Распределенные системы как решеточные модели: Анализ пространственно-временного поведения и элементы управления динамикой

Заключение

.

Развитие теории динамических систем и многочисленные исследования нелинейных процессов показали, что хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы является всеобщим. В связи с этим возникла проблема предсказания поведения таких систем, которая тесно связана с проблемой управления их динамикой. Исследования в этом направлении показали, что многие хаотические системы поддаются управлению посредством малых внешних возмущений.

В данной диссертационной работе была разработана теория динамических систем с малым числом степеней свободы при периодическом параметрическом возмущении. После доказательства общих утверждений, эффективность развитой теории была продемонстрирована на примерах семейств квадратичных и экспоненциальных отображений. Показано, что данный метод менее подвержен влиянию шумов, чем ранее предлагаемые. Это существенно упрощает его использование в приложениях. Более того, в рамках данного подхода удалось разработать сценарий нахождения такого параметрического воздействия на исходную систему, чтобы оно приводило к стабилизации нужного предельного цикла.

Наряду с нелинейными системами с малым числом степеней свободы, хаотическое поведение было обнаружено для многих распределенных систем в физике, химии и биологии. При анализе этих систем были обнаружены такие явления, как синхронизация, образование сложных пространственных структур, пространственно-временной хаос и др. Одним из эффективных методов исследования подобных систем является дискретизация по пространству и/или времени. В этом случае говорят об анализе «сеточной», или «решеточной» модели. К таким моделям непосредственно приводит ряд задач турбулентности, теории синхронизации радиосистем, биологии, медицины. Более того, всякий численный эксперимент подразумевает подобную дискретизацию как по пространству, так и по времени.

В Главе 4 данной работы, с новой точки зрения рассмотрена динамика одномерных решеток диффузионно сцепленных одномерных отображений. Для изучения таких систем разработан принципиально новый метод анализа пространственно-временного поведения. Более того, проведено исследование влияния неоднородностей пространства на динамику всей решетки, причем рассмотрены различные типы неоднородности.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Построена качественная и количественная теория периодических параметрических возмущений хаотических отображений с малым числом степеней свободы.

2. Развита оригинальная техника, позволяющая в принципе найти аналитический подход к проблеме подавления хаоса и управлению поведением сложных динамических систем при помощи внешних возмущений.

3. Показано, что хаос в семействах квадратичных может быть подавлен путем мультипликативных периодических возмущений. Более того, доказано, что для семейств унимодальных отображений при определенных свойствах (см. Главу 3) можно стабилизировать наперед заданный цикл.

4. Разработан новый метод локального анализа регулярной и хаотической динамики цепочек связанных отображений. В отличие от ранее предлагаемых, он позволяет наглядно исследовать эволюцию областей синхронизации и «хаоса» распределенной среды. Эффективность данного метода продемонстрирована на примерах кольцевой и потоковой моделях диффузионно связанных квадратичных отображений.

5. Обнаружен ряд новых явлений глобального поведения кольцевой цепочки при наличии дефектов пространства. Найден пример неоднородной цепочки с чередующимися «хаотическими» дефектами, динамика которой синхронизируется при любых начальных условиях.

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю А. Ю. Лоскутову за формулировку темы диссертационной работы, постановку задач и живое участие в обсуждении результатов исследования. Я глубоко признателен С. Д. Рыбалко, за тесное научное сотрудничество при решении ряда конкретных задач. Особую признательность хочется выразить сотрудникам и компании «ИнтегПрог» за техническую поддержку при проведении ряда численных экспериментов. А так же Е. Жучковой за критическое чтение работы.

1. А. Н. Колмогоров. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега — ДАН СССР, 1958, т. 119, No5, с.861−864.

2. А. Н. Колмогоров. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов ДАН СССР, 1959, т. 124, No4, с.754−755.

3. Я. Г. Синай. О понятии энтропии динамической системы.- ДАН СССР, 1959, т. 124, No4, с.768−771.

4. А. Н. Шарковский, Ю. Л. Майстренко, Е. Ю. Романенко. Разностные уравнения и их приложения — Киев, Наукова думка, 1986.

5. Я. Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории.- М., Наука, 1995.

