Вариационно-разностный метод решения нестационарных волновых задач динамики тонкостенных конструкций

Тонкостенные конструкции широко используются в современной технике. Возрастают как сложность используемых конструкций, так и требования к их качествам: экономичности, надежности, безопасной работы в экстремальных режимах интенсивного нагружения и т. д. Для улучшения их свойств все чаще используются как новые композиционные материалы, так и другие методы-повышения работоспособности: применение многослойных оболочек, армирования, заполнителей, подкрепляющих элементов, ребер жесткости и т. д. Расчет таких конструкций становится все более сложной задачей в связи с объективным ухудшением свойств математических моделей процессов деформирования. Причинами этого являются: наличие элементов разного масштаба, геометрические размеры которых могут отличаться в десятки раз, скачкообразное изменение механических свойств внутри конструкции, большой разброс спектра собственных частот, нелинейность и ряд других факторов. В результате, многие задачи механики тонкостенных конструкций являются жесткими, а существующие численные методы их решения — неэффективными. Особенно остро данная проблема проявляется при решении задач нестационарной динамики конструкций. Методы расчета тонкостенных конструкций, содержащих особенности в виде тонких и жестких слоев, концентраторов напряжений и других особенностей недостаточно разработаны. Следовательно, актуальна проблема разработки эффективных численных методов решения жестких задач деформирования конструкций при интенсивных динамических воздействиях с учетом эффектов геометрической и физической нелинейности рассматриваемых процессов.

Проблема построения эффективных численных схем тесно связана с анализом и конструированием их свойств, к которым относятся: анализ точности и устойчивостиопределение границ эффективной применимости в зависимости от геометрии конструкции, свойств нагружения, материала и других факторовподбор оптимальных параметровпостроение схем с улучшенными спектральными свойствамиучет специфики динамических процессов деформирования при построении численных схем. Все эти вопросы являются недостаточно изученными. ,.

В связи с вышеизложенным актуальны вопросы разработки эффективных численных методов решения жестких задач нестационарной динамики сплошных сред и конструкций, а также анализа, математического обоснования и конструирования численных методов решения задач данного класса.

Рассмотрим современное состояние теории в данной области. Краткий обзор численных методов решения задач нестационарной динамики оболочечных тонкостенных конструкций не претендует на полноту и подчинен целям диссертационной работыОсновное внимание уделяется методическим вопросам построения и повышения эффективности численных схем. Рассматриваются вопросы сходимости, устойчивости и ряд основных проблем, возникающих при численном решениизадач данного класса.- ——————-— ~ ————-—-—.

Развитие численных методов решения задач механики сплошных сред тесно связано с прогрессом в вычислительной математике. Основные достижения вычислительной математики в области решения задач математической физики отражены в учебниках и монографиях [19,64,65,74,94,95, 181,187,193−196, 205, 210, 222,223] и других. В настоящее время наиболее актуальной остается проблема эффективности методов, т. е. разработки численных схем, оптимальных по быстродействию. Причина этого — во все возрастающей сложности задач, решаемых численными методами. И хотя рост быстродействия ЭВМ решает многие из проблем, сравнимый с ними эффект дает совершенствование численных методов [65]. Рассмотрим более подробно современное состояние численных методов решения одного из сложных классов задач механики деформируемого твердого тела — нестационарной динамики тонкостенных конструкций.

Характеристика нестационарных динамических процессов в тонкостенных конструкциях. Расчет тонкостенных оболочечных и стержневых конструкций под действием нестационарных динамических нагрузок — задача, обладающая рядом специфических особенностей [11−14,71,72,129,158,162,163]. При решении задач нестационарной динамики конструкций необходимо учитывать следующие факторы: сложность геометрии конструкций, что приводит к необходимости использования неравномерных сеток и криволинейных систем координат, существенно усложняющих системы уравненийгеометрическая нелинейность (поскольку в процессе деформирования конструкций перемещения, с как правило, нельзя считать малыми) — физическая нелинейность, обусловленная переходом к нелинейному деформированию материалавырождение задач, связанное с малостью размеров по одной или двум координатам. Отметим, что нелинейность в задачах динамики конструкций носит несколько иной характер, чем, например, в газовой динамике. Так, в стержнях и оболочках практически невозможно возникновение ударных волн по причине малой толщины. В связи с вышесказанным построение численных схем решения задач данного класса требует серьезного анализа. Неудивительно, что этим вопросам посвящено большое количество работ как в отечественной, так и в зарубежной научной литературе [ 1,2,71,72,89−91,97,105−107,120,139,159,176,182,183,198,202,221]. Отметим также, что многие проблемы построения численных схем метода конечного элемента впервые проявились и в дальнейшем нашли свое решение именно при решении задач, связанных с расчетом тонкостенных конструкций [71,72,97,120,229−233,240,243,245,248,249].

Постановки задач. Математические модели и уравнения. Задачи нестационарной динамики конструкций допускают следующие постановки: начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производныхсистемы законов сохранения в виде интегральных соотношенийвариационные задачисистемы граничных интегральных уравнений. Поскольку последние не получили широкого распространения при расчете тонкостенных конструкций, далее о них упоминать не будем. В ряде случаев численные схемы строятся не на базе континуальных задач, а на основе непосредственного применения физических законов, как это было с первыми схемами метода конечного элемента. При последнем подходе область разбивается на составные части, а далее уравнения неразрывности и движения этих частей составляются на основе физических соображений (см. исторический обзор в [172]). Пример такого подхода приводится, например, в [139,190].

