Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций

Диссертация: Четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Изучению многоэлементных задач общего (не треугольного) вида посвящены работы K.M. Расулова, Н. Г. Анищенковой, И. Б. Болотина. В этих работах исследованы двухэлементные задачи (типа Римана) для полианалитических функций (-,) и трёхэлементные задачи (типа Римана) для бианалитических функций (-). Вместе с тем, до настоящего времени оставались не изученными четырёхэлементные задачи типа Римана… Читать ещё >

Содержание

  • ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
    • 1. 1. Основные обозначения, понятия и вспомогательные теоремы
    • 1. 2. Некоторые вспомогательные краевые задачи в классах аналитических функций
    • 1. 3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций
  • ГЛАВА II. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ОКРУЖНОСТИ
    • 2. 1. Постановка первой основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций
    • 2. 2. Сведение решения задачи 0&-ц к решению двух векторно-матричных задач Римана для аналитических функций
    • 2. 3. Решение и исследование картины разрешимости векторно-матричной задачи Римана вида (2.5) в случае
    • 2. 4. Решение и исследование картины разрешимости векторно-матричной задачи Римана вида (2.5) в случае II
    • 2. 5. Решение и исследование картины разрешимости задачи вЬ^я
    • 2. 6. Некоторые случаи решения задачи в!^] в замкнутой форме
    • 2. 7. Постановка второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций
    • 2. 8. Решение второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций в случае окружности

    ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 3.1 Сведение решения задачи GR41 к решению двух обобщённых скалярных задач типа задачи Римана относительно кусочно-аналитических функций.

    3.2 Исследование картины разрешимости задачи ОИ^.

    3.3 О решении второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций.

Четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Теория краевых (граничных) задач является важнейшей областью современного комплексного анализа и математической физики.

Благодаря трудам Б. В. Боярского [12], И. Н. Векуа [13], Н. П. Векуа [14]

18], Ф. Д. Гахова [22]-[24], Г. С. Литвинчука [44]-[46], Н. И. Мусхелишвили [65], [66] и многих других известных математиков теория линейных граничных задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершённый вид.

В то же время, для решения части прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным, классической теории последних оказывается недостаточно. При постановке задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. Исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров, для более широкого класса заданных и искомых функцийрассматриваются различные задачи со сдвигомзадачи, содержащие производные искомых функцийзадачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомойграничные задачи в классе обобщённых аналитических функций.

Одним из естественных обобщений аналитической функции комплексного переменного является бианалитическая функция. Бианалитические функции зародились в математической теории упругости. Г. В. Колосов [35] обнаружил, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить функции вида

В данной диссертационной работе исследуются четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций, которые являются одним из естественных обобщений многоэлементных краевых задач для аналитических функций.

Интерес к изучению многоэлементных краевых задач в классах аналитических, полианалитических, метааналитических функций постоянно растёт, так как к задачам такого типа приводят разнообразные физические и технические проблемы: плоская теория упругости (см., например, [65]), задачи теории поверхностей и теории оболочек (см., например, [13]).

Исследованию таких задач в классах бианалитических и полианалитических функций посвящено множество работ (В .А. Габринович

19], [20], C.B. Левинский [42], [43], Б. Дамьянович [90] и др.). Однако изучаемые ими задачи в своей исходной формулировке имеют так называемый треугольный вид (см. [68], с. 19). Эта особенность их постановки позволяет свести решение рассматриваемых задач к последовательному решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций.

Изучению многоэлементных задач общего (не треугольного) вида посвящены работы K.M. Расулова, Н. Г. Анищенковой, И. Б. Болотина. В этих работах исследованы двухэлементные задачи (типа Римана) для полианалитических функций ([9]-[11], [68], [69]) и трёхэлементные задачи (типа Римана) для бианалитических функций ([1]-[5]). Вместе с тем, до настоящего времени оставались не изученными четырёхэлементные задачи типа Римана общего вида в классах бианалитических функций, которые являются естественным обобщением задач исследованных ранее.

