Интегральные уравнения Винера-Хопфа с вырождающимся символом

1°. В работе рассматривается уравнение о.

Здесь к€/.Ч-°0)00) «, ^^, решение ср ищется в том же классе? Т (0,ьо), которому принадлежит функция^. Исследуется также соответствующее однородное уравнение:

ОО ср^) — 5 к (г-2)ср (5)с15 = о ь>о (2).

Уращения такого типа впервые возникли в астрофизике. Для определения, например, интенсивности излучения фотосферы звезды в случае, когда коэффициент поглощения лучистой энергии не зависит от частоты, получаем интегральное уравнение Милна:

5(Т)-^УЕ1(|Т-Т'|35(Т'ЫТ'=О ?>о> О где г. (ес||.

Ей =) —г— ' 1 а 5>(Т) — искомая функция, через которую выражается интенсивность излучения. При наличии источников излучения приходим к неоднородному уравнению.

Оо О.

В 1931 г. в работе Н. Винера и Э. Хопфа [8] было рассмотрено однородное уравнение (2) при условии, что ядро этого уравнения к00 экспоненциально убывает при больших значениях |х|. Решение ищется в классе функций, которые возрастают при больших X медленнее, чем показательная функция с показателем меньшим, чем противоположная величина показателя экспоненты, мажорирующей ядро К (Х) .

Эта работа положила начало изучению уравнений типа свертки, и метод, разработанный в ней, стал основным методом для изучения таких уравнений. Исследование уравнения (2) в [8] проводится по следующей схеме. С помощью преобразования Лапласа (2) приводится к «полосной» задаче теории функций, а именно:

О — Л^(А))Ф (/М =Т (А) > где 1 -3((Х) аналитична в полосе I ЙгЛ1 < 1 (так как Ск!(А)-преобразование Лапласа ядра к (х)), аналитична при $ а решение Ф (А) ищется в классе функций, аналитических при, А < (X (решение (2) ищется в классе функций, допускающих оценку (р (х) = 0(&euro-ых), где <Х — произвольная фиксированная постоянная, меньшая, чем единица). Далее А) цредставляется в виде: где 0+ (Т) не обращается в нуль и аналитична при, а (5(Т) — регулярна и не имеет нулей при «х^ нули функции в полосе |?еТ[4{Ь)о1<[Ъ<{, С помощью этой факторизации I — ^ (т), используя теорему Лиувилля, оцределяется функция Ф (Х). При этом зависимость между Ф (X) и ^(А) должна выполняться во всех точках полосы — о (<�йг.Х<�ОС. Именно из-за этого, рассуждения, использованные в этой статье, сцраведливы лишь в том случае, когда 4 ~ в полосе имеет четное число нулей (см. 12]). При этих же ограничениях на ядро В. А. Фок в [43] решил неоднородное уравнение (I). Случай, когда символ уравнения имеет цроизвольное число нулей в полосе, был полностью рассмотрен И. М. Рапопортом в [39, 40].

В этих работах впервые уравнение Винера-Хопфа цриводится к щшевой задаче Римана, которая далее решается стандартными методами. В большинстве дальнейших исследований 1фаевая задача Римана. или некоторые ее обобщения, является основным инструментом при решении уравнения типа (I).

Именно используя этот метод, в работах [10,11,49,503 решается уравнение (I) в случае, когда символ: сю не обращается в нуль. При этом были существенно ослаблены ограничения на ядро кМ. В работе М. Г. Крейна [.35], которая подвела итог этим исследованиям, на ядро к накладывается единственное условие абсолютной интегрируемости. При этом уравнение (I) будет нётеровым в широком классе функциональных пространств при условии отличия от нуля символа уравнения.

В этой работе, а также в работе [15], посвященной системам уравнений Винера-Хопфа, широко используются общие теоремы о линейных операторах, полученные в статье И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [16]. В дальнейшем исследования идут в различных направлениях.

В монографии [17] И. Ц. Гохберг и И. А. Фельдман, используя функциональное исчисление для односторонне обратимых изометрических операторов, распространили основные результаты статьи [35] на широкий класс уравнений в свертках (сингулярные интегральные уравнения на окружности, дискретные уравнения Винера-Хопфа и т. д).Пространства, в которых уравнение (I) с произвольным абсолютно интегрируемым ядром А.(х) остается нетеровым при условии отличия от нуля символа уравнения, описаны в статье М. И. Хайкина [ 44 ] .