При расчете тонкостенных конструкций используются модели сплошных сред и теории оболочек [10,84,86,92,93,114,133,165,166,175,203]. Учет геометрически нелинейных эффектов производится с использованием нелинейных лагранжевых, эйлеровых или совместных лагранжево-эйлеровых постановок [169]. Учет нелинейного поведения материала при деформировании осуществляется на базе теорий пластичности — деформационных и инкрементальных [115−119,124,133]. Ввиду наличия вырожденной координаты расчеты непосредственно по трехмерной теории зачастую являются неэффективными, что приводит к необходимости выделять процессы по вырожденной координате особо (вводить оболочечные модели), либо использовать сетки, адаптированные к данным задачам (с вытянутыми или сплющенными ячейками). При этом не имеет принципиального значения, вводятся ли гипотезы теории оболочек при выводе уравнений или на этапе построения численной схемы, как это делается в схемах МКЭ [172]. Важен характер принимаемых гипотез. В зависимости от этого приходим к вырожденной или вырождающейся задаче [71,72].

При дифференциальной записи основных уравнений могут использоваться разные формы. В методе конечных разностей наиболее распространена запись в виде уравнений движения замыкаемых соотношениями для деформаций через перемещения и определяющими соотношениями между напряжениями и деформациями, а при необходимости и уравнениями термодинамики. В характеристических схемах используются соотношения на характеристиках [78,127,140−143,149,220}, в схеме Годунова система записывается в дивергентной форме [ 18,95,188].

Вариационная формулировка задач динамики допускает варианты в виде экстремального (стационарного)' вариационного принципа для некоторого функционала или в виде вариационного уравнения (принципа виртуальных перемещений, скоростей, ускорений и т. п.). Поскольку для задач динамики единственным экстремальным принципом является принцип Гамильтона (что не всегда удобно для построения численных схем), в подавляющем числе случаев используется вторая форма записи в виде.

F (4t>Pij>qi.4i>&li, ePij) = Q>Pij =dqt/dxj v где qi — варьируемые параметры (в зависимости от выбранного вариационного принципа это могут быть перемещения, скорости, ускорения, напряжения и т. п. [4,81]). Данная форма записи служит основой для построения широкого класса — вариационно-разностных схем и схем метода конечного элемента {см. [83,156, 181] и др.).

Основные численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных конструкций. Для приведения континуальной задачи к дискретной используются следующие основные подходы (здесь рассматриваются только те, которые получили более-менее широкое распространение): конеч-норазностные методы, вариационно-разностные методы, метод конечного элемента. Среди конечноразностных методов отдельно выделим сеточно-характеристические методы и схему распада разрыва С. К. Годунова. Попытаемся дать их краткие характеристики.

Сеточно-характеристические методы развиты в работах В. Н. Кукуджанова, П. З. Лугового и других. Эти методы [76,107,134,140−143,146,149,220] базируются на записи исходных уравнений в виде соотношений на характеристиках. Интегрирование вдоль характеристик обладает следующим преимуществом: близость областей зависимости дифференциальной и сеточной задач. Они нашли достаточно широкое распространение при решении нестационарных волновых задач динамики массивных тел. В то же время при расчете тонкостенных конструкций применимость этих методов ограничена ввиду малости толщины конструкции и вследствие этого — необходимости учета отражения волн (и характеристик) от свободных поверхностей оболочек. В связи с этим возникают очевидные ограничения как на пространственный, так и на временной шаги интегрирования. Поэтому они нашли лишь ограниченное применение при решении задач этого класса [107,131,151]. В этом плане показателен пример монографии [159], авторы которой используют для расчета массивных тел се-точно-характеристическую схему, а при переходе к задачам теории оболочек переключаются на конечно-разностный подход. С другой стороны отметим попытки усовершенствования данного подхода при решении задач теории оболочек на базе модели Тимошенко [107]. Отметим также меньшую алгоритмическую простоту и универсальность данных методов по сравнению с методами конечных разностей и МКЭ (по крайней мере, в многомерном случае). В частности, это касается широкого класса прикладных задач, требующих учета сложной геометрии, неоднородностей материала, геометрической и физической нелинейности и ряда других факторов.

Схема С. К. Годунова. Данная схема [95] использует дивергентную запись уравнений. Следует отметить, что не все уравнения механики сплошных сред допускают запись в дивергентной форме — например, уравнения Прандтля-Рейсса (см. [191]) и теории оболочек. В таких случаях недивергентные слагаемые обычно переносятся в правую часть уравнений [18]. Важным свойством схемы С. К. Годунова является ее монотонность. Однако она обладает большой схемной вязкостью, которая исчезает лишь при числе Куранта к=1, недостижимом для данной схемы за исключением одномерного случая. Модификации схемы С. К. Годунова, повышающие порядок ее аппроксимации до второго на гладких решениях (схема Лакса-Вендрофа и гибридные схемы) [222] уже не обладают свойством монотонности или имеют смешанный порядок (второй на монотонных решениях и первый — на немонотонных.

Схемы описанных выше классов-оправдывают себя при решении задач на очень коротких промежутках времени и интенсивных переходных процессах (задачи типа пробития, разрушения при ударе и т. п.). Однако эти задачи составляют лишь небольшую и не очень типичную часть задач динамики тонкостенных конструкций. У большинства задач динамики оболочек при характерных временах процесса порядка десяти и более пробегов волн по толщине картина волнового процесса отличается рядом специфических черт" Такие процессы носят волновой характер лишь вдоль срединной поверхности оболочки, а по толщине их можно считать близкими к квазистатическим после «многократного отражения волн от свободных поверхностей. При решении таких задач с помощью характеристических схем и схемы С. К. Годунова эта специфика ' не учитывается. Таким-образом* на задачах этого класса они становятся менее пригодными по сравнению с конечно-разностными и конечноэлементными схемами.

