Синтез высокооднородного поля постоянного магнита МР-томографа и задача реконструкции плотности объекта

Актуальность темы

Для исследования внутренней структуры материальных объектов широко используются разные виды томографии: рентгеновская компьютерная томография (РКТ) [29, п. 1.1], [40, т. 1], [54, с. 9], магнитно-резонансная томография (МРТ) [4, 9, 13], [29, п. 1.2], [40, т. 2], [17, с. 41], позитронно-эмиссионая томография (ПЭТ) [40, т. 2], [17, с. 84] и т. д. В диссертационной работе рассматриваются некоторые вопросы МРТ — томографии, основанной на явлении ядерного магнитного резонанса (ЯМР) [3].

Магнитно-резонансная томография является одним из ведущих методов неинвазивной (невторгающейся, неразрушающей) диагностики объектов. Рентгеновская компьютерная томография обеспечивает наибольшую разрешающую способность по сравнению с МРТ и ПЭТ и при этом рентгеновские томографы заметно дешевле MP-томографов. Однако РКТ оказывает наибольшие вредные воздействия на организм пациента и особенно обслуживающего персонала. МРТ таким воздействием практически не обладает. Вот почему MP-томографы чаще используются в медицине (для диагностики организмов пациентов), чем РК-томографы. МРТ применяется также в спектроскопии (для определения химического состава вещества), в физике (для исследования механических, электрических и магнитных свойств ядер, определения с высокой точностью некоторых физических констант, получения данных о свойствах веществ в жидком и кристаллическом состояниях, о строении молекул металлов и т. д.), в биологии (для изучения структур молекул ДНК, РНК, рибосом, хромосом и т. д.), в технике (для изучения строения технических изделий) и т. д.

Магнитно-резонансная томография за последние годы стала одним из основных методов медицинской диагностики. С 70-х годов, когда принципы ядерного магнитного резонанса впервые стали использоваться для исследования человеческого тела, до сегодняшних дней метод медицинской диагностики на основе ЯМР сильно изменился и продолжает развиваться. Совершенствуются математическое и программное обеспечение, а также техническое оснащение, развиваются методы получения качественных (незашумленных) томографических изображений (томограмм) и т. д. Благодаря этому развитию находятся всё новые сферы применения МРТ. Если сначала её применение ограничивалось исследованием центральной нервной системы, то в настоящее время МРТ применяется практически во всех областях медицины.

Обычно [10] аппаратура MP-томографа содержит магнитную систему (МС), состоящую из магнита (постоянного, резистивного, сверхпроводящего и т. д.), формирующего основное и дополнительные (градиентные) магнитные поля, комплекса электронной аппаратуры и управляющего вычислительного комплекса. Магнитная система — наиболее сложная и дорогостоящая часть MP-аппаратуры, во многом определяющая качество всего MP-томографа. Поэтому к расчету и изготовлению МС предъявляются повышенные требования.

Основные требования, предъявляемое к МС, — высокая относительная однородность магнитного поля в рабочем объеме, а также достаточно большая величина рабочего объема, умеренный вес МС и умеренная потребляемая мощность МС. Что же касается ещё одного требования — достаточно большое магнитное поле в рабочем объеме, то ещё в 80-е годы фирмы производители MP-томографов ориентировались на производство высокопольных MP-томографов (с полем 1.5 Тл и выше), а сейчас основные производители MP-томографов («Дженерал Электрик», «Сименс», «Тошиба», «Пикер», «Брукер» и др.) главное внимание стали уделять выпуску среднепольных и даже низкопольных томографов (0.11 Тл) [17, с. 55]. Это связано с тем, что улучшились технические и алгоритмические характеристики всех томографов (усовершенствовались алгоритмы расчета магнитных систем и построения томограмм, повысилось качество изготовления МС и т. д.) и в результате высокопольные томографы перестали иметь существенные преимущества перед средне-и даже низкопольными томографами (кроме ЯМР-спектроскопии [21], где по-прежнему требуются высокие поля).

Как показано в [8, 9], [29, с. 51], для получения разрешения на томограммах в доли мм требуется относительная неоднородность магнитного поля, А Я/Я порядка или 1−10 ррт. Такая высокая однородность поля достигается за счет определения соответствующей конфигурации (формы) магнита. При этом отметим, что магниты МР-томографов бывают трех типов: постоянные (перманентные), резистив-ные и сверхпроводящие [17, с. 54].

