Непертурбативные эффекты в суперсимметричных калибровочных теориях

Проблема невылетания цвета (конфайнмента) остается одной из основных нерешенных фундаментальных проблем теоретической физики высоких энергий. К сожалению, квантовая хромодинамика (КХД) находится в режиме сильной связи, и поэтому аналитические методы исследования неабелевой динамики в этой теории натыкаются в течение многих лет на непреодолимые трудности.

В связи с этим представляется естественным расширить круг изучаемых теорий и провести детальное исследование различных физических режимов, в которых могут находиться другие неабелевы калибровочные теории, уделяя особое внимание фазе конфайнмента. Дело в том, что конфайнмент, наряду с кулоновской и хиггсовской фазами, является одним из режимов, характерных для четырехмерных калибровочных теорий. Исследование конфайнмента в широком круге неабелевых калибровочных теорий позволило бы пролить свет на физику данного явления и его общие черты, характерные для различных теорий. Это дало бы качественную картину конфайнмента в КХД и, возможно, позволило бы развить приближенные количественные методы исследования конфайнмента, применимые в КХД.

Одним из наиболее перспективных направлений такого подхода является исследование непертурбативной динамики в суперсимметричных калибровочных теориях. Суперсимметрия [1−5], симметрия между бозонами и фермиона-ми, была открыта в 70-ых годах, и к настоящему времени суперсимметричные теории поля и струн доминируют в теоретической физике высоких энергий. Из-за фермион-бозонных сокращений суперсимметрия позволяет устранить или уменьшить степень ультрафиолетовых расходимостей в теории поля [4, 6]. Таким образом, она является ключевым ингридиентом для формулировки непротиворечивой теории поля. Даже если ультрафиолетовые расходимости присутствуют в данной теории, мы это интерпретируем так, что расширенная суперсимметрия была нарушена на некотором высоком энергетическом масштабе, и ниже этого масштаба теория несуперсимметрична или имеет меньшую степень суперсимметрии. При таком подходе масштаб нарушения суперсимметрии играет роль физического ультрафиолетового обрезания теории.

К сожалению, в природе суперсимметрия, по-видимому, нарушена столь сильно, что нет экспериментальных свидетельств ее наличия. Тем не менее, с теоретической точки зрения, идея суперсимметрии оказалась чрезвычайно плодотворной.

Теоремы о неперенормируемости, голоморфность и аналитичность позволили получить массу важной информации, а в некоторых случаях и практически полностью определили динамику четырехмерных суперсимметричных неабеле-вых теорий. В частности, во многих случаях удалось продвинуться в область сильной связи, что немыслимо в несуперсимметричных теориях, типа КХД. Особенно интересными представляются результаты по исследованию конфайн-мента в суперсимметричных неабелевых теориях. Именно таким аспектам использования суперсимметрии для изучения неабелевой непертурбативной динамики посвящена данная диссертация.

В 80-ых годах началось исследование непертурбативных эффектов вЛ/" = 1 супер-симметричных теориях. С использованием голоморфности инстантон-ных решений, была получена точная /3-функция в суперсимметричной теории Янга-Милса [7]. Далее были получены точные формулы для киральных конденсатов [8−15] в зависимости от массы кварков в Л/" = 1 суперсимметричной КХД. Наконец, Афлеком, Дайном и Зайбергом был получен точный низкоэнергетический эффективный суперпотенциал, генерируемый одним инстантоном [16] в суперсимметричной КХД с Nf = N — 1 (Лг — число цветов, а ./V/ - число фундаментальных ароматов материи) [17]. Этот суперпотенциал описывал все киральные вакуумные конденсаты теории в хиггсовской фазе (в качестве обзоров см. [18, 19]).

Все эти достижения оказались возможными благодаря теореме о неперенормируемости суперпотенциала [20] и киральной природе инстантона. Дело в том, что вакуум теории определяется ее суперпотенциалом и не зависит от £)-членов. Поэтому фиксация эффективного суперпотенциала, по существу, означала фиксацию вакуумных конденсатов.

Первые две главы диссертации основаны на работах, сделанных во второй половине 80-ых годов. В них исследуются инстантонные эффекты в Л/" = 1 суперсимметрич-ных теориях. Так как инстантон [16] играет определяющую роль в генерировании вакуумных конденсатов в Л/" = 1 КХД, то встал вопрос о систематическом исследовании инстантонных эффектов в суперсимметричных теориях, и, в частности, эффектов взаимодействия инстантонов.

Первая глава диссертации посвящена именно этой проблеме. В ней предложен так называемый долинный метод вычисления ипстантон — антиинстан-тонных взаимодействий. Дело в том, что инстантон — антиинстантонная конфигурация не является решением уравнений движения и требуется определенная модификация стандартного метода перевала для правильного учета этой конфигурации в функциональном интеграле. В первой главе диссертации разработан долинный метод интегрирования по траекториям наискорейшего спуска в функциональном интеграле. В качестве иллюстрации он применен для исследования инстантон — антиинстантонных взаимодействий в простейших суперсимметричных и несуперсимметричных квантово — механических системах. Первая глава диссертации основана на совместных работах с Я. Я. Балицким [21, 22], а также на работе [23].

Во второй главе диссертации долинный метод применяется для анализа эффектов инстантон — антиинстантонных взаимодействий в Л/" = 1 суперсимметрич— ной КХД. Дело в том, что суперпотенциал Афлека — Дайна — Зайберга [17] является одноинстантонным эффектом. Однако, соответствующий скалярный потенциал вдоль плоского направления возникнет только на инстантон — ан-тиинстантонном уровне. Во второй главе диссертации этот потенциал получен непосредственно как эффект инстантон — антиинстантонного взаимодействия. При введении малой массы кварков «убегающий на бесконечность» вакуум стабилизируется и полученные вакуумные конденсаты совпадают с вычисленными в [13].

Далее во второй главе диссертации исследуется кулоновский газ инстантонов и антиинстантонов. Кулоновское дальнодействие в инстантонной среде связано с наличием скалярных кварков. С использованием метода Полякова [25] инстантонный кулоновский газ сводится к эффективной теории синус — Гордона. Интегрирование по размерам инстантона в суперпотенциале теории синус-Гордона дает суперпотенциал Афлека — Дайна — Зайберга, который в работе [17] выводился косвенным путем с учетом симметрий теории.

Кроме того, во второй главе диссертации анализируется вопрос о том, насколько хорошо определены инстантон — антиинстантонные эффекты в четырехмерных калибровочных теориях. Для этого, в качестве примера, с помощью долинного метода вычисляется вклад в энергию вакуума в высокотемпературной КХД. Показано, что, в отличие от супер симметричных теорий, где этот вклад хорошо определен, в высокотемпературной КХД, он смешивается с высокими порядками теории возмущений и плохо определен. Вторая глава диссертации основана на работах [26, 27], а также на совместной работе автора с В. В. Хозе [28].

Хотя киральные конденсаты в N = 1 КХД, описываемые точными формулами, можно было продолжить в режим сильной связи, они давали лишь косвенную информацию о динамике теории. В частности, механизм конфайн-мента оставался непонятым. Динамика теории в значительной мере определяется £>-членами и для ее описания недостаточно фиксации суперпотенциала. Нужна была более сильная суперсимметрия, которая могла бы гарантировать также неперенормируемость и кинетических членов.

Дальнейший прогресс был инициирован в 1994 г. работами Зайберга и Вит-тена по исследованию Л/* = 2 суперсимметричных калибровочных теорий [29, 30]. Это был значительный шаг вперед в нашем понимании непертурбативной динамики калибровочных теорий поля. Впервые было предложено точное решение нетривиальной калибровочной теории в четырех измерениях.

Решение Зайберга — Виттена было основано на ряде гипотез. В частности, например, в простейшем варианте N = 2 теории с калибровочной группой БII (2) без материи предполагалось, что на кулоновской ветви имеются две сингулярные точки, в которых монополь и дион соответственно становятся безмассовыми. В связи с этим встал вопрос о проверке этих гипотез и основанном на нем решении Зайберга — Виттена.

Такая проверка, в частности, осуществлялась с помощью инстантонных вычислений в исходной неабелевой теории. Дело в том, что точное решение Зайберга — Виттена для эффективного низкоэнергетического препотенциала теории представляют собой ряд по инстантонным вкладам. Каждый член этого ряда отвечает инстантону с данным топологическим зарядом. Проверка состояла в том, что вычислялись несколько инстантонных вкладов, отвечающих низшим топологическим зарядам и результаты сравнивались с разложением решения Зайберга — Виттена.

