Методы вычисления дифференциальных инвариантов и их приложения к исследованию дифференциальных уравнений

Теория дифференциальных инвариантов — один из важных и востребованных разделов как теоретической, так и прикладной математики. Применение дифференциальных инвариантов в исследовании дифференциальных уравнений активно развивается в нашей стране и за рубежом, см. книги Л. В. Овсянникова [77], Ж. Поммаре [81], П. Олвера [76], Д. Крупки и И. Янишки [42], Д. В. Алексеевского, А. М. Виноградова и В. В. Лычагина [1], Р. Гарднера [15], И. Колара, П. Михора и И. Словака [33], Л. М. Берковича [4], Т. Ивея и Я. Ландсберга [26], А. Г. Кушнера, В. В. Лычагина и В. Н. Рубцова [49].

Данная диссертация посвящена центральным вопросам теории дифференциальных инвариантов и их применению к исследованию дифференциальных уравнений: методам вычисления дифференциальных инвариантов, проблеме полного описания алгебр скалярных дифференциальных инвариантов, проблеме эквивалентности дифференциальных уравнений и применению дифференциальных инвариантов к исследованию решений дифференциальных уравнений.

Опишем основные направления работы.

Введение

посвящено истории рассматриваемых вопросов и краткому изложению результатов диссертации.

В первой главе кратко изложены все необходимые сведения из геометрии расслоений джетов и геометрии дифференциальных уравнений.

Вторая глава «Дифференциальные инварианты в естественных расслоениях» посвящена структурным, тензорным и скалярным дифференциальным инвариантам в естественных расслоениях. Цель этой главы — разработка методов вычисления диффе ренциальных инвариантов в естественных расслоениях.

Третья глава «Геометрические структуры на решениях уравнений газовой динамики» носвящена системе уравнений адиабатического движения газа в пространстве К", п = 1,2,3. Характеристики этой системы порождают на её решениях геометрические структуры. В этой главе исследуются дифференциальные инварианты этих структур. Полученные инварианты применяются для исследования решений и вычисления явных решений этой систем.

В четвертой главе «Метрики на решениях нелинейных дифференциальных» исследуются уравнение Хохлова-Заболотской, уравнение нестационарного трансзвукового движения газа и уравнению коротких волн. Здесь доказывается, что символы этих уравнений порождают на их решениях метрики. Цель этой главы получение явных решений этих уравнений с помощью классических дифференциальных инвариантов метрик.

Пятая глава «Гиперболические уравнения Монжа-Ампера» посвящена исследованию дифференциальных инвариантов гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения и решению проблемы локальной эквивалентности этих уравнений относительно контактных преобразований.

Шестая глава «Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка» посвящена дифференциальным инвариантам естественного расслоения обыкновенных дифференциальных уравнений вида вида у" — ¡-{х, у, у'), где /(х, у, у') — многочлен 3-го порядка от у', коэффициенты которого зависят от х и у. В пей на примере этого расслоения развиваются дальше методы вычисления дифференциальных инвариантов. Одна из первых задач, возникающих при исследовании дифференциальных инвариантов естественного расслоения — это описание орбит действия псевдогруппы диффеоморфизмов базы в расслоениях джетов сечений. В этой главе для расслоения рассматриваемых уравнений получены тензорные дифференциальные инварианты, различающие орбиты в расслоениях А—джетов сечений для /с = 0,1,2,3. Основной результат четвертой главы — полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов этого расслоения, определенных над орбитой общего положения расслоения 3-джетов.

В седьмой главе «Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения» получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3 относительно псевдогруппы точечных преобразований сохраняющих множество линейных уравнений. Кроме того в ней решается проблема локальной эквивалентности этих уравнений относительно контактных преобразований.

0.1 Обзор результатов по дифференциальным инвариантам и их применению к исследованию дифференциальных уравнений.

Начало теории дифференциальных инвариантов было положено С. Ли [53]. Теорема о конечности системы образующих алгебры скалярных дифференциальных инвариантов, принадлежит А. Трессе [89]. Е. Вессио [97], используя дифференциальные инварианты, исследовал условия интегрируемости системы дифференциальных уравнений и, в частности, получил общее решение задачи о групповом расслоении.

Современное изложение решения задачи о групповом расслоении системы дифференциальных уравнений представлено в книге Л. В. Овсянникова [77]. Там же представлено современное изложение теоремы Трессе. См. так же книгу П. Олвера [76], работы А. Кумперы [43], Б. Кругликова и В. В. Лычагина [39].

Э.Картан, используя метод подвижного репера и свой метод внешних форм, разработал общий подход к решению проблемы эквивалентности. Его современному изложению посвящены книги Т. Ивея и Я. Ландсберга [26] и Р. Гарднера [15].

Дальнейшее развитие этого метода привело к созданию теории б'-структур, см. работы Д. Бернарда [5], И. Зингера и С. Стернберга [84] и книги С. Стернберга [85], Д. В. Алексеевского, А. М. Виноградова и В. В. Лычагина [1].

Во второй главе мы представляем общий подход к вычислению дифференциальных инвариантов геометрических структур, который является результатом нашей попытки перенести конструкцию построения структурных функций (^-структур в естественные расслоения.

В работах В. В. Лычагина [59,60,62], Б. С. Кругликова и В. В. Лычагина [38] развивается общий подход к исследованию проблемы эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений. Они рассматривают дифференциальные уравнения как подмногообразия в соответствующих расслоениях джетов. Ограничения распределений Картана и метасимлектических структур на уравнения порождают дифференциальные инварианты — «тензоры» Вейля. Условия эквивалентности дифференциальных уравнений формулируются в терминах этих инвариантов.

Известно, что характеристические ковекторы системы дифференциальных уравнений гидродинамического типа порождают естественным образом на каждом решении этой системы геометрическую структуру — п-ткань. Простейший дифференциальный инвариант этой структуры — кривизна п-ткани. Для различных таких систем Х. О. Кильп [28], затем Е. Ферапонтов [11−13] исследовали и получили явные решения, кривизна п-ткани которых равна нулю.

Характеристические ковекторы системы дифференциальных уравнений 2-мерного адиабатического движения газа порождают, см. Л. В. Овсянников [78], на каждом её решении геометрическую структуру состоящую из конуса и плоскости в каждом кока-сательном пространстве к решению. Дифференциальный инвариант 1-го порядка этой структуры является линейной связностью, см. работу автора и В. В. Лычагина [127]. В этой же работе исследованы решения со связностями без кручения, а для полит-роиного движения газа постоянного обьёма получен класс явных решений с такими связностями.

Символы уравнения Хохлова-Заболотской порождают на каждом его решении метрику Минковского, см. работу автора и В. В. Лычагина [126]. Здесь же классические дифференциальные инварианты метрик использованы для нахождения классов явных решений уравнения Хохлова-Заболотской.

В 1874 году С. Ли [52] поставил задачу: найти классы эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка относительно группы контактных преобразований. Он сформулировал теоремы, [51,54], о приведении дифференциальных уравнений типа Монжа-Амиера контактными преобразованиями к квазилинейному виду, к линейному виду с постоянными коэффициентами и при наличии промежуточных интегралов — к параболическому и волновому уравнениям. Затем Дарбу и Гурса [17] получили при некоторых ограничениях ряд результатов, касающихся проблемы эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований.

С геометрической точки зрения уравнение типа Монжа-Ампера можно рассматривать как подмногообразие в расслоении J2M 2-джетов функций многообразия M независимых переменных. В. В. Лычагин [58,61] заметил, что уравнения типа Монжа-Ампера естественным образом отождествляются с эффективными дифференциальными ¿—формами на расслоении 3ХМ 1-джетов функций на М. Это редуцирует проблему эквивалентности уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований к проблеме эквивалентности соответствующих эффективных форм относительно этих преобразований. Далее он заметил, что наличие хотя бы одной контактной симметрии у уравнения Монжа-Ампера позволяет рассматривать соответствующую ему эффективную ¿—форму как ¿—форму на кокасательном расслоении Т*М и таким образом свести проблему эквивалентности уравнений Монжа-Ампера к проблеме эквивалентности эффективных ¿—форм относительно симплектических диффеоморфизмов.

Этот подход позволил впервые получить, В. В. Лычагин и В. Н. Рубцов [63], строгие доказательства при dim M = 2 теорем С. Ли о приводимости уравнения Монжа-Ампера к квазилинейному виду в аналитическом случае, к линейному виду с постоянными коэффициентами и к параболическому и волновому уравнениям.

