Спектральные свойства оператора линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости

Актуальность темы

Изучению математических вопросов, касающихся уравнений вязкой сжимаемой жидкости, посвящено много работ как российских, так и зарубежных авторов. Одной из первых в этой области была работа Я. И. Канеля [8], в которой исследовалась задача Коши для одномерного нестационарного движения вязкого сжимаемого газа в переменных Лагран-жа: где и — скорость, v — удельный объем, р = р{у) — давление, ц = const > 0 -вязкость среды, t — время. В указанной работе доказаны корректность задачи «в целом» по времени и сходимость решения при t —> со к стационарному решению.

В дальнейшем появлялись работы, в которых рассматривается более общая постановка задачи для одномерного движения. А именно, предполагается, что газ теплопроводен, т. е. удовлетворяет следующей системе уравнений: dv ди dt дх ди да dt дх.

1) dv ди dt дх.

2).

3) с граничными условиями: q (t, 0) = q (t, 1) = 0, a (t, 0) = a (t, 1) = 0,.

4) либо уравнения (1)-(3) рассматриваются на всей прямой. Здесь е = e (u, в) -внутренняя энергия, а = —p{v, в)—р (у)ихтензор напряжения, q = q (v, 0, 9Х) — тепловой поток, 9 — абсолютная температура, р — давление, p (v) — вязкость.

A.B. Кажихов [4] - [7], [23], S. Kawashima и T. Nishida [42], С.М. Dafermos [24], [25], T. Nagasawa [50], а также D.A. Iskenderova и Sh.S. Smagulov [37] доказали глобальное существование сильных решений задачи (1)-(3) с начальными условиями при различных предположениях на функции е, er, q в случае идеального газа. Соответствующие результаты для реальных газов были получены S. Jiang [39], В. Kawohl [43], R.H. Pan [53], Y.M. Qin [56] и A.A.Amosov [22].

Изучению поведения решения при t —" оо системы (1)-(3) также посвящено много работ. С. Н. Антонцев [23], Е. Feireisl [30], S. Jiang [38] исследовали поведение при больших временах сильного решения задачи Коши и начально-краевой задачи для системы (1)-(3) с граничными условиями (4). В случае граничных условий q (t, 0) = q (t, 1) = 0, a (t, 0) = cr (i, 1) = -R (t) < 0, где R (t) — заданная функция, поведение решения при больших временах изучал Т. Nagasawa [49], L. Hsiao и T. Luo [36], В. Ducomet [26], [28].

Глобальное существование слабого решения и его поведение при больших временах исследовались также для многомерных уравнений вязкой сжимаемой жидкости. Однако, вопросы существования глобального сильного решения в случае теплопроводного газа и единственность слабого решения при больших начальных данных остаются открытыми.

В случае достаточно малых начальных данных существование глобального сильного и слабого решений и сходимость к соответствующему стационарному решению при t —" оо доказаны, например, в [35], [48], [57]. В случае больших начальных данных ситуация значительно сложнее. Тем не менее P.-L. Lions [46] установил глобальное существование слабого решения для системы уравнений, описывающих движение адиабатической жидкости: dtp + div (pu) = 0, dt{pu) + div (ycm (g) и) + a v (p7) = + (С + p) V divu, при 7 > -¡-щ и размерности d — 2,3. Здесь, а > 0 — число,? — второй коэффициент вязкости. E. Feireisl, A. Novotny и H. Petzeltova в [31], [32] обобщили результат P.-L. Lions на случай 7 > d — 2,3. В [40] S. Jiang и P. Zhang доказали глобальное существование слабых решений для показателя 7 > 1, когда начальные данные сферически симметричны. Поведение при больших временах глобального слабого решения этой системы исследовалось, например, в работах [27], [29], [30], [33], [41], [51].

Изучение поведения при больших временах решения нелинейных уравнений вязкой сжимаемой жидкости, в частности, изучение их устойчивости, может быть сведено к исследованию спектральных свойств оператора, описываемого линеаризованными стационарными уравнениями. Во всех работах, упомянутых выше, линеаризация проводилась на постоянном решении (щ, ро), не зависящем от х, что приводит к стационарным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Спектральная задача для таких уравнений с помощью преобразования Фурье сводится к исследованию спектра матрицы, см. [44], [45], [52]. В диссертации исследуется спектр стационарных модельных уравнений, связанных с описанием течения вязкой сжимаемой жидкости, но с переменными коэффициентами.