Постоянные магниты — это магниты, которые могут быть изготовлены из дорогостоящих высокоэнергетичных ферромагнитных сплавов с большим остаточным намагничением (остаточной намагниченностью [26, с. 28]) и большой коэрцитивной силой [42, с. 322], например, сплава Nd-Fe-B [49, 52−57]. Такие сплавы приобретают магнитные свойства при одноразовом включении намагничивающего магнитного поля и сохраняют остаточное намагничение без использования электричества. Такие сплавы называются «твердыми» магнитными материалами, или «жесткими» сталями [42, с. 323], или магнитно-твердыми материалами (МТМ) [15, с. 27], [26, с. 34], [41, с. 372]. Можно использовать также недорогие «мягкие» магнитные материалы (магнитно-мягкие материалыМММ [15, с. 26], [41, с. 371]), например, мягкое железо с малой коэрцитивной силой и малым остаточным намагничением [42, с. 323], которое самопроизвольно пропадает при отключении намагничивающего поля, но может сохраняться при наличии катушки с током простой конфигурации.

Резистивные магниты — это электромагниты, состоящие из обмотки с током. При этом обмотка охлаждается водой.

Сверхпроводящие магниты — это электромагниты, находящиеся во время работы в сверхпроводящем состоянии за счет их охлаждения жидким гелием или азотом [17, с. 54].

Чтобы создать высокооднородное поле, резистивные и сверхпроводящие магниты изготавливают обычно из нескольких «толстых» корректирующих (скомпенсированных) катушек [1, с. 50−55], [8, 10], [27]. Что же касается постоянных магнитов, то для создания высокооднородного поля их изготавливают в виде двух половин с зазором и углублениями сложной формы в магнитных наконечниках [52−57].

Условно можно считать, что перманентные и резистивные магниты формируют магнитные поля до 0.3−0.5 Тл, а сверхпроводящие магниты — свыше 0.5 Тл [17, с. 54]. При этом вес постоянных магнитов около 8 т, а стоимость около 700 тыс. долларов [52−57]. Вес резистивных магнитов т, а стоимость 100−200 тыс. долларов [9]. Сверхпроводящие магниты имеют вес 6−8 т и стоимость 1−10 млн. долларов.

Данная диссертация посвящена вопросам формирования высокооднородных полей постоянных (перманентных) магнитов МР-томогра-фов. Преимущество постоянных магнитов перед резистивными и сверхпроводящими магнитами состоит в том, что постоянные магниты не требуют охлаждения жидким гелием, азотом (это дорого и опасно) или водой и питания электричеством. Правда, они создают относительно низкие поля (0.1−0.5 Тл), но это, как отмечено выше, не следует считать недостатком, так как в последние годы всё больше стало выпускаться среднепольных и даже низкопольных МР-томографов.

Однако расчет конфигурации (формы) постоянного магнита, при которой формируется высокооднородное магнитное поле, требует специального алгоритмического подхода. Дело в следующем. Существует ряд хорошо разработанных методов (способов) расчета магнитных полей, создаваемых витками с током различной конфигурации (изолированные витки, соленоиды, катушки с зазором и/или пазом и т. д.) [1, 10, 11, 14, 18, 20, 30, 31, 38, 46, 50, 51] и все эти методы основаны на законе Био-Савара-Лапласа [19, с. 66], [23, с. 198], [37, с. 202], [39, с. 295], [41, с. 54], [42, с. 277]. Сложнее обстоят дела с расчетом магнитных полей, создаваемых постоянными магнитами, и это связанно с тем, что: а) не существует реальных магнитных зарядов — монополей [37, с. 248, 611], [42, с. 330], [44, с. 36], поэтому используются магнитные диполи, что приводит к несколько более сложному закону, чем закон Био-Савара-Лапласаб) в постоянном магните нужно учитывать такие явления, как намагничивание и размагничивание материала магнита, гистерезис, возможную неодинаковость намагничивания во всех точках магнита, неоднородность материала магнита, наличие индукционных токов Фуко и т. д. [1,42, 15, 26]- в) имеет место более сложный математический аппарат расчета полей постоянных магнитов (методы скалярного и векторного потенциалов и др. [1, 15−26, 39, 44, 45, 52, 55−57]), чем аппарат расчета полей витков с током.