В работах В. В. Лычагин и В. Н. Рубцов и И. В. Чекалова [64,65] получены обобщения теоремы о приводимости уравнения Монжа-Ампера к квазилинейному виду и к линейному с постоянными коэффициентами на случай dim M > 2 и на случай гладких уравнений, кроме того теоремы о приводимости уравнения Монжа-Ампера к параболическому и волновому уравнениям обобщены на случай dim M — 3. Более общие результаты о контактной и симплектической классификации уравнений Монжа-Ампера были позже получены В. В. Лычагиным, Б. Кругликовым, А. Кушнером и Д. Туницким [35−37,45−48,61,91,92]. Эти работы основаны на редукции преоблемы эквивалентности уравнений Монжа-Ампера общего положения к проблеме эквивалентности е-структур. Промежуточный итог этому направлению подводит книга А. Кушнера В. В. Лучагина и В. Н. Рубцова [49].

Современное изложение и развитие результатов Дарбу и Гурса в терминах G-струк-тур получено в работе Т. Моримото [68].

Впервые построены дифференциальные инварианты и решена проблема эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения в работах автора, А. М. Виноградова и М. Марвана [119,122].

Вычислению дифференциальных инвариантов параболических уравнений Монжа-Ампера общего положения посвящены работы А. М. Виноградова и Д. Каталано [8,94].

Впервые проблему описания классов эквивалентности нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно точечных преобразований поставил С. Ли [55,56].

Первые результаты в решении проблемы эквивалентности для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка вида получил Р. Лиувилль [57]. Он вычислил некоторые тензорные дифференциальные инварианты, нашел несколько бесконечных серий скалярных дифференциальных инвариантов и решил проблему классификации с точностью до эквивалентности некоторых классов этих уравнений. В частности Р. Лиувилль нашел условия приводимости обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка к линейному виду точечными преобразованиями.

А.Трессе [89,90] получил полное описание относительных инвариантов обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и на этой основе получил классификацию этих уравнений с точностью до эквивалентности.

М.Бабич и Л. Бордаг [3] устранили небольшой пробел в классификации А.Трессе.

Современный взгляд на упомянутые работы А. Трессе, а так же другой подход к решению проблемы эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка представлен в работе Б. Кругликова [41].

Э.Картан [7] показал, что всякое уравнение (0.1) эквивалентно некоторой проективной связности, и её дифференциальный инвариант — тензор кривизны, является препятствием к линеаризуемости этого уравнения точечным преобразованием.

Ряд классификационных результатов для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка получен методом эквивалентности Э. Картана в работах Гарднера [14], Г. Томпсона [87], Камрана, К. Лэмба и В. Шадвика [27], С. Гриссома, Г. Томпсона.

У" = а (х, у) у'3 + Ь (х, у) у'2 + с (х, у) у' + с1(х, у).

0.1).

7 1' и Г. Уилкенса [19], Л. Шу и Н. Камрана [21].

В работах [116,124] автор исследовал действие псевдогруппы точечных преобразований базы естественного расслоения уравнений вида (0.1) в расслоениях /е-джетов сечений этого расслоения, к = 0,1, 2,3. В этих работах получены тензорные дифференциальные инварианты, различающие орбиты этого действия. В работе [124] впервые получено полное описание алгебры всех скалярных дифференциальных инвариантов этого расслоения, определенных над орбитой общего положения расслоения 3-джетов, то есть получено семейство образующих этой алгебры и полное семейство дифференциальных соотношений между ними.

Проблема локальной эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных уравнений впервые была поставлена Лагерром [50] и Альфаном [20]. Они же получили первые результаты, касающиеся локальной эквивалентности этих уравнений 3-го и 4-го порядков.

Л.М.Беркович в серии своих работ исследовал полуинварианты линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3 и получил решение проблемы локальной эквивалентности для них относительно точечных преобразований. Эти результаты изложеы в его книге [4].

Ф.Мохамед и П. Лич [66] вычислили алгебру классических симметрий линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3.

Опираясь на этот результат, автор [111−114] получил семейство образующих алгебры скалярных дифференциальных инвариантов этих уравнений и доказал, что между образующими нет дифференциальных соотношений. Кроме того, в этих работах получено решение проблемы локальной эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3 относительно контактных преобразований.

0.2 Краткое содержание диссертации.

В главе 1 кратко изложены все необходимые сведения из геометрии расслоения дже-тов и геометрии дифференциальных уравнений.

В главе 2 мы представляем общий подход к построению дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях.

В разделе 2.1 даются все необходимые определения связанные с естественными расслоениями.

В разделе 2.2 описываются поднятия диффеоморфизмов и векторных полей с базы естественного расслоения в расслоения джетов его сечений, определяются дифференциальные инварианты естественного расслоения и геометрических структур.

В разделе 2.3 приведены необходимые сведения о формальных векторных полях, продолжениях подпространств и когомологиях Спенсера.

Разделы 2.4 — 2.7 составляют основное содержание второй главы. Здесь излагается общий подход к построению дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях. Суть его в следующем.

Пусть 7г: Е —> М естественное локально-тривиальное расслоение.

Через 7ть: М, тгк '¦ ]рЭ —"¦ р к = 0,1, 2,. обозначим расслоения к-джетов сечений расслоения тт. Всякое сечение 5 расслоения 7 Г порождает сечение^й1: р —>^Б расслоения тгк.

Для любого векторного поля X на многообразии М (любого диффеоморфизма / многообразия М) через Х^ обозначается его естественное поднятие в Зкж.

Значение поднятого векторного поля Х^ в точке 0к е Зкгк определяется г + к-джетом поля X в точке р = тгк{вк), где г является дифференциальным порядком расслоения 7 г.

Формальной симметрией джета вк+1 = ]р+18 назовем г + к-джет ]р+кХ такого векторного поля X, что Х^ € %-вк+1, где гХок+1 — касательное пространство к образу сечения jkS в точке 9?. — т1ерез Адк+1 обозначим пространство формальных симметрий джета 6к+,.

Лек+1 = {з1+кХ Х^е%0к+1}.

Алгебра изотропии точки вк определяется формулой.

Ясно, что 2вк С Авк+1 ¦

Теорема 2.4. Операция коммутирования векторных полей порождает, билинейное кососимметричное отображение.

•¦]: Ао^ х Л0) с+1 —" А"к, [з^Х, /р+кУ ] = ^ [ Х,¥-].

Для любых натуральных I > т положим р^тЦрХ) = 3РХХ < через ТРМ обозначим касательное пространство кМв точке р.

Подпространство Н С Адк+1 назовем горизонтальным, если проектирование.

Рг+Ын: Н —> ТРМ, рг+к, он: /р+кХ -> УГр+кХ 6 Я является изоморфизмом. Если Н — горизонтальное подпространство в Авк, то имеет место разложение.

Авк+1 =Н®5вк ¦

Каждое горизонтальное подпространство Н в Авк+1 определяет внешнюю 2-форму шц на ТРМ со значениями в Авк сон (Хр, Ур) = [?Р+кХ, СкУ], /Хр, Ур е ТРМ.

Компонента нулевого порядка этой формы иРн = рг+ь-$ о и>И принадлежит пространству трм ® (т-м л т-м).

Положим дд = Рг+м (0вк) — Алгебра дк является подалгеброй алгебры ТРМ ®Т*М. Она порождает комплекс Спенсера о — Ю (1) — 9вк ® т-м ^ трм ® (т-м д т-м) о.

Теорема 2.8. Класс смежности.

1 + 0т-м) е трм®- (т-млт-м)/д1А (д1к ®т-м) не зависит от выбора горизонтального подпространства Н в Адк+1.

В результате мы построили естественным образом функцию на со значениями в когомологиях Спенсера 9к+1 I—> ш°9к+1.

Эта функция — дифференциальный инвариант порядка к + 1 расслоения 7 Г. Мы называем его структурным инвариантом. Всякое разложение трм ® (т-м л т-м) = с е д1Л (9ок ® т-м) позволяет считать, что (¿->вк+1 является тензором из подпространства С$к.

Следствие 2.1. Пусть дополнения Сдк выбраны инвариантным образом. Тогда структурный дифференциальный инвариант является инвариантным тензорным полем на, 1к+1тт, то есть тензорным дифференциальным инвариантом (порядка к + 1 расслоенияк).

Ограничение тензорного инварианта а-0 на образ сечения ¿-¡-¿-Б является тензорным дифференциальным инвариантом (порядка к + 1) геометрической структуры в (следствие 2.2).

В качестве примера в разделе 2.8 мы вычисляем структурный тензорный дифференциальный инвариант 1-го порядка естественного расслоения почти комплексных структур. Сравнивая его с классическим дифференциальным инвариантом почти-комплексных структур — тензором кручения Ниенхейса, мы получаем, что структурный дифференциальный инвариант, так же, как тензор Ниенхейса, отвечает за интегрируемость почти комплексных структур.