Спектральные задачи для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами — это обширная область математической физики, которая уже стала классической. Подробный исторический обзор этой области, по нашему мнению, приводить нецелесообразно, так как многие ее разделы (теория самосопряженных эллиптических операторов, ассимптотика спектральной функции и другие) не имеют прямого отношения к диссертации. Однако мы не можем не отметить работу М. В. Келдыша [10], из которой выросла вся современная теория несамосопряженных дифференциальных операторов (см., например, И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн [2], М. С. Агранович [1]). В диссертации основным аппаратом для исследования спектральной задачи является метод псевдодифференциальных операторов. Поэтому мы должны отметить, что теория псевдодифференциальных операторов широко использовалась при исследовании спектра самосопряженных и несамосопряженных операторов (см., например, JL Хермандер [20], М. С. Агранович [1],.

М.А.Шубин [21]).

В диссертации рассматриваются стационарные модельные уравнения, связанные с описанием течения вязкой сжимаемой жидкости, заданные в с1 = 2, 3, с периодическими краевыми условиями. Берется линеаризация этих уравнений на заданном стационарном решении (й (х), зависящем от х.

Она приводит к системе уравнений с переменными коэффициентами. Исследуется структура спектра оператора, описываемого полученными уравнениями с переменными коэффициентами. Доказано, что спектр оператора лежит в дополнении к некоторому сектору ?>, т. е. в С5'. Кроме того, установлена дискретность спектра в области С5 всюду, кроме отрезка, на котором спектральная задача теряет свойство эллиптичности по Дуглису-Ниренбергу. Также установлена оценка резольвенты, когда спектральный параметр лежит в секторе Б. Исследование спектра подобного оператора с переменными ко1 эффициентами и доказательство оценки резольвенты ранее не проводились.

Цель работы. Целью диссертации является исследование спектра оператора, описываемого модельными стационарными линеаризованными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости, и доказательство секториальности оператора.

Основные методы исследования. В диссертации используются аппарат псевдодифференциальиых операторов и общая теория несамосопряженных линейных операторов.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

• доказано, что спектр оператора, описываемого модельными линеаризованными стационарными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами (см. ниже, уравнения (10), (11)), лежит в дополнении к некоторому сектору 5, т. е. в С5, причем в области (С"9)[а, Ь] спектр дискретен, где а, Ь 6 К, аЪ > 0;

• получена оценка резольвенты оператора, описываемого модельными линеаризованными стационарными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами, когда спектральный параметр принадлежит сектору S.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования поведения решений при t —> со соответствующих нестационарных уравнений. Более того, эти результаты планируется использовать для обобщения метода стабилизации параболических уравнений и системы НавьеСтокса, предложенного А. В. Фурсиковым в [17], [18], [34], на случай нестационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались неоднократно на семинарах в МГУ под руководством профессора А. В. Фурсикова (2004 -2008) и в Институте Вычислительной Математики РАН (2006) — на семинаре под руководством профессора Е. В. Радкевича в МГУ (2007) — на семинаре под руководством профессора Ю. А. Дубинского в Московском Энергетическом Институте (2007), на Международной конференции «Mathematical Hydrodynamics» МИАН (июнь 2006), на Всероссийской конференции «XXVIII Конференция молодых ученых механико — математического факультета МГУ» (апрель 2006), на Всероссийской конференции «Ломоносов -2006» (апрель 2006), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвящённой И. Г. Петровскому, МГУ (май 2007) — на Всероссийской конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (февраль 2007) — в Крымской осенней математической школе-симпозиуме, Крым (сентябрь 2007) — в Школе-семинаре «Нелинейный анализ и экстремальные задачи», Иркутск (июнь 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ: [11] - [16], [54], [55]. Публикаций, написанных в соавторстве, нет.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 97 страниц, библиография включает 57 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Рассматривается стационарная модельная задача, связанная с описанием течения вязкой сжимаемой жидкости:

МAtiW — VPWi^/M, (5) р{х) р{х) p (x)aivu = 0, (6) где х = (rei,., x?) 6 №Ld, d = 2, 3, ?i > 0 — коэффициент вязкости, d д2 id д.

A = v = дх2' V ' «'' дхб/ ' неизвестными функциями являются скорость жидкости и (х) = (^1 (х),., щ^х)) и плотность р (х) > 0, а заданными функциями является сила /(х) — (Л (^), • • •, /¿-¿-(ж)) и давление? Сх (0, оо), причем р'(р) либо строго положительна, либо строго отрицательна. Все функции в (5), (6) удовлетворяют периодическим краевым условиям по х^ с периодом 2−7Г. Это эквивалентно предположению, что х = ., хпробегает тор Та = ^/271−2^.