6. Е. Б. Вул, Я. Г. Синай, К. М. Ханин. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм.- Успехи матам, наук, 1984, т.39, вып. З (237), с.3−37.

7. P. Collet, J.-P.Eckmann. Iterated Maps on the Interval as Dynamical SystemsBirkhauser, Boston, 1980.

8. Proc. of the SPIE 1993 Annual Meeting «Chaos in Communications» .- San Diego, California, 11−16 July, 1993, v.2038.

9. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Extraction of the prototypes encoded in a chaotic attractor. In: Artificial Neural Networks, eds. I. Alexander and J. Taylor.- Elsevier, North-Holland, 1992, p.449−452.

10. T. Shinbrot, J.M.Ottino. A geometric method to create coherent structures in chaotic flows-Phys. Rev. Lett., 1993, v.71, p.843−847.

11. А. Ю. Лоскутов, Г. Э. Томас. Хаос и дестохастизация в двумерной решетке сцепленных отображений Вестн. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1993, т.34, No5, с.3−11.

12. R. Lima, M.Pettini. Suppression of chaos by resonant parametric perturbations.- Phys. Rev. A, 1990, v.41, No2, p.726−733.

13. J. Singer, Y-Z.Wang, H.H.Bau. Controlling a chaotic system.- Phys. Rev. Lett., 1991, v.66, p.1123−1125.

14. E. Ott, C. Grebogi, J.A.Yorke. Controlling chaos.- Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, p.1196−1199.

15. F.J.Romeiras, E. Ott, C. Grebogi, W.P.Dayawansa. Controlling chaotic dynamical systems.-Physica D, 1992, v.58, p.165−192.

16. А. Ю. Лоскутов. Хаотичность динамических систем и подавление хаоса: основные понятия-Физическая Мысль России, т.2/3, 1997, стр.5−35.

17. R. Meucci, W. Gadomski, M. Ciofini, F.T.Arecchi. Experimental control of chaos by weak parametric perturbations Phys. Rev. E, 1994, v.49, No4, p.2528−2531.

18. А.В.Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович. Нелинейная физика. Стохастичность и структуры.- В кн. «•Физика XX века: развитие и перспективы.» М.:Наука, 1984. с. 219−280.

19. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. Под ред. А.В.Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича.- М.: Наука, 1987.

20. У. С. Линдсей, Ф. Гхазвинян, В. К. Хагман, Х.Дессуки. Синхронизация сетей ТИИЭР, 1985. Т.73, NolO. с.6−31.

21. В. В. Шагильдян, А. А. Ляховкин. Системы фазовой автоподстройки частоты М.: Связь, 1972.

22. В.Линдсей. Системы синхронизации в связи и управлении. Пер. с англ. под ред. Ю. Н. Бакаева, М. В. Капранова.- М.: Сов. радио, 1978.

23. И. И. Блехман. Синхронизация, в природе и технике.- М.: Наука, 1981.

24. J. Guckenheimer, P.Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer, Berlin, 1990 (Third printing).

25. В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.-В кн. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 5 М., ВИНИТИ, 1986, с.5−218.

26. Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости М., Наука, 1990.

27. В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — М., Наука, 1978.

28. А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов.

Введение

в синергетикуМ., Наука, 1990.

29. M.J.Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformationsJ. Stat. Phys., 1978, v.19, p.25−52.

30. Y. Pomeau, P.Manneville. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems.-Commun. Math. Phys., 1980, v.74, No7, p. 189−197.

31. P. Manneville, Y.Pomeau. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems.- Physica D, 1980, v. l, No2, p.219−226.

32. В. С. Афраймович, Л. П. Шильников. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узелДокл. АН СССР, 1974, т.219, No3, с.1281−1285.

33. П. Берже, И. Помо, К.Видаль. Порядок в хаосеМ., Мир, 1991.

34. А. Ю. Лоскутов, Ю. В. Мищенко, С. Д. Рыбалко. Стабилизация неустойчивого поведения динамических систем и проблема обработка информации.- Физическая Мысль России. 2/3,1997, с.53−56.

35. B.Hu. Functional renormalization-group equations approach to the transition to chaos In: Chaos and Statistical Methods, ed. Y.Kuramoto. Springer, Berlin, 1984, p.72−82.