Работы Дудучава Р. В., Каралетянца Н. К., и Самко С. Г. [18−21, 33, 34] посвящены исследованию уравнений Нц> ~ ^ в различных функциональных пространствах, где Иоператор более общий, чем оператор Винера-Хопфа. Изучаются условия, при которых оператор Н является нетеровым и вычисляется индекс. Во всех этих работах исследуемые операторы или предполагаются нетеровыми, или ищутся условия, при которых они являются не-теровыми в различных пространствах. Однако в практических задачах условие нетеровости редко выполняется. При решении, например, задачи теории массового обслуживания об определении асимптотической функции распределения случайной величины, равной времени пребывания требования в системе обслуживания, приходим к уравнению (2), в котором ядро к (х) — плотность распределения вероятностей некоторой случайной величины. Следовательно, в этом случае символ обращается в нуль, а при этом условии оператор Винера-Хопфа не может быть нетеровым (см. [ 17 ], [ 37 ]) в пространстве (0,°°), в котором ищется решение. Другие задачи теории вероятностей ([ 7 ]) приводятся к неоднородным уравнениям Винера-Хопфа, где ядро также является плотностью распределения вероятностей.

Именно поэтому большой интерес представляет исследование уравнений (I), (2), когда символ обращается в нуль. В работах Чеботарева Г. Н., Дыбина В. Б., Каралетянца Н. К., Гахова Ф. Д., Сма-гиной В.И. [ 9,22,24,26,46,47,48] изучается случай, когда символ имеет конечное число нулей целого порядка на действительной оси. В этом случае эффективно строятся пары пространств.

X, и 3<Г0, такие, что оператор Винера-Хопфа, рассматриваемый 1 ^ как оператор, действующий из Х2 в Хьуже является нетеровым (Х^СЕсХ2 } где Ето пространство, в котором этот оператор первоначально рассматривался). В работе [ 30 3 при тех же предположениях о характере нулей символа: рассмотрены возможности применения метода редукции при решении уравнения (I) в пространстве ?/(О, оо). Результаты, относящиеся к этому случаю, рассмотрены в [ 12 3, [ 38 ].

В случае, когда символ имеет нули дробного поряди пространства Х^ и Х2 имеют достаточно сложную структуру, поэтому в этом случае желательно получить некоторые достаточные условия на правую часть уравнения (I), при которых это уравнение имеет решение в, С. или других функциональных пространствах. Решению этих вопросов посвящены работы Дыбина В. Б., Ка-ралетянца Н.К., Товмасяна Н. Е. и других авторов ?23, 25, 31, 42, 4, 13] .

При решении уравнений (I), (2) существенно используется возможность факторизации символа (представление символа в виде произведения функций, аналитически продолжающихся в Т)" 4″ =.

С/т2 ^). В работе Хайкина М. И. [45 ] доказывается, что если аргумент символа 1−3<^(А) ограничен, и существует Ук>0 такое, что &: 11-[=0(ЛХ)/го множители (А) ((X) (А)д (А}) являются преобразованиями Фурье-Лапласа обобщенных функций класса, и, опираясь на эту теорему, решается однородное уравнение (2).

Во всех перечисленных выше работах в той или иной форме использовалась граничная задача Римана для решения уравнений (1)-(2). В работах [1,2,3,27,28,29,36 ] используются иные методы.

Работа Асплунда [ 3 ] посвящена изучению уравнения.

1) при условии, что ядро уравнения принадлежит алгебре Бьёр-линга. Решение ищется в сопряженном этой алгебре пространстве. В 1958 г. появилась работа Спицера [ 41 Ц, которая положила начало изучению уравнений вида (I) с вырождающимся символом, при условии, что ядро уравнения — неотрицательное. В этой работе вероятностными методами исследовалось однородное уравнение.

2) в пространстве). Теоретико-функциональными методами результаты этой статьи были обобщены в работе М. Г. Крейна и Ю. Й. Шмульяна [36] .

В работах Н. Б. Енгибаряна, Л. Г. Арабаджяна, А. А. Арутюняна [1,2,27,28,29 3 уравнение (I) решается методом факторизации. Сомножители, входящие в факторизацию символа, удовлетворяют системе нелинейных функциональных уравнений. Доказывается, что эта система решается методом последовательных приближений, когда ядро уравнения (I) неотрицательно.

Во всех работах [1,2,27,28,29,36,41] существенно используется неотрицательность ядра уравнения (I).

2°.

Актуальность темы

и цель работы.

Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой. Целью работы является исследование уравнений (I), (2), в пространствах, когда обращение в нуль символа уравнения имеет произвольный степенной характер. Символ вырождается в конечном числе точек.

3°. О практической и теоретической ценности результатов.

Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес, поскольку I) получены в явном виде линейно независимые решения однородного уравнения (2) — в случае, когда этих решений бесконечное множество, получены условия, при выполнении которых бесконечная линейная комбинация этих решений р, оо принадлежит, 4 р ^.