Конечно-разностные методы разрабатывались многими учеными. Большой вклад в их развитие внесли К. И. Бабенко, А. А. Самарский, Г. И. Марчук, Ю И-Шокин, В. С. Рябенький, Р. Рихтмайер, М. Уилкинс и другие ученые. Эти методы являются наиболее универсальными и гибкими при решении любых. задач математической физики. Они имеют наиболее широкое применение при решении задач математической физики [19,65,79,96,130,132,145,149,153,154, 169, 181,187,193−196,202,207, 222,223] и др. Вместе с тем они дают в руки исследователя широчайший произвол при своем построении. Следовательно, важнейшей задачей при построении конечноразностных схем является не расширение, а сужение их класса путем наложения на них различных дополни-. тельных ограничений. Классических критериев качества численных схем (порядок аппроксимации и устойчивость) явно недостаточно. Ниже рассмотрим ряд таких дополнительных требований к разностным схемам. Пока же отметим.

N * лишь многолетнюю тенденцию дополнения количественных характеристик (порядок аппроксимации) качественными (консервативность, монотонность и т. д.). Наиболее распространенной для данных схем исходной формой записи является система уравнений движения, дополненная выражениями деформаций через перемещения и определяющими соотношениями. При этом утвердилась. определенная конструкция задания величин в узлах и «ячейках», получившая -¦ наибольшее распространение после работ М. Уилкинса [206,207]. В ней имеем дело с разнесенными сетками. По пространству: узлы основной сетки, в которых вычисляются неизвестные перемещения, усилия, скорости и ускорения- «центры ячеек» основной сетки (по сути — узлы дополнительной сетки, смещенной относительно основной на некоторую долю ее шага), в которых вычисляются все величины, являющиеся первыми производными от перемещений (деформации) или связанными с первыми производными функциональными зави- > симостями (напряжения и т. п.). По времени: целые шаги, в которых аппроксимируются перемещения, силы и ускоренияполуцелые шаги, в которых ап-" проксимируются скорости. В итоге получим основную и две смещенные сетки (по пространству и по времени), при этом на основной сетке определены неизвестные и их производные четного порядка, а на смещенных — производные нечетного порядка. Данная конструкция является очень гибкой и удобной по следующим причинам: свойства материала задаются в ячейке совершенно независимо от основной сетки, заменяя «физический блок», легко получить материал с любой реологиейона ориентирована в общем случае на неортогональные и даже на неравномерные сетки, что позволяет применять ее в областях сложной формысхема получается двухслойной по времени. В случае исключения всех неизвестных, кроме перемещений (это возможно, например, для линейно-упругого изотропного материала и приводит к системе уравнений Ламе) схемы, построенные по данному принципу, преобразуются к виду, аналогичному стандартным схемам для волнового уравнения: «крест», классической неявной схеме. Отметим, что при этом операторы аппроксимации вторых производных получаются автоматически как суперпозиции операторов первых производных.

К недостаткам конечно-разностного метода следует отнести проблему граничных условий, содержащих условия на производные. Если концепция ко-нечноразностного подхода проводится последовательно, то на границе нужно вводить особые операторы. При этом, чтобы сохранить порядок аппроксимации задачи (большинство применяемых схем имеют на равномерной сетке порядок аппроксимации по пространству не ниже второго), эти операторы должны быть весьма сложными. Чтобы обойти данную проблему, при построении конечноразностных схем все чаще прибегают к интегральным формулировкам задач (интегро-интерполяционный подход [193], вариационно-разностный метод и т. д.).

Вариационно-разностные методы развиты в работах С. Г. Михлина, Л. А. Оганесяна, Г. И. Марчука, В. И. Агошкова и других. Применительно к задачам динамики тонкостенных конструкций вариационно-разностный метод развит в работах В. Г. Баженова и его учеников. Эти. методы отличаются от конечно-разностных тем, что в их основе лежит не дифференциальная, а вариационная задача. Близок к данному методу интегро-интерполяционный подход [193]. Под вариационно-разностными часто понимают проекционно-сеточные мето-, ды, т. е. метод конечного элемента. Однако в целом вариационно-разностные методы к ним не сводятся. Вариационно-разностным является любой метод, основанный на сеточной аппроксимации Ъариацйонного уравнения или вариационной задачи для некоторого функционала. При этом построение базисных функций необязательно. Таким образом, не любую вариационно-разностную схему можно считать схемой МКЭ и наоборот. Построение разрешающих соотношений схемы сводится к конечноразностной аппроксимации вариационного уравнения и приравнивания нулю коэффициентов при вариациях узловых перемещений. При этом интеграл представляется в виде суммы интегралов по ячейкам разносной сетки, которые в свою очередь выражаются приближенно через значения перемещений в узлах, принадлежащих ячейке.'Данный класс схем существенно уже конечноразностных. Среди них встречается много удачных схем, что свидетельствует о преимуществах вариационного, подходаОтметим основные. — достоинства вариационно-разностных методов. 1) Возможность использования неравномерных и нерегулярных сеток. При этом необходимо определить лишь инцидентность узлов и ячеек. 2) Единообразный расчет внутренних и граничных узлов. 3) Меныиие по сравнению с конечнораз-ностным методом требования к гладкости функций.

