Геометрические методы исследования интегрируемых и суперинтегрируемых систем в классической механике

Актуальность работы.

Исследование интегрируемых систем с момента постановки задачи разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби и поиска интегралов движения систем классической механики являлось одной из самых сложных проблем теоретической физики. После первых успехов для множества известных к тому времени и некоторых вновь построенных интегрируемых систем прогресс в этой области замедлился, поскольку общего метода исследования заданной интегрируемой системы не было обнаружено, и нахождение переменных разделения превратилось в своего рода искусство, в котором каждый из исследователей должен был выбирать различные методы решения для различных систем, не имея возможности предвидеть результаты применения этих методов и очертить круг действий (таких, как замены переменных, переход к промежуточным координатам), необходимых для успешности исследования.

Нахождение переменных разделения для конечномерных интегрируемых систем оставалось скорее искусством, чем научным методом на протяжении более века, хотя в течение этого времени были построены подробные классификации интегрируемых систем по виду интегралов движения, и выявлена связь теории интегрируемых систем с некоторыми классами нелинейных систем. Метод решения обратной задачи рассеяния, построенный во второй половине XX века, позволил найти явные решения для широкого класса нелинейных уравнений, а последующий перенос многих его положений на квантовый случай предоставил возможность его применения для построения точных решений большого количества интегрируемых систем, описывающих модели квантовой механики, квантовой теории поля и статистической физики.

Дальнейшее изучение возможностей переноса методов исследования интегрируемых систем с классических на квантовые случаи позволило выделить основные элементы таких схем, вернуться к исследованным ранее классическим системам и сделать первые шаги к пониманию причин успеха или неудачи в разделении переменных для тех или иных систем. Внутренние симметрии систем и вообще методы задания систем и пространств, в которых интегрируемые системы определены, оказали определяющее влияние на развитие методов разделения переменных в 1980;е годы. Найденные инвариантные характеристики интегрируемых систем позволили создать новый математический аппарат для решения классической задачи, в котором оказались естественным образом взаимосвязаны функциональный анализ, теория функций, алгебраическая, дифференциальная и пуассонова геометрия, теория групп и алгебр Ли.

Быстрое развитие в конце XX и начале XXI века компьютерных средств, разработанных для решения различных математических задач, в частности, пакетов компьютерной алгебры общего назначения, позволило в полной мере использовать найденные связи между теорией интегрируемых систем и другими областями математической физики. Возможность использовать компьютеры для сложных и объёмных расчётов оказалась ключевой для применения формализованных методов исследования интегрируемых систем, позволив как применять их для уже изученных систем с интегралами высоких степеней по импульсам, так и с гораздо меньшими усилиями исследовать обширные классы в том числе и новых интегрируемых систем.

Таким образом, современные хорошо формализуемые методы исследования интегрируемых систем являются одним из актуальных направлений в теории квантовых и классических интегрируемых систем. Интерес к таким методам определяется не только практическим значением метода для разделения переменных в заданной системе классической механики, но и теоретическими возможностями построения новых интегрируемых систем и более полного понимания их организации, как для классического, так и для квантового случая.

Цель диссертационной работы состоит в развитии геометрических методов исследования интегрируемых по Лиувиллю систем классической механики.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Реализован метод построения переменных разделения и интегралов движения ДЛЯ //-систем.

2. Разработан метод классификации интегрируемых систем типа Штеккеля.

3. Исследованы методы поиска новых интегрируемых систем.

4. Предложен метод классификации суперинтегрируемых систем типа Штеккеля, основанный на теоремах сложения.

5. Создан метод разделения переменных для широкого класса бигамильто-новых систем с интегралами движения старших степеней.

6. Данный метод применён к конкретным системам с интегралами высоких порядков по импульсам.

Научная новизна В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Создана практическая реализация алгоритма построения переменных разделения и интегралов движения для //-систем на основе методов бигамильтоновой геометрии.

2. Построена классификация систем типа Эйлера на основе теорем сложения.

3. Предложен метод построения суперинтегрируемых систем типа Ришело.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1991.