Третья глава диссертации основана на работах, связанных с проверкой точного решения Зайберга — Виттена. В ней предложен метод инстантонного эффективного лагранжиана, в рамках которого эффекты, индуцированные ин-стантоном на больших расстояниях, описываются с помощью эффективной точечной вершины в низкоэнергетическом лагранжиане. Этот метод использован для анализа Л/" = 2 калибровочной теории с группой 31/(2). С его помощью удается не только воспроизвести одноинстантонный препотенциал ЗайбергаВиттена, но и вычислить весь бесконечный ряд поправок к нему по степеням высших производных. Иными словами, оказалось, что решение Зайберга — Виттена не является «точным решением» .

Далее метод инстантонного эффективного лагранжиана использован в теории с А7/ фундаментальными гипермультиплетами материи (кварками) — М — 2 КХД. Построена эффективная инстантонная вершина в этой теории и с ее помощью найдена лидирующая поправка по высшим производным в эффективной низкоэнергетической теории в трех областях модулярного пространства: на кулоновской ветви вдали от кварковых сингулярностей, на кулоновской ветви вблизи корня хиггсовской ветви, а также на хиггсовской ветви вдали от сингулярности в начале координат.

Третья глава диссертации основана на работах [32−34].

Отметим, что независимо от работ [33], вошедшей в третью главу диссертации, работы по ицстантонной проверке решения Зайберга — Виттена были проделаны также и другими группами авторов. Так, сравнение одноинстантон-ного препотенциала было поведено также в работе [35], а двухинстантонногов работах [36]. Позднее мультиинсиантонные вклады были проанализированы в работах [37].

Одним из основных физических результатов теории Зайберга — Виттена является демонстрация конфайнмента электрических зарядов в результате конденсации монополей. Идея о конфайнменте как дуальном эффекте Мейснера была высказана Намбу, 'т Хоофтом, Мандельстамом и Поляковым еще в 1976 г. [25, 38−40]. Однако, в течении многих лет попытки ее реализации в КХД натыкались на непреодолимые трудности. Сильная связь, отсутствие монополей и вихревых трубок потока в КХД в квазиклассическом режиме сводили на нет эти попытки. При этом компьютерные расчеты на решетках указывают на то, что этот механизм вполне мог бы объяснить конфайнмент в КХД [41].

Прорыв произошел именно в супер симметричных теориях и был инициирован работами Зайберга и Виттена [29, 30]. Пользуясь электромагнитной дуальностью в Jf = 2 калибровочных теориях им удалось показать, что конденсация монополей действителтыю происходит вблизи монопольной точки на кулонов-ской ветви при введении малой массы? присоединенной материи.

Напомним основную идею конфайнмента, как дуального эффекта Мейс-снера при конденсации монополей. Эффективная низкоэнергетическая теория вблизи монопольной точки представляет собой дуальную квантовою электродинамику (КЭД) в режиме слабой связи. Под дуальной КЭД понимается теория, в которой магнитные заряды (монополи) играют ту же роль, что электрические заряды в обычной КЭД.

При конденсации монополей в такой дуальной КЭД магнитное поле экранируется, а электрическое поле оказывается сосредоточено в абрикосовских трубках потока (AHO) [42, 43], соединяющих тяжелые пробные электрические заряды, внесенные в хиггсовский вакуум. Так как энергия AHO трубки растет линейно с ростом длины трубки, то это приводит к линейному потенциалу конфайнмента между электрическими зарядами [25, 38−40]. Такой линейный потенциал в теориях без динамической материи означает конфайнмент зарядов. Как продемонстрировали Зайберг и Виттен [29], именно эта модель конфайнмента и реализуется в Л/" = 2 калибровочной теории вблизи монопольной точки.

Несмотря на прогресс, произошедший в нашем понимании динамики суперсимметричных неабелевых теорий с выходом в свет работ Зайберга — Виттена [29, 30], до сих пор остается без ответа фундаментальный вопрос: может ли конфайнмент в модели ЗайбергаВиттена служить прототипом конфайнмента в КХД. Исследованию различных аспектов конфайнмента в теориях Зайберга-Виттена с различными калибровочными группами, различным составом материи в различных режимах и сравнению их с тем, что мы ожидаем от конфайнмента в КХД, и посвящены остальные семь глав диссертации. В частности, изучается конфайнмент и формирование абрикосовских трубок потока как в чистой Л/" = 2 суперсимметричной калибровочной теории, так и в теориях с фундаментальными мультиплетами материи (кварками). При этом, в ряде случаев исследуются также эффекты нарушения Л/" = 2 суперсимметрии до.

В четвертой главе диссертации изучается конфайнмент и формирование аб-рикососких струн вблизи монопольной точки в Л/" = 2 калибровочной теории без материи. Этот сценарий был предложен в работе ЗайбергаВиттена [29]. Однако, довольно быстро стало ясно [44−46], что конфайнмент вблизи монопольной точки имеет абелев характер и поэтому, возможно, приводит к нежелательно большому числу адронных состояний по сравнению с тем, что мы ожидаем в КХД. Дело в том, что вакуумные средние присоединенных скаляров разрушают калибровочную группу Зи (А^) исходной теории до максимальной абелевой подгруппы В каждом из 11(1) факторов, вообще говоря, возникает целая бесконечная «башня» струнных состояний, отвечающих высшим намоткам. Это может привести к бесконечной «башне» экзотических многокварковых мезонов. С другой стороны, нет экспериментальных указаний на наличие такой бесконечной «башни» стабильных экзотических многокварковых мезонов в природе.

Изучению этой проблемы в основном и посвящена четвертая глава диссертации. Стабильность высших струнных состояний определяется родом сверхпроводимости. В четвертой главе изучается простейший вариант теории с калибровочной группой 5?7(2). Показано, что в пределе малой массы присоединенной материи /х сверхпроводимость оказывается на границе между I и II родом и струны являются БРЭ-насыщенными [47, 48]. При возрастании ?1 возникает сверхпроводимость I рода, что приводит к возникновению «башни» стабильных экзотических мезонных состояний в спектре теории. Таким образом, конфайнмент вблизи монопольной точки оказывается не похож на тот, который мы ожидаем в КХД.

Далее в четвертой главе рассматривается N = 2 КХД с одним ароматом кварков и калибровочной группой 311(2), деформированная массовым членом присоединенной материи. В этой теории изучается зависимость киральных конденсатов от массы? присоединенной материи. В пределе малых ц теория является Л/" = 2 КХД, тогда как в пределе ц —> оо присоединенная материя отщепляется и возникает Jf = 1 КХД. В этом последнем пределе киральные конденсаты определяются суперпотенциалом Афлека — Дайна — Зайберга [17]. Оказалось, что киральные конденсаты даются точными по ц формулами, которые позволяют их продолжить в предел малых где они определяются из кривой Зайберга-Виттена. Таким образом, удается найти связь между N = 1 суперпотенциалом Афлека — Дайна — Зайберга и N = 2 кривой ЗайбергаВиттена. Отметим при этом, что потенциал Афлека — Дайна — Зайберга является одноинстантонным эффектом, в то время как кривая ЗайбергаВиттена учитывает сумму инстан-тонов со всеми топологическими зарядами.

Далее в четвертой главе вычисляются монопольный и зарядовый конденсаты и показано, что оба эти конденсата обращаются в нуль в точке Аргиреса.

— Дугласа [31]. Это интерпретируется как деконфайнмент в этой точке.

Кроме того, в четвертой главе рассматривается вопрос о вложении, абеле-вых AHO струн в неабелеву теорию. Эта проблема характерна для теории Зайберга — Виттена. Для простоты рассматривается несуперсимметричная модель, в которой калибровочная группа SU (2) нарушается до U (1) конденсацией присоединенных скаляров с большим вакуумным средним. Далее, на гораздо более низком масштабе группа U (l) нарушается конденсатом фундаментальных или других присоединенных скаляров. На этом втором этапе образуется целая «башня» абелевых AHO струн. Далее изучается, что происходит с этими струнами при вложении в исходную неабелеву теорию. Оказывается, что большинство абелевых струн метастабильны. Если скаляры, которые развивают вакуумные средние на втором этапе, фундаментальные, то все струны являются метаста-бильными. Если же скаляры присоединенные, то струны с низшим намоточным числом (Z2 струны) стабильны, остальные — метастабильны. Вычисляется вероятность распада метастабильных струн. Она оказывается пропорциональна малой экспоненте от отношения квадрата массы монополя к натяжению струны. Этот результат интерпретируется как разрыв струны рождением монополь.

— антимонопольных пар.

Четвертая глава диссертации основана на совместной работе автора с А. Вайнштейном [49], на работе [50], на совместной работе автора с А. Горским и А. Вайнштейном [51], а также на совместной работе автора с М. Шифманом [52].

Отметим, что утверждение о том, что Л/* = 2 суперсимметрия не нарушена в лидирующем порядке по /i, было впервые сделано в работе [45] в рамках струнно-бранного подхода.

