференциальные уравнения и применения / Труды Третьей конференции. Руссе, Болгария. Ч. 1. 1987. С. 67−70.
  19. Ван-Хампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 19S0. 376 с.
  20. А.Д., Орейдлин М. И. Флуктуации з динамических системах под действием малых случайных возмущений. М: Наука, 1979. 424 с.
  21. X. Применение методов статистической линеаризации и усреднения для систем с предельными циклами / / ИМ. 1988. Т. 24. -Гз1. С. 122−126.
  22. А.А. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. 356 с.
  23. Н.З., Маланин В. В., Рекка Р. А. Ссцилл?-ру:-ощие функции и некоторые их приложения. Свердловск: Изд-зо Уральского ун-та, 1990. 112 с.
  24. К.В. Стохастические задачи в естественных науках. М.: Мир, 1986. 526 с.
  25. И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. К.: Наукова думка, 1968. 354 с.
  26. В.Т., Журавлев А. Г., Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи: Учебное пособие. М.: Сов. радио, 1980. 544 с.
  27. У. Вероятности на алгебраических структурах. М.: Мир, 1965.276 с.
  28. А.С., Светлицкий В. А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. 240 с.
  29. Дашевский M. JL, Липцер Р. Ш. Приближенный анализ нестационарных динамических систем // АиТ. 1967. № 8. С. 32−43.
  30. М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. 368 с.
  31. М.Ф. Точное решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для некоторых динамических систем // ПММ. 1983. Т. 47. № 4. С. 555−558.
  32. С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971.328 с.
  33. О.И. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в задачах статистической динамики систем релейного типа (обзор) / ЛПИ. Л., 1987. 38 с. (Деп. в ВИНИТИ, Д4 938-В87).
  34. И.Е. Приближенный вероятностный анализ точности работы существенно нелинейных систем // АиТ. 1956. Т. 17. № 5. С. 387−409.
  35. И.Е., Доступов В. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1962. 332 с.
  36. И.Е. Статистические методы проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1969. 262 с.
  37. В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 336 с.
  38. В.Г., Цикайло Т.-Н.М. Метод усреднения в стохастических существенно нелинейных системах, НО некоторых существенно нелинейных задачах случайных колебаний. Киев, 1984. С. 15−33 (Препринт/ Ин-т матем. АН УССР: № 24).
  39. О.Г. Устойчивость решений детерминированных и стохастических дифференциально-разностных уравнений (алгебраические критерии). К.: Наукова думка, 1992. 208 с.
  40. А.А., Маланин В. В. Об одном итерационном методе решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова // Проблемы механики управляемого движения. Иерархические динамические системы. Пермь, 1978. С. 103−108.
  41. И.М., Ерошенков М. Г. Аналитическое моделирование стохастических систем. Минск: Навука i тэхника, 1993. 264 с.
  42. А.А. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методом рядов // ДАН СССР. 1972. Т. 205. № 3. С. 550−552.
  43. А.А. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для динамических систем с аналитическими характеристиками // Известия АН СССР. ТК. 1972. № 6. С. 200−211.
  44. Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969. 200 с.
  45. Н.Н. Специальные функции и их приложения. M.-JL: Физматгиз, 1963. 360 с.
  46. А.В., Смирнов С. Н. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. № 11. С. 108−121.
  47. В.В., Полосков И. Е. О возможности использования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для решения задач надежности / /
  48. Динамика и алгоритмы управления роботов-манипуляторов. Иркутск, 1982. С. 57−61.
  49. В.В., Шарова JI.B., Шанченко Н. И., Шульгин A.M. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методом Пуанкаре II ДАН УзССР. 1985. № 1. С. 8−10.
  50. А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1967. 660 с.
  51. А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразования. М.: Сов. радио, 1978. 376 с.
  52. В.В., Пакшин П. В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления (Обзор) // Изв. АН СССР. ТК. 1990. Ч. 1. № 1. С. 42−66- Ч. 2. № 2. С. 97−120.
  53. С.В. Приближенный метод определения законов распределения фазовых координат нелинейных автоматических систем II АиТ. 1970. № 5. С. 43−50.
  54. С.В. Определение, закона распределения выходных переменных многомерной нелинейной системы // АиТ. 1973. № 11. С. 16−21.54.0стрем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.322 с.
  55. К.А. К анализу нелинейных систем со случайными входными воздействиями // Исследования по динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. Вып. 2. С. 225−238.
  56. Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 1976. 184 с.
  57. А.А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.: Физматгиз, 1962. 352 с.
  58. С.А. Численный метод исследования статистической динамики стохастических систем // Изв. АН СССР. ТК. 1992. № 2. С. 130−135.
  59. И.Е. О возможности использования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для решения задач надежности // Методология системных исследований / Тезисы докладов I Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов. М.: ВНИИСИ, 1981. С. 100.
  60. И.Е. О связи моментов и кумулянтов многомерных распределений / Пермский ун-т. Пермь, 1986. 5 с. (Деп. в ВИНИТИ, № 8871-В86).
  61. Понтрягин JL, Андронов А., Витт А. О статистическом рассмотрении динамических систем //ЖЭТФ. 1933. Т. 3. С. 165−180.
  62. Ю.В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973. 496 с.
  63. B.C. Случайные функции, определяемые дифференциальными уравнениями //Труды ВВА им. Н. Е. Жуковского. 1944. Вып. 18. С. 3−36.
  64. B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. 884 с.
  65. B.C., Казаков И. Е., Евланов Л. Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. 400 с.
  66. B.C., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985. 560 с.
  67. Г. Е. Преобразования Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. К.: Наукова думка, 1978. 260 с.