Тем не менее, можно отметить, что для расчета постоянных магнитов развиты следующие методы: метод отношений, метод размагничивающего фактора Аркадьева и метод эквивалентного соленоида [26, с. 185−211], а так же методы скалярного и векторного потенциалов и метод диполей [1, 15, 26, 44]. Дадим краткую характеристику некоторым методам (более подробно они изложены в гл. 2).

В работах [1, 44, 45, 52, 55−57] для расчета магнитного поля, создаваемого постоянным магнитом сложной конфигурации (магнит с наконечниками и углублениями), используется скалярный магнитный потенциал [1, 16, 15−39, 44, 45, 55, 57], для которого справедливо уравнение Лапласа. Решение уравнения Лапласа записывается в виде суммы по полиномам Лежандра с некоторыми коэффициентами, определяемыми из граничных условий. Чтобы найти эти коэффициенты, нужно в зазоре реального магнита с реально созданной конфигурацией сделать измерения магнитометром значений потенциала в ряде точек, после чего коэффициенты будут найдены путем решения системы линейных алгебраических уравнений. После этого потенциал (или напряженность) поля можно будет рассчитать во всех точках пространства и вычислить относительную неоднородность поля |Д#|/# в некоторой области. Затем следует создать техническим путем новую конфигурацию магнита и заново выполнить все перечисленные операции (в том числе, экспериментальные измерения). Назовем этот метод методом скалярного магнитного потенциала. Видим, что данный метод является весьма трудоемким. Отметим, что в работах японских физиков [52−57], а также [45] и др. математические подробности этого метода изложены крайне скупо, например, не указано, как находить коэффициенты, входящие в решение уравнения Лапласа. И только в книге Яновского Б. М. [44] изложены эти подробности, хотя 1-е издание этой книги вышло ещё в 1964 г., т. е. на четверть века раньше японских работ. Подробнее метод скалярного магнитного потенциала изложен в гл. 2.

В работе [44] для расчета поля магнита используются элементарные магниты — диполи. Для магнитной напряженности диполя имеет место формула, весьма похожая на формулу закона Био-Савара-Лапласа. Поле, создаваемое всем магнитом, можно найти, интегрируя по отдельным диполям. Этот метод является также трудоемким, хотя не требует экспериментальных измерений, как предыдущий метод. Подробнее метод, использующий диполи, изложен в гл. 2.

Во многих работах ([1, 15, 26] и др.) использован также метод, называемый методом эквивалентного соленоида. Этот метод основан на аналогии между полем постоянного магнита и полем поверхностных некомпенсированных амперовых токов и, как следствие, на возможности рассматривать постоянный магнит как соленоид. Однако этот метод развит в основном для случая, когда намагниченность магнита J = const (одинакова во всех точках магнита), а таким свойством обладают лишь магниты эллипсоидальной формы (идеализированные магниты) или магниты с очень высокой коэрцитивной силой и остаточной намагниченностью [1, 15, 26]. Кроме того, метод эквивалентного соленоида практически не развит для случая, когда наконечники магнита имеют углубления сложного профиля (в этом случае витки, уложенные в углубления, не образуют соленоид). Наконец, метод эквивалентного соленоида в основном используется для решения прямой задачи — расчета магнитного поля по заданной форме и размерам магнита, а для разработки магнитов, предназначенных для формирования высокооднородных полей, более важна обратная задача — расчет конфигурации магнита, при которой создается наиболее однородное поле (с использованием ряда ограничений на параметры магнита).

Данная диссертационная работа посвящена разработке метода, который будем называть методом эквивалентных витков и который является естественным продолжением метода эквивалентного соленоида.

Данный метод (метод эквивалентных витков) основывается на аналогии между постоянным магнитом и набором витков с током. В свою очередь, эта аналогия опирается на гипотезу Ампера [1, с. 71], [15, с. 55], [25, с. 95], [37, с. 286], [42, с. 306] о существовании молекулярных токов в веществе. Эти токи внутри вещества практически компенсируют друг друга и лишь по поверхности тела (магнита) текут некомпенсированные токи, аналогичные токам в витках или соленоидах. Поэтому для расчета магнитных полей постоянных магнитов можно использовать формулы для магнитных полей отдельных витков и соленоидов с током.