Для простоты положим р — 1. Пусть (й (х), р (х)) — произвольное решение системы (5), (6). Линеаризуем эту систему на указанном решении и рассмотрим следующую спектральную задачу:

Ц-Аи (х) + Ь (х) V р{х) + с (х)р (х) = Аи (х), (7) р[х) где с11у и (х) = А р (х), (8).

Ь (х) = -ЩР'Ш), (9) Ур'(Р (х)), уР№)) р{х) + П*).

Здесь, А б С — спектральный параметр. Отбросим члены левой части системы (7), (8), содержащие р (х), которые являются членами низшего порядка в смысле эллиптичности по Дуглису-Ниренбергу, и рассмотрим сначала спектральную задачу:

— ЦАи (х) + Ь{х) у р{х) = Хи (х), (10) р[х) p (a:)div и (х) = Хр (х). (11).

В главе 1 исследуется структура спектра оператора, описываемого левой частью уравнений (10), (11), заданными на торе Td. Параграф 1 посвящен постановке задачи.

В дальнейшем мы будем использовать функциональные пространства Соболева Hk{Td). Введем пространство Я = L2(Td) х. х L2(TdxHl{Td) с.

4 Sr У d нормой iMilr-EteiiL + b+iii^,.

3=1 а также пространство J = H2{Td) х. х Н2 (Td) x Н1 (Td) с нормой d y\2j = J2\yj\h ^ \yd+i\h.

Обозначим через A (x, D) = {anm (x, D)}d^=1 дифференциальный оператор, который задается левой частью системы (10),(11). Область определения D (j4(x, D)) и область значений R (A (z, D)) оператора А{х, D) удовлетворяют соотношениям.

D (A (z, L>)) = J, TL (A (x, D)) с Н.

Перепишем задачу (10),(11) в виде.

A (x, D)-E)U (x) = Q, (12) где U{x) = (и{х), р{х))~ вектор размерности d + 1, d = 2, 3, Е — единичный оператор.

Определение 1. Точка A G С называется регулярной точкой оператора А{х, D): J —> Н, если определен ограниченный обратный оператор (А (х, D) — Ai?)-1: Н —> J. Множество всех регулярных точек называется резольвентным множеством оператора A (x, D). Это множество обозначим r{A (x, D)).

Определение 2. Множество а (А (х, D)) = Cr (A (x, D)) называется спектром оператора А (х, D).

Из определения спектра вытекает, что при Л € сг (А{х, D)) обратный оператор (А{х, D) — А. Е)-1 не определен. Это может случиться, в частности, по двум причинам:

1. Ker (A (rc, D) — ХЕ) ф 0. В этом случае Л называется собственным значением, а вектор е G Кег (А (ж, D) — ХЕ) называется собственным вектором, который соответствует собственному значению Л.

2. 1ш (А (ж} D) — А. Е) не замкнут в Н. Такой случай при некотором Л также может иметь место для изучаемой системы.

Определение 3. Замкнутый оператор А{х, D): Н —Н называется сек-ториалъным, если существуют (р G (§-, тг), ао € М «М > 0 такие, что сектор Sao,(p = {Л € С: | arg (A — ао)| < А ^ ао} лежит в r{A (x, D)) и ||(A{x, D) — ЛЯ)» 1! < для любого A G Sa0iV?.

Близкие определения даны в [9]1, [19]2.

Параграф 2 посвящен проверке эллиптичности оператора B (x, D), который описывается левой частью системы (7),(8). Установлено, что указанный оператор эллиптичен по Дуглису-Ниренбергу. Однако, у оператора B{x, D) — ХЕ эллиптичность по Дуглису-Ниренбергу теряется при некоторых, А для некоторых х. Это происходит из-за того, что слагаемое —А в компонентах оператора B (x, D) — ХЕ, порожденных уравнением (8), входит в старшие члены.

ХВ [9] сектор Sa0iV?, указанный в определении 3, содержит числовую область значений оператора A (x, D).

2 В [19] сектор Sao,.

< | arg (A — ао)| < тг, А ф а}, где ц> € (0,7г/2), лежит в r (A (x, D)).

В параграфе 3 предполагается, что оператор А (х, И), порожденный левой частью системы (10), (11), имеет постоянные коэффициенты, т. е. А (х, 0) = А{Г>) не зависит от х. Для него рассматривается спектральная задача:

А (0)-Е)Щх) = 0. (13).

Мы найдем собственные векторы и собственные значения оператора А (0). Собственные векторы будем искать в следующем виде:

17)(0е<�м, .