  68. Г. Е., Войтенков И. Н. Основы стохастических дифференциальных преобразований//Электронное моделирование. 1988. Т. 10. № 6. С. 3−11.
  69. M.JI. Применение метода контурного интеграла. М.: Наука, 1975. 256 с.
  70. В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во «Университетское», 1985. 143 с.
  71. Г. М., Суржик В. В. Исследование, статистической динамики летательных аппаратов // Методы возмущений в механике. Новосибирск: Наука, 1982. С. 112−125.
  72. В.К., Черников А. А. Решение уравнения Фоккера-ГХпанка-Колмогорова методом конечных разностей // АиТ. 1990. № 3. С. 98−102.
  73. А.А. Прикладные методы случайных функций. М.: Наука, 1968.464 с.
  74. В.И. Новый приближенный метод нахождения одномерного распределения векторного процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением // ДАН СССР. 1989. Т. 309. № 3. С. 541 544.
  75. Н.Г. Моделирование уравнения Фоккера-Планка случайным блужданием с переменным шагом // Доклад на V конференции по теоретической кибернетике, Новосибирск. Якутск: Якутский филиал СО АН СССР, 1980. 34 с. (Препринт).
  76. В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. 470 с.
  77. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В. С. Королюка. К.: Наукова думка, 1978. 584с.
  78. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Б. Г. Доступова. М.: Машиностроение, 1970. 408 с.
  79. Н.Б., Илюхин С. А. Случайные процессы, эквивалентные гауссовым. I / Лен-ский ин-т авиац. приборостр. Л., 1987.13 с. (Деп. в ВИНИТИ, № 3458-В87).
  80. В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.
  81. В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 296 с.
  82. Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. 256 с.
  83. И.Д. О преобразовании диффузионного процесса в винеровский // ТВ и ее прим. 1957. Т. 2. № 3. С. 384−388.
  84. И.Д. Преобразование диффузионных процессов: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 1981. 132 с.
  85. И.Д. Преобразования диффузионных процессов и их применения. Саратов: Изд-во СГУ, 1988. Кн. 1,2.
  86. В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. М.: Машиностроение, 1968. 244 с.
  87. Brauer F., Castillo-Chavez С. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. NY: Springer-Verlag, 2000, p.416
  88. E., Tuckermen L.S. (ed). Numerical Methods for Bifurcation Problems and Large-Scale Dynamic Systems. NY: Springer-Verlag, 2000, p.471
  89. R.J., Корр P.E. Mathematics of Financial Markets. Berlin: Springer-Verlag, 2001, p.292
  90. J., Hardle W., Stahl G. (ed). Measuring Risk in Complex Stochastic Systems. Berlin: Springer-Verlag, 2000, p.257
  91. Hairer E., Wanner G. Solving Differential Equations II // Stiff and Differential-Algebraic Problems. NY: Springer-Verlag, 2002, p.614
  92. Hoppensteadt F.C. Analysis and Simulation of Chaotic Systems. NY: Springer-Verlag, 2000, p.313
  93. Kaiser R., Maravall A. Measuring Business Cycles in Economics Time Series. Berlin: Springer-Verlag, 2001, p. 190
  94. Kellerhals B.P. Financial Pricing Models in Continuous Time and Kalman Filtering. Berlin: Springer-Verlag, 2001, p.247
  95. Kloeden P. E., Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1999, p.636
  96. Kloeden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments. Berlin: Springer-Verlag, 1997, p.292
  97. M., Tang Sh. (ed). Mathematical Finance. Boston: Bikhaser Verlag, Basel, 2001, p.374.
  98. Kulkarni V.G. Modeling Analysis, Design, and Control Stochastic Systems. Berlin: Springer, 1999., p. 374
  99. Kushner H., Dupuis P. Numerical Methods for Stochastic Control Problems in Continuous Time. NY: Sprinter-Verlag, 2002, p. 475
  100. Lange K. Numerical Analysis For Statisticians. Berlin: Springer-Verlag, 1998, p.356
  101. S.A., Hallam T. G., Gross L.J. (ed). Applied Mathematical Ecology. Berlin: Springer-Verlag, 1989, p.491
  102. Mei Z. Numerical Bifurcation Analysis for Reaction-Diffusion Equations. NY: Springer-Verlag, 2000, p.414
  103. Musiela M., Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling. Berlin: Springer-Verlag, 1997, p.518
  104. Oksendal В. Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 2000, p.326
  105. Robert Buff, Uncertain Volatity Models-Theory and Application, Springer-Verlag 2002, p.242
  106. Rogers L.C.G., Talay D. Numerical Methods in Finance. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999, p. 326
  107. M., Schaefer M. (ed). The Foundations of Continuous Time Finance // An Elgar Reference Collection. London: Cheltenham, 2000, p.614.
  108. Struwe M. Variational Methods. NY: Springer-Verlag, 2000, p.274
  109. Tomasz Bielecki, Marek Rutkowski, Credit Risk: Modeling, Valuation and Hedging, Springer-Verlag 2002, p.500
  110. Varian H. R. Computational Economics and Finance. Berlin: Springer, 1996, p.468
  111. Verhulst F. Nonlinear Differential Equations and Dynamics Systems. NY: Springer-Verlag, 1996, p.303
  112. Yong J., Xun Yu Zhou. Stochastic Control. NY: Springer-Verlag, 1999, p.438
  113. В. Беликов, M. Гживачевски, А. Урбаиьский, Д. Филатова. Методы оценки параметров в задачах экономики и финансовой математики. М.: МФТИ, 2004, 108 стр.
  114. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Методика численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации параметров. М.: МФТИ, 2004, 106 стр.
  115. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Вопросы идентификации моделей управления с агрегированным выходом. М.: МФТИ, 2004, 112 стр.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!