Указанные свойства делают вариационно-разностные методы очень удобными для программной реализации. Их можно применять для областей сложной формы. Полученные в результате разностные схемы по форме аналогичны разностной схеме Уилкинса и обладают сходными свойствами. Вместе с тем сам по себе вариационно-разностный метод не является панацеей от всех недостатков. Для высокого качества схем необходимо выполнение ряда дополнительных требований. Еще одним недостатком вариационно-разностных схем является возможность возникновения в них (как и в конечноразностных-. схемах) эффекта неустойчивости «песочные часы» [207} при использовании ячеек с числом узлов больше минимально возможного количества (трех в двумерных задачах, четырех в трехмерных).

Метод конечного элемента разрабатывался многими отечественными и зарубежными (в первую очередь — американскими) учеными. Большой вклад в его становление внесли Р. Курант, Дж. Аргирис, Р. Клаф, О. Зенкевич, Р. Галлагер, Дж. Оден, Ж. Деклу, Г. Стренг, Дж. Фикс и другие. Дальнейшее развитие метода связано с именами отечественных ученых: Л. А. Розина, А. С. Сахарова, В. А. Постнова, Р. Б. Рикардса, А. Н. Паутова, С. А. Капустина, А. И. Голованова и других. Метод получил широкое распространение при решении широкого круга задач механики деформирования твердого тела [71,72,77, 81,89−91,94,97,109−111,120−122,125−127,168,170,172,176,181−183,186,189,197, 201,219,224−249]. Он ведет свое происхождение от методов сил и перемещений в строительной механике, а" также от4 методов Рэлея-Ритца и Бубнова-Галеркина. Отличительной чертой МКЭ по сравнению с конечноразностными методами является то, что в нем неизвестные функции определены везде в области определения задачи, а не в дискретном наборе точек. При этом в качестве исходных уравнений для МКЭ могут использоваться как дифференциальные уравнения, так и вариационные принципы в зависимости от метода построения разрешающей системы уравнений (коллокации, взвешенных невязок, Рэлея-Ритца-Галеркина). Однако в большинстве случаев в задачах механики используется вариационный подход, что послужило основанием причислить МКЭ к вариационно-разностным методам. Благодаря своей физической наглядности, высокой алгоритмичности и удобству применения в областях сложной формы МКЭ получил широкое распространение, особенно в задачах статики. На его основе построено большое количество удачных численных схем. При этом многие из них имеют высокий порядок аппроксимации (эрмитовы, сирендипо-вы и т. п. элементы) и по своей сложности многократно превышают известные конечноразностные схемы. И только благодаря специфике подхода МКЭ они достаточно просто реализуются, в том числе и на неравномерных и нерегулярных сетках. Еще одним достоинством МКЭ является простота введения ограничений на вид неизвестных функций, наложения кинематических связей и т. п. (например, введение гипотез теории оболочек) непосредственно в дискретной модели независимо от исходных уравнений. Таким образом, МКЭ является удобным инструментом математического моделирования, а не просто одним из численных методов.

Применительно к задачам динамики конструкций у МКЭ в общем те же проблемы, что и у конечноразностных и вариационно-разностных методов. Это в первую очередь проблема малого параметра или вырождения задачи. Подробно эта проблема обсуждается в [97]. Ряд проблем возникает при решении динамических задач. Последовательный конечноэлементный подход должен относиться ко всей пространственно-временной области переменных. Реально же в абсолютном большинстве случаев используются неизвестные функции, непрерывные по пространству и дискретные по времени. Таким образом, по временной координате имеем дело не с конечноэлементной, а с конечноразно-стной аппроксимацией. Для построения явных конечноэлементных схем приходится при аппроксимации ускорений переходить к несогласованным диагональным матрицам масс, вносящим определенные противоречия в конечноэле-ментный подход. Еще одной проблемой в случае использования явных схем является их устойчивость. Если использовать явные схемы высокого порядка точности, ограничения на временной шаг и гладкость функций будут чересчур жесткими. Поэтому в динамических задачах в сочетании с явными схемами приходится ограничиваться простейшимилинейными и билинейными конечными элементами, особенно для нелинейных задач. Это же замечание справедливо и для неявных схем при использовании итерационных процедур решения полученных систем уравнений [153].

Сделаем еще два общих замечания, касающихся численных схем всех видов.-Первое из них касается порядка точности. Наибольшее распространение* в задачах динамики конструкций (и во многих других) получили схемы второго порядка точности. В газовой динамике распространены схемы первого порядка или гибридные схемы [95,222], обладающие свойством монотонности. Это в первую очередь связано с возникновением в этих задачах ударных врлн и необходимостью сглаживания численных решений. Поскольку возникновение ударных волн в тонкостенных конструкциях невозможно, то решение задач с гладкими начальными и граничными данными остаются гладкими и решения содержат только изначально существующие разрывы. Поэтому проблема монотонности отходит на второй план. Вырождение задач расчета тонкостенных конструкций (см. ниже) требует применения разностных схем не ниже второго порядка аппроксимации, поскольку даже многие схемы второго порядка являются условно аппроксимирующими [55,71,72]. Применение схем более высокого порядка необоснованно по следующим причинам. Повышение порядка схем выше второго по временной координате (а пространство и время в гиперболических системах равноправны) приводит к существенному усложнению схем и проблемам с их устойчивостью. Наиболее часто используемые модели оболочек Кирхгофа-Лява и Тимошенко также имеют второй порядок точности относительно толщины оболочки и при использовании шага сетки порядка толщины нет смысла применять более точную схему их реализации [164]. Отметим также, что класс задач с гладкими решениями довольно узок [153]. Таким образом, построение схем с высоким (выше второго) порядком, аппроксимации хотя и привлекательно, но не нашло до настоящего времени широкого практического применения.

