Развитие методов теории переноса излучения

Актуальность темы

Теория переноса излучения в спектральных линиях в статических (неподвижных) средах в приближении полного перераспределения по частоте (ППЧ) в элементарном акте рассеяния в настоящее время является хорошо разработанным с физической и математической точек зрения разделом теоретической астрофизики. Приближение ППЧ было введено почти одновременно рядом астрофизиков и физиков (Дж.Хаутгаст, JI.М.Виберман, Т. Холстейн, В.В.Соболев). Согласно этому предположению вероятность переизлучения фотона определенной частоты не зависит от того, какую частоту имел фотон до рассеяния. Изложению теории переноса в спектральных линиях при ППЧ посвящено несколько книг, прежде вбего В. В. Соболева [1956] и В. В. Иванова [1969], а также обзоров (см., например, Ivanov [1991], Нагирнер [1994]).

Примерно с середины 60-х годов стала активно развиваться теория рассеяния при законах, отличных от ППЧ, которое называется рассеянием при частичном перераспределении по частоте (ЧПЧ). Большой вклад в эту теорию внесли Хаммер с сотрудниками (Hummer [1962], Hummer и Kunasz [1980]), Harrington [1974], Баско [1978], Frisch [1980], Hubeny и Heinzel [1984], Чугай [1980], а также армянские астрофизики'(Енгибарян и Никогосян [1973], Yengibarian и Nikoghosian [1973], Никогосян и Арутюнян [1976]). (Обзор работ по теории рассеяния при ЧПЧ см., например в работе Нагирнера [1987].) Во многих случаях результаты при ППЧ и ЧПЧ близки, но бывают и существенные отклонения. Они проявляются, когда в системе отсчета атома происходит рассеяние с лоренцевским профилем (естественное уширение линий), а скорости атомов распределены по максвелловскому закону. Тогда функция перераспределения Ru (в обозначениях Hummer [1962]) ведет себя так, что в ядре линии происходит перераспределение, близкое к полному, а в крыле рассеяние почти монохроматическое. Это порождает иные асимптотики решений.

Актуальность дальнейшего развития теории переноса излучения в спектральных линиях определяется потребностями как самой теории, так и современных наблюдений. В рамках приближения ППЧ это, во-первых, — учет крупномасштабных движений (расширения или сжатия) вещества и неоднородности распределения характеристик среды, а также усложнение геометрии среды и, во-вторых, — разработка матричной версии теории, позволяющей наряду с профилем линии в интенсивности строить и профиль поляризации в линии (последнее актуально в связи с интерпретацией' так называемого второго спектра Солнца). Что касается ЧПЧ, то в случае функции перераспределения Яц, о которой упоминалось выше, оказывается возможным получить новые аналитические решения пространственно однородных задач как для неподвижных, так и движущихся сред. Далее, что касается численных методов решения задач о переносе излучения, то, несмотря на их огромное разнообразие, до сих пор не было придумано универсального метода (не считая метода Монте Карло), позволяющего решить любую задачу, а в особенности нелинейную, т. е. такую, в которой характеристики среды существенно зависят от поля излучения.

Целью работы является дальнейшее развитие указанных выше направлений теории переноса излучения. В первой главе разрабатывается (в приближении ППЧ) крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах, которая в частном случае нулевого градиента скорости расширения переходит в соответствующую теорию для неподвижных сред. Рассматриваются бесконечные и полубесконечные среды с плоской или сферической симметрией. Показано, что при малых безразмерных градиентах скорости функция источников и интенсивность излучения выражаются через функции на 1 меньшего числа аргументов, являющихся комбинациями прежних аргументов. Для нескольких основных задач эти функции найдены в явном виде для случаев доплеровского и степенного (в крыле) профилей коэффициента поглощения. Обнаружено, что расширение среды может приводить к образованию узких (с шириной, меньшей тепловой) интенсивных компонентов профилей спектральных линий.