ЛК) — XI) = о,? е (14) где I — единичная матрица размера (с? + 1) х {й + 1).

Элементы матрицы А (£) = {о>пт{0}п^п=ъ <^ = 2,3, выписаны ниже в формулах (1.3.4), (1.3.5) первой главы диссертации. Собственными значениями являются корни уравнения с! е1-(Л (?) — XI) = 0. А именно, число является корнем кратности с1 — 1 и.

2 = 2,3, (16) являются простыми корнями. Заметим, что.

АзЮ = + + 4&-ЖР — Ьр |€| оо. Л.

Следовательно, Л = Ьр — точка накопления собственных значений Аз (£) при |?| —> со. Именно в точке Л = Ъ~р2 теряется эллиптичность по Дуглису-Ниренбергу оператора А (х, И) — XЕ. В диссертации доказаны следующие леммы:

Лемма 1.3.1. Пусть й — 2. При любом? € 22{0} существуют 3 вза-имоортогоналъных собственных вектора. Собственный вектор

ЩОе" = (6, 0) ег'^ (17) соответствует собственному значению (15), а собственные векторы.

РП^уМ = ^ 1|! + л2>3(о) (18) соответствуют собственным значениям (16).

Лемма 1.3.2. Пусть (1 = 3. При любом? Е Ж3{0} существуют 4 взаимоортогональных собственных вектора. Два из них, соответствующие собственному значению (15), определяются следующим образом: +? з^О для $ +.

V Й + Й' Й + <�еГ2'Т ¦

Л два других собственных вектора, соответствующие собственным значениям (16), определяются формулой.

Ьй, гбб, ?Ь?з, у- + А2, з (0) Рассмотрим множество.

М ~ {Л е С: Л = определены в (15), (16) с? = 2, 3}. (19).

В следующей лемме будет доказано, что <�т (А (1))) СМ и {Ьр2}.

Лемма 1.3.3. Пусть, А ^ М и, А ^ 6р2. Тогда оператор (А (О) — А.&-)-1: Н J определен и непрерывен, т. е. А € г (Л (?))).

Следствие 1.3.1. Справедливо равенство М и {Ьр2} = сг (А (1))).

А «.

Лемма 1.3.4. Для предельной точки, А = Ъ~р собственного значения Аз (£) — образ оператор {А (Ц) — ХЕ): 7 —> Н не замкнут в Н.

В следующей лемме достаточно точно описано подмножество комплексной плоскости, содержащее спектр оператора А^И).

Лемма 1.3.5. Существуют константы Со, С, С2 > 0 такие, что множество М и {Ьр2} содержится в множестве.

М' = { ХеС: 1 т, А = 0, ИеА € (-оо,-С2) и (0, С0]}и и {А Е С: ИеАе [-С2,0], 1 т, А € [~СъСу}. (20).

Эта лемма необходима для доказательства секториальности операторов А (Б) и А (х, И), а также для исследования структуры спектра оператора А (х, И). Для достаточно малого, а > 0 рассмотрим сектор

5а = {А € С: | агё (А — С0)| < тг — - а, А ф С0}, (21) о где Со, С > 0 — числа из (20). Заметим, что Ба П М' = 0.

Теорема 1.3.1. Спектр а (А (В)) оператора А{И), состоящий из собственных значений конечной кратности и одной точки накопления {Ьр2}, лежит в С5а. При этом сг (А (0)) С М'.

В параграфах 4−8 исследуется спектр оператора А (х, Б) с переменными коэффициентами. Рассмотрим оператор А{х, И) с коэффициентами, «замороженными» в некоторой точке хо, т. е. оператор с постоянными коэффициентами А{хо, И). Тогда символ Л (:го,?) оператора А (2'о, задается элементами аптп (хо,?)> определенными ниже в формулах (1.3.4), (1.3.5) первой главы диссертации, при /? = р (х0) и Ь = 6(ж0) — Подставляя в формулы (15),(16) р = р (х0), Ъ = Ь (хо), получим выражения для = 3 — 1,2,3.

Определим множество.

М (х0) = {Л (0 = где jipc0,?) определены в (15), (16) при р = р{х0), Ъ = Ь (хо), ^ € (1 = 2,3}. (22).

При j (xQ, t-) = ^'(0 множество М (хо) совпадает с множеством М, определенным в (19). В силу леммы 1.3.5 множество Ми{Ьр2} содержится в множестве М'. Поэтому множество М (хо) и {&(#о)р2(^о)} содержится в множестве М'(хо), где М'(хо) определено в (20) при Со = Со (хо), С = С (хо), Сч =.