Далее мы доказываем следующее утверждение.

Теорема2.9. Выбор дополнения Сдк выделяет класс [Н]вк+1 таких горизонтальных подпространств Н С Аек+1, что ш°И = ^ .

Проекции рг+кл (Н) этих выделенных подпространств образуют класс [Н]дк+1 горизонтальных подпространств в пространстве 1-джетов^Х всех векторных полей Х1 проходящих через точку р — кк+1(^+1).

Следствие 2.3. Если (ддк)^ — {0}, то [Н]д содержит единственное горизонтальное подпространство.

Применение этого следствия к произвольному сечению расслоения тт приводит к следующему утверждению.

Теорема 2.10. Пусть 5 -сечение расслоения тг. Предположим, что выполнены условия:

1) дополнения Сдк выбраны инвариантным образом,.

2) (д1к)Ю = {0} для всех вк в Ь^.

Тогда:

1) на образе сечения jk+lS определена естественным образом линейная связность,.

2) тензорный дифференциальный инвариант Шд является тензором кручения этой связности.

В этой главе мы изложили метод построения дифференциальных инвариантов геометрических структур, используя компоненты нулевого порядка форм шц.

Как строить дифференциальные инварианты, используя следующие компоненты этих форм, мы демонстрируем на примере естественного расслоения обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка в разделах 6.3.1 и 6.3.2 и на примере естественного расслоения 3-тканей в разделе 3.2.2.

Глава 2 заканчивается разделом 2.9, в котором изложен известный алгоритм вычисления скалярных дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях.

В главе 3 исследуются геометрические структуры на решениях системы уравнений адиабатического движения газа в пространстве Кп, п = 1,2,3.

В разделе 3.2 мы изучаем геометрические структуры на решениях системы уравнений 1-мерного адиабатического движения газа.

Как известно, см. [78], характеристческие ковекторы этой системы образуют в каждом кокасательном пространстве к решению, рассматриваемому как 2-мерная поверхность, три таких 1-мерных подпространства, что любые два из них трансверсальны. Такая геометрическая структура называется 3-тканью, см. [6].

Мы рассматриваем в разделе 3.2.1 естественное расслоение /л 3-тканей на плоскости.

В разделе 3.2.2 мы строим дифференциальные инварианты 3-тканей, используя подход к построению дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях, изложенный в главе 2. В результате мы получаем (раздел 3.2.2), что структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка расслоения ¡-л равен нулю, а на каждом его сечении определен дифференциальный инвариант — линейная связность (теорема 3.1). Из равенства нулю структурного инварианта 1-го порядка следует, что эта линейная связность без кручения.

Для системы уравнений 1-мерной газовой динамики этот результат означает, что на каждом её решении определен дифференциальный инвариант — линейная связность без кручения (следствие к теореме 3.1 и теорема 3.2).

Дальнейшее применение этого подхода приводит к построению дифференциального инварианта 2-го порядка, который на каждом решении системы уравнений 1-мерной газовой динамики совпадает с тензором кривизны линейной связности этого решения (теорема 3.3).

В разделе 3.2.3 для системы уравнений 1-мерного адиабатического движения газа при А (р, р) = р находится широкий класс явных решений этой системы, линейные связности на которых имеют нулевой тензор кривизны.

В дополнительном раздел 3.3 мы даем полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов 3-тканей общего положения.

В разделе 3.3.1 исследуются алгебры изотропии точек из Зкр (теорема 3.4). Это позволяет нам в разделе 3.3.2 описать орбиты действия псевдогруппы Г диффеоморфизмов базы расслоения р в расслоениях (теорема 3.5):

1. Расслоение Зкц, к = 0,1, является орбитой действия Г.

2. Расслоение^р является объединение двух орбит: орбиты общего положения (коразмерности 0) ОгЬр и вырожденной орбиты коразмерности 1 ОгЬ^.

3. При к > 3 расслоение^р является объединением непрерывных семейств вырожденных орбит.

В разделе 3.3.3 доказано, что нетривиальные скалярные дифференциальные инварианты определены в^р, при к > 3 (теорема 3.6). Мы ограничиваемся исследованием алгебры, А всех скалярных дифференциальных инвариантов, определенных в подрас-слоении (//0012)1(ОгЬо) расслоения С этой целью мы находим два инвариантных векторных поля на (/?ОО)2)~1(0гЬц) линейно-независимых в каждой точке. С помощью них строится семейство образующих этой алгебры и полное семейство дифференциальных соотношений между образующими (теорема 3.7).

В разделе 3.4 изучаются геометрические структуры на решениях системы уравнений 2-мерной газовой динамики.

Характеристческие ковекторы этой системы порождают, см. [78], на каждом ее решении, рассматриваемом как 3-мерная поверхность, геометрическую структуру, которая состоит из 2-мерной плоскости и 2-мерного конуса в каждом кокасательном пространстве к этому решению, пересекающихся только в нуле.

В разделе 3.4.1 мы рассматриваем естественное расслоение р таких геометрических структур в пространстве Е3.

В разделе 3.4.2 строятся дифференциальные инварианты этих структур при помощи подхода к построению дифференциальных инвариантов, изложенного в главе 2.

В результате мы получаем, что на J1 ¡-л определен структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка (раздел 3.4.2).

В разделе 3.4.3 доказывается, что на решениях системы уравнений 2-мерной газовой динамики этот структурный инвариант является векторнозначной дифференциальной 2-формой, определяемой формулой (3.45). Далее мы доказываем, что на каждом решении системы уравнений 2-мерной газовой динамики определен дифференциальный инвариант — линейная связность, для которой полученная форма является тензором кручения (теорема 3.12).

Далее, в разделе 3.4.4, показано (теорема 3.13), что для всякого решения со связностью без кручения (u, v, p, p) системы уравнений 2-мерной газовой динамики скорость (u, v) потока газа является комплексно-аналитической функцией по х и у.

Наконец, в этом разделе для случая политропного потока газа постоянного обьема вычисляется широкий класс явных решений со связностями без кручения.

В разделе 3.5 изучаются геометрические структуры на решениях системы уравнений 3-мерной газовой динамики.

Характеристческие ковекторы этой системы порождают, см. [78], на каждом ее решении, рассматриваемом как 4-мерная поверхность, геометрическую структуру, которая состоит из 3-мерной плоскости и 3-мерного конуса в каждом кокасателыюм пространстве к этому решению, пересекающихся только в нуле.

В разделе 3.5.1 рассматривается естественное расслоение ц таких геометрических структур в пространстве К4.

В разделе 3.5.2 строятся дифференциальные инварианты этих структур с помощью подхода к построению дифференциальных инвариантов, изложенного в главе 2. В результате мы получаем (раздел 3.5.2), что на J1^ определен структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка.

Этот инвариант порождает на каждом решении системы уравнений 3-мерной газовой динамики структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка (раздел 3.5.3, формула (3.65)).

Наконец, в разделе 3.5.4 для случая политропного потока газа постоянного обьема вычисляется широкий класс явных решений, для которых структурный инвариант 1-го порядка равен нулю.

Глава 4 посвящена уравнениям Хохлова-Заболотской, нестационарного трансзвукового потока газа и уравнению коротких волн.

В разделе 4.1 мы приводим все необходимые сведения из дифференциальной геометрии, касающиеся метрик и их классических дифференциальных инвариантов. В разделе 4.2 исследуется уравнение Хохлова-Заболотской, см. [49],.

Щх ~ (иих)х — иууuzz — 0. (0.2).

В разделе 4.2.1 мы рассматриваем это уравнение как нелинейный дифференциальный оператор 2-го порядка А, действующий на сечениях расслоения тг: R4 х R —> R4, тг: (t, x, y, z, u) -> (t, x, y, z). по формуле.

А = ¥->д о 32, где </?д — функция на многообразии 2-джетов J2ir сечений расслоения 7 г, определяемая левой частью уравнения (0.2) ip&(t, x, y, z, u, ut,., uzz) = utx — иихх — uvy — uzz — u2x) a j-2 — линейный дифференциальный оператор, действующий из сечений расслоения 7 Г в сечения расслоения 7Гг: J27Г —> R4, 7Г2: —> р, по формуле j^Sij)) = j2S, где Sсечение расслоения п.

Всякое решение u (t, x, y, z) уравнения Хохлова-Заболотской можно отождествить с сечением S: (t, x, y, z) i—> (t, x, y, z, u (t, x, y, zj) расслоения 7 Г. В результате множество решений уравнения (0.2) совпадает с множеством таких сечений S расслоения 7 Г, что A (S) = 0.