Еще одной общей проблемой для численных методов всех вышеперечисленных классов зачастую является отсутствие возможности их теоретического сравнительного анализа с единой точки зрения. До сих пор основным методом сравнения численных схем остается численный эксперимент [127,135,197,241]. В первую очередь это касается схем, базирующихся на разных постановках задач — вариационной и дифференциальной. Так, существует разрыв между тео- -риями разностных схем и метода конечного элемента. Причины этого иногда объективны, поскольку теория разностных схем в отличие от МКЭ оперирует практически только с задачами на регулярных сетках. Но в случае применения регулярных и особенно равномерных конечноэлементных сеток разрыв между этими теориями может быть преодолен [109,216], и схемы МКР и МКЭ после преобразования могут быть исследованы едиными методами. В целом решение задачи эквивалентных преобразований численных схем позволило бы гораздо более осознанно подходить к их отбору, оценивая аппроксимацию различных форм записи исходных задач [195]. Но ее решение связано с установлением сеточных аналогов ряда формул и теорем математического анализа. На настоящий момент в этом направлении можно отметить только отдельные успехи: разностные аналоги формул интегрирования по частям и Грина [56,145,153,.

181], формулы повторного дифференцирования [56,173,174], ряд других соотношений [173,174].

Проблемы, возникающие при численном решении задач динамики тонкостенных конструкций. Проблемы можно классифицировать по источнику их возникновения и степени общности: статические (т.е. имеющие место уже при решении задач статики) и собственно динамическиелинейные и нелинейныеобщие для всех задач механики сплошных Сред и ¦ специфические для задач динамики тонкостенных конструкций. Рассмотрим их в порядке убывания важности и специфичности для задач динамики оболочек.

Проблема вырождения задачи. Данная проблема [1−3,5−7,71,72,185,200, 227,231,240,248,249] относится как к динамическим, так и к статическим задачам. Задачи теории оболочек относятся к вырожденным (теория Кирхгофа-Лява) или вырождающимся (теория типа Тимошенко и неклассические теории) [71,72]. Первые из них — формально параболического типа (фактически — уравнения типа колебаний), вторые — гиперболического с малым параметром. Если рассмотреть свободные изгибные колебания. пластин типа Тимошенко и Кирхгофа-Лява, то асимптотически при стремлении длины волны к бесконечности (или толщины оболочки к нулю при фиксированной длине волны) решения, полученные по обеим теориям, совпадают. Ту же асимптотику имеет и решение, полученное для тонкого упругого слоя на основе трехмерной теории упругости.

Примером вырождения задач может служить система уравнений, описывающая поперечные колебания пластин типа Тимошенко [86,203]. Из анализа ее дисперсионных свойств следует, что она имеет две собственные частотывысшую (сдвиговые колебания) и низшую (изгибные колебания). Важнейшей с точки зрения физики процессов деформирования является низшая частота. Заметим, что именно она асимптотически совпадает с частотами колебаний, полученными на основе других моделей. Но данная важнейшая частота является меньшим по модулю корнем биквадратного уравнения, получается в виде раз.

-¦-" ¦ 18 ности двух близких величин и при этом имеет порядок h/L, где hтолщина пластины, L — длина волны. Поэтому нужно с особой тщательностью подходить к построению численных схем, чтобы в них погрешности порядка (ЛхЛг)2 (где Ах — размер ячейки разностной сетки) не привели к фатальным последствиям. Ранние работы по численному решению задач теории оболочек с использованием модели Тимошенко [73,98,177] показывают пример неудачной ко-нечноразностной схемы, дающей приемлемую точность лишь при малом (меньше толщины) шаге пространственной сетки. Другим примером неудачной схемы для данной задачи является схема метода конечного элемента с линейной аппроксимацией и обладающая аналогичным недостатком. Примером удачной численной схемы является схема, построенная вариационно-разностным методом. Отметим, что все приведенные схемы имеют одинаковый второй порядок точности.

Данная особенность не является присущей исключительно модели Тимошенко. При использовании для данной задачи других математических моделей (например, уравнений теорииупругости в сочетании с, вытянутыми вдоль. срединной поверхности оболочки ячейками) также могут получаться неудачные численные схемы. Применение же мелких пространственных сеток (с шагом меньше толщины оболочки) для данных задач является неэффективным, поскольку реальные практически значимые длины волн в них в несколько раз превышают толщину оболочки.

Этот эффект неоднократно описан под разными названиями в различных работах, особенно по методу конечного элемента. Для устранения указанного недостатка использовались: сокращенное интегрирование [248,249], способ двойной аппроксимации [71,72], другие подходы [1−3,120,121,185,231,240]. Данная проблема в МКЭ подробно обсуждается в [97]. Близко к ней лежит проблема линейного треугольного оболочечного элемента, неудачные опыты с которым по сути привели к отказу от его использования. Подробный анализ причин недостатков схем на треугольных ячейках приведен в [56]. В целом, резюмируя вышесказанное по данной проблеме, отметим следующее. Задачи динамики тонкостенных конструкций являются вырожденными или вырождающимися, т. е. содержащими малый параметр — толщину. В последнем случае низшие и важнейшие частоты длинноволновых процессов получаются как разность близких больших величин. Поэтому малые относительные погрешности этих больших величин могут приводить к большим относительным погрешностям их разности. В связи с этим при построении численных схем следует либо добиваться высокого порядка точности (выше второго по пространственным координатам) и при этом влияние этих малых погрешностей будет действительно мало, либо для схем второго порядка точности очень тщательно следить за согласованностью погрешностей разных членов уравнений. Все рассмотренные выше приемы посвящены последнему подходу. В итоге же неудачные схемы отличаются от удачных отсутствием равномерной сходимости по параметру сеточной задачи AX/h, где АХ — шаг сетки по пространственным координатам, h — толщина оболочки. Реально эти недостатки проявляются при использовании сдвиговой модели оболочки для AX/h >0.3. При использовании трехмерной теории неудачные схемы будут работать плохо на сетках с параметром AXmw/AXmin>5. Проведем сравнение удачных и неудачных схем с точки зрения эффективности. Увеличение шага пространственной сетки в 2 раза позволяет на двумерной задаче уменьшить число пространственных узлов в 4 раза, во столько же раз уменьшается число операций на одном временном шаге. Если реально для широкого класса задач удается без заметной потери точности и трудоемкости вычислений увеличить шаг в 5−10 раз, то эффект очевиден.