62(^0) • Введем следующие константы: N0 = тахСо (гго), N1 = тахСх^о), х0е тл х0 ет<*.

N2 — тах С2Ого). Тогда объединение и (М (хо)и{Ь (хо)р2(хо)}) содержится х°еТсг х0 в множестве.

М = {А € С: 1тЛ = 0, ИеЛ б (—оо, —N2) и (0, А⁰]}и и{АбС: ЫеА € НУ2,0], ЬпЛ € (23).

Для достаточно малого /3 > 0 определим сектор вр — {Л е С: | агё (Л — Я0)| < тг — - /3, А ф М,}. (24).

1о.

Очевидно, сектор Бр не содержит множества М. Рассмотрим корень Лз (гс, ?), определенный в (16) (со знаком плюс перед квадратным корнем) при р = р (х): Ъ = Ъ{х). Заметим, что для любого е > 0 существует число 6? > 0 такое, что для всех? €: |?| > 6? выполнено неравенство вир |Л3(а-,?) — Ь (х)р2(х) | < е. хет<í

Так как функции Ь (х) и р (х) вещественнозначны, то отрезок У Ь (х)р2(х) хета лежит на вещественной прямой М. Обозначим его [а, 6] = У Ь (х)р2(х). Заметим, что [а, Ъ] не содержит пуля, так как функция Ъ{х) = — либо строго положительна, либо строго отрицательна. Рассмотрим следующую комплексную окрестность 0? отрезка [а, 6]:

0? = {Л е С: пип |А — [а, Ь]| < е}. (25).

Для Н? Н рассмотрим уравнение.

А (х, И) — ХЕ) и (х) = И{х), х е Тй.

26).

Определим операторы к{х, В Щх) =? (А (х, 0-Л/)-1(/-д (^е, А))(^)")е^ (27) и.

1(х, В)}1(х)=? (28) где I — единичная матрица, матрица-функция Л) определена в (1.5.6).

параграфа 5 главы 1. Правый параметрикс к оператору А (х, О) — ХЕ будем искать по формуле:

Гй^^ + ^Л), |А|>7, Ае^.

Дл, 7>е (а-, Р) = < (29) а^ + Д^Я), |А| < 7, А ^ Ое.

Отметим, что в равенстве (29) при |А| < 7 оператор Щ (х, И) есть оператор Щ{х, В) при, А = 7. Матрица (А (х, ?) — Л/)-1 в (27), (28) является обратной к символу псевдодифференциального оператора (А (х, V) — ХЕ), и при каждом х 6 имеет собственные значения Xj (x, t-), ^ = 1,2,3 и точку накопления Л = Ь (х)р2(х). Собственные значения и спектральный параметр Л из окрестности точки накопления при каждом х € Тй исключаются в (29). Для этого в равенстве (29) выбираем число 7 по формуле.

7 — тах{ЛГ0 + е, + (30) где е — число из (25), Л/^-Л^Л/г — числа из (23)3. В равенствах (27), (28) выбираем число <5о = ?0(7) достаточно большим (см. подробности в параграфе 5 главы 1). Структура матрицы (?(х,?, Х) в (27), (28) выбрана так, чтобы при подстановке Я⁷>?(х, ?))?г (х) (оператор Д)7)?(ж, V) определен равенством (29)) в равенство (26) вместо 17(х) получить сумму единичного оператора.

3Число 7 выбирается по формуле (30) лишь на первом этапе. В дальнейшем мы будем увеличивать это значение. и компактного для случая |А| < 7, Л е Ое, а в случае |А| > 7, Л е 5/з, получить сумму единичного оператора и оператора с малой нормой. Делая эту подстановку при |А| > 7, А € Яр, получим.

А (х, ?>) — ХЕ) Ёх, ъе (х, Б) Н{х) = (Е + К7(х, Д Х) Щх) = Н{х), |А| > 7, А е (31) где через К7(х, Б, А): Н Н обозначим оператор, определенный ниже в (1.5.21) параграфа 5 первой главы диссертации.

Теорема 1.5.1. Пусть, А? Эр. Существует Ао? М: Ао > N0 + е, Ао > уЛ^ + (е определено в равенстве (25)), такое, что для любого |А| > Ао выполнена оценка ||?Г7(а-, Д А)|| < 1.

Подставляя Д>7)?(:с, Б) Н (х) в уравнение (26) вместо II (х), где Д17)?(ж, И) — оператор (29) в случае [А[ < 7, А ^ 0?, получим.