Пятая глава диссертации посвящена исследованию другого сценария кон-файнмента — конфайнмента на хиггсовских ветвях. В отличие от конфайнмента вблизи монопольной точки, в этом сценарии не требуется деформировать теорию введением массы присоединенной материи. При слиянии двух или нескольких сингулярных точек одинакового типа на кулоновской ветви из общего корня вырастает хиггсовская ветвь. На ней происходит конденсация заряженных полей материи. Если конденсируются монополи, то происходит конфайнмент электрических зарядов, если кварки, то монополи оказываются в фазе конфайнмента.

В пятой главе диссертации рассматривается простейший сценарий такого типа — конфайнмент монополей на хиггсовской ветви, на которой происходит конденсация кварков. Хиггсовская ветвь представляет собой предельный случай сверхпроводника I рода с безмассовыми хиггсовскими скалярами. Априори вообще неясно, образуется ли AHO струны в таком режиме, см. [53]. Дело в том, что при наличии безмассовых частиц поперечный размер струны неограниченно растет, что могло бы приводить к утере растущего потенциала конфайнмента.

В пятой главе исследуются абрикосовские струны в таком режиме. Показано, что размер струны растет лишь логарифмически, при этом логарифм обрезается длиной струны. Это приводит к специфическому нелинейному потенциалу конфайнмента ~ L/logL, где Lрасстояние между тяжелыми пробными источниками.

Далее в пятой главе рассматривается более сложная ситуация, когда геометрия на хиггсовской ветви искривлена, например, введением члена ФоеИлиопулоса [54]. Такое искривление возникает как в N = 1 КЭД, так и в N — 2 КХД при введении малой массы присоединенной материи. Найдены струнные решения в этих случаях и вычислены натяжения струн.

Пятая глава диссертации основана на работе [55], а также на совместной работе автора с К. Евлампьевым [56].

Как уже отмечалось ранее, характерной чертой теории Зайберга — Вит-тена является каскадное нарушение калибровочной инвариантности. Сначала неабелева калибровочная группа, скажем, SU (N), нарушается до абелевой подгруппы U (l)N~l 1 вакуумными средними присоединенных скаляров. Далее, на гораздо более низком масштабе, поля материи (кварки или монополи) развивают вакуумные средние, разрушая калибровочную группу окончатально (или до дискретной подгруппы). При этом образуется AHO струны. Таким образом AHO струны в Af = 2 КХД являются, вообще говоря, абелевыми, что приводит к абелеву характеру конфайнмента.

Например, как уже отмечалось выше и будет детально обсуждаться в четвертой главе диссертации, конфайнмент вблизи монопольной точки приводит к возникновению бесконечной «башни» многокварковых экзотических мезонов [46, 49]. Эти мезоны отвечают высшим намоткам AHO струны и являются стабильными из-за того, что вблизи монопольной точки развивается сверхпроводимость I рода [49].

Конечно, если мы увеличим массу присоединенной материи ц и достигнем значений fj, ~ Л (Л — масштаб теории), то «нежелательные струны» с намоточным числом п > 2, по-видимому, будут разорваны рождением И^-бозонов (имеющих массу порядка Л).

Однако, эту картину очень трудно превратить в конкретное количественное описание по двум причинам. Во-первых, при ц ~ Л теория попадает в режим сильной связи и мы теряем над ней контроль.

Во-вторых, возникает, пожалуй, еще более фундаментальная трудность. Дело в том, что роль хиггсовских базонов в дуальной КЭД вблизи монопольной точки играют монополи 'т Хоофта — Полякова. Когда fj. растет и становится порядка Л, обратная масса фотона становится порядка размера монополя. В таких условиях трудно говорить о монополе как о приближенно точечном объ.

1 Это происходит в точке общего положения на кулоновской ветви. Случаи, когда схема нарушения другая, будут обсуждаться ниже. екте, являющемся источником магнитного поля. Описание в терминах дуальной КЭД становится неприменимым. Ясно, что при этом мы теряем контроль над тем, что происходит с AHO струнами и конфайнментом.

В шестой главе диссертации предлагается способ обойти указанные трудности и описать контролируемым образом формирование неабелевых струн и неабелев конфайнмент в N = 2 КХД. А именно: в этой главе обсуждаются AHO струны в N = 2 КХД в режиме, в котором исходная неабелева группа нарушается присоединенными скалярами до подгруппы, содержащей неабелев фактор. Рассматривается простейший вариант такого рода, когда исходная теория имеет калибровочную группу SU (N + l), которая нарушена присоединенными скалярами до SU (N) х U (1) Такой режим в ЛГ = 2 КХД возможен при достаточно большом числе кварковых ароматов в пределе, когда массы конденсирующихся кварков равны. Оказывается, что в этом пределе имеется дополнительная SU (N) подгруппа глобальной цветной и флейворной групп, которая ненаруше-на ни присоединенными, ни фундаментальными вакуумными средними. Наличие такой подгруппы приводит к возникновению ориентационных нулевых мод струны, вращающих ее поток внутри цветной SU (ТУ)-подгруппы. Это делает струну по-настоящему неабелевой. По-видимому, формирование таких неабелевых струн и приводит к неабелевому конфайнменту в теориях типа КХД.

Далее обсуждается эффективная двумерная теория для этих ориентационных нулевых мод на мировой поверхности неабелевой струны. Оказывается, что динамика ориентационных мод описывается (1 + 1)-мерной А/* = 2 суперсимметричной CP (N — 1) сигма моделью. В частности, вычисляются фермионные «суперориентационные» нулевые моды струны, определяющие фермионный сектор этой сигма модели.

Также обсуждается SU (N)-монополи, которые в фазе конфайнмента являются узлами, связывающими две элементарные неабелевы струны разных типов. Выводятся и решаются уравнения первого порядка для таких BPS монополей. С точки зрения эффективной CP (N — 1) сигма модели на мировой по-верхости струны такой монополь представляет собой доменную стенку (кинк), интерполирующую между двумя вакуумами CP (N — 1) сигма модели. Масса монополя — кинка определяется аномальными членами в центральном заряде суперсимметричной алгебры.

Интерпретация (3 + 1)-мерного монополя как (1 + 1)-мерного кинка дает связь между точным решением Зайберга — Виттена на кулоновской ветви и ч точным решением N = 2 суперсимметричной массивной СР{И — 1) сигма модели, найденным Дори [57]. Эта связь была отмечена Дори [57], но в течение длительного времени не находилось никаких объяснений этому обстоятельству.

Шестая глава диссертации основана на совместной работе автора с Р. Ауци, С. Болонези, Ж. Евслиным и К. Кониши [58], на совместной работе автора с М. Шифманом [59] и на совместной работе автора с А. Маршаковым [61].

Отметим, что ориентационные моды неабелевой струны независимо и практически одновременно с работой [58], вошедшей в шестую главу диссертации, были обнаружены в работе [62]. Кроме того, связь между решением Зайберга — Виттена и решением N = 2 СР{Ы — 1) сигма модели была одновременно с работой [59] установлена в работе [63].

Как мы уже отмечали, механизм конфайнмента, предложенный Зайбергом и Виттеном, основан на каскадном нарушении калибровочной инвариантности: неабелева калибровочная группа нарушается до абелевой подгруппы на высоком масштабе конденсацией присоединенных скаляров, а затем на гораздо более низком масштабе абелева подгруппа нарушается полностью или до дискретной подгруппы конденсацией кварков (или монополей, в зависимости от характера рассматриваемого вакуума). Это ведет к образованию абелевых АНО струн, которые, в свою очередь, приводят к абелеву конфайнменту.

С другой стороны, в несуперсимметричных теориях, типа КХД, а также в Л/" = 1 суперсимметричной КХД нет никаких присоединенных скаляров и, следовательно, не происходит каскадного нарушения калибровочной симметрии. Калибровочная группа остается неабелевой и на низких энергиях. В этих теориях очевидно реализуется неабелев конфайнмент. Поэтому возникает проблема понять механизм такого конфайнмента. Сценарий Зайберга-Виттена в них не работает.

Открытие неабелевых струн [58, 59, 62, 63] вселяет надежду на решение этой проблемы. Как подробно описывается в главе 6 в N = 2 КХД при специальном выборе параметров, Зи (Аг) подгруппа калибровочной группы и (АГ) остается ненарушенной при конденсации присоединенных скаляров. Это важное обстоятельство демонстрирует то, что образование неабелевых струн не связано с наличием присоединенных вакуумных средних. Это, в свою очередь, открывает возможность придать присоединенным полям массу и, сделав ее большой, отщепить эти поля от низкоэнергетической теории, не потеряв при этом основных черт неабелевых струн и конфайнмента.