36. B. Hu, J.Rudnick. Exact solutions to the Feigenbaum renormalization-group equation for intermittencyPhys. Rev. Lett., 1982, v.48, No24, p.1645−1648.

37. В. С. Афраймович. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов.- В кн. «Нелинейные волны. Структуры и бифуркации». Ред. А.В.Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович.- М., Наука, 1987, с. 189−213.

38. Chaos II, ed. Нао Bai-Lin.- Worls Sci., 1990.

39. P.Manneville. Dissipative Structures and, Weak TurbulenceAcademic Press, London, 1990.

40. Г. Шустер. Детерминированный хаос.

Введение

М., Мир, 1988.

41. В. С. Афраймович, Л. П. Шильников. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичностьВ кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983, с.3−26.

42. K.Kaneko. Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative SystemsWorld Sci., Singapore, 1986.

43. Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения.- М., Мир, 1980.

44. D.G.Aronson, M.A.Chory, G.R.Hall, R.P.McGehee. A discrete dynamical systems with subtly wild behavior. In: New Approach to Nonlinear Problems in Dynamics Philadelphia, SIAM, 1980, p.339−360.

45. J. Carry, J.A.Yorke. A transition from Hopf bifurcation to chaos: computer experiments with maps on R2. In: Lecture Notes in Mathematics Springer, Berlin, 1978, v.470, p.48−66.

46. В. С. Анищенко. Сложные колебания в простых системах М., Наука, 1990.

47. S. Newhouse, J. Palis, F.Takens. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms.- Publ. Math. IHES, 1983, No57, p.5−72.

48. K.Kaneko. Supercritical behavior of disordered orbits of a circle map.- Progr. Theor. Phys., 1984, v.73, No6, p.1089−1103.

49. P.L.Boyland. Bifurcations of circle maps: Arnol’d tongues, bistability and rotation intervals.-Commun. Math. Phys., 1986, v.106, p.353−381.

50. Динамические системы. Том 2. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления." — ВИНИТИ, 1985.

51. И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. Эргодическая теория М., Наука, 1980.

52. Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда. Стохастические и хаотические колебания.- М., Наука, 1987.

53. А. Лихтенберг, М.Либерман. Регулярная и стохастическая динамика М., Мир, 1984.

54. В. И. Оселедец. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических системТруды Моск. матем. об-ва, 1968, т.19, с.179−210.

55. Я. Б. Песин. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория.-Успехи матем. наук, 1977, т.32, вып.4, с.55−111.

56. Л. А. Бунимович. Об одном преобразовании окружности, — Матем. заметки, 1970, т.8, с.205−216.

57. D.Ruelle. Applications conservant une mesure absolutement continue par rapport a dx sur 0,1]. -Comm. Math. Phys. 1977, v.55, p.47−51.

58. А. И. Огнев. Метрические свойства некоторого класса отображений отрезка в себя.- Матем. заметки, 1981, т. ЗО, No5, с.723−736.

59. M.Misiurewicz. Absolutely continuous measures for certain maps of an interval.- Publ. Math. I.H.E.S., 1981, v.53, p.17−51.

60. S.M.Ulam, J. von Neumann. On combination of stochastic and deterministic processes Bull. Amer. Math. Soc., 1947, v.53, p.1120.

61. M.V.Jakobson. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps.- Gommun. Math. Phys., 1981, v.81, Nol, p.39−88.

62. Ю. И. Неймарк. Динамические системы и управляемые процессы М., Наука, 1978.

63. A. Hiibler, R. Georgii, М. Kuckler, W. Stelzl, E. Lusher. Resonant stimulation of nonlinear damped oscillators by Poincare maps Helv. Phys. Acta, 1988, v.61, p.897−900.

64. A. Hiibler. Adaptive control of chaotic systems.- Helv. Phys. Acta, 1989, v.62, p.343−346.

65. E. Lusher, A. Hiibler. Resonant stimulations of complex systems Helv. Phys. Acta, 1989, v.62, p.544−551.

66. G. Reiser, A. Hiibler, E.Liischer. Algorithm for the determination of the resonances of anharmonic damped oscillators Z. Naturforsch A, 1987, v.42, p.803−807.