А (х, ?>) — АЕ) Ёх, Ъ?(х, БЩх) = (Е + Тъе (х, В, А))ОД = |А| < 7, А? Ое, (32) где Т7)?(а— Д А): Н Н — оператор, который определяется ниже в (1.5.23) параграфа 5 первой главы диссертации.

• Теорема 1.5.2. Оператор И, X): Н —Н компактен при любом.

X? 0?, |А| < 7.

Определим сектор

Чтг.

51 = { АеС:|ащ (А-у/2^)|<�т}, (33) где 70 > 7 — некоторое число. Из выбора числа 70 следует, что ?>1 С 5/?. Из теорем 1.5.1, 1.5.2 получен следующий результат.

Теорема 1.6.1. Оператор являющийся правым обратным к оператору А (х, Ц) ~ XЕ, определен для всех, А € Кроме того, при любом е > 0 в области {<С3)£ оператор определен для всех X, за исключением дискретного множества точек.

Взяв вместо окрестности Ое, определенной в (25), окрестность Ое. и устремляя к нулю, получим теорему:

Теорема 1.6.2. Оператор А (:г, Б) — ХЕ при всех, А Е ¿-х имеет правый обратный 11(х, Б). Кроме того, при, А е (С5,1)[а, Ъ] правый обратный оператор Н (х, Б) определен всюду, за исключением дискретного множества точек.

Для доказательства соотношения Кег (А (я-, Б) — ХЕ) = 0 установлено, что 1 т (А*(х, Б) — ХЕ) = <7*, где (А*(х, Б) — ХЕ): Я* Г — оператор, сопряженный к (А (х, И) — ХЕ): <7 —>• Я, а пространства Я*, <7* сопряжены соответственно пространствам Я, J. Это делается в параграфе 7 с помощью конструкции, аналогичной конструкции, приведенной в параграфе 6. Объединяя результаты параграфов 6 и 7, получена основная теорема главы 1:

Теорема 1.8.1 .Спектр оператора А (х, И) лежит в дополнении к сектору ?>1, т. е. в С ?>1. Кроме того, в области (С ?>1) [а, Ъ] спектр состоит из собственных значений конечной кратности.

Замечания 1.8.1. Спектральные свойства оператора А (х, Б) при X € [а, Ь] в случае переменных коэффициентов не изучены. Напомним, что в случае постоянных коэффициентов показано, что этот отрезок вырождается в точку, причем эта точка является точкой накопления собственных значений.

Во второй главе диссертации доказывается оценка резольвенты оператора А (х, Б), элементы которого заданы в (10), (11), когда спектральный параметр лежит в некотором секторе, содержащемся в ?>1.

В параграфе 1 главы 2 рассматривается оператор с постоянными коэффициентами А (Б), элементы которого определены в (10), (11) при постоянных функциях р (х) и Ь (х), и для этого оператора доказывается следующая лемма:

Лемма 2.1.1. Справедлива оценка.

А{Б) — ХЕ)-^ <�— X 6 5″, где Ба определен в (21), т > 0 не зависит, А? 5а.

Из теоремы 1.3.1 и леммы 2.1.1 следует главный результат для оператора с постоянными коэффициентами А (Б), определенного на торе.

Теорема 2.1.1. Справедливы следующие утверждения:

1.

Оператор А (О) секториален, причем его спектр лежит в <�СЗа.

2. Спектр оператора А{Б) состоит из собственных значений конечной кратности и одной точки накопления Ь~р2.

Во втором параграфе главы 2 доказывается оценка нормы резольвенты оператора А (х, Б) с переменными коэффициентами, элементы которого задаются левой частью уравнений (10),(11). Для этого достаточно доказать оценку нормы правого обратного оператора И) к оператору (А (х, -О) — ХЕ), так как из результатов параграфа 8 главы 1 следует, что он является резольвентой.

Определим для малого? > 0 сектор следующим образом:

Зтг.

5С = {Л € С: | аг§(А — уЪуо) I < — С}.

Теорема 2.2.1. Существует число Р > 0 такое, что для, А Е Г.

Да (*,£>)||<

А-л/2То'.

Из теорем 1.8.1 и 2.2.1 получен следующий основной результат о спектральных свойствах оператора А{х, И).

Теорема 2.2.2. Справедливы следующие утверждения:

1. Оператор А (х, Б) секториален, причем его спектр лежит в.

2. В области (Сй'^)[а, Ь] спектр оператора А (х, П) состоит из собственных значений конечной кратности.

Теорема 2.2.2 доказана для оператора А (х, ?>), который получен линеаризацией модельных стационарных нелинейных уравнений вязкой сжимаемой жидкости и отбрасыванием членов низшего порядка.