Пусть на плоскости комплексного переменного z = x + iy простой гладкий замкнутый контур L, заданный уравнением t = x (

Требуется найти все кусочно-бианалитические функции f{z) = {f+(z), F~(z)] с линией скачков l, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим граничным условиям:

Задача GR4i Ai (0—r-^ = Gu + Gi2(t)~-^ + gx (t), (0.1) ox ox ox ox

0.2) ду ду ду dy

Задача GR42

An{t)F+ (0 + Au (t)F+ (/) = Gn (t)F-(0 + Gn (t)F~ (t) + gl (t), (0.3)

0−4) on+ on+ on on где Ak (t), Gkj (t), gk (t) (? = 1,2- У = 1,2) — заданные на контуре L функции класса 3

H (L) (Гёлъдера), д производная по внутренней (внешней) нормали к дп+ дп) X.

Сформулированные задачи будем называть соответственно первой и второй основными четырёхэлементными краевыми задачами типа задачи Римана в классах бианалитических функций или короче — задачами (Ж// и &142.

Следует отметить, что в частном случае, когда коэффициенты удовлетворяют условиям

Akl (t) = Akl (t) s 0, Gkx (t) s Gkl{t) = 1 (k =, 2), (0.5) задачи GR41 и GR42 представляют собой основные классические задачи теории бигармонических функций, называемые соответственно первой и второй основными бигармоническими задачами ([41], [65], [82]).

Если в равенствах (0.1)-(0.4) выполнены условия

Akl (t) ш 1, Ak2(t) ^ Gk2{t) ш 0 (k = 1,2), (0.6) то задачи GR41, GR42 представляют собой основные двухэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций, которые были поставлены Ф. Д. Гаховым в его известной монографии [22] (с. 319). При выполнении указанных условий задачи GR41, GR42 в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами подробно исследованы в работах K.M. Расулова (см. [68] и имеющуюся там библиографию).

При условии, что на контуре L

Ai (0 = l и Ak2(t) = 0 (к = 1,2), (0.7) сформулированные задачи представляют собой основные трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций, постановку которых дал K.M. Расулов (см. [68], с. 286). При выполнении последних условий поставленные задачи были достаточно подробно исследованы в работах Н. Г. Анищенковой (см. [1]-[5]), а также в совместных работах [10], [11].

Поскольку в общем случае (когда на коэффициенты краевых условий не наложены ограничения вида (0.5), (0.6) или (0.7)) задачи GR41 и GR42 до сих пор оставались не изученными, то разработка методов их решения является актуальной проблемой современного комплексного анализа.

В соответствии с этим целью настоящей работы является разработка методов решения основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана в классах бианалитических функций, построение теории их разрешимости, установление их нётеровости и выявление случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Перейдём к краткому изложению содержания работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложены методы решения первой (задача ОЯ") и второй (задача ОБ^) основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана для бианалитических функций в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами, которые основаны на представлении неизвестных бианалитических функций через их аналитические компоненты, а также на теории обобщённых краевых задач Римана в классах кусочно-аналитических функций. В работе выведены необходимые и достаточные условия разрешимости, а также условия нётеровости задач ОЯ^ и вЯ^.

Показано, что в частном случае, когда граница представляет собой окружность, исследуемые задачи допускают достаточно простое решение, основанное на возможности задания окружности уравнением Шварца г = —. г

В этом случае задачи ОЯ^ и ОЯ^ редуцируются к невырожденным векторно-матричным задачам Римана для аналитических вектор-функций, на основе чего получены конструктивные методы решения задач вЯ^ и ОЯ42 и указаны случаи, при которых решение будет задаваться в квадратурах.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы решения задач вЯц и ОЯ*2 в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами.

2. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости задач ОЯ41 и ОЯ42, установлена их нётеровость.

3. Разработан специальный метод решения задач ОЯц и ОЯ*2 в случае круговой области сведением их к векторно-матричным задачам Римана для аналитических вектор-функций.

4. Выявлены частные случаи, когда задачи ОЯ41 и вЯ^ допускают решение в замкнутой форме (т.е. в квадратурах).