67. E.A.Jackson. Control of dynamics flows with attractors.- Phys. Rev. A, 1991, v.44, p.4839−4853.

68. S. Rajasekar, M.Lakshmanan. Algorithms for controlling chaotic motion: application for the BVP oscillator Physica D, 1993, v.67, Nol-3, p.282−300.

69. Ph.V.Bayly, L.N.Virgin. Practical considerations in the control of chaos.- Phys. Rev. E, 1994, v.50, Nol, p.604−607.

70. T.Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable?- Nonlinear Sci. Today, 1993, v.3, No2, p.1−8.

71. T. Shinbrot, C. Grebogi, E. Ott, J.A.Jorke. Using small perturbations to control chaos Nature, 1993, v.363, p.411−417.

72. Yu.S.Kivshar, B. Rodelsperger, H.Benner. Suppression of chaos by nonresonant parametric perturbations Phys. Rev. E, 1994, v.49, p.319−324.

73. J.F.Linder, W.L.Ditto. Removal, suppression, and control of chaos by nonlinear design.- Appl. Mech. Rev., 1995, v.48, Nol2, p.795−807.

74. E. Ott, M.L.Spano. Controlling chaos Physics Today, 1995, v.48, No5, p.34−40.

75. S. Hayes, C. Grebogi, E.Ott. Communicating with chaos Phys. Rev. Lett., 1993, v.70, No20, p.3031−3034.

76. S. Hayes, C. Grebogi, E. Ott, A.Mark. Experimental control of chaos for communication.- Phys. Rev. Lett., 1994, v.73, Nol3, p.1781−1784.

77. A. Garfinkel, M.L.Spano, W.L.Ditto. Controlling cardiac chaos.- Science, 1992, v.257, p.1230−1235.

78. B. Hiibinger, R. Doerner, W.Martienssen. Controlling chaos experimentally in systems exhibiting large effective Lyapunov exponents.- Phys. Rev. E, 1994, v.50, No2, p.932−948.

79. J.E.S.Socolar, D.W.Sukow, D.J.Gauthier. Stabilizing unstable periodic orbits in fast dynamical systems.- Phys. Rev E, 1994, v.50, No4, p.3245−3248.

80. V. Petrov, M.J.Crowley, K.Showalter. Tracking unstable periodic orbits in the Belousov-Zhabotinsky reaction.- Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, Nol8, p.2955−2958.

81. V. In, W.L.Ditto, M.L.Spano. Adaptive control and tracking of chaos in a magnetoelastic ribbon.-Phys. Rev. E, 1995, v.51, N04, p.2689−2692.

82. B. Blazejczyk, T. Kapitaniak, J. Woewoda, J.Brindley. Controlling chaos in mechanical systems.-Appl. Mech. Rev., 1993, v.46, No7, p.385−391.

83. В. В. Алексеев, А. Ю. Лоскутов. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством параметрического воздействия, — Вестник Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1985, т.26, No3, с.40−44.

84. В. В. Алексеев, А. Ю. Лоскутов. Управление системой со странным аттрактором посредством периодического параметрического воздействия.-ДЛЯ СССР, 1987, т.293, вып.6, с. 1346−1348.

85. M. Ding, E. Ott, C.Grebogi. Controlling chaos in a temporally irregular environment.- Physica D, 1994, v.74, Nol-2, p.386−394.

86. A.Yu.Loskutov, G.E.Thomas. On a possible mechanism of self-organization in a two-dimensional network of coupled quadratic maps SPIE, 1993, v.2037, p.238−249.

87. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Predicted dynamics for cyclic cascades of chaotic deterministic automata Int. J. Neural Systems, 1995, v.6, p.175−182.

88. А. Ю. Лоскутов, А. И. Шишмарев. Об одном свойстве семейства квадратичных отображений при параметрическом воздействии, — Успехи матем. наук, 1993 т.48, вып.1, с.169−170.

89. A.Yu.Loskutov, A.I.Shishmarev. Control of dynamical systems behavior by parametric perturbations: an analytic approach.- Chaos, 1994, v.4, No2, p.351−355.

90. A.Yu.Loskutov. Non-feedback controlling complex behaviour: an analytic approachIn: Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results. Ed. J. AwreicewiczSpringer, Berlin, 1995, p.125−150.