Во второй главе предлагается некоторый новый подход к получению широко известного (и часто используемого в астрофизике) приближения Соболева (ПС). В этом подходе ПС трактуется как нулевое приближение в разложении решения уравнения переноса в сопутствующей системе отсчета по пространственным градиентам всех физических величин, включая поле скорости, кинетическую температуру атомов и т. д. При этом ПС получается в самом общем виде и включает в себя все имеющиеся в литературе (и некоторые новые) обобщения. Найдены и поправки к ПС первого и второго порядков.

В третьей главе в рамках ЧПЧ с функцией Дц получены в диффузионном приближении новые более общие (по сравнению с имеющимися в литературе) аналитические решения задач о переносе излучения в линии в бесконечных (статических или расширяющихся) средах с равномерным распределением источников. В случае расширяющихся сред эти решения дают правильную асимптотику интенсивности излучения в крыле линии. Найдены профили спектральной линии, а также такие интегральные величины, как среднее число рассеяний фотонов и относительное число несбалансированных переходов из верхнего состояния атома в нижнее. Выражение для последней величины, имеющей также смысл вероятности выхода фотона из процесса, рассеяний, отличается от получаемого в приближении Соболева (при ППЧ) множителем, который обращается в 1, если пренебречь отдачей при рассеянии.

В четвертой главе в рамках ППЧ построена асимптотическая теория переноса поляризованного излучения в линии в полубесконечных плоскопараллельных средах с равномерно распределенными частично поляризованными первичными источниками в линии. При этом предложен новый метод получения полного асимптотического разложения матрицы функции источников — непосредственно из интегрального матричного уравнения, которое получается из исходного уравнения типа Винера-Хопфа интегрированием по частям. Построены также численные решения задачи и проведено их сравнение с асимптотическими разложениями.

В пятой главе предложен новый метод численного решения нестационарных' задач теории переноса излучения. Метод состоит в том, что если известно решение в некоторый момент времени, то из уравнения переноса можно найти по некоторым рекуррентным соотношениям и все производные этого решения в тот же момент и по ряду Тейлора вычислить решение в некоторый следующий момент и так далее. Метод позволяет рассматривать нестационарный перенос излучения как в стационарных средах, так и в средах, характеристики которых меняются со временем заданным образом. Более того, этим методом можно решать и нелинейные задачи, т. е. такие задачи, в которых поле излучения существенным образом влияет на характеристики среды. При этом не используются какие-либо итерации — все сводится к вычислениям по рекуррентным соотношениям. В качестве примеров получены решения нескольких задач. Для бесконечных однородных и изотропных сред рассмотрена временная эволюция начального спектра при многократном комптоновском рассеянии. При этом использовалось точное интегро-дифференциальное уравнение переноса на адаптивной частотно-временной сетке. Проведено сравнение с соответствующими решениями уравнения Компанейца, которое получается из исходного уравнения в диффузионном приближении. Рассмотрена также пространственно однородная задача о нестационарном переносе в спектральной линии. При этом учитывалось расширение пространства. Решения найдены как в линейном приближении, так и для исходной нелинейной задачи. В качестве примера пространственно неоднородных задач рассмотрен нестационарный перенос монохроматического, излучения в конечном плоском слое с переменными источниками.

Научная ценность работы определяется тем, что в ней разработаны некоторые направления в асимптотической теории переноса излучения в спектральных линиях при ППЧ (движущиеся среды (гл. 1), поляризация в линии (гл. 4)), предложены новые методы получения асимптотических и численных решений (гл. 4 и 5) и предсказаны некоторые новые физические эффекты (сужение линий в расширяющихся средах (гл. 1)). С практической точки зрения найденные новые аналитические решения могут использоваться для тестирования прикладных пакетов программ. Кроме того, полезным с методической (рассчет-ной) точки зрения может быть использование при численном решении не самого исходного интегрального уравнения переноса (как это делается, например, в гл. 4 при нахождении асимптотичского разложения матрицы функции источников), а альтернативной его формы, позволяющей исключить потери точности, связанные с учетом большого числа рассеяний (см. гл. 5, § 1, п. 1.4). Для практического решения нестационарных нелинейных задач (в том числе и мно-гоуровенных) представляется весьма перспективным новый численный метод, предложенный нами в гл. 5. Более того, этот метод может использоваться (в стационарном пределе) и для. получения решений нелинейных стационарных задач.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на:

— семинарах лаборатории теоретической астрофизики Астрономического института и кафедры астрофизики С.-Петербургского гос. университета.