Динамические проблемы. Рассмотрим трудности, возникающие исключительно при решении динамических задач. Во-первых, исследователь должен сделать выбор между явными и неявными схемами. Общеизвестно, что у явных схем временной шаг определяется устойчивостью схемы, а у неявных абсолютно устойчивых — точностью. Заметим, что при решении систем итерационными методами в неявных схемах могут возникать ограничения на временной шаг, близкие к условию Куранта-Фридрихса-Леви (К-Ф-Л) [153]. При этом нужно — учитывать, что трудоемкость неявных схем на шаге по времени больше.

Условия устойчивости Неймана являются необходимыми и достаточными. Также они связывают спектр сеточной задачи с ее временным шагом.

Другим необходимым условием устойчивости явной схемы «крест» является известное условие К-Ф-Л [144], одной из возможных формулировок которого является следующее утверждение: за один шаг волна не должна проходить более одной ячейки разностной сетки. Исследования устойчивости разностных схем типа «крест» для многомерного волнового уравнения, плоской и трехмерной задач теории упругости показывают, что данное условие, как правило, является и достаточным при его правильной геометрической интерпретации. В целом же можно отметить, что схемы, как правило, устойчивы при выполнении условия К-Ф-Л, где в качестве линейного размера берется наименьший из характерных размеров ячейки разностной сетки. Это подтверждают приведенные примеры. Таким образом, данное условие практически во всех рассмотренных случаях является не только необходимым, но и достаточным.

Поскольку временной шаг неявных схем определяется точностью, обра-там внимание на спектр задачи. Выбор временного шага (так же, как и пространственного) естественным образом обрезает сверху спектр частот и снизудлины волн по пространству. Поэтому, если важны коротковолновые процессы, шаг нужно брать мелким, а в этом случае эффективнее явные схемы. Если не важны — эффективнее неявные схемы.

Обычно спектр задачи связан со временем процесса. Коротковолновые процессы — это процессы ударные, импульсные, содержащие крутые фронты. Как правило, они и кратковременные, если учитывать диссипацию энергии. В длительных процессах коротковолновая составляющая обычно несущественна. Отсюда можно сделать вывод, что явные схемы предпочтительнее неявных для кратковременных процессов, и конкурентноспособны с ними в некотором промежуточном диапазоне. Для длительных (более периода по основной форме) колебательных процессов с гладкими решениями следует отдать предпочтение неявным схемам. Отметим связь геометрии конструкций с эффективностью явных или неявных схем. Наличие у конструкций различных мелких геометрических особенностей (отверстий, выточек, жестких включений и т. п.) требует более точного описания напряженно-деформированного состояния в их окрестности, а соответственно и более мелкой сетки. В этом случае эффективность явных схем падает в связи с условием К-Ф-Л. Задачи со сложной геометрией являются жесткими [185], поскольку необходимо учитывать разномасштабные по пространству (соответственно и по времени) процессы. В целом, чем проще геометрия^ тем выше эффективность явных схем по сравнению с неявными.

Еще один аспект при выборе явных или неявных схем — физическая нелинейность. При пластическом деформировании материала в сочетании с неявными схемами неизбежно приходим к необходимости решения на каждом временном слое нелинейной системы уравнений, а следовательно к итерационно-~ *му* процессу'. К тому же, возможность упругих разгрузок накладывает некоторые ограничения на временной шаг. Следовательно, при решении физически нелинейных задач сравнительная эффективность явных схем возрастает.

— Подводя итог, отметим необходимость учета всех вышеперечисленных факторов при выборе явной или неявной схемы.

Способы повышения эффективности численных методов, использующих явные схемы. При решении большинства задач для тонких оболочек достаточная точность достигается при использовании пространственного шага сетки вдоль срединной поверхности порядка толщины оболочки. Если применяется трехмерная теория упругости, выгодно использовать ячейки, сплющенные по толщине. В том и другом случаях условия устойчивости явных схем становятся чересчур обременительными. Этот факт был отмечен давно, и рядом авторов предпринимались попытки тем или иным способом увеличить временной шаг, в целом оставаясь в рамках явного подхода [16,69,85,107,112,221,229−230,237.

239]. Все они так-или иначе основаны на противоречии между спецификой волновых. процессов в оболочках и явными схемами. Суть его в том, что первыми численную устойчивость теряют формы колебаний, направленные перпендикулярно срединной поверхности оболочки, т. е. те, для которых волновая динамика фактически отсутствует. Предлагались следующие подходы: с выделением высокочастотных форм — работа [107], в которой рассмотрена сеточно-характеристическая схема с выделением колебаний по толщине оболочкис подавлением высокочастотных колебаний — работы [51,54].