2. Бабич М. В., Бобенко А. И., Матвеев В. Б. Решения нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, в тэта-функциях Якоби и симметрии алгебраических кривых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49. С. 511−529.

3. Болсинов А. В., Борисов А. В. Представление Лакса и согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли // Мат. Замет. 2002. Т. 72. С. 11−34.

4. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твёрдого тела. Гамильтоновы методы, интегригуемость, хаос. Москва-Ижевск: ИКИ, 2005.

5. Григорьев Ю. А. Программное обеспечение для построения переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 4: Физика. Химия. 2010. № 2. С. 107−112.

6. Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. О вычислении переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби на компьютере // Нелинейная динамика. 2005. Т. 1, № 2. С. 163−179.

7. Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. Об уравнениях Абеля и интегралах Ришело // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 4. С. 463−478.

8. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриза вполне интегрируемая система // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5. С. 18−27.

9. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1995. 432 с.

10. Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003.

11. Тахтаджян JI. А., Фаддеев JI. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

12. Abenda S. Reciprocal transformations and local Hamiltonian structures of hydrodynamic type systems //J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42, no. 95 208. 20 pp.

13. Adler M. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras, and curves // Adv. Math. 1980.

14. Babich M. V., Bordag L. A. Projective Differential Geometrical Structure of the Painleve Equations // Journal of Differential Equations. 1999. Vol. 157, no. 2. Pp. 452 485.

15. Baker H. F. Abel’s theorem and the allied theory including the theory of the theta functions. Cambridge: University Press, 1897.

16. Ballesteros A., Herranz F. J. Universal integrals for superintegrable systems on N-dimensional spaces of constant curvature //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. Vol. 40. Pp. F51-F59.

17. Bartocci C., Falqui G., Pedroni M. A geometric approach to the separability of the Neumann-Rosochatius system // Differential Geom. Appl. 2004. Vol. 21, no. 3. Pp. 349−360.

18. Benenti S. Orthogonal separable dynamical systems // Differential Geometry and Its Applications. 1993. Vol. 1. Pp. 163−184.

19. Benenti S., Chanu C., Rastelli G. Remarks on the connection between the additive separation of the Hamilton-Jacobi equation and the multiplicativeseparation of the Schrodinger equation //J. Math. Phys. 2002. Vol. 43. Pp. 5183−5253.

20. Bertrand J. Theoreme relatif au mouvement d’un point attirevers un centre fixe // Comptes Rendus. Acad. Sci. Paris. 1873. Vol. LXXVII. Pp. 849−853.

21. Bolsinov A. V., Matveev V. S. Geometrical interpretation of Benenti systems //J. Geom. Phys. 2003. Vol. 44. Pp. 489−506.

22. Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Superintegrable system on a sphere with the integral of higher degree // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. Vol. 14, no. 6. Pp. 615−620.

23. Boyer C. P., Kalnins E. G., Miller W., Jr. Stackel-equivalent integrable Hamiltonian systems // SIAMJ. Math. Anal. 1986. Vol. 17. Pp. 778−797.

24. Caley A. An Elementary Treatise on Elliptic Functions. London: Constable and Company Ltd, 1876.

25. Crampin M., Sarlet W., Thompson G. Bi-differential calculi, bi-Hamiltoni-an systems and conformai Killing tensors. //J. Phys. F. 2000. Vol. 33. Pp. 8755−8770.

26. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars, 1887−89. Vol. 1−4. Pp. 1−4.

27. Daskaloyannis C., Ypsilantis K. Unified treatment and classification of superintegrable systems with integrals quadratic in momenta on a two-dimensional manifold //J. Math. Phys. 2006. Vol. 47, no. 42 904.

28. Drach J. Sur l’integration logique des equations de la dynamique a deuxvariables: Forces conservatives. Integrales cubiques. Mouvements dans le plan. // Comptes Rendus. 1935. Vol. 200. Pp. 22−26.

29. Dubrovin B. A., Matveev V. B., Novikov S. P. Non-linear equations of Korteweg-de Vries type, finite-zone linear operators, and Abelian varieties // Russ. Math. Surv. 1976. Vol. 31, no. 59.