В разделе 4.2.2 исследуются символы оператора Д. Мы доказываем (теорема 4.1), что Smblo2 Д естественным образом отождествляется с метрикой Минковского д (в2)= Audt2 + Adtdx — dy2 — dz2 на касательном пространстве Тр к базе расслоения 7 г в точке р = ^2(62)-В результате, мы получили поле горизонтальных метрик на J27r д: J2-k -—> Т* 0 Г*, д: д2^д (92).

Пусть S произвольное решение уравнения (0.2). Через L^ обозначим образ сечения J2S: р jpS расслоения П2- Тогда ограничение.

9s — dг (2) = 4u (t, х, у, z) dt2 + 4dtdx — dy2 — dz2 является метрикой Минковского на многообразии Lg ассоциированом с решением (теорема 4.2). Поскольку проекция tt2 отображает многообразие L^ на область определения сечения S диффеоморфно, то можно считать, что метрика gs определена на этой области.

В разделе 4.2.4 мы используем классические дифференциальные инварианты метрик для нахождения явных решений уравнения (0.2). На этом пути получены:

1) решения с локально-плоскими метриками (локально-плоские решения), т. е. решения, метрики которых имеют нулевой тензор кривизны,.

2) решения, метрики которых обладают нулевым тензором Риччи (Риччи-плоские решения),.

3) решения с конформно-плоскими метриками (конформно-плоские решения), т. е. решения, метрики которых имеют нулевой тензор Вейля,.

4) решения с проективно-плоскими метриками (проективно-плоские решения), т. е. решения, метрики которых обладают следующим свойством: в некоторой окрестности каждой точки решения существуют локальные координаты, в которых геодезические линии метрики являются прямыми.

5) решения, являющиеся многообразиями Эйнштейна, т. е. решения, метрики которых пропорциональны их тензорам Риччи.

В разделе 4.3 точно так же, как уравнение Хохлова-Заболотской, исследуется (теоремы 4.3 и 4.4) уравнение нестационарного трансзвукового потока газа, см. [23],.

2 V>tx tl’x’U’zx.

— иуу — uzz — 0.

Точно так же, как для уравнения (0.2), мы используем классические дифференциальные инварианты метрик Минковского на решениях этого уравнения для нахождения явных решений.

Наконец в разделе 4.3 исследуется (теоремы 4.5 и 4.6) уравнение коротких волн, см. [23],.

2utx — 2{х + их) ихх + uyv 4- 2ких = 0, к = 0,1 точно так же, как выше мы исследовали уравнение Хохлова-Заболотской и уравнение нестационарного трансзвукового потока газа.

Точно так же, как для этих уравнений, мы используем классические дифференциальные инварианты метрик на решениях уравнения коротких волн для нахождения явных решений.

Единственное отличие заключается в следующем. Решения уравнений Хохлова-Заболотской и нестационарного трансзвукового потока газа являются, как многообразия, 4-мерными, в то время как решения уравнения коротких волн — 3-мерные. Поэтому тензор Вейля на всех решениях уравнения коротких волн равен тождественно нулю. За конформную плоскостность метрики в этом случае отвечает тензор Вейля-Схоутена, см. [74]. Этот тензор является дифференциальным инвариантом 3-го порядка в отличие от тензора Вейля, который является дифференциальным инвариантом 2-го порядка.

Глава 5 посвящена дифференциальным инвариантам и решению проблемы эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения относительно контактных преобразований.

Уравнением Монжа-Ампера называется следующее нелинейное уравнение в частных производных 2-го порядка хххгуу — г2ху) + Агхх + Вгху + Сгуу + В — 0 .

Уравнение Монжа-Ампера можно рассматривать как подмногообразие? в расслоении 2-джетов 32 т сечений расслоения г: Е2хК—т: (х, у, г) -" (х, у) .

В разделе 5.1.2 представлено геометрическое определение понятиям гиперболическое, параболическое и эллиптическое уравнение.

В разделе 5.1.3 мы выводим (предложения 5.1 и 5.2) непосредственно из геометрии расслоения У2г, известноный результат (см. [61]), что каждое гиперболическое уравнение Монжа-Ампера? естественно отождествляется с парой 2-мерных, косоор-тогональных подраспределений и Х>| контактного распределения (распределения Картана) С на ,/1г. Отсюда следует в частности, что проблема эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований сводится к проблеме эквивалентности пар 2-мерных, косоортогональных подраспределений распределения С относительно контактных преобразований.

В разделе 5.2 исследуется расслоение 7 Г гиперболических уравнений Монжа-Ампера, естественное относительно контактных преобразований. Мы исследуем орбиты общего положения (теорема 5.1) относительно действия контактных преобразований в расслоениях джетов к — 2,3, и оцениваем число независимых образующих алгебры скалярных дифференциальных инвариантов в окрестности точки общего положения (теорема 5.2).

В разделе 5.3, получено известное (см. [61]) разложение касательного расслоения к ,]гт в прямую сумму подраспределений.

Т (^т) = ъ е е т>, где является 1-мерным распределением па 3х т и (Т)^1) — 1-я производная распределения 1>?. Это позволяет рассмотривать проекторы:

Рхи-ПМ) —?=1,2,3, на распределения и 2)| а также на производные распределения (Ф¹), и на распределение Картана С:

Рц^гГСМ)—>В'ефФ3?,? = 1,2, Рц с '¦ т{м) —> с = ® ъ.

Эти проекторы можно представить как векторнозначные дифференциальные 1-формы:

Рц ! = со1 <8> XI + и1 ® Х2, Рг] 2 = и3 <8> Х3 + ш4 ® Х4, Рц з = ш5 <8> Хь, Рц V = Рц+ Рг] з, з = 1, 2, Рц с = Рц! + Рц 2, где Х, Х2, ¦ ¦ ¦, Хъ — векторные поля, а си1, ш2, ., ш5 — дифференциальные 1-формы на г такие, что.

Ъ = (ХиХ2), Ъ1 = (Х3,Х4), Т>3г = (Х5),.

Это формы являются дифференциальными инвариантами 1-го порядка уравнения Монжа-Ампера ?.

Затем в разделе 5.3.3 мы рассматриваем векторнозначные дифференциальные 2-формы, являющиеся формами кривизны распределений Т), 2)|, (З)^1), и С:

Пх = и1 Дш2 ®-ХЪ, П2 = -о-3 Л со4 0 Х5, П = — (Ь^ш1 + Ьъи2) Л ш5 ® — {Ъ^ш1 + Ъьи2) Л юъ ® Х4, П = ~{Ььи? + Ъъ а-4) Аш5®-^ - (Ь³ + Ь⁴) Да-5®Х2,.

П = тг2 + 7г2, где коэффициенты Щк определяются из формулы [X,-, = ^?=1 Щк^-хЭто формы кривизны являются дифференциальными инвариантами 2-го порядка уравнения Мон-жа-Ампера.

Далее в разделе 5.3.4, применяя естественные операции линейной алгебры и тензорного анализа к проекторам и формам кривизны, мы получаем множество новых дифференциальных инвариантов. В частности, применяя операцию свертки Л, получаем в явном виде обе образующие I1 и I2 алгебры скалярных дифференциальных инвариантов 2-го порядка уравнений Монжа-Ампера (теорема 5.3 и предложение 5.3):

11 = А12/А1 и I2 = Л12/Л2, где коэффициенты Лх, Л2 и Лх2 находятся из соотношений п J 7га) л (тг J тг. а) = 2Л1 ш1 л. л шъ ® хъ, (п J тг2) J (п J п2) = 2Л2 ш1 л. л ш5 ® ,.

П J Их) J (тг{ J П2) = А^и1 А. А и5 ® Х5 .

В разделе 5.3.5 показано (теорема 5.4), что множество гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения естественным образом распадается на три подкласса аналогично тому, как множество всех уравнений Монжа-Ампера распадается на гиперболические, параболические и эллиптические уравнения.

В разделе 5.3.6, применяя операции тензорной алгебры и анализа к полученным инвариантам, мы доказываем (формулы (5.35), (5.38)), что всякое гиперболическое уравнение Монжа-Ампера общего положения порождает естественным образом инвариантный абсолютный параллелизм на «Яг, то есть инвариантные дифференциальные 1-формы П1, С12, ., О, 5, на 3хт линейно-незавсимые в каждой точке.

В разделе 5.3.7, применяя операции тензорной алгебры и анализа к полученным инвариантам, мы находим множество скалярных дифференциальных инвариантов 3-го порядка (формулы (5.39), (5.40)). Мы находим (теорема 5.5) среди всех полученных скалярных инвариантов 5(= dim JV) функционально независимых инвариантов I1, Г2, ., /5. Эти инварианты порождают инвариантную систему координат I — (J1,., I5) в JV.