91. N.L.Komarova, A.Yu.Loskutov. Stabilization of chaotic oscillations in dynamical systems: rigorous results SPIE, 1993, v.2037, p.71−81.

92. Н. Л. Комарова, А. Ю. Лоскутов. Стабилизация хаотического поведения колебательной химической реакции, — Матем. моделирование, 1995, т.7, NolO, с.133−143.

93. A.Yu.Loskutov, A.I.Shishmarev. Parametric destochastization: rigorous results.- Preprint 236 of the Max-Planck-Institut fiir Extraterrestrishe Physik, 1992. 10pp.

94. L. Fronzoni, M. Geocondo, M.Pettini. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations.- Phys. Rev. A, 1991, v.43, p.6483−6487.

95. R.Chacon. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations Phys. Rev. E, 1995, v.51, Nol, p.761−764.

96. M.Pettini. Controlling chaos through parametric excitations. In: Dynamics and Stochastic Processes. Ed. R. Lima, L. Streit, R. Vilela Mendes Springer, Berlin, 1990, p.242−250.

97. Z.Galias. New method for stabilization of unstable periodic orbits in chaotic systems Int. J. Bif. and Chaos, 1995, v. 5, Nol, p.281−295.

98. В. К. Мельников. Устойчивость центра при периодических по времени возмущенияхТр. Моск. матем. об-ва, 1963, т. 12, с.3−52.

99. S.Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos.- Springer, Berlin, 1990.

100. П. Гленсдорф, И.Пригожин. Термиденомическая теория структуры, устойчивости и флуктуацийМир, Москва, 1973.

101. Г. Николис, И.Пригожин. Самоорганизация в неравновесных системах Мир, Москва, 1979.

102. G.Nicolis. Stability and dissipative structures in opeh systems far from equilibrium.- Advances in Chemical Physics, v.19. Ed by I. Prigogine, S.A.Rice. New York-Sydney-Toronto, Wiley-Intersci., 1971, pp.209−324.

103. П. С. Ланда. Автоколебания в распределенных системахНаука, Москва, 1983.

104. Б. С. Кернер, В. В. Осипов. Нелинейная теория стационарных страт в диссипативных системах.- ЖЭТФ, 1978, т.74, в.5, сс.1675−1696.

105. А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений Высшая школа, Москва, 1990.

106. А. Н. Колмогоров, Г. Г. Петровский, Н. С. Пискунов. Изучение уравнения диффузии с источником вещества и его приложение к биологическим проблемам.- Бюлл. МГУ, Математика и механика, 1937, т.1, в.6, сс.1−26.

107. R.Fisher. The wave advance of advantageous genes Ann. of Eugenics, 1937, v.7, pp.355−369.

108. Я. Б. Зельдович, Д.А.Франк-Каменецкий. К теории однородного распространения пламени-ДАН СССР, 1938, т.19, по.9, сс.693−698.

109. Я. Б. Зельдович, Д.А.Франк-Каменецкий. Теория теплового распространения пламени-Журн. физич. химии, 1938, т.12, по.1, сс.100−105.

110. R. Fitz Hugh. Mathematical models of excitation and propagation in nerv.- In: Biological Engeneering, ed. by Schwan. New York, McGraw-Hill, 1969, pp. 1−85.

111. Ю. М. Свирежев. Нелинейные волны, дисипативные структуры и катастрофы в экологии-Москва, Наука, 1987.

112. J. Nagumo, S. Arimoto, S.Yoshizawa. An active pulse transmission line simulating nerve axon-Proc. IRE, 1962, v.50, pp.2061;2070.

113. J. Engelbrecht, T.Tobias. On model stationary nonlinear wave in an active medium Proc. R. Soc. (London), 1987, v. A411, pp.139−154.

114. J.Engelbrecht. On mathematical models for nerve-pulse transmission.- In: Nonlinear Wave Motion, ed. by A.Jeffrey. London, Longman Scientific & TechnicalNew York, John Wiley & Sons, 1989, pp.54−70.

115. J. Engelbrecht, D. Fusco, F.Olivery. Nerve pulse transmission: recovery variable and rate-type effects.- Chaos, Solitons & Fractals, 1992, v. 2, no.2, pp. 197−209.

116. В. А. Васильев, Ю. М. Романовский, В. Г. Яхно. Автоволновые процессыМосква, Наука, 1987.