30. Eisenhart L. P. Separable systems of Stackel // Ann.Math. 1934. Vol. 35. Pp. 284−305.

31. Enolskii V. Z., Salerno M. Lax Representation for two particle dynamics splitting on two ton //J. Phys. A: Math. Theor. 1996. Vol. 29. Pp. L425−31.

32. Euler L. Calculi integralis // Ac. Sc. Petropoli. 1768. Vol. 1−3. Pp. 1−3.

33. Evans N. W. Superintegrability in classical mechanics // Phys. Rev. A. 1990. Vol. 41. Pp. 5666−5676.

34. Falqui G., Pedroni M. Separation of variables for bi-Hamiltonian systems // Math. Phys. Anal. Geom. 2003. Vol. 6. Pp. 139−179.

35. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies of nonlinear problems. I. Los Alamos report LA-1940, Ed. by E. Segre. University of Chicago Press, 1965.

36. Fris J., Mandrosov V., Smorodinsky Y. A. et al. On higher symmetries in quantum mechanics // Phys. Lett. 1965. Vol. 16. Pp. 354−356.

37. Gardner C. S., Greene J. M., Miura R. M., Kruskal M. D. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 19. Pp. 1095−1097.

38. Gamier R. Sur des equations differentielles du troisieme ordre dont l’integrale est uniform et sur une classe d’equations nouvelles d’ordre superieur dontl’integrale generale a ses point critiques fixes. // Ann. Sci. de l’ENS. 1912. Vol. 29. Pp. 1−126.

39. Grammaticos B., Dorizzi B., Ramani A. Hamiltonians with high-order integrals and the weak-Painleve concept //J. Math. Phys. 1984. Vol. 25. P. 3470.

40. Greenhill A. G. The applications of elliptic functions. London: Macmillan and Co, 1892.

41. Grigoryev Yu. A., Khudobakhshov V. A., Tsiganov A. V. On the Euler superintegrable systems //J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42, no. 7, 75 202. 11 pp.

42. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. Symbolic software for separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation for the L-systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2005. Vol. 10, no. 4. Pp. 413−422.

43. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. On the Darboux-Nijenhuis variables for the open Toda lattice // Symmetry, Integrability and Geometry Methods and Applications. 2006. Vol. 2, 097. 15 pp.

44. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. Separation of variables for the generalized Henon-Heiles system and system with quartic potential //J. Phys. A: Math. Theor. 2011. Vol. 44, no. 25, 255 202. 9 pp.

45. Hamilton W. R. On a general method in dynamics // Philosophical Transactions of the Royal Society, part II for 1834. 1834. Vol. 17. Pp. 247−308.

46. Hietarinta J. Integrable families of Henon-Heiles-type Hamiltonians and a new duality // Phys. Rev. A. 1983. Vol. 28. Pp. 3670−3672.

47. Hietarinta J. Direct methods for the search of the second invariant // Physics Reports. 1987. Vol. 147. Pp. 87−154.

48. Hietarinta J., Grammaticos В., Dorizzi В., Ramani A. A. Coupling-constant metamorphosis and duality between integrable Hamiltonian systems // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. Pp. 1707−1710.

49. Hirota R. Exact solution of the Korteweg—de Vries equation for multiple collisions of solitons // Physical Review Letters. 1971.

50. Holt C. R. Construction of new integrable Hamiltonians in two degrees of freedom //J. Math. Phys. 1982. Vol. 23, no. 1037. 10 pp.

51. Horwood R. T., McLenaghan R. G., Smirnov R. G. Invariant classification of orthogonally separable Hamiltonian systems in Euclidean space // Commun. Math. Phys. 2005. Vol. 259. Pp. 679−709.

52. Ibort A., Magri F., Marmo G. Bihamiltonian structures and Stackel separability //J. Geometry and Physics. 2000. Vol. 33. Pp. 210−228.

53. Jacobi C. G. J. Sur le movement d’un point et sur un cas particulier du probleme des trois corps // Comptes Rendus de lAcademie des Sciences de Paris. 1836. Vol. 3. Pp. 59−61.