Наконец, в последнем разделе решается проблема эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения относительно контактных преобразований. А именно, доказывается (теорема 5.6), что уравнения Монжа-Ампера общего положения? и? локально контактно эквивалентны тогда и только тогда, когда выражения соответствующих инвариантных дифференциальных форм Q1 и Пг, г — 1, 2,., 5, порождающих абсолютные параллелизмы для этих уравнений, в инвариантных системах координат I и I совпадают.

В главе 6 мы исследуем дифференциальные инварианты нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка у" = а (х, у) у'3 + Ь (х, у) у'2 + с (х, у) у' + d (x, у) (0.1) относительно точечных преобразований.

В разделе 6.1 мы отождествляем каждое уравнение? вида (0.1) с сечением Sz.

Sz: (xty) (х, у, а°(х, у), а1 (ж, у), а2(х, у), а3(х, у)) тривиального расслоения.

7Г: R2 х ]R4 -—> R2, 7Г: (ж1, х2, и1,., и4) -> (хх, х2).

Это отождествление является биекцией множества всех рассматриваемых уравнений на множество всех сечений расслоения 7 Г. Поскольку всякое точечное преобразование переменных х и у преобразует каждое уравнение (0.1) в уравнение того же вида, см. [2], то в силу нашего отождествления, всякое точечное преобразование порождает преобразование сечений расслоения 7 г. Иными словами, всякое точечное преобразование / базы расслоения 7 г естественным образом поднимается до диффеоморфизма тотального пространства расслоения 7 Г. Таким образом, расслоение тг уравнений (0.1) является естественным. Дифференциальный порядок этого расслоения равен 2.

Диффеоморфизм естественно поднимается до диффеоморфизма расслоения Зк, к всех /с-джетов сечений расслоения 7 г, к — 0,1,., оо. Таким образом, псевдогруппа Г всех точечных преобразований базы расслоения 7 Г естественным образом действуют на каждом расслоении «7*7Г своими поднятыми преобразованиями.

В раздел 6.2 мы описываем алгебры изотропии точек 9 к расслоения 7к7г для к = 0,1,2,3, см., в частности, теоремы 6.1 и 6.2). Это приводит (теорема 6.3) к описанию орбит действия псевдогруппы Г на расслоениях в терминах алгебр изотропии. В частности получено следующее:

1. «7*71», к = 0,1, является орбитой действия Г,.

2. 727 г — объединение двух орбит: орбиты общего положения ОгЬд и вырожденной орбиты ОгЬ2 коразмерности 2. Вырожденная орбита состоит из 2-джетов таких сечений, что соответствующие им уравнения линеаризуются точечными преобразованиями. 1.

3. 737 г — объединение 4-х орбит: орбиты общего положения ОгЬд и вырожденных орбит ОгЬ3, ОгЬ>2 и ОгЬе коразмерностей 1, 2, 6 соответственно.

Поскольку расслоения ,/07г и^тг являются орбитами действия псевдогруппы Г, то нетривиальных дифференциальных инвариантов на этих расслоениях нет. Поскольку расслоение </27г разбито на две орбиты, то первые нетривиальные дифференциальных инварианты определены на </27г. Поэтому далее (раздел 6.3.1), следуя общему подходу к построению дифференциальных инвариантов, изложенному в главе 2, мы исследуем пространства формальных симметрий Ад2 точек € ./2тг. В частности, исследуется 2-форма и>н, определенная горизонтальным пространством Н С Ад2 (см. формулу (2.21)). Компоненты нулевого порядка форм шц порождают тривиальный структурный дифференциальный инвариант на 727 Г (следствие 6.2). Анализ компоненты первого порядка (теоремы 6.4 и 6.5) формы шц приводит к выделению естественного класса горизонтальных пространств в Ле2, для которых компоненты первого порядка форм шн равны нулю, а компоненты второго порядка форм и>ц не зависят от выбора горизонтального прстранства Н из этого класса (теорема 6.6) и определяют тензорный дифференциальный инвариант и>2 = сон на 727 г.

В стандартных координатах расслоения </27г этот инвариант определяется формулой ш2 = (Ьг в! + Ь2 е2) <8> (йх1 Л йх2), где д д е = 2— <8) {¿-х1 О д. х1) 4- — (8) (¿-ж1 О йх2), аж1 <9ж2.

9 д е2 = 2— ® (с1×2 О ¿-о-2) + — ® (<1×1 О ¿-ж2), ах2 ох1 а коэффициенты ?1 и Ь2 определяются формулами (6.19).

Дифференциальный инвариант и2 различает орбиты расслоения 32ъ (теорема 6.8) и, в частности, является препятствием к линеаризуемости уравнений (6.1) точечными преобразованиями (предложение 6.3).

Наконец в этом разделе, применяя операцию тензорной алгебры — свертки по верхнему и первому нижнему индексам к и2, мы получаем тензорный дифференциальный инвариант а2 = {Ь^х1 + Ь2йх2) <8> (¿-х1 А (1×2), известный как форма Лиувилля [57]. Прообраз этой формы при той же операции дает тензорный дифференциальный инвариант.

Р2 = (^(^¿-т — ® № Л с^х2)2 .

В разделе 6.3.2 мы строим тензорные дифференциальные инварианты на подрас-слоении расслоения </37г, которое является прообразом (7Гз)2)1(ОгЬц) орбиты общего положения ОгЬд. Анализ пространств формальных симметрий Аол точек вз из этого подрасслоения и 2-форм шц, определенных горизонтальными пространствами Н с Л^, приводит к выделению естественного класса горизонтальных пространств Н С Авг, для которых компоненты первого порядка форм шц равны нулю (теорема 6.9), а компоненты второго порядка форм и>н не зависят от выбора горизонтального прстранства из этого класса и порождают тензорный дифференциальный инвариант ш2 (предложение 6.5). Исследование компонент третьего порядка форм шц (лемма 6.1, теорема 6.10) приводит к построению тензорного дифференциального инварианта со3 на (7Гз)2)1(ОгЬо) и3 = (Ф^! + Ф2е2) ® {йх1 А йх2)3, где коэффициенты Ф1 и Ф1 определяются формулами (6.39).

Далее, применяя свертку по верхнему и первому нижнему индексам к и3, мы получаем тензорный дифференциальный инвариант а3 = (Ф1¹ + Ф2dx2) ® (dx1 Л dx2)3.

Свертка тензоров ?2 и а3 приводит к известному тензорному дифференциальному инварианту, [57], и = ?2 J а3 = L3{dxl Л dx2f, где коэффициент L3 определяется формулой (6.21). Свертка тензоров ?2 и w3 приводит к тензорному дифференциальному инварианту.

7 = /?2 J а-3.

Инварианты w2, и и 7 полностью описывают орбиты расслоения J37г (теорема 6.11). Наконец, в этом разделе, применяя операции тензорной алгебры к полученным тензорным инвариантам, мы получаем известные дифференциальные инварианты 3-го порядка ¿-ц и ?2, которые являются векторными нолями на подрасслоении (7Гос-2)1(ОгЬо) расслоения J°°ir линейно-независимыми в каждой точке.

6 = «LlD2)' 6 = «ф1Дг)'.

В разделе 6.4 изучается алгебра, А скалярных дифференциальных инвариантов на подрасслоении расслоения J°°ty, являющимся прообразом (71−00,2)-1(Orbo) орбиты общего положения Orb3 в J3тт. Вначале мы в явном виде находим семейство I1, /2, ., /6 образующих алгебры А4 скалярных дифференциальных инвариантов порядка 4 (теорема 6.12 и формулы (6.48)). Затем, используя независимые дифференцирования и ?2, находим (теорема 6.13) среди 18 инвариантов алгебры скалярных дифференциальных инвариантов порядка 5 все 14 её образующих. Отсюда следует, что образующие алгебры A4 связаны 4-мя независимыми дифференциальными соотношениями 1-го порядка. Эти соотношения находятся в явном виде (формулы (6.51)). Наконец, мы доказываем (теорема 6.14), что полученное семейство образующих алгебры A4 является семейством образующих всей алгебры А, а найденные 4 независимых дифференциальных соотношения 1-го порядка образуют полное семейство дифференциальных соотношений между этими образующими, т. е. любое другое дифференциальное соотношение между образующими I1, /2, ., I6 является (дифференциальным) следствием найденных дифференциальных соотношений 1-го порядка.