В третьей главе доказывается аналогичная теорема для оператора, содержащего члены низшего порядка, а именно для оператора В (х, В), который определяется левой частью уравнений (7), (8). Следующая теорема описывает главный результат работы.

Теорема 3.0.3. Существует сектор 5 комплексной плоскости С, такой, что для оператора В{х, И), описываемого модельными стационарными линеаризованными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости (7), (8), верны следующие утверждения:

1. Оператор В (х, Б) секториален, причем его спектр лежит в С5.

2. В области (С5')[а, Ь] спектр оператора В (х, И) состоит из собственных значений конечной кратности.

Автор выражает благодарность научному руководителю — профессору, доктору физико-математических наук Андрею Владимировичу Фурсикову за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения.

1. Кажихов A.B. Задача Коши для уравнений вязкого газа//Сибирский математический журнал. 1982. — т. 23, с. 44−49.

2. Кажихов A.B. Корректность «в целом» смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа//Динамика сплошной среды. 1975. — т. 21, с. 18−47.

3. Кажихов A.B. Теория начально-краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа//Краевые задачи для уравнений гидродинамики, Динамика сплошной среды. -1981. т. 50, с. 37−62.

4. Кажихов A.B., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость «в целом» по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого га-за//Прикладная математика и механика. 1977. — т. 41, с. 282−291.

5. Канель Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа//Дифференциальные уравнения. 1968. — т.4 № 4, с. 374−380.

6. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

7. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений//ДАН СССР. 1951. — т. 77 № 1, с. 11−14.

8. Прибыль М. А. О спектре линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости//Труды конференции «Ломоносов-2006». Секция «Математика и механика», подсекция «Математика». М.: МГУ, 2006, с. 67−68.

9. Прибыль М. А. Секториальность оператора линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости//Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М.: МГУ, 2006, с. 158−161.

10. Прибыль М. А. Спектральный анализ линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости//Матем. Сб. 2007. — т. 198 № 10, с. 119−140.

11. Прибыль М. А. Спектральный анализ линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости, заданных в К3 с периодическими краевыми условиями//Алгебра и анализ 2008. — т. 20 № 2, с. 149−177.

12. Прибыль М. А. Спектральные свойства оператора, описываемого линеаризованными стационарными уравнениями вязкой сжимаемой жидкости/ /Тезисы Школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи». Иркутск. 2008, с. 52.

13. Фурсиков A.B. Стабилизируемость квазилинейного параболического уравнения с помощью граничного управления с обратной свя-зью//Матем. Сб. 2001. — т. 192 № 4, с. 115−160.

14. Фурсиков А. В. Стабилизация с границы решений системы Навье-Стокса: разрешимость и обоснование возможности численного модели-рования//Дальневосточный математический журнал. 2003. — т. 4 № 1, с. 86−100.

15. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

16. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Том 3: Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1987.

17. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Добросвет, 2003.

18. Amosov А.А. The existence of global generalized solutions of the equations of one-dimensional motion of real viscous gas with discontinuous data//Diff. Eqs. 2000. — V. 36, pp. 540−558.

19. Antontsev S.N., Kazhihov A.V. and Monakhov V.N. Boundary Value Problems in Machanics of Nonhomogeneous Fluids//North-Holland, Amsterdam, New York. 1990.

20. Dafermos C.M. Global smooth solutions to the initial-boudary value problem for the equations of one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity//SIAM J. Math. Anal. 1982. — V. 13, pp. 397−408.

21. Dafermos C.M. and Hsiao L. Global smooth thermomechanical processes in one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity//Nonlinear Anal. T.M.A. -1982, pp. 435−454.

22. Ducomet B. Asymptotic behaviour for a non-monotone fluid in onedimension: The positive trmperature case//Math. Meth. Appl. Sci. 2001. — V. 24, pp. 543−559.

23. Ducomet B. Hydro dynamical models of gaseous stars//Rev. Math. Phys. -1996. V. 8, pp. 957−1000.

24. Ducomet B. On the stability of a stellar structure in one dimensional. II. The reactive case//RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1997. — V. 31, pp. 381−407.

25. Ducomet B. Some asymptotics for a reactive Navier-Stokes-Possion system//Math. Models. Meth. Appl. Sci. 1999. — V. 9, pp. 1039−1076.

26. Feireisl E. and Petzeltova H. Unconditional stability of stationary flows of compressible heat-conducting fluids by large external forces//J. Math. Fluid Mech. 1999. — V. 1, pp. 168−186.