117. Г. Р. Иваницкий, В. И. Кринский, Е. Е. Сельков. Математическая биофизика клетки. Москва, Наука, 1978.

118. N. Wiener, A.Rosenblueth. The mathematical formulation of the problem of conduction of impulses in a network connected exitable elements, specifically in caxdiac muscle Arch. Inst. Cardiol. Мех., 1946, v.16, pp.205−265.

119. M.Toda. Waves in nonlinear lattice.- Progr. Theor. Phys. Suppl, 1970, no 45, pp.174−200.

120. M.Henon. Integrals of Toda lattice Phys. Rev. B, 1974, v.9, no 4, pp.1921;1923.

121. С. В. Манаков. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах ЖЭТФ, 1974, т.67, в.2(8), стр.543−555.

122. H.Flashka. On the Toda lattice II, — Progr. Theor. Phys. l 1974, v.51, no 4, pp.703−716.

123. E. Fermi, I. Pasta, S.Ulam. Studies of non-linear problems Los Alamos Sci Lab. report, La-1940, 1955.

124. N. Budinsky, T.Bounties. Stability of nonlinear modes and chaotic properties of ID Fermi-Pasta-Ulam lattices Physica D, 1983, v.8, pp.445−452.

125. V.S.L'vov, A.A.Predtechensky, A.I.Chernykh. Bifurcations and chaos in the system of Taylor vortices laboratory and numerical experiment — In: Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds. G.I.Barenblatt et al., Plenum 1983, p.238−280.

126. A.V.Gaponov-Grekhov, M.I.Rabinovich, I.M.Starobinets. Arising of Multidimensional Chaos in the Active Lattices Sovet. Phys. Dokl., vol.292, 1984, p.64−67.

127. K.Kaneko. Overview of coupled map lattices.- In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K. Kaneko, Chaos, vol.2, 1992, p.279−282.

128. A.V.Holden, J.V.Tucker, H. Zhang, M.J.Poole. Coupled map lattices as computational systems.-In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K. Kaneko, Chaos, vol.2, 1992, p.367−376.

129. Афраймович B.C., Некоркин В. И., Осипов Г. В., Шалфеев В. Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Ред. А.В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович.-Изд-во ИПФ АН, Горький, 1989.

130. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in coupled map lattices Nonlinearity, vol.1,1988, p.491−504.

131. Ya.B.Pesin, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in chains of weakly-coupled hyperbolic maps.-In: Advances in Soviet Mathematics, vol.3, Harwood Academic, Switzeland, 1991.

132. V.M.Gudlach, D.H.Rand. Spatio-temporal chaos: 1−3 Nonlinearity, vol.6, 1993, p.165−230.

133. L.A.Bunimovich, V.S.Afraimovich. Simplest structures in coupled map lattices and their stabilityRand. Comput. Dynam., vol.1, 1993, p.423−444.

134. L.A.Bunimovich, E.A.Carlen. To the problem of stability in lattice dynamical systems.- J. Diff. Eqns., to be published.

135. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical mechanics of coupled map latticesIn: Theory and Application of Coupled Map Lattices, ed. K. Kaneko, Wiley, 1993, p.169−189.

136. D.L.Volevich. Kinetics of coupled map lattices.- Nonlinearity, vol.3, 1991, p.37−45.

137. C. Giberty, C.Vernia. On the presence of normally attracting manifolds containing periodic orbits in coupled map lattices Int. J. Bifurc. Chaos, vol.3, 1993, p.1503−1514.

138. C. Giberty, C.Vernia. Periodic behavior in ID and 2D coupled map lattices of small size.- Chaos. to be published.

139. J. Miller, D.A.Huse. Macroscopic equilibrium from microscopic irreversibility in a chaotic coupled map lattice.-Phys. Rev. E, vol48, 1993, p.2528−2535.

140. C. Boldrighini, L.A.Bunimovich, G. Cisini, A. Frigio, A.Pellegriotti. Ising-type Phase Transition in Coupled Map Lattices.-J. Stat, phys., to be published.

141. P. Coulet, P. Huerre, eds.- New Trends in Nonlinear Dynamics and Pattern-Forming Phenomena. The Geometry of Nonequilibrium. Plenum, New York, 1990.