В последнем разделе 6.5 мы решаем проблему эквивалентности для уравнений ?, для которых 3-джеты соответствующих им сечений ¿-а принадлежат орбите общего положения ОгЬд (теоремы 6.15, 6.16 и 6.17). Отметим, что среди этих уравнений находятся все уравнения (0.1) общего положения.

В глава 7 получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3, а также получено решение проблемы локальной эквивалентности этих уравнений относительно контактных преобразований.

Известно см., например, [7], что все линейные ОДУ порядка п < 2 локально эквивалентны между собой. Для линейных ОДУ порядка п > 3 существует бесконечное множество различных классов эквивалентности.

В разделе 7.1 собраны необходимые предварительные сведения о линейных обыкновенных дифференциальных уравнениях.

В разделе 7.2 Мы доказываем (теорема 7.1), что размерность алгебры точечных симметрий линейного ОДУ является инвариантом контактных преобразований линейных ОДУ.

Известно, см. [66], что размерность алгебры Р^? точечных симметрий линейного ОДУ п-го порядка равна либо п + 4, либо п + 2, либо п + 1.

Т.о. проблема локальной эквивалентности линейных ОДУ распадается на три части, в соответствии с размерностью алгебры точечных симметрий.

Известно, см. [25], [72] и [98], что всякое линейное ОДУ подходящим точечным преобразованием приводится к виду.

У{п) = ап-3(х) у^ + ап,(х) у^ +. + а0(х)у, (0.3) который называется формой Лагерра-Форсайта исходного уравнения.

В результате проблема локальной эквивалентности линейных ОДУ сводится к проблема локальной эквивалентности линейных ОДУ в форме Лагерра-Форсайта.

В разделе 7.3 мы доказываем (теорема 7.2), что уравнение у^ — 0 является формой Лагерра-Форсайта для любого линейного ОДУ с п + 4 — мерной алгеброй точечных симметрий. Тем самым решаем проблему локальной эквивалентности линейных ОДУ с п + 4 — мерной алгеброй точечных симметрий.

В разделе 7.4 для линейных ОДУ с алгебрами точечных симметрий размерностей п + 2 и п + 1 доказывается (теорема 7.3), что всякое контактное преобразование таких уравнений является точечным преобразованием. Это позволяет в разделе 7.5 свести (теорема 7.4) проблему локальной эквивалентности линейных ОДУ к проблеме локальной эквивалентности линейных ОДУ в форме Лагерра-Форсайта относительно точечных преобразований вида х = /(х) = —У = У1, р, 7, сек, 0.4.

7 х + о 11.

Далее в разделе 7.6 мы отождествляем каждое уравнение? Лагерра-Форсайта (0.3) с сечением.

5е: х I—> (ж, а"3(ж), ап3(ж), ., а0(ж),) тривиального расслоения г: КхК" «2—т: (х, а&bdquo-3, а&bdquo-4, ., о0) х, п > 3.

Это отождествление порождает естественное поднятие проективных преобразований.

5 =/(я) =, а,/?, 7,?6М, йеьГ (0.5).

7 х + о гу $ I базы Е1 расслоения т в тотальное пространство Е = №.х К" -2 этого расслоения.

Т.о. мы сводим (теорема 7.5) проблему локальной эквивалентности линейных ОДУ (0.3) относительно преобразований вида (0.4) к проблеме локальной эквивалентности сечений расслоения т относительно группы С проективных преобразований (0.5) базы М1 этого расслоения.

Далее мы вычисляем (предложение 7.5) алгебру Рц в проективных симметрий сечения 5 расслоения т. Оказывается, что размерность алгебры Р^ 5 равна либо 3, либо 1, либо 0, а размерности алгебр Pnt? и Prj Sg связаны уравнением dimPnt? = dim Prj Sg + n + 1.

Далее в разделе 7.6.3 мы доказываем, что тотальное пространство Е расслоения т является объединением инвариантных относительно преобразований непересекающихся подмножеств.

Е = Епз U £п4 U. U Е0 U, где Ei = { (ж, 0, ., О, аи ., о0) G? | а{ ф 0 }, = {(ж, 0, ., 0) е Е} и п — 3 > г > 0. В результате всякое сечение расслоения т является сечением какого-нибудь из инвариантных подрасслоений т1 = tei: Е{ —> R1 .

Мы доказываем (теорема 7.6), что симметричная дифференциальная (п-г)-фориа u>i = ai{dx)n~lEt является дифференциальным инвариантом расслоения тг. С помощью этой формы доказывается (теорема 7.7), что векторное поле = Dx на J°°t1 является дифференциальным инвариантом расслоения т1 относительно подгруппы G+ С G, являющейся связной компонентой единицы группы G.

Далее находим (теорема 7.8) полное описание алгебры Ai всех скалярных дифференциальных инвариантов расслоения тг относительно подгруппы G+, то есть мы находим семейство образующих /г, ., этой алгебры и показываем, что между ними нет дифференциальных соотношений. Тем самым мы даем полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно точечных преобразований.

Затем мы доказываем (теорема 7.9), что если S — сечение расслоения т1 такое, что dim Prj S — 1, и /? Ai, то ограничение Is инварианта / на образ сечения j^S: р —> j^S являются константой.

В разделе 7.6.5 проблема локальной эквивалентности сечений расслоения тг относительно группы G сводится (предложение 7.8) к проблеме локальной эквивалентности этих сечений относительно подгруппы G+. Последняя решается следующим образом (теорема 7.10 и следствие 7.5).

Пусть р и р — точки из областей определения сечений.

S: х —" (ж, 0,., 0, Oj (ж),——ао (ж)) и S: х —" (ж, 0,., 0, щ (х),., а0(ж)) соответственно. Тогда:

1. Если dimPrj S = dimPrj S = 1, то S и S эквивалентны в окрестностях точек р и р тогда и только тогда, когда ai (p) • <�к (Р) > 0, и = m = i, i- 1,., 0.

2. Если dimPrj S =¦ dimPrj S — 0, то S и 5″ эквивалентны в окрестностях точек р и р тогда и только тогда, когда аг (р) ¦ (ц{р) > 0 и решение / задачи Коши = >, т=р в некоторой окрестности точки р удовлетворяет уравнениям.

I$of = I™, m = г, г — 1,., 0 .

В Приложении представлены в качестве примера некоторые программы в компьютерно-алгебраической системе REDUCE, с помощью которых получены дифференциальные инварианты уравнений Монжа-Ампера, вычислены пространства формальных симметрий и алгебры изотропии в главе 6 и других главах.

1. Алексеевский Д. В., Виноградов A.M., Лычагин В. В., Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 28 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР) М., 1988, 289 с.

2. Арнольд В. И., Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика Удмуртский государственный университет, 2000, 400 с.

3. Babich M.V. and Bordag L.A., Projective differential geometrical structure of the Painleve equations// J. Dif. Equations, V.157, No.2, pp.452−485, (1999).

4. Веркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений. Методы и приложения. Москва: НИЦ «Рагулярная и хаотическая динамика», 2002, с. 464.

5. Bernard D. Sur la geometrie differentielle des G-structures// Ann. Inst. Fourier, 10, 1960, pp. 151−270.

6. Бляшке В., Введение в геометрию тканей, Физматгиз, Москва, 1959, 144 с.

7. Cartan Е. Sur les varietes a connexion projective// Bull. Soc. Math. France 52 (1924), 205 241.

8. Catalano Ferraioli D. and Vinogradov A. M., Differential invariants of generic parabolic Monge-Ampere equations// The Diffiety Inst. Preprint Series DIPS 3/2008, November, 26, 2008, pp. 24.

9. Chern S.-S., The geometry of differential equation y'" = F (x, y, y', y")// Sci. Rep. Nat. Tsing Hua Univ. 4 (1950) 97−111.

10. Chern S.-S., Projective geometry, contact transformations, and СR-structures// 1982, Arch. Math. Vol. 38, pp. 1 5.

11. Ферапонтов E.B., Системы трех дифференциальных уравнений гидродинамического типа с шестиугольной 3-тканъю характеристик на решениях// Функци-он. анализ и его прил. 1989, т. 23, вып. 2, с. 79−80.

12. Ферапонтов Е. В., Интегрирование слабонелинейных полугамилътоновых систем гидродинамического типа методами теории тканей// Мат. сборник, 1990, т. 181, № 9, 1220−1235.

13. Ферапонтов Е. В., Уравнения гидродинамического типа с точки зрения теории тканей! I Мат. заметки, 1991, т. 50, вып. 5, 97−108.

14. Gardner R.B., Differential geometric methods interacting control theory// pp.117−180, in Brockett R.W. et al., Eds., Differential geometry control theory, Birkhauser, Boston, (1983).