— Всесоюзном симпозиуме, приуроченном к 40-летию введения принципа инвариантности в теорию переноса излучения, Бюракан, 26−30 октября 1981 г.

— Всесоюзном совещании «Звездные атмосферы», Рига, май 1981 г.

— Всесоюзной конференции «Образование эмиссионных линий в спектрах звезд и галактик», Эльва, 25−28 мая 1982 г.

— Всесоюзном симпозиуме, посвященном 100-летию интегрального уравнения переноса излучения, Ленинград, октябрь 1990 г.

— Международной рабочей группе «Solar polarization», ГАО РАН, С.-Петербург, май 1995 г.

— Международном симпозиуме стран СНГ по атмосферной радиации (МСАР-99), С.-Петербургский университет, С.-Петербург, 12−15 июля 1999 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. С. И. Грачев (1982). О профилях спектральных линий, возникающих в од- • номерной расширяющейся среде. I. Прямоугольный и доплеровский коэффициенты поглощения. Вестник Ленингр. ун-та. N 1. С. 77−86.

2. С. И. Грачев (1982). О профилях спектральных линий, возникающих в одномерной расширяющейся среде. II. Степенной коэффициент поглощения. Вестник Ленингр. ун-та. N 7. С. 85−92.

3. С. И. Грачев (1985а). Асимптотическое подобие в задачах о переносе резонансного излучения в линейно расширяющихся средах. I. Ядра интегральных уравнений, вероятности выхода фотонов. Астрофизика. Т. 23. С. 323−336.

4. С. И. Грачев (19 856). Асимптотическое подобие в задачах о переносе резонансного излучения в линейно расширяющихся средах. II. Решения для бесконечных и полубесконечных сред. Астрофизика. Т. 23. С. 551−568.

5. С. И. Грачев (1988). О диффузии резонансного излучения в бесконечной среде при наличии поглощения в континууме. Астрофизика. Т. 28. С. 205−215.

6. С. И. Грачев (1989). Диффузия резонансного излучения в бесконечной однородно расширяющейся среде. Астрофизика. Т. 30. С. 347−361.

7. С. И. Грачев (1989). Перенос излучения в движущихся средах. В трудах симпозиума «Принцип инвариантности и его приложения». Изд-во АН АрмССР. Ереван. С. 210−222.

8. С. И. Грачев, В. К. Дубрович (1991). Рекомбинация водорода в расширяющейся Вселенной. Астрофизика. Т. 34. С. 249—264.

9. С. И. Грачев, (1994). О нестационарном переносе излучения в спектральной линии в звездных атмосферах. Астрофизика. Т. 37. С. 447−453.

10. С. И. Грачев (1994). Перенос излучения в движущихся астрофизических средах. Труды Астрон. обсерв. С-Петерб. гос. ун-та. Т. 44. С. 203—235.

11. V.V.Ivanov, S.I.Grachev, V.M.Loskutov (1997). Polarized line formation by resonance scattering. I. Basic formalism. Astron. Astrophys. Vol. 318. P. 315−326.

12. V.V.Ivanov, S.I.Grachev, V.M.Loskutov (1997). Polarized line formation by resonance scattering. II. Conservative case. Astron. Astrophys. Vol. 321. P. 968−984.

13. Д. И. Нагирнер, В.M.Лоскутов, С. И. Грачев (1997). Точные и численные решения уравнения Компанейца: эволюция спектра и средних частот. Астрофизика. Т. 40. С. 349−364.

14. С. И. Грачев (1999). Образование линий в движущихся средах: асимптотические разложения некоторых специальных функций. Астрофизика. Т. 42. С. 501−518.