Седьмая и восьмая главы диссертации посвящены реализации этой программы — движению к теориям с меньшей суперсимметрией. В начале седьмой главы рассматривается Л/" = 2 калибровочная теория с калибровочной группой и (Лг) и Лг/ = Лг ароматами кварков. Эта теория деформируется массовым членом ц присоединенной материи, который нарушает N = 2 суперсимметрию до N = 1. Деформация не меняет классических решений для неабелевой струны. Струны остаются классически БРЭ-насыщенными. Однако на квантовом уровне струны 'чувствуют' присутствие деформации. Эффекты, возникающие от нарушения суперсимметрии, проявляются сначала в секторе фермионных нулевых мод струны.

При нарушении N = 2 суперсимметрии до N = 1 фермионный сектор в эффективной двумерной теории на струне меняется. Число фермионных нулевых мод струны (а, следовательно, и число фермионных полей в эффективной теории на струне) остается прежним. Оно фиксируется теоремой об индексе. Однако суперсимметрия эффективной теории на струне меняется. N = (2, 2) суперсимметрия, двумерной СР (АГ — 1) модели, возникающая на струне в недеформированной четырехмерной теории, нарушается деформацией /х до N = (0, 2) [64, 65]. Возникающая на струне теория получила название гетеротической СР (Л^ — 1) модели.

Далее рассматривается физика этой гетеротической СР (ЛГ — 1) модели, которую, как оказалось, можно решить в приближении больших N. Как следует из этого решения, N = (0,2) суперсимметрия модели спонтанно нарушена квантовыми эффектами.

Если масса присоединенного поля ц остается конечной, то неабелевы струны хорошо определены, и их соединительные узлы определяют нам понятие неабелевых невылетающих монополей. Однако в пределе /х —> оо (т. е. в интересующем нас пределе N = 1 КХД), по мере того как присоединенные поля становятся очень тяжелыми, возникает инфракрасная проблема. Она связана с тем, что вакуум в Л/" = 1 КХД не является изолированной точкой, в этой теории развивается хиггсовская ветвь. Присутствие безмассовых полей, флуктуирующих вдоль этой хиггсовской ветви, препятствует изучению неабелевых струн в указанном пределе. Струны становятся бесконечно «толстыми», и их описание в терминах эффективной двумерной СР (ЛГ — 1) модели становится неприменимым [66].

В седьмой главе предлагается сравнительно незначительная модификация исходной АГ = 2 четырехмерной модели, которая позволяет избавиться от инфракрасной проблемы. Модификация состоит во введении в теорию дополнительного мезонного поля М, нейтрального по калибровочной группе и взаимодействующего с кварками Юкавским суперпотенциалом. Как и массовый член присоединенных полей д, это новое взаимодействие нарушает N = 2 суперсим— метрию до N = 1. При этом предел ¡-л —> со, в котором присоединенные поля отщепляются, становится хорошо определенным. Хиггсовской ветви в модифицированной теории не возникает. Неабелевы струны и их соединительные узлы становятся хорошо определенными объектами. Соединительные узлы струн представляют собой невылетающие неабелевы монополи, или, точнее, то, во что переходят монополи в теории, где уже нет присоединенных полей. Прослежена эволюция монополей от абелева монополя 'т Хоофта-Полякова (который существует благодаря наличию присоединенных скаляров) до невылетающего неабелевого монополя в теории, в которой нет присоединенных полей.

Седьмая глава диссертации основана на совместных работах автора с М. Шифманом [65−67], а также на совместной работе автора с А. Горским и М. Шифманом [68] и работах автора с Р. Болоховым и М. Шифманом [69, 70].

В восьмой главе делается еще один шаг по линии уменьшения суперсимметрии — рассматриваются неабелевы струны в несуперсимметричных теориях. К сожалению, несуперсимметричная теория, рассмотренная в восьмой главе, весьма далека от реальной КХД. Она представляет собой бозонную часть N = 2 суперсимметричной КХД, изученной в шестой главе. Однако при изучении неабелевых струн в этой модельной теории обнаружилось, что динамика ориентационных мод неабелевой струны в несуперсимметричной теории радикально отличается от динамики этих мод неабелевой BPS струны в суперсимметричной теории.

В частности, оказалось, что переход из абелевого режима (возникающего при больших разностях масс кварков) в неабелевый (отвечающих одинаковым массам кварков) происходит не гладко, как для BPS струны, а путем фазового перехода.

Кроме того, оказалось, что невылетающие монополи в неабелевом режиме не могут свободно двигаться по неабелевой струне в отличие от BPS случая. В несуперсимметричной теории эти монополи (кинки CP (N — 1) модели) находятся в фазе двумерного конфайнмента (в дополнение к четырехмерному конфайнменту, который удерживает монополь на струне). Двумерный конфай-нмент приводит к тому, что монополь и антимонополь подходят близко друг к другу и образуют связанное состояние на струне — монополь-антимонопольный мезон.

Далее в восьмой главе кратко рассматриваются неабелевы не BPS струны в суперсимметричных теориях. Качественно они обладают теми же отличительными свойствами, что и неабелевы струны в несуперсимметричных теориях.

Содержание восьмой главы основано на совместных работах автора с А. Горским и М. Шифманом [71, 72], а также на совместной работе автора с В. Марковым и А. Маршаковым [73].

Содержание девятой и десятой глав диссертации стоит несколько в стороне от содержания предыдущих пяти глав. В них используются результаты предыдущих глав о характере конфайнмента и формирования AHO струн в Af = 2 суперсимметричной КХД для описания явления локализации калибровочных полей на поверхности доменных стенок в этой теории.

Открытие D-бран [74] является одним из основных достижений в теории струн. .D-брана в теории струны — это протяженный объект, на котором может окончиться открытая струна. Калибровочные поля являются низшими возбуждениями открытой струны, которая концами присоединяется к одной или двум разнымD-бранам. Поэтому калибровочные теории поля описывают низкоэнергетический предел теории струны на мировой поверхности D-бран. В частности, SU (N) калибровочная теория поля возникает на мировой поверхности N, параллельных £)-бран.

Протяженные объекты типа AHO струн и доменных стенок известны в теории поля давно. В частности, BPS-насыщенные доменные стенки в N = 1 глюодинамике обсуждались в работе [75]. Специфическая зависимость их натяжения от N свидетельствовала в пользу того, что они могут быть интерпретированы как D-браны [76]. Однако, теоретико-полевой модели £>-браны, в которой физика находилась бы под контролем, предложено не было. Отметим, что в работе [77] предложена теоретико-полевая модель £>-браны, основанная на некоммутативной геометрии.

Построению такой модели и посвящена девятая глава диссертации. Ее идейная связь с содержанием предыдущих глав в том, что в ней изложены результаты дальнейших исследований BPS протяженных объектов в суперсимметричных калибровочных теориях поля — струн, доменных стенок и их возможных «соединительных узлов» .

Кроме того, механизм локализации калибровочных полей на доменной стенке тесно связан с механизмом конфайнмента в N = 2 КХД, рассмотренный в трех предыдущих главах. Сама идея локализации калибровочного поля на доменной стенке была высказана ранее в работах [75, 77, 78]. Она состоит в том, что надо рассмотреть модель, в которой калибровочное поле находилось бы в фазе конфайнмента в объеме, но в кулоновской фазе на стенке. В такой модели естественно ожидать локализацию калибровочного поля на стенке. Ясно, что для реализации такой идеи необходимо иметь теоретически контролируемую модель конфайнмента. Для этого в девятой главе рассматривается N = 2 КХД, в которой конфайнмент обеспечевается формированием AHO струн, как это описано в предыдущих главах диссертации.

Сначала в девятой главе рассматривается локализация U (1) поля на доменной стенке. Для этого рассматривается N = 2 КХД с калибровочной группой SU (2) и двумя ароматами кварков с близкими значениями масс т и гп^. При больших значениях т и тц, два квартовых вакуума, в которых конденсируется один или второй аромат кварков соответственно, находятся в слабой связи. В обоих кварковых вакуумах SU (2) калибровочная группа нарушена до U (1) конденсацией присоединенных скаляров. Конденсация кварков происходит на значительно меньшем масштабе при введении малой массы присоединенной материи. Она играет роль члена Фое — Илиопулоса в низкоэнергетической КЭД. Конденсация кварков нарушает калибровочную группу окончательно. В обоих кварковых вакуумах происходит конфайнмент монополей путем образования абелевых AHO струн.

Рассматривается BPS доменная стенка, разделяющая эти два кварковых вакуума. Для нее находятся решения уравнений первого порядка. Оказывается, что доменная стенка внутри «пустая» — конденсаты обоих ароматов кварков близки к нулю внутри стенки. Иными словами ?7(1) подгруппа восстанавливается внутри стенки. Это и является физической причиной локализации U (1) калибровочного поля на стенке. Показано, что такая локализация действительно имеет место и явно построена (2+1)-мерная эфективная U (1) калибровочная теория на доменной стенке.