54. Jacobi C. G. J. Uber eine neue Methode zur Integration der hyperelliptischen Differentialgleichungen und uber die rationale Form ihrer vollstandigenalgebraischen Integralgleichungen //J. Reine Angew. Math. 1846. Vol. 32. Pp. 220−227.

55. Jacobi C. G. J. Vorlesungen uber Dynamik, Ed. by A. Clebsch. Chelsea, 1866.

56. Kalnins E., Kress J. M., Pogosyan G. S., Miller W. Completeness of superin-tegrability in two-dimensional constant-curvature spaces //J. Phys. A: Math. Gen. 2001. Vol. 34. P. 4705.

57. Kalnins E. G., Kress J. M., Miller W., Jr. Second-order superintegrable systems in conformally flat spaces. I, II, III // J.Math.Phys. 2005. Vol. 46, no. 53 509. 28 pp.

58. Kalnins E. G., Kress J. M., Miller W., Jr. Nondegenerate 2D complex Euclidean superintegrable systems and algebraic varieties //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. Vol. 40. Pp. 3399−3411.

59. Kalnins E. G., Miller W., Jr. Killing tensors and variable separation for Hamilton-Jacobi and Helmholtz equations // SIAM J. Math. Anal. 1980. Vol. 11. Pp. 1011−1026.

60. Kalnins E. G., Miller W., Jr. Separation of variables on n-dimensional Rie-mannian manifolds. I. The n-sphere Sn and Euclidean n-space Rn //J. Math. Phys. 1986. Vol. 27. Pp. 1721−1736.

61. Kazhdan D., Kostant B., Sternberg S. Hamiltonian group actions and dynamical systems of calogero type. // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1978. Vol. 31. Pp. 481−507.

62. Koenigs M. G. Sur les geodesiques a integrales quadratiques. Note II // G. Darboux, Lecons sur la Theorie Generale des Surfaces. 1898.

63. Komarov I. V. Goryachev-Chaplygin top in quantum mechanics // Theor. Math. Phys. 1982. Vol. 50. Pp. 265−270.

64. Korteweg D. J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1895. Vol. 39. Pp. 422−443.

65. Kowalevski S. Sur le probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe // Acta Mathematica. 1889. Vol. 12, no. 2.

66. Krazer A. Lehrbuch der Thetafunctionen. New York: Chelsea, 1970.

67. Kuznetsov V. B., Tsiganov A. V. Separation of variables for the quantum relativistic Toda lattices: Tech. Rep. 94−07: University of Amsterdam, 1994.

68. Lagrange J. L. Theorie des fonctions analytiques. Chapter 2. 1797.

69. Lax P. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure Applied Math. 1968. Vol. 21. Pp. 467−490.

70. Levi-Civita T. Integrazione delle equazione di Hamilton-Jacobi per sepa-razione di variabili // Math. Ann. 1904. Vol. 24. Pp. 383−397.

71. Liouville J. Note sur l’integration des equations differentielles de la dynamique // J. Math. Pures Appl. 1855.

72. Nekhoroshev N. N. Action-angle variables and their generalization // Trans. Moscow Math. Soc. 1972. Vol. 26. Pp. 180−198.

73. Neumann C. De problemate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultraellipticorum classem revocatur //J. Reine Angew. Math. 1859. Vol. 56. Pp. 46−63.

74. Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre et d’ordre superieur dont l’integrale generale est uniforme // Acta Mathematica. 1902.

75. Pasquier V., Gaudin M. The periodic Toda chain and a matrix generalization of the Bessel function recursion relations //J. Phys. A: Math. Gen. 1992. Vol. 25. Pp. 5243−5252.

76. Ramani A., Grammaticos B., Bountis T. The Painleve property and singularity analysis of integrable and non-integrable systems // Phys. Rep. 1989. Vol. 180. Pp. 159−245.

77. Rauch-Wojciechowski S., Tsiganov A. V. Quasi-point separation of variables for Henon-Heiles system and system with quartic potential //J. Phys. A: Math. Theor. 1996. Vol. 29. Pp. 7769−78.