Тема диссертации, посвященной разработке метода определения конфигурации постоянного магнита, при которой формируется высокооднородное поле в MP-томографе, является актуальной, так как позволяет чисто математико-компьютерным моделированием рассчитать подходящие конфигурации постоянных магнитов, при которых создаются высокооднородные поля в MP-томографах, что ведет к повышению точности определения распределения плотности вещества в объекте, повышению качества MP-томограмм и улучшению диагностики.

Целью диссертационной работы является разработка метода определения оптимальной конфигурации (формы) постоянного магнита, при которой формируется высокооднородное поле в МР-томографе, иначе говоря, разработка метода решения задачи интегрального синтеза высокооднородного поля постоянного магнита в некоторой рабочей области MP-томографа. К цели работы относится также разработка численных алгоритмов и программ и выполнение модельных расчетов. Решение задачи синтеза высокооднородного магнитного поля имеет первостепенное значение для повышения разрешающей способности томограмм, что позволит повысить точность постановки диагнозов в медицине, уточнить анализ биологических структур в биологии и химии, определить плотность технической детали в механике и т. д.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи.

• Обзор существующих методов (способов) расчета оптимальных конфигураций постоянных магнитов и их магнитных полей.

• Разработка метода эквивалентных витков определения параметров постоянного магнита, обеспечивающих формирование высокооднородного поля в рабочей области магнита МР-томографа.

• Обоснование данного метода, основанного на аналогии между полем постоянного магнита и полем набора витков с током.

• Разработка рабочих алгоритмов и программ для решения задачи формирования высокооднородного магнитного поля МР-томографов.

• Выполнение модельных компьютерных расчетов с построением топографии магнитного поля в рабочем объеме (графиков, характеризующих степень однородности магнитного поля).

• Обоснование преимуществ разработанного метода расчета параметров магнита и его поля по сравнению с другими методами (способами).

• Исследование изменения карт магнитных полей в зависимости от значений параметров магнита.

• Исследование вопроса о конструктивных особенностях магнита в зависимости от материала, из которого он изготовлен.

Научная новизна:

• Разработан метод определения конфигураций постоянных магнитов MP-томографов, создающих высокооднородные поля. Этот метод основан на аналогии между постоянным магнитом и набором витков с током и поэтому для расчета магнитных полей использует формулы для полей витков.

• Для достижения высокой однородности поля в наконечниках магнита использованы углубления, а внутри углублений — выемки («ямки»), т. е. рассматриваются постоянные магниты сложной конфигурации.

• Разработана методика расчета параметров постоянного магнита путем минимизации функционала невязки.

• Показано, что на основе решения некоторого (одного) примера, можно простым путем получить ряд других примеров, умножив все параметры магнита на некоторый множитель, а (это вытекает из теорем подобия МС).

• Выведены рабочие формулы, разработаны программы и решены модельные примеры с построением полевых карт, показавшие, что данная методика позволяет в принципе получать высокооднородные поля постоянных магнитов с относительной неоднородностью.

А Я/Я = 10~5 -МО-6, т. е. 1−10 ррш в рабочей зоне.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут являться научной основой при проектировании MP-томографов на постоянных магнитах, формирующих высокооднородные поля. Методы расчета параметров постоянного магнита доведены до программных продуктов, позволяющих вести инженерные расчеты. Данную методику можно рекомендовать для практической реализации в виде дешевого отечественного MP-томографа, предназначенного, например, для определения распределения плотности вдоль технической детали или для обследования детей с целью выявления у них патологий на ранней стадии развития.

Выводы по главе 6.

1. Приведены результаты расчета двух численных примеров. В примерах задаются параметры магнита и наконечников L, 8, Щ, R2, А и определяются оптимальные значения параметров углубления g, р, а, р, г|, а также вычисляется относительная неоднородность поля е. Значения 8 получились меньшими («3−4ррт), чем в работах японских физиков [54, 55] («30 ррт). Это связано не только с тем, что в японских работах используются «горки», а мы использовали «ямки» в углублениях, но и с тем, что изложенная в диссертации методика (метод эквивалентных витков) позволяет путем компьютерного моделирования просчитать огромное количество вариантов и определить с большей точностью значения параметров.