Далее в девятой главе рассматривается более сложная версия Л/" = 2 КХД с калибровочной группой SU (3) и четырьмя ароматами кварков. Это модель уже рассматривалась в главе 6 в связи с проблемой формирования неабелевых AHO струн и неабелевого конфайнмента.

При близких значениях масс кварков в г = 2 вакуумах этой модели калибровочная группа SU{3) нарушается до SU{2) х U{ 1) конденсацией присоединенных скаляров. Значение масс кварков выбирается большими, так что низкоэнергетическая теория оказывается в слабой связи и полностью контролируема.

Оказывается, что в теории имеется два типа элементарных BPS доменных стенок, интерполирующих между различными г — 2 вакуумами. Эти элементарные доменные стенки локализуют U (1) калибровочное поле.

Девятая глава диссертации основана на совместных работах автора с М. Шифманом [79, 80].

Десятая глава диссертации посвящена исследованию соединительных узлов доменных стенок и трубок потока. Для согласования картины локализации калибровочного поля на поверхности доменной стенки с результатами теории струны анализируется возможность AHO струны окончиться на стенке. Как уже отмечалось, монополи находятся в фазе конфайнмента в обоих кварковых вакуумах. Поэтому, если поместить монополь в один из вакуумов, то от него протянется магнитная трубка потока (AHO струна). Так как U (1) поле может свободно распространяться внутри доменной стенки, то такая AHO струна может окончится на этой стенке. Это явно демонстрируется в десятой главе.

А именно, выводятся уравнения для ¼ BPS «соединительного узла» между стенкой и AHO струной и находятся их решения. При этом оказалось, что конец струны играет роль электрического заряда в эффективной теории на мировой поверхности стенки. Последнее обстоятельство проясняет физическую интерпретацию соединительных узлов стенок и струн в эффективной теории на стенке. Концы струн на стенке представляют собой заряженную материю в эффективной калибровочной теории на стенке.

Далее в десятой главе описывается квантовая версия этой теории. Оказалось, что квантование заряженной материи в теории на стенке (соединительных узлов AHO струн со стенкой) приводит к генерированию члена Черна-Саймон-са в трехмерной теории в мировом объеме стенки. Это, в свою очередь, ведет к утяжелению фотона и генерированию дальнодействующего потенциала между двумя далеко разведенными доменными стенками.

Содержание десятой главы основано на совместных работах автора с М. Шифманом [79−81], а также на совместной работе автора с Р. Ауци и М. Шиф-маном [82].

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Построена теория неабелевых струн (трубок потока) в N = 2 суперсиммет— ричной КХД с калибровочной группой U (N) и Nj = N ароматами кварков. Эти струны отвечают за неабелев конфайнмент. Показано, что динамика ориентационных нулевых мод неабелевой струны определяется (1 + 1)-мерной ЛГ = 2 суперсимметричной С P (N — 1) сигма моделью на мировой поверхности струны.

2. Монополь 'т Хоофта — Полякова, хорошо изученный в кулоновской фазе U (iV) калибровочной теории, описан в другой фазе, а именно, в фазе конфайнмента. В этой фазе он является узлом, соединяющим две элементарные неабелевы струны разных типов. Показано, что он отвечает кинку в (1 + 1)-мерной эффективной низкоэнергетической СР (И — 1) сигма модели на мировой поверхности неабелевой струны.

3. Объяснена связь между точным решением Зайберга — Виттена (3+1)-мерной N = 2 суперсимметричной КХД с калибровочной группой и (/V) и решением (1 + 1)-мерной N — (2,2) суперсимметричной массивной СР (М — 1) сигма модели, замеченная ранее Дори.

4. Показано, что эффективной теорией на поверхности неабелевой струны в М = 2 суперсимметричной КХД с калибровочной группой [/(Ы), деформированной массой присоединенной материи, является N = (0,2) суперсим— метричная СР (Ы — 1) модель. Эта модель решена в пределе больших N.

5. Прослежена эволюция монополей от абелева монополя 'т Хоофта-Поля-кова до невылетающего неабелего монополя в теории, в которой нет присоединенных полей. Показано, что невылетающий монополь не исчезает даже в пределе, в котором присоединенные скаляры отщепляются от низкоэнергетической теории.

6. Показано, что эффективной теорией на неабелевой струне в несуперсим-метричной скалярно-калибровочной теории с группой и (ТУ) является несу-персимметричная СР (./V — 1) модель. Эта модель решена в пределе больших N, и показано, что хиггсовская фаза при больших массах отделена от кулоновской фазы при малых массах фазовым переходом. В четырехмерной теории этот фазовый переход является переходом между фазами абелёвого и неабелевого конфайнмента. При этом невылетающие монополи в фазе неабелевого конфайнмента не могут свободно двигаться по неабелевой струне в несуперсимметричной теории. Они объединяются с антимонополями в связанные мезонподобные состояния, нанизанные на струны.

7. Предложена теоретико-полевая модельО-браны. Показано, что в N = 2 суперсимметричной КЭД локализация Е/(1) калибровочного поля на доменной стенке происходит в слабой связи и полностью контролируется. Выведены и решены уравнения первого порядка для ¼ BPS «соединительного узла» между доменной стенкой и абрикосовской трубкой потока (AHO струной) в Л/* = 2 суперсимметричной КЭД. Показано, что такой «соединительный узел» играет роль электрического заряда в эффективной U (l) калибровочной теории на стенке. Представлена квантовая версия эффективной U (l) калибровочной теории на доменной стенке с заряженной материей — «соединительными узлами» стенки со струнами. Показано, что наличие этой заряженной материи генерирует член Черна-Саймонса, а такжедальнодействующий потенциал между разными стенками.

8. Показано, что в монопольной точке в Jf — 2 суперсимметричной КХД с калибровочной группой SU (2) в лидирующем порядке по массе присоединенной материи? абрикосовская струна является BPS-насыщенной. Однако при учете следующей поправки по /1 возникает сверхпроводимость I рода. При этом образуется «башня» стабильных мезонов, отвечающих струнным состояниям с высшими «намотками» .

9. Найдены струны на хиггсовской ветви в М = 2 суперсимметричной КХД с калибровочной группой SU (2) и двумя ароматами кварков. Вычислены натяжения таких струн и показано, что их формирование дает потенциал конфайнмента, который ведет себя как L/ log L, где L — расстояние между тяжелыми пробными источниками.

10. Предложен долинный метод в квантовой теории поля. А именно выведено уравнение на долинную траекторию и разработан метод интегрирования около долинной траектории в функциональном интеграле. Долинный метод применен для вычисления инстантон — антиинстантонных взаимодействий в N = 1 суперсимметричной КХД. Показано, что учет этих взаимодействий воспроизводит эффективный суперпотенциал Афлека-Дайна-Зайберга.

11. Предложен метод эффективной инстантонной вершины. Эффективная ин-стантонная вершина вычислена в М = 2 суперсимметричной калибровочной теории с группой SU{2) без материи. С ее помощью найден одноин-стантонный препотенциал и показано его согласие с решением ЗайбергаВиттена. Кроме того, в этой же теории вычислен весь ряд поправок к пре-потенциалу по высшим производным, генерируемый одним инстантоном.

Апробация работы.

Результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались на различных международных конференциях и симпозиумах. Далеко не полный список включает выступления соискателя на международных конференциях, таких как конференция «Continuous Advances in QCD», University of Minnesota, USA, 2011; Симпозиум «QCD and Strings: Elements of a Universal Theory», Oberwoelz, Austria, 2010; International Seminar «Quarks- 2010», Kolomna, Russia, 2010; «Symposium on Theoretical and Mathematical Physics», St. Petersburg, Russia, 2009; GGI Workshop «Non-perturbative methods in strongly coupled gauge theories», Florence, Italy, 2008; International Seminar «Quarks- 2006», Repino, St. Petersburg, Russia, 2006; International Workshop «Supersymmetries and Quantum Symmetries», Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia, 2005; International Seminar «Quarks— 2004», Pushkinskie Gori, Russia, 2004; «Continuous Advances in QCD», University of Minnesota, USA, 2002; Workshop on Non-Perturbative methods in Field and String Theories, ITP, Santa Barbara, USA, 2002; «Ioffefest», Paris, France, 2001; International conference «Quantization, Gauge Theories and Strings», Moscow, 2000 и других.

Кроме того, результаты, полученные в диссертации, докладывались на многочисленных теоретических семинарах во многих научных центрах США и Западной Европы, в том числе ежегодно (начиная с 1998 года) на семинарах FTPI, University of Minnesota, USAна семинаре в Saclay, Paris, Franceв University Stony Brook, USAв CERN, Geneve, Switzerlandв Cambridge, Britainв Oxford, Britainмногократно на теоретических семинарах в University of Swansea, Britain (куда соискатель приезжал с визитами в 1992;1997 годах), на семинарах в SISSA, Trieste, Italy (где соискатель находился в командировке в 1990;1992 годах), на семинарах в теоретическом отделе ИТЭФ (Москва), ОИЯИ (Дубна), и постоянно докладывались на семинарах ПИЯФ.