78. Rauch-Wojciechowski S., Waksjo C. How to find separation coordinates for the Hamilton-Jacobi equation: a criterion of separability for natural Hamiltonian systems // Math. Phys. Anal. Geom. 2003. Vol. 6, no. 4. Pp. 301−348.

79. Ravoson V., Ramani A., Grammaticos B. Generalized separability for a Hamiltonian with nonseparable quartic potential // Phys. Lett. A. 1994. Vol. 191. Pp. 91−5.

80. Reiman A. G. Integrable Hamiltonian systems connected with graded Lie algebras. Differential geometry, Lie groups and mechanics. Part III // Zap. Nauchn. Sem. LOMI. 1980. Vol. 95. Pp. 3−54.

81. Richelot F. Uber die Integration eines merkwurdigen Systems von Differentialgleichungen // J. Reine Angew. Math. 1842. Vol. 23. Pp. 354−369.

82. Rodriguez M. A., Tempesta P., Winternitz P. Reduction of superintegrablesystems: the anisotropic harmonic oscillator // Phys. R.ev. E. 2008. Vol. 78, no. 46 608. 6 pp.

83. Schouten J. A. Ricci Calculus. Berlin: Springer, 1954.

84. Semenov-Tian-Shansky M. A. What is a classical r-matrix? // Funct. Anal. Appl. 1983. Vol. 17, no. 4. Pp. 259−272.

85. Sklyanin E. K. The quantum Toda chain // Non-linear equations in classical and quantum field theory / Ed. by N. Sanchez. Springer, 1985. Vol. 226 of Lecture Notes in Physics. P. 196−233.

86. Sklyanin E. K. Functional Bethe ansatz // Integrable and superintegrable systems / Ed. by B. A. Kupershmidt. World Scientific, 1990. Pp. 8−33.

87. Sklyanin E. K. Separation of variables — new trends // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1995. Vol. 118. P. 35.

88. Stackel P. Uber die Integration der Hamilton-Jacobischen Differential Gleichung Mittelst Separation der Variabel. Halle: Habilitationsschrift, 1891.

89. Toda M. Vibration of a chain with nonlinear interaction //J. Phys. Soc. Japan 22. 1967. Pp. 431−436.

90. Toda M. Wave propagation in anharmonic lattice //J. Phys. Soc. Japan. 1967. Pp. 501−596.

91. Tsiganov A. V. Duality between integrable Stackel systems //J. Phys. A: Math. Gen. 1999. Vol. 32. Pp. 7965−7982.

92. Tsiganov A. V. The Lax representation for the Holt system //J. Phys. A: Math. Gen. 1999. Vol. 32. Pp. 7983−7987.

93. Tsiganov A. V. The Stackel systems and algebraic curves //J. Math. Phys. 1999. Vol. 40. Pp. 279−298.

94. Tsiganov A. V. On the two different bi-Hamiltonian structures for the Toda lattice //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. Vol. 40. Pp. 6395−406.

95. Tsiganov A. V. Addition theorem and the Drach superintegrable systems // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41(33), no. 335 204. 16 pp.

96. Tsiganov A. V. Leonard Euler: addition theorems and superintegrable systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. Vol. 14, no. 3. Pp. 389−406.

97. Tsiganov A. V. New variables of separation for particular case of the Kowalevs-ki top // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. Vol. 15, no. 6. Pp. 657−67.

98. Tsiganov A. V. On bi-integrable natural Hamiltonian systems on the Rieman-nian manifolds // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2010. Vol. 18, no. 2. P. 245.

99. Tsiganov A. V. On natural Poisson bivectors on the sphere //J. Phys. A: Math. Theor. 2010. Vol. 44, no. 105 203.

100. Tsiganov A. V. On the generalized Chaplygin system // Journal of Mathematical Sciences. 2010. Vol. 168, no. 8. Pp. 901−11.

101. Weierstrass K. Bemekungen iiber die integration der hyperelliptischen differential-gleichungen // Math. Werke. 1895. Vol. I. 267 pp.

102. Zabuski N. J., Kruskal M. D. Interaction of «solitons» in a collisionless plasma and the re-currence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. Vol. 15. Pp. 240−243.