По сути все вышеуказанные подходы к повышению эффективности схем сводятся либо к исключению части спектра из задачи и отдельной обработки высокочастотных форм колебаний [107], либо к понижению частот у этих форм до нужного уровня. В любом случае влияние регуляризации на длинноволновые процессы должно быть незначительноИсходя из соотношения временных шагов схем с регуляризацией и без нее, эти подходы позволяют реально получитьвыигрыш во времени расчета в несколько раз.. .- Охарактеризуем кратко прочие проблемы решения задач динамики конструкций. Они так или иначе присутствуют и при решении задач других классов: геометрически нелинейные проблемы и, в частности, проблема смещения как. жесткого целогопроблема. неустойчивости «песочные часы» — проблема особых точек систем координат.

Проблемы геометрической нелинейности [90,120,122,150,155,157,198, 226,233,247]. Эти проблемы связаны с двумя факторами — наличием больших перемещений и углов поворота и использованием криволинейных систем координат. В совокупности они порождают проблему смещения тела как жесткого целого, являющуюся индикатором правильности геометрического описания процесса деформирования. Данные проблемы поднимались в работах [97,198].

Проблема неустойчивости «песочные часы» иди мод нулевой энергии. Данная проблема возникает в конечно-разностных и вариационно-разностных схемах [23,25,33,207] и связана с неполнотой систем разностных операторов, аппроксимирующих функцию и производные в ячейках разностной сетки. Она возникает, когда число узлбв в ячейке превышает число используемых разностных операторов для аппроксимации производных. Типичные случаи — схема на четырехугольных ячейках в плоском случае (три оператора, четыре узла, одна мода нулевой энергии) и шестигранная ячейка в трехмерных задачах (четыре оператора, восемь узлов, четыре моды нулевой энергии). Неполнота систем разностных операторов в ячейках приводит к тому, что сеточный оператор задачи утрачивает свойство положительности. При этом в ячейке возникает как-бы свободно перемещающийся кинематический механизм, закрепление которого происходит только в граничных узлах с заданными условиями в перемещениях. Поэтому в некоторых задачах неустойчивость ''песочные часы" не возникает (это задачи с граничными условиями в перемещениях и сравнительно небольшим числом узлов сетки). Для подавления этой неустойчивости было предложено использовать искусственную вязкость специального типа, повысить порядок аппроксимации по пространственным переменным [242], вводить в расчеты дополнительные треугольные (тетраэдральные) ячейки [32], вычислять моментные составляющих деформаций с помощью аппроксимации линейными функциями[23,25]. В последнем варианте можно получить дискретные соотношения, аналогичные принятым в шестимодальном варианте теории оболочек типа Тимошенко, и при отсутствии локальных импульсных воздействий решать нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций на сетке с одним слоем конечных элементов по толщине. Такой подход позволяет в рамках единого алгоритма исследовать нестационарное деформирование составных конструкций, включающих массивные тела и оболочки. Другие подходы к устранению эффекта «песочных часов» предлагались в работах [99,192,234].

Проблема особых точек систем координат. Эта проблема имеет место при использовании криволинейных систем координат, и, в частности, при решении осесимметричных задач вблизи оси вращения. В этом случае якобиан обращается в нуль, уравнения? вырождаются и необходимо поставить граничные условия на оси. В результате решения по стандартной методике могут получаться большие искажения решения. Для решения данной проблемы применяются приемы, позволяющие их уменьшить. Вариант такого подхода, связанный с заменой переменных, приведен в [26].

Ряд" специфических проблем возникает при решении актуальных в настоящее время задач расчета многослойных конструкций и конструкций из композитных материалов [6,64,67,82].

Большое внимание в литературе уделяется решению задач контактного взаимодействия деформируемых тел и конструкций с твердыми телами, жидкими и грунтовыми средами [24,70,83,100,103,104,113,138,139].

Большая библиография по вопросам, связанным с рассмотренной темой имеется в опубликованных" книгах и обзорах последних (и более ранних) лет [17,22,64,83,101,123,204]. Таким. образом, в целом вопросы математического обоснования и теоретического анализа численных методов решения задач механики конструкций являются недостаточно изученными. Поэтому актуальны вопросы разработки и развития теоретических методов анализа точности, устойчивости и эффективности численных схем решения задач динамики тонкостенных конструкций, а. также применение этих методов к исследованию существующих и разработке новых методов решения задач указанного класса.

Цели работы:

— развитие методов исследования вариационно-разностных и конечно-элементных схем решения задач механики деформируемого твердого тела;

— построение эффективных численных схем решения нестационарных задач динамики тонкостенных конструкций, учитывающих специфику процессов деформирования;

— анализ и математическое обоснование точности, устойчивости и методов повышения эффективности численных схем;

— численное исследование нестационарных геометрически и физически нелинейных процессов деформирования оболочек при ударных и импульсных воздействиях.

Научная новизна.

1) Разработан метод анализа вариационно-разностных и конечно элементных схем, основанный на преобразовании к конечно-разностному виду, удобному для теоретического исследования. 2) На базе данного подхода проведен анализ точности и сходимости численных, схем решения задач теории упругости и теории оболочек. Впервые получены и теоретически обоснованы условия применения грубых сеток при расчете тонкостенных конструкций. Исследована равномерная сходимость схем по параметру сеточной задачи AX/h (где АХдиаметр ячейки разностной сетки, h — толщина оболочки). Предложен класс «ажурных» численных схем метода конечного элемента. Проведен анализ устойчивости явных схем типа «крест» решения задач теории упругости и 'теорий оболочек— Получены точные и* приближенныеоценки устойчивости.

3) Разработан метод повышения эффективности явных численных схем путем введения неявного стабилизирующего оператора и его конкретные реализации для задач теорий оболочек и теории упругости. Проведено математическое обоснование, анализ подбора параметров и условий применимости метода.