Кроме того, многие результаты диссертации, в особенности, относящиеся к физике неабелевых струн, вошли в книгу «Supersymmetric Solitons,» Cambridge University Press, 2009, [83] написанную совместно с М. Шифманом, а также излагались в курсе лекций по неабелевым струнам, прочитанным соискателем в Saclay, Paris, France в 2010 г. Кроме того, соискатель прочел курс лекций по инстантонам в Universitete Stony Brook в 2000 г., в котором излагался вошедшие в диссертацию долинный метод и основные результаты его применения к динамике инстантонов.

1. Долинный метод.

1.1. Взаимодействия в инстантонной среде.

Первые три главы диссертации посвящены исследованию инстантонных эффектов в суперсимметричных теориях, начиная с простых квантовомехани-ческих моделей и заканчивая четырехмерными калибровочными теориями с расширенной М= 2 суперсимметрией. Как уже отмечалось во Введении, ки-ральные конденсаты в суперсимметричных теориях определяются во многих случаях одноинстантонными вкладами. Однако, для извлечения более детальных динамических характеристик существенен учет влияния инстантон-антиин-стантонных (II) взаимодействий. Вообще говоря, вакуум четырехмерной калибровочной теории поля представляет собой статистическую систему инстантонов и антиинстантонов, распределенных в пространстве — времени с характерной плотностью, пропорциональной е" 8″ 2/®-2 где д2 — калибровочная константа связи. Если мы хотим иметь систематический подход к анализу инстантонных эффектов, то необходимо развить методы вычисления потенциала взаимодействия в инстантонной среде.

Так как в слабой связи плотность инстантонов в вакууме мала, то к инстантонной среде можно применить вириальное разложение по плотности (см., например, [84]). Лидирующий член этого разложения отвечает разреженному инстантонному газу, следующий член учитывает парные взаимодействия, и т. д. Таким образом, при учете взаимодействия в инстантонной среде парное взаимодействие играет доминирующую роль. Более того, в суперсимметричных теориях из-за наличия нулевых фермионных мод инстантона вклад разреженного инстантонного газа в статсумму оказывается равным нулю и лидирующий эффект возникает от учета парных взаимодействий. Физически при этом ин-стантонная среда представляет собой разреженный газ инстантон-антиинстан-тонных молекул.

Наличие мультиинстантонных решений [16] (инстантонов с топологическим зарядом | к |> 1) говорит о том, что классическое взаимодействие двух инстантонов (двух антиинстантонов) равно нулю. (В дальнейшем под инстантоном будет пониматься решение с к = 1, а под антиинстантоном решение с к = —1.).

Это связано с наличием нулевых мод мультиинстантона, отвечающих трансляциям «центров» индивидуальных инстантонов, образующих данный мультиин-стантон. Действие мультиинстантона не меняется при таких трансляциях, что означает отсутствие классического взаимодействия. Так, например, действие мультиинстантона с к = 2 равно 2×87т2/д2 и не зависит ни от общей трансляции мультиинстантона, ни от расстояния Я между центрами индивидуальных инстантонов (при больших Я можно приближенно определить это понятие). В принципе, взаимодействие инстантонов может возникнуть на однопетлевом уровне, но этот эффект подавлен по д2 2.

С другой стороны, взаимодействие инстантона с антиинстантоном отлично от нуля и возникает на классическом уровне в лидирующем порядке по д2. В данной главе предложен общий метод вычисления потенциала II взаимодействия и применен для анализа простых квантовомеханических систем.

Проблема заключается в том, что //-конфигурация не является точным решением уравнений движения. Она стремится к точному решению только в пределе Я —" оо, где Я — расстояние между инстантоном и антиинстантоном. С другой стороны при изменении Я действие //-конфигурации меняется медленно, так как инстантонное и антиинстантонное решения хорошо убывают на бесконечности и их взаимодействие мало. Таким образом, изменение расстояния Я между инстантоном и антиинстантоном отвечает квазинулевой моде.

В данной главе предлагается общий метод интегрирования по квазинулевым модам в функциональном интеграле. Этот метод назван долинным методом. Это название отражает то, что функциональное пространство в окрестности квазинулевой моды представляет собой «долину» с крутыми «стенками» и пологим «дном». «Топография» функционального пространства схематично представлена на Рис. 1, на котором «линии высоты» отвечают линиям постоянного действия. Основным элементом метода является нахождение «дна долины» или долинной траектории. Она удовлетворяет долинному уравнению, которое представляет собой уравнение на траекторию наискорейшего спуска в функциональном пространстве. Долинный метод был предложен в работах [21, 22, 26],.

2 Эффекты квантового взаимодействия инстантонов были вычислены в двумерной 0(3) сигма модели в работе [85]. Было показано, что их учет превращает инстантонную среду в кулоновскую плазму. см. также [23].

— 1-о я.

Рис. 1. Топография долины в функциональном пространстве. ,.

Далее в первой главе диссертации долинный метод применяется для вычисления II взаимодействия в квантовой механике с двухямным потенциалом в суперсимметричной и несуперсимметричной версиях.

1.2. Интегрирование по долинным траекториям.

В данном разделе сформулирован общий подход к вычислению функционального интеграла в случае, когда в функциональном пространстве имеется несколько направлений, вдоль которых действие меняется медленно. Эти направления (долины) отвечают квазинулевым модам оператора <525(ф)/6ф (х)6ф (у) В данном разделе ф обозначает обобщенную бозонную полевую переменную (обобщение метода на фермионный случай не составлякт труда), 3(ф) — действие теории. При этом предполагается, что теория находится в режиме слабой связи и при интегрировании по ненулевым модам можно пользоваться гауссовым приближением.

Предположим, что фо (х — хо) — точное решение классического уравнения движения.

58/5фф=фо = 0 (1.2.1) с конечным действием Б (фо) ~ 1 /д2 < оо (типа инстантона). Пусть, кроме того, оператор = А (ф)ф0) имеет несколько точных нулевых мод, пропорциональных^г, где Тг — набор коллективных координат, характеризующих фо (для инстантона (кинка) в квантовой механике т — хо — положение центра кин-ка). Рассмотрим пару точных решений ф^х — х) и ф^(х — Жг) при достаточно больших Л = х — XI. Эта пара (как в случае II) не является, вообще говоря, точным решением классических уравнений движения, но при достаточно хорошем убывании полей ф и фъ на бесконечности представляет собой долинную конфигурацию. При учете слабого взаимодействия ф и Ф2 нулевые моды каждого из решений превращаются в квазинулевые. Некоторые моды, связанные с симметрией конфигурации как целого могут оставаться при этом нулевыми. Задачу вычисления функционального интеграла вблизи такой конфигурации, следуя работе [21], можно разбить на три этапа:

1. Нахождение долинной конфигурации ф (х, тц, т-у), параметризуемой двойным набором коллективных координат. Она должна удовлетворять граничному условию.

Ф (х, Ти, Т2^п-, оо = ф1(х, Тц) + ф2(х, Тц) (1.2.2).

2. Интегрирование по неквазинулевым и ненулевым модам вокруг найденной конфигурации ф (х, тц, Г2^ в гауссовом прближении.

3. Точное интегрирование по коллективным координатам Т{ = {тц, T2j}.

Для нахождения долинной траектории заметим, что при фиксированных значениях коллективных координат п функция фт = ф (х, т) должна являться минимумом действия при условии.

Ф-Фт),^) = 0 (1.2.3) здесь (/, д) = / (14х/(х)д (х) — скалярное произведение), определяющем «ортогональный срез» долины, см. Рис. 1. Это требование приводит к уравнению [21] г где ?? — множители Лагранжа. Смысл этого уравнения в том, что касательная к долинной траектории направлена в функциональном пространстве по градиенту действия. Физически уравнение (1.2.4) представляет собой «закон Аристотеля»: скорость пропорциональна силе. Подобному уравнению удовлетворяет течение вязкой жидкости. Поэтому в работе [21] это уравнение также названо «уравнением ручейка» .

Уравнению (1.2.4) удовлетворяет любая линия наискорейшего спуска в функциональном пространстве. Чтобы выделить нужную нам долинную конфигурацию необходимо наложить граничные условия (1.2.2). При этом параметры ^¿-(т), характеризующие малость линейного члена (уклон долины), малы,.

28 е2(т) <§-С 1. Мы рассмотрим случай, когда все е одного порядка и без ограничения общности положим е = е2(т) (это приведет к некоторому переопределению коллективных координат Т{ (см.(1.2.4)). 3 Например, для / и I в квантовой механике с двухъямным потенциалом е2 = е~л [21], для II в калибровочной теории 2 2 е2 = где /5² — размеры инстантона и антиинстантона (см. Главу 2).