Показать весь текст

Список литературы

  1. , Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Анищенкова Надежда Геннадьевна. Смоленск, 2002. — 120 с.
  2. , Н.Г. О решении обобщенной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге / Н. Г. Анищенкова, Э. И. Зверович, К. М. Расулов // Докл. НАН Беларуси. 2001. — Т. 45. — № 6. — С. 22−25.
  3. , Н.Г. Об одной обобщенной задаче типа Римана для бианалитических функций в случае круговой области / Н. Г. Анищенкова, К. М. Расулов / Смоленск, гос. пед. ун-т. Смоленск, 2000. — 11 е.- Деп. в ВИНИТИ 18.09.2000.-№ 2424-В00.
  4. , М.Б. Полианалитические функции и их обобщения / М. Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Сов. пробл. матем. фун. напр. Т. 85. -М.: ВИНИТИ, 1991.-С. 187−246.
  5. , И.А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения: Дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Бикчантаев Ильдар Ахмедович. Казань, 1972. — 89 с.
  6. , И.А. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения эллиптического типа / И. А. Бикчантаев // Тр. семинара по краев, задачам. Казанск. ун-т. 1971. — Вып. 8. — С. 31−40.
  7. , И.Б. Кусочно непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Болотин Иван Борисович. Смоленск, 2004. — 110 с.
  8. , Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б. В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25. — Вып. 4. — 1960. — С. 385−390.
  9. , И.Н. Обобщённые аналитические функции / И. Н. Векуа. М.: Наука, 1988. — 509 с.
  10. , Н.П. Граничные задачи Гильберта для нескольких неизвестных функций с рациональными коэффициентами / Н. П. Векуа. // Труды Тбилисского математического института. Тбилиси: Мецниереба, 1989. — Т. 88.-С. 64−68
  11. , Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике / Н. П. Векуа. М.: Наука, 1991. — 255 с.
  12. , Н.П. Об одной задаче теории функции комплексного переменного / Н. П. Векуа // Докл. АН СССР. 1952. — Т. 86, № 3. — С. 457−460
  13. , Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н. П. Векуа. М.: Наука, 1970. — 379 с.
  14. , Н.П. Об одной краевой задаче теории функций комплексного переменного и её применении к решению системы сингулярных интегральных уравнений / Н. П. Векуа, Д. А. Квеселава // Тр. Тбилисск. Матем. Ин-та, Т. 9,1941. С. 33−48
  15. , В. А. Краевые задачи карлемановского типа для полианалитических и метааналитических функций: дис.. докт. физ.-мат. наук: 01.01.01 /В.А. Габринович Минск, 1977
  16. , В.А. Об одной задаче сопряжения для полианалитических функций на окружности / В. А. Габринович // Вестник АН Бел. ССР, серия физ.-мат. наук, 1974. № 1. — С. 29−36
  17. , М.П. Краевые задачи для полианалитических функций / М. П. Ганин // Докл. АН СССР. 1951. — Т. 80, № 3. -С. 313−316.
  18. , Ф.Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М.: Наука, 1977. — 640 с.
  19. , Ф.Д. О краевой задаче Римана для системы п пар функций / Ф. Д. Гахов // Докл. АН СССР. 1949. — Т. 67, № 4. — С. 601−604.
  20. , Ф.Д. Аналитическое продолжение метод решения функциональных уравнений / Ф. Д. Гахов // Современные проблемы теории аналитических функций. — М.: Наука, 1966. — С. 73−83.
  21. , А. Теория функций / А. Гурвиц, Р. Курант- перевод М. А. Евграфова. М.: Наука, 1968. — 648 с.
  22. , В.И. Об одном обобщении полианалитических функций / В. И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-та 1975. -Вып. 12.-С. 50−57.
  23. , P.C. Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения и её применение к теории интегральных дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР, 1958. т. 20, № 6. — С. 659−666.
  24. , P.C. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: дис.. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Рагим Сулейманович Исаханов. Тбилиси, 1983. — 281 с.
  25. , P.C. О некоторых дифференциальных граничных задачах теории аналитических функций / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР, 1958. Т. 21, № 1.-С. 11−18.
  26. , P.C. Об одной общей задаче для голоморфных функций / P.C. Исаханов // Тр. Тбилиского матем. ин-та. 1980. — Т. 65. — С. 99−109.
  27. , P.C. Об одном классе дифференциальных граничных задач / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР, 1960. Т. 25, № 5. — С. 517−524.
  28. , P.C. Об одном классе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Докл. АН СССР, 1960. Т. 132, № 2.-С. 264−267.