15. Gardner R.B., The Method of Equivalence and Its Application, Society for industrial and applied mathematics, Philadelphia, Pennsylvania, 1989, pp. 127.

16. Goursat E., Lecon sur l’integration des equations aux derivees partielles du second order a deux variables independentes, I, II// Hermann, Paris, 1896, 1898.

17. Guillemin V., Sternberg S., An algebraic model of transitive differential geometry// Bulletin of the AMS, Vol. 70, No. 1, pp. 16 47, 1964.

18. Grissom C., Thompson G., and Wilkens G., Linearization of second order ordinary differential equations via Cartan’s equivalence method// J. Differential Equations, Vol. 77, pp.1—15, (1989).

19. Halphen G.-H. Memoires sur la reduction des equations differentielles lineaires aux formes integrables// Memoires presentes par duvers savants a l’Acad. des sci. de l’inst. math, de Prance, Vol. 28, No. 1, pp. 1−301, 1884.

20. Hsu L. and Kamran N., Classification of second-order ordinary differential equations admitting Lie groups of fiber-preserving point symmetries// Proc. London Math. Soc., Vol. 3, No. 58, pp.387−416, (1989).

21. Ибрагимов H.X., Группы преобразований в математической физике — М.: Наука, 1983, 280 е.,.

22. Ibragimov N.H. (ed), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 1, Symmetries, exact solutions, and conservation laws, CRC Press, Boca Raton, 1994, pp. 429.

23. Ibragimov N.H. (ed), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 3, New trends in theoretical developments and computational methods, CRC Press, Boca Raton, 1996, pp. 536.

24. Ivey Т., Landsberg J., Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Differential Systems, Graduate Studies in Mathematics Vol. 61, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2003, pp. 392.

25. N. Kamran, K.G. Lamb, and W.F. Shadwick, The local equivalence problem .for d? y/dx2 = F (x, y, dy/dx) and the Painleve transcendents// J. Dif. Geometry, Vol. 22, 139−150, (1985).

26. Кильп X.O., Две квазилинейные системы S^ из механики с шестиугольной три-тканыо характеристик (геометрическая теория)// Уч. зап. Тартуск. гос. ун-та, 1975, Т.374, С. 63−78.

27. Кириллов А. А., Лекции по методу орбит, Новосибирск: Научная книга, 2002.

28. Кобаяши Ш., Группы преобразований в дифференциальной геометрии, Москва, «Наука», 1981, с. 224.

29. Кобаяши Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, Том I, II, Москва, «Наука», 1981, 344 е., 414 с.

30. Kolar I., Michor P., Slovak J. Natural operations in differential geometry, Springer, 1993, pp.437.

31. Киряков П. П., Сенатов С. И., Яхно А. Н., Приложение симметрии и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений, Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2001, 192 с.

32. Кругликов B.C., Некоторые классификационные проблемы в четырехмерной геометрии: распределения, почти комплексные структуры, уравнения Монжа-Ампера// Мат. Сборник, 1998, том 189, № 11, стр. 61−74, e-print: http://xxx.lanl.gov/abs/dg-ga/9 611 005.

33. Кругликов B.C., Симлектические и контактные алгебры Ли с применением к уравнениям Монжа-Ампера// Труды мат. инст. имени В. А. Стеклова, 1998, том 221, стр.232−246, e-print: http://xxx.lanl.gov/abs/dg-ga/9 709 004.

34. Kruglikov В., Classification of Monge-Ampere equations with two variables// in: Geometry and topology of caustics—CAUSTICS '98 (Warsaw) — Banach Center Publications, 50, 179−194 (1999).

35. Kruglikov В., Lychagin V.V., On equivalence of differential equations// Acta et Comment. Univ. Tartuensis Math. (1999), 3, pp. 7−29.

36. Kruglikov B.S., Lychagin V.V., Invariants of pseudogroup actions: Homological methods and Finiteness theorem// Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. V.3, No. 5−6, (2006), 1131−1165.

37. Kruglikov B.S., Lychagin V.V., Geometry of Differential equations// prep. IHES/M/07/04- in: Handbook of Global ANalysis, Ed. Krupka D., Saunders D., Elsevier (2008), 725−772.

38. Kruglikov В., Point classification of 2nd order ODEs: Tresse classification revisited and beyond, arXiv:0809.4653vl.

39. Krupka D., Janyska J., Lectures on differential invariants, Univerzita J.E. PurkynE v BrnE, 1990, pp. 193.

40. Kumpera A., Invariants differentiels d’un pseudogroupe de Lie. 1-Й// J. Differential Geometry 10 (1975), no. 2, 289−345- 10 (1975), no. 3, 347−416.

41. Курант Р., Уравнения с частными производными, Москва, «Мир», 1964, 830 с.

42. Kushner A., Classification of mixed type Monge-Ampere equations// Geometry in Partial Differential Equations. (1993) pp. 173−188.

43. Kushner A., Symplectic geometry of mixed type equations/ / in Amer. Math. Soc. Transi., «The interplay between geometry and differential equations V.V.Lychagin Dds., ser. 2, 167 (1995) pp. 131−142.

44. Kushner A., Monge-Ampere equations and e-structures// Dokl. Akad. Nauk 361:5 (1998), 595−596.

45. Kushner A., Almost product structures and Monge-Ampere equations// Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 23, 2006, pp. 151−181.

46. Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V., Contact Gometry and Non-linear Differential Equations Cambridge University Press, (2007) pp.496.

47. Laguerre E., Sur les equations differentielles lineaires du troisieme ordre// Comptes Rendus. Acad. Sei. Paris, Vol. 88, pp. 116−119, 1879.

48. Lie S., Uber einige partielle Differential-Gleichung en zweiter Orduung/ / Math. Ann. 5 (1872), 209−256.

49. Lie S., Begrundung einer Invarianten-Theorie der Вeruhrungs-Transformationen// Math. Ann. 8 (1874), 215−303.

50. Lie S., Uber Differentialinvarianten// Math.Ann. 24, No. 1 (1884).

51. Lie S., Classification und integration von gewohnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten// Math. Ann. 32 (1888), 213−281.

52. Lie S., Vorlesungen uber continuierliche gruppen, Teubner, Leipzig, (1893).

53. Lie S., Theorie der transformations gruppen, Vol. III, Teubner, Leipzig, (1930).

54. Liouville R., Sur les invariantes de certaines equationes differentielles// Jour, de l’Ecole Politechnique, Vol. 59, 1889, pp. 7−88.

55. Лычагин В. В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка// Успехи Мат. Наук, 1979, том 34, № 1, стр. 101−171.

56. Лычагин В. В. Геометрическая теория особенностей решений нелинейных дифференциальных уравнений// Итоги Науки и Техники, Сер. Проблемы геометрии, ВИНИТИ, т. 20 (1988), с.207−247.

57. Лычагин В. В. Однородные структуры на многообразиях// Мат. Заметки, 521 992), N4, с.54−68.

58. Lychagin V.V., Lectures on geometry of differential equations, Universita «La Sapienza Roma, 1992, 133 p.

59. Lychagin V.V., Homogeneous geometric structures and homogeneous differential equations// AMS Translations, Advances in Math. Sci., Ser.2, v.167, (1995), p.143−164.

60. Lychagin V.V. and Roubtsov V.N., On Sophus Lie theorems for Monge-Ampere equations// Dokl. Akad. Nauk BSSR 27:5 (1983), 396−398.

61. Lychagin V.V. and Roubtsov V.N., Local classification of Monge-Ampere differential equations// Dokl. Akad. Nauk SSSR 272:1 (1983), 34−38.

62. Lychagin V.V., Rubtsov V.N., Chekalov I.V., A classification of Monge-Ampere equations// Ann. Sc. Ecole Norm. Sup. (4) 26 (1993), 281−308.

63. Mahomed F.M., Leach P.G.L., Symmetry Lie algebras of nth order ordinary differential equations// J. Math. Analysis and Appl., 151, 80−107, 1990.

64. Mahomed F.M., Symmetry Lie algebras of nth order ordinary differential equations, Ph. D thesis, Faculty of science, University of the Witwatersrand, Johannesburg, 1989.

65. Morimoto Т., La geometric des equations de Monge-Ampere// C. R. Acad. Sci. Paris A-B 289:1 (1979), A25-A28.

66. Morimoto Т., Geometric structures on filtred manifolds// Hokkaido Math. J. 22,1993) 263−347.

67. Morimoto Т., Мопде-Атрёге equations viewed from contact geometry, in: Symplectic Singularities and Geometry of Gauge Fields, 105−121, Banach Center Publ., 39, Polish Acad. hSci., Warsaw, 1997.