Конечно, долинные координаты г" можно определять по разному. При этом переопределение Т{ приведет к переопределению £{('т) в (1.2.4). Однако, окончательный вклад данной траектории в стстсумму, определяемый интегралом по Гг, не зависит от выбора конкретной параметризации долины.

Введение

коллективных координат г" в функциональный интеграл осуществляется стандартно, с помощью трюка Фаддеева — Попова: х ((ф-фт), ^ ехр [-£Ш — (ф — фт) А (ф — фт)} (1.2.5).

Значок «2″ означает здесь вклад ф — Ф2 конфигурации. Важно отметить, что линейный по (ф — фт) член в экспоненте в (1.2.5) выпадает при введении 8 -функции в силу уравнения (1.2.4). Выполняя формально функциональное интегрирование в (1.2.5), имеем, а — | П |<и», Ц) | ^ д-^) ехр [—8{фт)] (1.2.6) где последний детерминант понимается в функциональном смысле, А~1(фт) -функция Грина оператора А (фт).

Преобразуем далее выражение (1.2.6), учитывая в предэкспоненте лишь лидирующий член разложения по е2(Л). Для этого заметим, что функции образуют подпространство собственных функций оператора Д (0Г) «нулевого» приближения (по ?2(7?)), отвечающих квазинулевым и нулевым собственным значениям. Действительно, при е1 —" О [В? —> оо) функции ^ переходят в.

3 Если некоторые еЦК) <К е2, то соответствующие можно и лидирующем по е2 приближении рассматривать как нулевые моды. точные нулевые моды оператора А (ф + ф2) (формально это можно доказать, дифференцируя уравнение (1.2.4) по тг). Тогда.

2р

Wf х йеГх'2&{фт) exp [-5(0r)] (1 + 0{е2)) (1.2.7) или.

Zo = N~l х exp [-Б (фт)} (1 + 0{е2)) (1.2.8) где det (2p} Д (фт) означает произведение собственных значений оператора А (фт) без 2р низших (р — число нулевых собственных значений каждого из операторов A (</>i) и Д (фг)) — Детерминант det^А (фт) удовлетворяет свойству факторизации det{2p)А{фт) «defoiА{ф2), (1.2.9) которое широко используется в инстантонных вычислениях [92]. Его точность может, вообще говоря, оказаться ниже, чем 0(е2) (см. обсуждение в разделе 5 Главы 2). Подставляя (1.2.9) в (1.2.8), получаем окончательно вклад долинной траектории фт) в статсумму.

Z2^N~l ?/лф2ехр (-5(0г)), (1.2.10) где р, я,. = ТТ Лт. -Но+У2 (, дтЫ OTkjJ.

Ф* = f[drkldetf (^Г, ^r) det (P)A^> к = 1,2. (1.2.11) Потенциал «взаимодействия» двух решений ф и ф2 при этом (см. (1.2.10)) равен иш (тц, т2з) = Б{фт) — 5(^1) — 5(02).

Для иллюстрации долинного метода в следующих разделах этой главы он будет применен для вычисления II взаимодействия в квантовомеханических моделях. Во второй главе он будет использован для анализа II взаимодействий в четырехмерных суперсимметричных калибровочных теориях.

1.3. II взаимодействие в квантовой механике.

Рис. 2. Двухямный потенциал.

В этом разделе мы рассмотрим простейшую квантовомеханическую теорию с инстантонами (кинками) и применим долинный метод для вычисления II потенциала взаимодействия. Рассмотрим квантовую механику с двухъямным потенциалом.

У (<�р) = - г, 2)2, (1.3.1) где <р обозначает координату частицы, см. Рис. 2. В этой модели возникает расщепление двух низших уровней за счет подбарьерных переходов. Если барьер между двумя ямами достаточно высок, то расщепление является экспоненциально малым эффектом е 6я, где мы ввели константу связи.

9 =.

8/2Л1.

1.3.2).

1.3.3).

Мы будем предполагать, что находимся в режиме слабой связи дС 1, т. е., что барьер достаточно высок.

Расщепление уровней может быть получено как одноинстантонный эффект, если посмотреть на квантовую механику, как на одномерную теорию поля, развернутую в Евклидовское пространство, см. например, [86]. Эта теория поля имеет вид.

5 = + А (^2-^)2}, (1.3.4) где точка означает дифференцирование по времени. Инстантон (кинк) в этой теории представляет собой траекторию, интерполирующую между двумя минимумами потенциала. Решение для кинка имеет вид р0 = v tanh [^m0(t — i0)], (1.3.5) где-то = 2у/2Хи, а ¿-о — положение кинка, см. Рис. 3.

Рис. 3. Решение для кинка.

Рассмотрим теперь пару — кинк в точке t и антикинк в точке и применим долинный метод для описания их взаимодействия. Уравнение (1.2.4) на долинную траекторию приобретает вид.

— dfrn (t) + V (v) = 3m2e2®?^, (1.3.6) где R = ?i — ?2 — расстояние между кинком и антикинком,.

Долинная траектория <�ря (Ь) удовлетворяет граничному условию (1.2.2) при R —> оо. Оно приобретает вид.

Ы*)||я-оо = «{tanh[^(i — ii)] - tanh[^(t — t2)] - l} (1.3.7).

Мы будем рещать уравнение (1.3.6) по теории возмущений по малому долинному параметру e2®. В первом нетривиальном порядке по ?2 решение имеет вид.

Mt) = v[l — le2 + 0(s4)} {tanh[^(i — f:)] - tanh[^(i — t2)} - l}, (1.3.8) где m = mo (l — e2 + 0(e4)), (1.3.9) i a малый долинный параметр 4 e2® = e~mR. (1.3.10).

4 Конечно, долинную координату т в уравнении (1.2.4) можно определить разными способами. При этом пересканируется долинный параметр е2(т). Мы устранили эту неопределенность в лидирующем по е2 порядке, определив т = Я — ^ —.

Долинная траектория изображена на Рис. 4.

V, ф.

— R/2/ R/2 ,.

J. t.

— V.

Рис. 4. II долинная траектория.

Подставляя долинную траекторию (1.3.8) в действие (1.3.4), имеем.

Sjj® = -!- - - e~mR + 0(e~2mR), (1.3.11) ?9 9 что дает для потенциала II взаимодействие.

Ua{R) = ~ e~mR + 0(e~2mR), (1.3.12) см. (1.2.12). Заметим, что точность, с которой вычислена долинная траектория (1.3.8), позволяет найти следующий 0(e~2mR) член в потенциале ?///(/?). Мы, однако, ограничимся здесь главным 0(e~mR) членом. Он был вычислен ранее в работах [87, 88]. Мы воспроизводим его здесь для иллюстрации долинного метода.

Потенциал (1.3.12) экспоненциально убывают при больших R и отвечает притяжению кинка и антикинка. Качественно это отражает тот факт, что II конфигурация является топологически тривиальной и при R —> 0 кинк, как и антикинк, аннигилируют друг друга, см. Рис. 4. При этом //траектория должна стремится к тривиальному вакууму, а действие Sif® должно стремится к нулю.

1.4. Вклад в энергию вакуума.

Энергия вакуума в теории (1.3.4) может быть представлена в виде оо оо оо в&trade- = Е + е-а Е 4V + Е 4V + - (1.4.1) к=О fc=0 fc=0.

Здесь первый член представляет собой ряд теории возмущений, а остальные отвечают вириальному разложению по инстантонной плотности. 5 Член.

5 Ниже мы обсудим, насколько хорошо определены инстантонные вклады на фоне ряда теории возмущений. е аэ является вкладом разреженного инстантонного газа, член е3″ учитывает II взаимодействия и т. д.

Одноинстантонный вклад в энергию вакуума имеет вид [91, 92], также см. например [86].

Е1 = ~^е-^[1 + 0(д)] (1.4.2).

Этот вклад определяет расщепление основного и первого возбужденного уровня. Так как в разности энергий указанных уровней вклад теории возмущений сокращается, то одноинстантонный вклад является хорошо определенным. По другому можно сказать, что этот вклад возникает при вычислении матричного элемента перехода из вакуума < </? >= —V в вакуум < <р >= +ь см. Рис. 1. Такой переход соответствует ненулевому топологическому заряду <3 = +1 и поэтому хорошо определен.

Нас, однако, сейчас интересует третий член в (1.4.1), учитывающий II взаимодействия. Подставляя /7 действие (1.3.11) в формулы (1.2.10), (1.2.11), получаем.

2 =—е.

7Гд сю.

2 -тд Ш О.

1 — ехр (- е~тК) 9.