142. J.-P.Eckmann, I.Procaccia. Spatio-temporal chaos.- in: Chaos, Order and Patterns, eds. R. Artuso, P. Cvitanovic, G.Casati. Plenum, London, 1991, p.135−172.

143. M.I.Rabinovich, A.L.Fabricant, L.Sh.Tsimrmg.Fmiie Dimensional Spatial Disorder. Preprint, 1992.

144. V.S.Afraimovich, S.-N.Chow. Criteria of Spatial Chaos in Lattice Dynamical Systems Japan J. Ind. Appl. Math., to be published.

145. Е. А. Сатаев. Инвариантные меры для гиперболических отображений с особенностями.- Успехи матем. наук, 1992, т.47, вып.1, с.147−202.

146. V.S.Afraimovich, L.A.Bunimovich. Density of defects and spatial entropy in extended systems.-Physica D, vol.80, 1995, p.277−288.

147. A. Katok, B.Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

148. А.Ю.лоскутов, А. К. Прохоров. Параметрические возмущения и стабилизация хаотического поведения динамических ситем Физическая Мысль России, т.2/3, 1997, стр.36−52.

149. A.Yu.Loskutov, S.D.Rybalko. Parametric perturbations and suppression of chaos in n-dimensional maps Preprint ICTP IC/94/347, Trieste, Italy, 1994.

150. A.N.Derjugin, A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Inducing stable periodic dynamics by parametric perturbations.- Fractals, Solitons, and Chaos, 1996, v.7, NolO, p.1−13.

151. L. Glass and M.C. Mackey. From Clocks to Chaos. The Rhythms of Life. (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1988).

152. М.Якобсон. Эргодическая теория одномерных отображений, — В сб. Динамические системы. Т.2. M., ВИНИТИ, 1985.

153. L. Mora, M.Viana. Abundance of strange attractors Acta Math., v.171, p. 1−71.

154. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one-dimensional maps by a-cyclic parametric transformation.- Int. J. Bif. and Chaos, 1996, v.6, No4, p.725−735.

155. R.L.Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, New York, msterdam, Addison-Wesley Publ. Co., 1993 (Second Edition).

156. W. de Melo, S. van Strien. One-Dimensional Dynamics Springer, Berlin, 1993.

157. А. Ю. Лоскутов, С. Д. Рыбалко. О динамике отображения окружности при параметрическом воздействии.- Вестн. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1993, т.34, No4, с.19−27.

158. А. Ю. Лоскутов. Нелинейная динамика и сердечная аритмия.- Прикладная нелинейная динамика, 1994, т. 2, No3−4, с. 14−25.

159. S.Morita. Lyapunov analisis of collective behaviour in a network of chaotic elements.- Phys. Lett. A, 1997, v.226, p.172−178.

160. A.P.Munuzuri, V. Perez-Munuzuri, M. Gomez-Gesteira, L.O.Chua, V. Perez-Villar. Spatio-temporal structures in discretely-coupled arrays of nonlinear circuits: a review.- Int. J. Bif. and Chaos, 1995, v.5, p.17−50.

161. K. Kaneko, F.Willeboords. Bifurcation and Spatial Chaos in Open Flow Model.— http://xxx. lanl. gov/abs/chao-dyn/9 312 007.

162. S. Aubry, in Solitons and Condensed Matter Physics, ed. R. Bishop and T. Schneider, Springer (1979).

163. K. Otsuka and K. Ikeda, Phys. Rev. Lett. 119A, 397 (1987).

164. K. Kaneko, F.Willeboords. Self-Organized Periodic Lattices of Chaotic Defects.— http://xxx.lanl.gov/abs/chao-dyn/9 405 007.

165. K.Kaneko. Pattern dynamics in spatio-temporal chaos.- Physica D, 1989, v.34, p.1−41.

166. K.Kaneko. Spatiotemporal chaos in oneand two-dimensional coupled map lattices.— Physica D, 1989, v.37, p.60−82.

167. К. А. Васильев, А. Ю. Лоскутов, С. Д. Рыбалко, Д. Н. Удин. Модель пространственно неоднородной одномерной активной среды.— Теор. и матем. физика, 2000, т.124, No3, стр.506−519.