68. Munoz J., Muriel F.J., Rodriguez J., On the finiteness of differential invariants// J. Math. Anal. Appl. 284 (2003), no. 1, 266−282.

69. Neuman F., Global properties of linear ordinary differential equations, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.

70. Newlander A. and Nirenberg L., Complex analytic coordinates in almost complex manifolds// Ann. of Math., Vol. 65, pp. 391−404 (1957).

71. Новиков С. П., Тайманов И. А., Современные геометрические структуры и поля, Москва, Изд-во МЦНМО, 2005, 581 с.

72. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений, Москва, «Наука», 1978, 400 е.,.

73. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики, Москва, «Наука», 1981, 368 с.

74. О л вер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям, Москва, «Мир», 1989, 639 с.

75. Olver Peter J., Equivalence, Invariants, and Symmetry, Cambridge University Press, 1995, 525 pp.

76. P. Пале, Семинар no теореме Атьи-Зингера об индексе, Москва, «Мир», 1970, 359 с.

77. Palais R., Terng C.L., natural bundles have finite order// Topology, 16 (1977), 271−277.

78. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли, Москва, «Мир», 1983, 398 с.

79. Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, Москва, «Наука», 1967, 664 с.

80. Sharipov R., Effective procedure of point classification for the equationy" = P+3Qy' + 3Ry'2 + ¿-У3// Preprint, 1998, arXiv: http://xxx.lanl.gov/abs/math.DG/9 802 027.

81. Singer I.M., Sternberg S., On the infinite groups of Lie and Cartan, I// J. Analyse Math. Vol. 15, pp. 1−114, 1965.

82. Стернберг С., Лекции no дифференциальной геометрии, Москва, «Мир», 1970, 412 с.

83. Tchij O.P., Contact geometry of hyperbolic Monge-Ampere eqquations// Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 4, 1999, 109−162.

84. Thompson G, Cartan’s method of equivalence and second-order equation fields// Letter to the editor, J. Phys. A.: Math. Gen. Vol.18, L1009-L1015, (1985).

85. Thomsen G., Uber die topologischen Invarianten der Differentialgleichung y" = f{x, y) y'3 + g (x, y) y'2 + h (x, y) y' + k (x, y)// Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. Vol. 7, pp.301−328, (1930).

86. Tresse A., Sur les invariants differentiels des groupes continus de transformations// Acta Math. Vol. 18, pp. 1−88, (1894).

87. Tresse A., Determination des Invariants ponctuels de VEquation differentielle ordinaire du second ordre: y" = u (x, y, y')// pp. 88, Bei S. Hirzel, 'Leipzig, (1896).

88. Tunitskii D.V., Contact equivalence of Monge-Ampere equations with transitive symmetries// In Differential Geometry and Applications, Brno, (1995), pp. 479−485.

89. Туницкий Д. В., О контактной линеаризации уравнений Монжа—Ампера/ / Известия РАН Сер. Математическая, Т. 60, № 2, (1996), стр. 195−220.

90. Туницкий Д. В., Эквивалентность и характеристические связности уравнений Монжа-Ампера// Математический сборник, Том 188, № 5 (1997) стр. 131−157.

91. Туницкий Д. В., Уравнения Монснса-Ампера и функторы характеристической связности// Известия РАН Сер. Математическая, Т.65, № 6, (2001), стр. 173−222.

92. Туницкий Д. В., Уравнения Mонснса-Ампера и тензориальные функторы// Известия РАН Сер. Математическая, Т.73, № 6, (2009), стр. 145−194.

93. Вагнер В. В., Теория геометрических объектов и основания дифференциальной геометрии. Дополнение к кн. О. Веблен и Дж. Уайтхед, Основания дифференциальной геометрии, Москва, «Иностранная литература», 1949, 230 с.

94. Виноградов A.M., О геометрии параболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными// Доклады Академии Наук, Том. 423, No. 5, (2008), с. 588−591.

95. Виноградов A.M., Красильщик И. С., Лычагин В. В.

Введение

в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М., «Наука», 1986, 336 с.

96. Виноградов A.M., Красильщик И. С. ред. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики.- М.: Факториал, 1997, 464 с.

97. Vessiot Е. Sur l’integration des sistem differentiels qui admittent des groupes continus de transformations// Acta Math., 28, (1904), pp. 307−350.

98. Wilczynski E.J., Projective differential geometry of curves and ruled surfaces, B. G. Teubner, Leipzig, 1906.

99. Гусятникова В.H., Виноградов A.M., Юмагужин В. А., Вторичные дифференциальные операторы// ДАН СССР, 1985, Т. 283, Вып. 4, стр. 801 805.

100. Gusyatnikova V.N., Samokhin A.V., Titov V.S., Vinogradov A.M., Yumaguzhin V.A. Symmetries and conservation laws of Kadomtsev-Pogutse equations// Acta Applicandae Mathematicae, 1989, Vol. 15, pp. 23 64.

101. Виноградов A.M., Юмагужин В. А., Дифференциальные инварианты тканей на 2-мерных многообразиях// Мат. заметки, 1990, Т. 48, Вып. 1, стр. 46 68.

102. Гусятникова В. Н., Юмагужин В. А., Точечные преобразования и линеаризуемостъ обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка// Мат. заметки, 1991, Т. 49, Вып. 1, стр. 146 148.

103. Yumaguzhin V.A., Point transformations and classification of 3-order linear ODEs// Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 4, No. 3, pp. 403−410, 1996.

104. Yumaguzhin V. A. Classification of 3-rd order linear ODEs up to equivalence// Journal of Differential Geometry and its Applications Vol. 6, No. 4, pp. 343−350, 1996.

105. Yumaguzhin V.A., Differential invariants, webs and ordinary differential equations// Proc. of III International Workshop on Differential Inclusions and Control, Pereslavl-Zalessky, Russia, 1998, pp. 49 52.

106. Yumaguzhin V.A., Gusyatnikova V.N., Contact transformations and local reducibility of ODEs to the form y" '=0// Acta Applicandae Mathematicae, 1999, Vol. 56, No. 2, 3, pp. 155 179.

107. Юмагужин В. А., Локальная классификация линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Докл. Акад. Наук, Том. 377, No. 5, 2001, стр. 605 607.

108. Юмагужин В. А., Классификация линейных обыкновенных дифференциальных уравнений /// Дифференциальные уравнения, 2002, Том. 38, No.8, стр. 1063−1070.

109. Юмагужин В. А., Классификация линейных обыкновенных дифференциальных уравнений II/ / Дифференциальные уравнения, 2002, Том. 38, №.12, стр. 1627−1632.

110. Yumaguzhin V.A., Contact classification of linear ordinary differential equations// Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 72, No. ½, June 2002, pp. 155−181.

111. Юмагужин В. А., Юмагужина B.H., Интегрируемые структуры конечного типа, ИПС РАН, Программные системы: теория и приложения. Труды международной конференции, г. Переславль-Залесский, май, 2004, том 2, стр. 409−422.

112. Yumaguzhin V. A., On the obstruction to linearizability of 2-order ordinary differential equations// Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 83, No. 1−2, 2004. pp.133−148.

113. Юмагужин В. А., Интегрируемые структуры конечного типа// Фундаментальная и прикладная математика, Том. 10, No. 3−4, 2004, стр.255−269.

114. Виноградов A.M., Марван М., Юмагужин В. А., Дифференциальные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения// Доклады Академии Наук, Том. 405, No. 3, 2005, стр. 299−301.

115. Yumaguzhin V.A., Finite-type integrable structures// Journal of Mathematical Sciences, Vol. 136, No. 6, 2006, pp. 4401−4410.

116. Marvan M., Vinogradov A.M., Yumaguzhin V.A., Differential invariants of generic hyperbolic Monge-Ampere equations// Central European Journal of Mathematics, 5(1), 2007, pp. 105−133.

117. Yumaguzhin V., On the obstruction to integrability of almost-complex structures, (2008), arXiv:0804.0690vl.

118. Lychagin V., Yumaguzhin V., Minkowski metrics on solutions of the Khokhlov-Zabolotskaya equation! I Lobachevskii Journal of Mathematics, 2009, Vol. 30, No. 4, pp. 333−336.

119. Lychagin V., Yumaguzhin V., On geometric structures of 2-dimensional gas dynamics equations// Lobachevskii Journal of Mathematics, 2009, Vol. 30, No. 4, pp. 327−332.

120. Lychagin V., Yumaguzhin V., Minkowski metrics on solutions of the equation of nonstationary transonic gas flow// Proc. International Geometric Center, Vol. 21,2009), pp. 27−34.

121. Yumaguzhin V., Differential invariants of 2-order ODEs, I// Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 109, No. 1, 2010, pp. 283−313.