4) Проведены численные исследования процессов динамического деформирования и потери устойчивости оболочек при ударных и импульсных воздействиях.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, подтверждается решением большого числа тестовых задач, сравнением результатов расчетов с аналитическими решениями, экспериментальными данными и результатами других авторов, полученными с использованием различных численных методов.

Практическая ценность работы Результаты проведенных в диссертационной работе исследований находят практическое применение в 111 111 «Дина-мика-2» и «Динамика-3» решения нестационарных, задач динамики конструкций-и массивных тел, разработанных в НИИ механики при ННГУ. Созданные на их основе методики и рекомендации по их применению внедрены в расчетную практику рядзотраслевых и проектно-конструкторских организаций.

На защиту выносятся:

— метод анализа вариационно-разностных и конечно-элементных схем, основанный на построении эквивалентных конечно-разностных схем;

— результаты исследования точности вариационно-разностных схем теории пластин и оболочек: анализ равномерной сходимости по параметру сеточной задачи AX/h, условия применения грубых сеток в задачах теории оболочек;

— новый класс «ажурных» численных схем метода конечного элемента;

— оценки устойчивости явных схем «крест» решения задач теории упругости и теории оболочек- ¦ .——————;

— метод регуляризации численных схем решения задач теории упругости и теории оболочек, основанный на введении неявного стабилизирующего оператора-. .. —. -.'•••. — - • • • •.

— результаты численных исследований процессов динамического деформирования и потери устойчивости оболочек при ударных и импульсных воздействиях.

Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах: Республиканская научно-техническая конференция «Механика сплошных сред» (Набережные челны, 1982), Всесоюзная конференция «Численная реализация физико-механических задач прочности» (Горький, 1983), семинар «Прикладные методы расчета физических полей» (Крым, пос. Кацивели, 1984), V Всесоюзная конференция по статике и динамике пространственных конструкций (Киев,.

1985), VIII Всесоюзный симпозиум по распространению упругих и упругопла-стических волн (Новосибирск, 1986), II Всесоюзный симпозиум «Устойчивость в механике деформируемого твердого тела» (Калинин, 1986), VI Всесоюзная школа «Теоретические основы и конструирование алгоритмов решения задач математической физики» (Горький, 1986), 1,11,III, IV Всесоюзные школы молодых ученых «Численные методы механики сплошной среды» (Шушенское, 1987, Абакан, 1989, Абрау-Дюрсо, 1991, 1992), XVI, XIX Международные конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 1993, 1999), XIV Международная конференция «Численные методы решения задач упругости и пластичности» (Волгоград, 1995), X Юбилейная Международная конференция по вычислительной механике и современным программным системам (Переславль-Залесский, 1999), VI Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2000), Международная научно-техническая конференция «Испытания материалов и конструкций», посвященная 100-летию со дня рождения проф. М. И. Волского (Нижний Новгород, 2000), .XX Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003), на семинаре НИИ механики при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

Публикации По теме диссертации опубликована 41 работа, в том числе 1 монография и 1 учебное пособие. Основные результаты диссертации отражены в работах [4,35,44,45,51 -61,180,212−217].

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения и списка литературы из 249 наименований. Работа содержит 263 страницы основного текста, включая 77 рисунков и 4 таблиц.

Основные результаты и защищаемые положения диссертации опубликованы в работах [4,35,44,45,51−61,180,21 1.

Заключение

.

В диссертационной работе получили развитие методы численного решения геометрически и физически нелинейных нестационарных задач динамики тонкостенных конструкций. В процессе исследований получен ряд новых результатов, краткая формулировка которых приводится ниже.

1. Разработан метод анализа вариационно-разностных и КЭ численных схем, состоящий в построении эквивалентного им конечно-разностного представления. Он позволяет проводить теоретический анализ методов численного решения широкого класса линейных и нелинейных задач. Его применение позволило провести исследования ряда, свойств дискретных моделей, недоступных при стандартном теоретическом анализе МКЭ.

2. Проведены исследования аппроксимации, устойчивости и сходимости численных схем теории пластин и оболочек Тимошенко. Определены условия равномерной сходимости численных схем по параметру сеточной задачи AXfh. Обосновано применение грубых по сравнению с толщиной оболочки сеток. Предложен новый класс «ажурных» схем МКЭ. 3. Получены оценки устойчивости явных численных схем решения задач теории упругости и теории оболочек. Установлен эффект граничной неустойчивости трехмерных схем на свободных границах, содержащих ребра и углы и проведено исследование частного случая данной неустойчивости.

4. Разработан метод повышения эффективности численных схем «крест» теории упругости и теории оболочек путем введения неявного стабилизирующего оператора простой структуры. Дано математическое обоснование метода, проведен анализ аппроксимации, эффективности и условий применимости. Разработаны реализации метода для задач теории оболочек и теории упругости. Определены оптимальные параметры регуляризирующих операторов.

5-. Проведены численные исследования процессов динамического деформирования и потери устойчивости, упругих и упругопластических оболочек при ударных и импульсных воздействиях.

— Рассмотрена задача о выпучивании упругопластической цилиндрической оболочки при нецентральном продольном ударе. Проведены исследования процессов деформирования в зависимости от скорости и эксцентриситета удара.

— Рассмотрены осесимметричные процессы потери устойчивости упругих и упругопластических сферических куполов под действием мгновенно приложенного давления.

— Рассмотрены процессы выпучивания пологих сферических куполов, квадратных в плане, под действиемимпульса давления. Определены критические нагрузки, формы выпучивания, особенности процессов.

Проведенные в диссертационной работе исследования позволяют существенно (до десятии. более раз) повысить эффективность вариационно-разностных и конечно-элементных методов решения нестационарных задач динамики тонкостенных конструкций.