27. Feireisl E., Novotny A. and Petzeltova H. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations of isentropic compressible fluids//J. Math. Fluid Mech. 2001. — V. 3, pp. 358−392.

28. Feireisl E., and Petzeltova H. On compactness of solutions to the Navier-Stokes equations of compressible flow//J. Diff. Eqs. 2000. — V. 163, pp. 57−75.

29. Feireisl E., Matusu-Necasova S., Petzeltova H. and Straskraba I. On the motion of a viscous compressible flow driven by a time-periodic external force//Arch. Rational Mech. Anal. 1999. — V. 149, pp. 69−96.

30. Hoff D. Strong convergence to global solutions for multidimensional flows of compressible, viscous fluids with polytropic equations of state anddiscontinuous initial data//Arch. Rational Mech. Anal. 1995. — V. 132, pp. 1−14.

31. Hsiao L. and Luo T. Large-time behavior of solutions for the outer presser problem of a viscous heat-conductive one-dimensional real gas//Proc. Roy. Soc. Edinburg. 1996. — V. 126A, pp. 1277−1296.

32. Iskenderova D.A. and Smagulov Sh.S. The Cauchy problem for the equations of a viscous heat-conductiong gas with degenerate density//Compute. Maths. Math. Phys. 1993. — V. 33, pp. 1109−1117.

33. Jiang S. Large-time behavior of solutions to the equations of a one-dimensional viscous polytropic ideal gas in unbounded domains//Comm. Math. Phys. 1999. — V. 200, pp. 181−193.

34. Kagei Y., Kobayashi T. Asymptotic behavior of solutions for the compressible Navier-Stokes equations on the half space//Arch. Rat. Mech. Anal. 2005. — V. 177, pp. 231−330.

35. Kawashima S. and Nishida T. Global solutions to initial value problem for the equations of one-dimensional motion of viscous polytropic gases//J. Math. Kyoto Univ. 1981. — V. 21, pp. 825−837.

36. Kawohl B. Global existence of large solutions to initial boundary value problem for a viscous, heat-conducting one-dimensional real gas//J. Diff. Eqs. 1985. — V. 58, pp. 76−103.

37. Levitin M.R. Vibrations of viscous compressible fluid in bounded domains: spectral properties and asymptotics//Asimptotic Analysis. 1993. — V. 7, pp. 15−34.

38. Levitin M.R. Vibrations of a viscous compressible fluid in bounded and unbounded domains// Mathematical Methods in Fluid Mechanics. 1991. -V. 274, pp. 251−255.

39. Lions P.-L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics, V. 2 Oxford Science Publications, Clarendon Press.: Oxford, 1998.

40. Luo T. Global smooth solutions to the Cauchy problem for a viscous heat-conductive one-dimensional real gas//Acta. Math. Sinica, New Series. 1995. V. 11, pp. 201−214.

41. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive gases//J. Math. Kyoto Univ. 1980. V. 20, pp. 67−104.

42. Nagasawa T. Global asymptotics behavior of the outer pressure problem with free boundary//Japan J. Appl. Math. 1988. — V. 5, pp. 205−224.

43. Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas no-fixed on the boundary//J>. Diff. Eqs. 1986. — V. 65, pp. 49−67.

44. Neustupa J. Selected Topics in the Theory of Stability, V. 3 CTU Reports, Czech technical university in Prague: Praha, 1999.

45. Nunez M. Spectral analysis of viscous static compressible fluid equ-ilibria//J. Phys. A: Math. Gen. 2001. — V. 34, pp. 4341−4352.

46. Pan R.H. Global smooth solutions and the asymptotic behavior of the motion of a viscous, heat-conductive one-dimensional real gas//J. Partial Diff. Eqs.- 1998. -V. 11, pp. 237−288.

47. Pribyl' M.A. Spectral properties of the linear steady-state equations for viscous compressible fluid//International conference «Mathematical Hydrodynamics». Moscow, 2006, p. 61.

48. Pribyl' M.A. Spectral properties of the" linear steady-state equations for viscous compressible fluid: the three-dimensional case//Internationalconference «Differential Equations and Related Topics», dedicated to I.G.Petrovskii. Moscow, 2007, p. 251.

49. Qin Y. Global existence and asymptotic behaviour for a viscous heat-conducting one-dimensional real gas with fixed and thermally insulated endpoints//Nonlinear Anal. 2001. — V. 44, pp. 413−4410.

50. Valli A. and Zajaczkowski W.M. Navier-Stokes equations for compressible fluids: global existence and qualitative properties of the solutions in the general case//Comm. Math. Phys. 1986. — V. 103, pp. 259−296.