  29. , А.И. Математические методы двумерной упругости / А. И. Каландия. М.: Наука, 1973. — 303 с.
  30. , Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций / Д. А. Квеселава // Тр. Тбилиского матем. ин-та. 1948. — T. XVI. — С. 39−90.
  31. , Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости / Г. В. Колосов. Юрьев, 1909. — XIX, 187 с.
  32. , М.Л. Интегральные уравнения / M.JI. Краснов. М.: Наука, 1975.-301 с.
  33. , Ю.М. О решении обобщённой краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения / Ю. М. Крикунов // Докл. АН СССР, 1952. Т. 85, № 2. — С. 269−272.
  34. , Ю.М. О решении обобщённой краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения / Ю. М. Крикунов // Учен. зап. Казанского гос. ун-та, 1952. Т. 112, кн. 10. — С. 191 199.
  35. , А.Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 432 с.
  36. , М.М. Теория операторов и некорректные задачи / М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев. Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 1999. -702 с.
  37. , М.М. Методы теории функций комплексного переменного / М. М. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1973. — 736 с.
  38. , C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: дисс.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Левинский Сергей Васильевич. Одесса, 1991. — 142 с.
  39. , C.B. Краевая задача для функций, полианалитических в нескольких многосвязных областях / C.B. Левинский //В кн.: Современный анализ и его приложения. Киев: Наукова думка, 1989. — С. 107−111.
  40. , Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г. С. Литвинчук. М.: Наука, 1977. — 448 с.
  41. , Г. С. Об одной задаче, обобщающей краевую задачу Карлемана / Г. С. Литвинчук // Докл. АН СССР. 1961. Т. 139, № 2. — С. 290 293.
  42. , Г. С. Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций / Г. С. Литвинчук // Докл. АН СССР. 1967. — Т. 174, № 6. -С. 1268−1270.
  43. , Г. Ф. Граничная задача линейного сопряжения общего вида со смещениями / Г. Ф. Манджавидзе // Тр. Тбилисск. матем. ин-та, Т. 33, 1967, С. 76−81.
  44. , Г. Ф. Граничные задачи сопряжения со смещением для аналитических и обобщенных аналитических функций / Г. Ф. Манджавидзе // Тбил. гос. ун-т им. И. Н. Векуа. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1990. — 174 с.
  45. , А.И. Теория аналитических функций / А. И. Маркушевич. М.: Наука, 1968. — 620 с.
  46. , Ю. А. О решении второй четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге / Ю. А. Медведев, К. М. Расулов // Литовский математический журнал. Вильнюс, 2006. — Т. 46, № 3.-С. 377−385.
  47. , Ю. А. Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для бианалитических функций / Ю. А. Медведев, К. М. Расулов // Вестник ЮУрГУ, Серия «Математика, физика, химия». Челябинск, 2006. -Вып. 7. — № 7(62) — С. 54−58.
  48. , Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л. Г. Михайлов. Душанбе, 1963. — 192 с.
  49. , Л.Г. Об одной граничной задаче линейного сопряжения / Л. Г. Михайлов // Докл. АН СССР. 1961. — Т. 139, № 2. — С. 294−297
  50. , Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. — 707 с.
  51. , Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. — 511 с.
  52. , Л.П. О краевой задаче с сопряжением / Л. П. Примачук // Изв. АН БССР, Сер. физ.-мат. наук. 1967. — № 4. — С. 59−62
  53. , K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / K.M. Расулов. Смоленск: СГПУ, 1998. — 343 с.115
  54. Balk, M.B. Polyanalytic functions / M.B. Balk. Berlin: Akademie Verlag, 1991.-192 p.
  55. Begehr, H. Boundary value problems in complex analysis / H. Begehr // Boletin de la Asociation Matematica Venezolana, Vol. 12, № 1. 2005. — P. 65−85.
  56. Damjanovic, B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Матем. вестник (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411−415.
  57. Davis, P. The Schwarz functions and its applications / P. Davis. -Washington, 1974. 219 p.
  58. Rasulov, K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the class of analytical functions / K.M. Rasulov // Mathematical modelling and analysis, Vol. 9, № 3. 2004. — P. 223−228.
  59. Stein, M.E. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions / M.E. Stein. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970. — 303 p.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!