1.4.3) где фактор Т, равный полному «объему» системы, возникает от интегрирования по нулевой трансляционной моде ¿-о = §(?1 + ¿-г) — Кроме того, мы учли, что одноинстантонный детерминант по нулевым модам в формуле (1.2.11) (нормированный на теорию возмущений) равен [91, 92] 1 (1.4.4).

Интеграл по Л в (1.4.3) возник от выражения для второго вириального коэффициента 1], (1.4.5) в котором учтен результат (1.3.12) для потенциала II взаимодействия. Вычитание единицы в (1.4.4) отвечает вычитанию вклада невзаимодействующих ин-стантона и антиинстантона, который уже учтен при выводе формулы (1.4.2).

При попытке вычислить интеграл в (1.4.3) мы сразу же сталкиваемся со следующей проблемой. Как уже отмечалось выше, потенциал II взаимодействия (1.3.12) отвечает притяжению. Поэтому главный вклад в интеграле (1.4.3).

34 сШ [е набирается от области малых Я. Однако, долинный параметр £2(Я) (1.3.10) является малым параметром только при больших Я, Я 1/тооПри малых Я разложение по е2 = ехр (—гпоЯ) «взрывается» и потенциал (1.3.12) становится неприменимым. Более того, при малых Я квазинулевая мода, связанная с изменениями Я, перестает быть квазинулевой. Соответствующее собственное значение е2(Я,)) становится того же порядка, что и другие собственные значения Шц). При этом долинный метод, смысл которого состоит в выделении одной или нескольких квазинулевых мод из бесконечного множества мод и точного интегрирования по ним, перестает быть применим.

Указанная выше проблема возникла потому, что II конфигурация имеет нулевой топологический заряд и смешивается с вкладами теории возмущений, см. Рис. 4. На самом деле, если бы мы знали потенциал II взаимодействия точно, то вклад области малых Я в интеграле (1.4.4) должен был бы воспроизвести нам пертурбативную часть энергии вакуума, а вклад больших Я — непертурба-тивнуго. К сожалению, мы не знаем С/// при малых Я, Поэтому наша задачавычесть пертурбативное разложение (которое все рсвно неправильно воспроизводится интегралом (1.4.3)) в формуле (1.4.3), оставив только непертурбатив-ную часть — инстантонный II вклад.

Если ограничится сектором с нулевым топологическим зарядом, то формулу (1.4.1) можно переписать так ЕРТ{д) + +. (1.4.6) где Ерт (д) — вклад теории возмущений и мы выбросили одноинстантонный вклад, так как он отвечает |<5| = 1. Здесь.

Епр-реп (1.4.7).

Оценка (1.4.7) показывает способ, которым можно выделить Е™п~РеН [87, 88]: этот вклад в энергию вакуума содержит существенную особенность по константе связи при <7 = 0. Если мы доопределим пертурбативный вклад Ерт{д) как функцию, разложение которой в ряд по д дается теорией возмущений и которая не содержит существенной особенности по д на физическом листе, то метод выделения Е™п~РеН из (1.4.3) сводится к следующему:

1. Изменим в (1.4.3) знак константы связи д. При этом притяжение сменится на отталкивание.

2. Выделим в (1.4.3) лидирующий вклад ~ е-5″ (при отрицательных д). Он теперь возникает от области больших ДВ, ~ (1/то) 1п1/д, где формула (1.4.3) применима.

3. Аналитически продолжим результат в область положительных д. Указанная процедура приводит к следующему непертурбативному вкладу в энергию вакуума т0 1 пап-рсН.

11 яд.

1п (~) + С + 0(д1пд).

1.4.8) где С — постоянная Эйлера. Важной особенностью полученного результата является наличие мнимой части (1.4.8) при д > 0. Она возникла из — за аналитического продолжения. Причем знак мнимой части определяется путем продолжения интеграла в (1.4.3) на положительные д.

Наличие мнимой части II вклада позволяет нам определить ассимптотику высоких порядков теории возмущений в Ерт [89]. Известно, что ряды теории возмущений являются плохо сходящимися. Во многих случаях они представляют собой лишь ассимптотические разложения, не суммируемые даже по Боре-лю, иными словами, имеют поведение '^?гкдк [89]. Покажем, что в рассматриваемой задаче это именно так.

Так как полная энергия основного состояния Етс должна быть вещественной, то наличие мнимой части Е™п~реН (д) означает, что пертурбативная энергия Ерт (д) тоже имеет мнимую часть (хотя каждый член пертурбативного раз-ложени вещественен). Более того, должно выполнятся равенство.

1тЕРТ (д) = -1тЕг-р~реН (д) (1.4.9).

Применяя формулу Коши.

4″ = + 9.

1тЕРТ (1.4.10) и используя (1.4.9), (1.4.8), получаем.

40)~3^!. (1.4.11).

При этом все члены ряда при больших к имеют одинаковый знак. Заметим, что учет высших инстантонных кластеров, например, состоящих из двух инстан-тонов и двух антиинстантонов, в формуле (1.4.9) (дающих вклад ~ ехр—2/3д в энергию вакуума) приводит к малой поправке к (1.4.11), пропорциональной /г! (3/2)*.

Физически наличие мнимой части энергии означает неустойчивость. Мнимая часть пертурбативной энергии означает, что каждый из вакуумов двухъям-ного потенциала (1.3.1) неустойчив по отношению к переходам в другой вакуум. Мнимая часть непертурбативного вклада свидетельствует о неустойчивости II конфигурации по отношению к коллапсу в пертурбативный вакуум.

При попытках описания низкоэнергетической динамики в КХД часто предполагается, что пертурбативные эффекты несущественны, а вся динамика определяется непертурбативными эффектами, например, инстантонной средой. Разобранный нами выше модельный пример показывает, что такой подход заранее обречен на неудачу. Хотя формально нам и удалось определить II вклад в энергию вакуума (1.4.8), пользуясь аналитическими свойствами по константе связи, наличие мнимой части этого вклада говорит о том, что физический смысл имеет лишь полная энергия, (1.4.6), являющаяся суммой пертурбативной и непер-турбативной частей. В частности, если ряд теории возмущений понимать, как ассимптотическое разложение и учитывать его (как это часто делают) только до того порядка, до которого члены ряда Сгдк убывают, а остаток отбросить, то отброшенный остаток будет того же порядка, что и непертурбативный вклад (1.4.8), т. е. порядка ~ е-1/39.

В дальнейшем мы убедимся, что указанная проблема не является спеце-фичной для квантовой механики, а возникает также и в четырехмерных калибровочных теориях. Однако, в суперсимметричных теориях дело обстоит иначе. Во многих случаях высшие поправки теории возмущений либо отсутствуют, либо имеют контролируемое поведение. Это делает вычисление непертурбатив-ных вкладов в топологически тривиальном секторе (а именно к этому сектору относится большинство физически интересных величин) осмысленным.

1.5. Суперсимметричная квантовая механика.

В этом разделе мы рассмотрим одну из простейших суперсимметричных моделей с инстантонами — суперсимметричную квантовую механику с двухъям-ным потенциалом. Действие этой теории имеет вид.

5 = И? V — V2)2 + ~(ФФ — фф) + 27<рфф| (1.5.1) где 72/2 = Л, определенной в предыдущем разделе, см. (1.3.4). Индекс Виттена [93] в этой теории равен нулю, поэтому суперсимметрия может быть нарушена. Виттен продемонстрировал [24], что суперсимметрия в этой модели действительно нарушена.

Замечательно, что нарушение суперсимметрии происходит на непертурба-тивном уровне. В любом конечном порядке теории возмущений по д волновая функция основного состояния нормируема и отвечает нулевой энергии. Однако, точная волновая функция оказывается ненормируемой [24], что и приводит к нарушению суперсимметрии.

Уравнение Шредингера для модели (1.5.1) было решено в работе [90]. Результат для энергии основного состояния имеет вид.

Еуас = ^ [1 + О (д)} (1.5.2).

7 Г.

Заметим, что сдвиг энергии положителен, как и следует в суперсимметричной теории, в силу положительной определенности Гамильтониана. Наличие экспоненты е-1/3э показывает, что нарушение суперсимметрии возникает при учете II эффектов.

В этом разделе мы покажем [22], что, если эту модель рассматривать, как одномерную теорию поля в эвклидовой формулировке (1.5.1), то результат (1.5.2) возникает от учета газа II молекул. При этом вклад невзаимодействующих инстантонов в энергию вакуума отсутствует из — за наличия фермионной нулевой моды в поле инстантона. Иными словами, II вклад является лидирующим, а вклада ~ е-1/65 не возникнет, в отличие от несуперсимметричной теории, рассмотренной в предыдущем разделе, см. (1.4.2).

В одномерной теории фермионный детерминант в произвольном бозонном внешнем поле </?(/•) может быть вычислен точно [90]. Интегрирование по фермионам в (1.5.1) дает сге*½(г.