2) получены необходимые и, в некотором, достаточно широком классе, достаточные условия, при выполнении которых уравнение (I) имеет решение в ¿-?(0,оо), {^. Преобразование.

Фурье решения записывается в явном виде.

4°. Новизна полученных результатов.

В работе подробно исследуется ранее не рассматривавшийся случаи: символ ¿—Х (А) допускает оценку: х I сил!*1,^Н <|АГ*>, А — о при СГ/п — Ы2) ф о • Результаты, относящиеся к исследованию неоднородного уравнения (I) при ч7/г) (о^-= О, (Ы.^-Ы.г) О также являются новыми.

5°. Применяемая методика.

С помощью преобразования Фурье уравнение (I) приводится к обобщенной граничной задаче Римана, которая далее решается методами теории аналитических функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4 — 6, 51] .

1. Арабаджян Л. Г. 0 консервативном уравнении Винера-Хопфа, — Изв. АН Арм. ССР, сер. Математика 1981 г. 16 $ 1.с.65−80.

2. Арутюнян A.A. О факторизации одного интегрального оператора.-" Дифференциальные и интегральные уравнения" Ереван 1979 г.

3. Асплунд (Asplund Е.) The Wiener-Hopf equation in an algebra of Beurling,-Acta Math. v.1o8 p.89−11 1962.

4. Бабаян A.O. Интегральные уравнения Винера-Хопфа с вырождающимся символом.-ДАН Арм. ССР т.73, № 1,1981 г.с.24−28.

5. Бабаян А. О. Особый случай уравнения Винера-Хопфа.-Изв.АН Арм. ССР, сер. Математика, 17, № 5,1982 г. с.387−404.

6. Бабаян А. О. Особый случай однородного уравнения Винера-Хопфа.-ДАН Арм. ССР, т.76, М, 1983 г.с.155−159.

7. Боровков A.A. Некоторые теоремы о нерешетчатом случайном блуждании.-Теория вероятностей и ее приложения, 1962, т.7,2. с.170−184.

8. Винер Н., Хопф Э. (Wiener N, Hopf Б.) Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1931. 696−706.

9. Гахов Ф. Д. Смагина В.И. Исключительные случал интегральных уравнений типа свертки и уравнения первого рода.-Изв.АН СССР 1962 г. 26:3,с.361−390.

10. Гахов Ф.Д."Черский Ю. И. Интегральные уравнения типа свертки.-ДАН СССР, 99,2,1954 г.с.197−199.

11. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Особые интегральные уравнения типа свертки,-Изв.АН СССР, сер. Математика, 20,1,1956., с.33−52. 101.

12. Гахов Ф. Д. .Черский Ю. И. Уравнения типа свертки.М." Наука" 1978 г.

13. Говорухина A.A."Парадоксова И.А. О нетеровости некоторых дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов на оси и полуоси.-Сб." Мат. анализ и его приложения" Изд-во Ростовск. ун-та, 7,1975 г.с.I6I-I69.

14. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций, М. Ж, 1963 г.

15. Гохберг И. Ц. Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов.-УМН, 1958, т.13,2,с.3−72.

16. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах: линейных операторов,-УМН 1957, т.12,2,с.44−118.

17. Гохберг И. Ц. Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проэк-ционные методы их решения. М." Наука" 1971.

18. Дудучава Р. В. Об интегральных уравнениях Винера-Хопфа,-Math. Nachr. I975.65,c.59−82.

19. Дудучава P.B. Об интегральных операторах в свертках с разрывными коэффициентами,-ДАН СССР 1974. 218,2,с.264−267.

20. Дудучава Р. В. Об интегральных операторах типа свертки с разрывными коэффициентами.-Math. Nachr. 1977,79.с.75−98.

21. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения типа свертки с разрывными коэффициентами.-Сообщ. /АН Груз. ССР, 1978.92,№ 2, с.281−282.

22. Дыбин В. Б. Исключительный случай интегральных уравнений типа свертки в классе обобщенных функций.-ДАН СССР, 1965. 161:4, с 753−756.

23. Дыбин В.Б."Гапоненко В.Н. Интегрально-разностное уравнение Винера-Хопфа с аннулирующимся символом.-Матем.исследования, Кишинев, 1972 г.7,4,с.50−59.

24. Дыбин В. Б. Интегральный оператор Винера-Хопфа в классах функций со степенным характером поведения на бесконечности-ИАН Арм. ССР, сер.Матем. 1967 г.2,4,с.250−270.,.