2. Рассчитана топография магнитного поля в рабочем объеме, а именно, приведены графики полей #z (z, 0)/#z (0,0) и Нz (0,r)/Hz (0,0), а также изолинии поля Hm (z, r)/Hm (0,0) как линейные, так и логарифмические. Сделан вывод, что логарифмические изолинии поля дают гораздо лучшее представление о распределении неоднородности поля.

3. Сравнение результатов расчета двух приведенных численных примеров, а также анализ примеров, данных в работах [52, 54−57], позволяет сделать вывод, что однородность поля уменьшается (е понижается) с уменьшением отношения A/R, где R = (R + R2)/2, а также с уменьшением L + 8. Можно рекомендовать брать отношение А/R примерно в диапазоне 0.43−0.47.

4. Сравнение результатов расчета магнитного поля реального магнита методом эквивалентных витков с результатами измерений поля этого магнита с помощью магнитометра позволило сделать вывод, что относительная погрешность расчета неоднородностей поля (другими словами, погрешность расчета полевых карт) методом эквивалентных витков составляет менее 1% (для идеализированного магнита), что говорит о том, что метод эквивалентных витков дает в принципе правильное (адекватное) описание полей постоянных магнитов.

5. Рассмотрен вопрос о том, что умножение всех параметров на некоторый множитель, а > 0 позволяет получить ряд новых примеров без их решения, что экономит компьютерное время.

6. Рассмотрен вопрос о материале магнита. Магнит может быть изготовлен из современного магнитно-твердого материала (МТМ) типа Nd-Fe-B, Sm-Co, РЗМ, Альнико и др. В этом случае метод эквивалентных витков даст достаточно точные результаты вследствие практически однородной намагниченности J. Если же изготовить магнит, например, из мягкого железа, то магнит будет быстро размагничиваться и для его подмагничивания следует воспользоваться катушкой с током простой конфигурации. Но при этом будет иметь место неоднородность намагниченности, что затруднит применение метода эквивалентных витков.

7. Чтобы учесть возможные неоднородности намагниченности (J Фconst) и неоднородности плотности (р*const) материала магнита, можно использовать результаты расчета методом эквивалентных витков в качестве начального приближения для уточнения результатов иным методом (скалярного потенциала и т. д.), использующим измерения поля магнитометром. Данный пункт и п. 6 говорят о том, что метод эквивалентных витков наиболее эффективен применительно к МТМ, а применение его к МММ связано с техническими и математическими трудностями.

8. Решение численных примеров при искаженных (отличных от оптимальных) значениях параметров магнита, магнитных наконечников, углублений и выемок («ямок») позволило сделать следующий вывод. Еели погрешности производственного изготовления постоянного магнита сложной конфигурации (погрешности параметров L, 8, R2, A, g, р, а, р, г| и ?) составляют в среднем «0.1 мм, то это повышает относительную погрешность А#0П| в рабочей области на порядок.

9. Для подавления токов Фуко предлагается изготавливать полюсные наконечники из набора стержней, параллельных оси магнита и плотно прилегающих друг к другу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Перечень новых результатов. Перечислим новые результаты, полученные в диссертации.

1. Развит новый метод, названный методом эквивалентных витков, для определения оптимальной конфигурации постоянного магнита МР-томографа, при которой создается высокооднородное поле в рабочей области магнита (см. п. 4.1). Для достижения высокой однородности поля в наконечниках магнитов использованы углубления и «ямки», т. е. рассматриваются постоянные магниты сложной конфигурации. Для расчета полей использована аналогия между постоянным магнитом (а также его наконечниками, углублениями и «ямками») и набором витков с током. Данный метод является продолжением метода эквивалентного соленоида [1,15, 26].

2. Проведено сравнение данного метода с методом скалярного магнитного потенциала (см. п. 2.1) [44, 45, 54−57] и с методом диполей (см. п. 2.2) [44]. Сделан вывод, что эти методы (особенно метод скалярного потенциала) являются значительно более трудоемкими, чем метод эквивалентных витков. Например, метод скалярного потенциала требует для каждой конфигурации магнита экспериментальных измерений поля в некоторых точках, а метод эквивалентных витков определяет оптимальные значения параметров углублений путем чисто компьютерного моделирования (без экспериментальных измерений).