15. С. И. Грачев (1999). Общий метод численного решения задач о нестационарном переносе излучения. Тезисы доклада на Международном симпозиуме стран СНГ «Атмосферная радиация» (МСАР-99). С.-Петербург. Июль 1999 г.

Примечания к списку основных работ:

• в работе [8] автору принадлежат текст, формулы и численные расчеты, а соавтору — постановка задачи.

• в работе [11] автору принадлежит расчет коэффициентов асимптотических разложений ядерных матриц Кг (-г) и К2(т) (табл. 2).

• в работе [12] автору принадлежат численный расчет матрицы функции источников S (г) (табл. 1), асимптотические разложения вторых столбцов матриц S (т) и 1(т) (формулы (110)—(117)), расчет коэффициентов асимптотических разложений матриц S® и 1(т) (табл. 4 и 5). Разложения первых столбцов матриц S (г) и 1(т) (формулы (67), (68) и (96), (97)) получены автором одновременно (и независимо) с В. В. Ивановым разными способами.

• в работе [13] автору принадлежит численное решение уравнения Компанейца (стр. 355−362).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Она изложена на 170 страницах (153 страницы основного текста, 9 страниц приложений и 8 страниц списка литературы), включает 22 таблицы и 37 рисунков.

Список литературы

содержит 113 наименований.

Заключение

.

Главной задачей было дальнейшее развитие отдельных направлений теории переноса излучения. Основное внимание было уделено аналитическим методам теории многократного резонансного рассеяния — асимптотическим и приближенным. В рамках приближения полного перераспределения по частоте (ППЧ) построены асимптотические теории с учетом линейного расширения сред и с учетом поляризации по отдельности. При отсутствии расширения и в скалярном случае они переходят в соответствующие теории для неподвижных сред. При частичном перераспределении по частоте с функцией перераспределения Яц (тепловое движение атомов с естественно уширенным верхним уровнем) были найдены новые аналитические решения пространственно однородных задач в диффузионном по частоте приближении. Эти решения дают правильную асимптотику интенсивности излучения как функции частоты. Был представлен также новый (более широкий) взгляд на известное приближение Соболева (ПС), которое можно трактовать как нулевое приближение в разложении интенсивности излучения по градиентам всех физических параметров, включая и поле скорости.

Что касается численных методов, то был предложен эффективный общий метод численного решения нелинейных нестационарных задач теории переноса, который можно использовать и для решения нелинейных стационарных задач. Идея метода очень проста. В нем не используются какие-либо итерации, и все сводится к вычислениям по рекуррентным формулам. Широкие возможности метода продемонстрированы на примере решения нескольких модельных задач теории переноса излучения. Здесь следует отметить, что этот метод можно применять и при решении других кинетических уравнений, а не только уравнения переноса излучения.

В качестве возможных направлений дальнейших исследований можно указать следующие. Во-первых, это — распространение аналитической теории, развитой в §§ 1 и 2 гл. 3, на конечные среды. Во-вторых, можно попытаться обобщить асимптотическую теорию переноса поляризованного излучения (гл. 4), учтя влияние магнитного поля и эффекты отклонений от ППЧ. В третьих, это — дальнейшее использование численного метода, предложенного в гл. 5, например, для самосогласованного рассмотрения задачи о многократном комптонов-ском рассеянии (§ 1 гл. 5) путем совместного решения кинетических уравнений для электронов и фотонов. Можно также попытаться использовать этот метод для решения многоуровенных нелинейных задач теории звездных атмосфер.

На защиту выносятся:

1. Крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах при полном перераспределении по частоте (ППЧ).

2. Аналитические решения задач о переносе резонансного излучения при частичном перераспределении по частоте в диффузионном (по частоте) приближении.

3. Асимптотическую теорию переноса поляризованного излучения при резонансном рассеянии в доплеровском ядре линии в приближении ППЧ.

4. Общий метод численного решения нелинейных задач о нестационарном переносе излучения.