25. Дыбин В. Б. Нормализация оператора Винера-Хопфа .-ДАН СССР, 1970 г.т.191,4,с.759−762.

26. Дыбин В. Б. «Карадетянц Н. К. Об интегральных уравнениях типа свертки в классе обобщенных функций.-Сиб.мат.журн. 1966 г. т.7.№ 3,с.531−545.

27. Енгибарян Н. Б. Об одном классе симметрических интегральных операторов .-Изв. АН Арм. ССР, сер. Математика, 1972 г.М. с.275−286.

28. Енгибарян Н.Б."Арутюнян А. А. Интегральные уравнения на полупрямой с разностными ядрами и нелинейные функциональные уравнения.-Матем.сб.97 (139) Ш, 1975 г. с. 35, 58.

29. Енгибарян Н. Б. Арабаджян Л.Г. 0 нелинейных уравнениях факторизации операторов Винера-Хопфа.-Препринт ЕГУНИИФКС, 79, I, Ереван, 1979 г.

30. Зильберман Б., Рост К.,(Silberraann В., Rost К.) Das Reduktions-verfahren fur eine Klasse ausgearteter Integrodiffe-renzengleichungen. «Wiss. Z. Techn. Hochsh, Karl-Marx-Stadt» 1978. 2o K.6 c.689−691.

31. Карапетянц Н. К. Дискретное уравнение типа свертки в одном исключительном случаеСиб.матем.журн.II, 1,1970.с.80−90. 103.

32. Карапетянц H.K. Интегральные уравнения Винера-Хопфа с символом, имеющим нуль дробного порядка.-Дифф.уравн.т.13,Д977г.с.I47I-I479.

33. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Об одном классе интегральных уравнений типа свертки и его приложения.-Изв.АН СССР, сер. матем., 35,3,1971 г.с.714−726.

34. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Об индексе некоторых классов интегральных операторов-Изв.АН Арм. ССР, Математика, 8,1. 1973 г. с.26−40.

35. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргумента.-УМН, 1958 г. тЛ3,5,с. 3−120.

36. Крейн М. Г. «Шмульян Ю. Л. Уравнения Винера-Хопфа, ядра которых допускают интегральное представление через экспонентыИАН Арм. ССР, сер. Математика, 1982 г., т.17,№ 4,5.

37. Лайтерер Ю. Критерии нормальной разрешимости систем сингулярных уравнений и уравнений Винера-Хопфа ¡—Мат. сборник, т.83.№, 1970 г.с.390−406.

38. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений.М." Мир", 1979 г.

39. Рапопорт И. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений .-ДАН СССР 59,8,1948 г.с.1403−1406.

40. Рапопорт И. М. О некоторых «парных» интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях.-Сб.тр. Ин-та матем. АН УССР 12, I949, c. I02-II8.

41. Спицер Ф. (Spitzer Р.) The Wiener-Hopf equation whose kernel is a probability density I, II.~Duke Math. J. 24, p.327−343, 19бо, 27, p.363−372. 104.

42. Товмасян Н. Е. Особый случай интегрального уравнения Винера-Хопфа Сиб. мат. журнал, т. 19., М, 1978 г. с. 902−922.

43. Фок В. А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики .-Матем.сб.1944г., 14,(56) 1−2, 3−50.

44. Хайкин М.й. Уравнение Винера-Хопфа в пространствах основных и обобщенных функций.-Изв.вузов «Математика», 1967 г.$ 10,с.83−91.

45. Хайкин М. И. Однородное уравнение Винера-Хопфа в классе функции умеренного роста .-Изв. вузов, «Математика», 8,1978 г., с.91−103.46. !еботарев Г. Н. Об одном уравнении типа свертки первого рода-Изв.вузов. «Математика» 1967 г. Ш, с.80−92.

46. Чеботарев Г. Н. Об одном особом случае уравнения Винера-Хопфа в пространстве ограниченных функций.-Изв.вузов, математика, 1967 г. МО.с.92−101.

47. Чеботарев Г. Н. О нормальной разрешимости уравнений Винера-Хопфа в некоторых особых случаях.-Изв. вузов, Математика, 1968 г., ЖЗ, с. ПЗ-П8.

48. Черский Ю. И. Общее сингулярное уравнение и уравнения типа свертки.—Мат.сб., 41,3, 1957 г. с.277−296.

49. Черский Ю. И. Об уравнениях типа свертки .-Изв. АН СССР, сер. Матем., 22, 1958 г.с.361−378.

50. Бабаян А. О. Об уравнении Винера-Хопфа.-Тезисы докладов республиканской научно-технической конференции «Применение математических методов в технике» Ереван, 1982 г.