3. В предложенном методе (методе эквивалентных витков) форма углублений и «ямок» аппроксимируется прямыми линиями (см. п. 4.2), что делает алгоритм их определения наиболее устойчивым, а техническое изготовление — наиболее простым и надежным. В результате получается 6 искомых параметров углублений и «ямок»: g, р, g, р, г|,? и 5 задаваемых параметров магнита и наконечников: L, 8, R, R2, А. Параметры углублений и «ямок» предложено находить путем минимизации невязки б между рассчитанным полем Н Z{z, 0) и однородным полем haz-оси на некотором отрезке z где, например, zhom =0.5А, причем, А — полудлина зазора (см. п. 4.3).

4. Предложенный метод доведен до рабочих формул, программ и расчета модельных примеров (см. гл. 3−6). В модельных примерах определены оптимальные параметры g, р, G, p, r|, при заданных параметрах L, 8, R, /?2 > А 5 рассчитаны и построены графики нормированных функций Hz (z, 0), Hz (0,r), Hm (z, r), а также линии напряженности H (z, r). Показано, что логарифмические изолинии функции Hm (z, r)/Hm (0,0) дают наилучшее представление о распределении неоднородностей поля.

5. Разработанный метод (см. гл. 6) позволяет в принципе (при условии постоянства намагниченности и плотности материала магнита) достичь высокой однородности полей: е"3−5ррт, а в работах японских физиков [52, 54−57], использующих метод скалярного потенциала расчета полей (см. п. 2.1), достигается однородность поля лишь с"30−70ррш, причем в примерах, близких нашим примерам, и примерно в одинаковых рабочих областях. Это говорит о том, что метод скалярного потенциала (громоздкий, требующий экспериментальных измерений метод) заметно уступает методу эквивалентных витков (методу, требующему лишь компьютерного моделирования) в отношении оперативности просчета различных вариантов.

6. Решение численных примеров при искаженных (отличных от оптимальных) значениях параметров магнита, магнитных наконечников, углублений и выемок («ямок») позволило сделать следующий вывод. Если погрешности производственного изготовления постоянного магнита сложной конфигурации (погрешности параметров L, 8, /?1? R2, A, g, р, а, р, г) и ?) составляют в среднем да 0.1 мм, то это заметно искажает картину поля с относительной неоднородностью Л#отн <10~6 и даже.

Д#отн ~10″ 5, что предъявляет повышение требования к производственному изготовлению магнитов сложной конфигурации.

7. Сравнение результатов расчета магнитного поля реального магнита методом эквивалентных витков с результатами измерений поля этого же магнита с помощью магнитометра позволило сделать вывод, что относительная погрешность расчета полевых линий методом эквивалентных витков составляет менее 1% (для случая идеализированного магнита), что говорит о том, что метод эквивалентных витков дает в принципе правильное (адекватное) описание полей постоянных магнитов.

8. Рассмотрен вариант умножения всех параметров некоторого рассчитанного примера на некоторое число а> 0, что позволяет получать ряд новых примеров без их решения, что экономит компьютерное время. Данный вариант связан с теоремами подобия магнитных систем [26].

9. Рассмотрен вопрос о материале магнита. Магнит может быть изготовлен из современного магнитно-твердого материала (МТМ) типа Nd-Fe-B, Sm-Co, РЗМ, Альнико и др. В этом случае метод эквивалентных витков даст достаточно точные результаты вследствие практически однородной намагниченности J. Если же изготовить магнит, например, из мягкого железа, то магнит будет быстро размагничиваться и для его подмагничивания следует воспользоваться катушкой с током простой конфигурации. Но при этом будет иметь место неоднородность намагниченности, что затруднит применение метода эквивалентных витков.

10. В случае, когда иеет место неоднородность намагниченности (J^const), а также неоднородности плотности (р*const) материала магнита, предложено сделать более точный расчет магнита сложной конфигурации с помощью иного метода (например, метода скалярного потенциала), использующего измерения поля магнитометром, причем результаты расчета методом эквивалентных витков использовать в качестве хорошего начального приближения.

10. Для подавления токов Фуко в материале магнита предложено изготавливать полюсные наконечники из набора стержней, параллельных оси магнита и плотно прилегающих друг к другу.

11. Метод эквивалентных витков можно рекомендовать для практического использования при реализации дешевого отечественного МР-томографа на базе постоянного магнита сложной конфигурации.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05−08−1 304-а).