Новые свойства аттракторов и инвариантных множеств динамических систем

В теории динамических систем одним из важных направлений является качественное описание динамики системы. Особую роль играют вопросы, связанные с «типичными» свойствами системы, в любом из определений понятия «типичности». Например, долгое время считалось, что в типичной гладкой динамической системе существует лишь конечное количество притягивающих неподвижных точек или периодических орбит. Тем самым орбиты точек с близкими начальными условиями предположительно должны не слишком удаляться друг от друга. В 40-х годах, исследуя уравнение Ван дер Поля М. Л. Картрайт и Дж. Е. Литтлвуд ([КЬ45]) привели пример дифференциального уравнения, для которого зависимость поведения от начальных условий была существенно нелинейна. Их пример был существенно упрощен Н. Ливингсоном в работе [Ь49], а затем в 60-х годах Смейл привел пример структурно-устойчивого отображения («Подкова Смейла», см. [Эш]), обладающего счетным количеством гиперболических периодических точек. Инвариантное множество для отображения подковы имеет структуру канторовского множества. В дальнейшем появились разнообразные (и, как оказалось, неэквивалентные) определения аттрактора динамической системы. Гипотеза Палиса ([РаОО]) предполагает, что в типичном случае все определения эквивалентны. Обратное утверждает гипотеза Рюэля ([Ыи01]), хотя понятие «типичности» в каждой из гипотез свое. (Метрическая типичность для гипотезы Палиса и топологическая для гипотезы Рюэля).

Если перейти от рассмотрения аттракторов динамических систем к притягивающим бассейнам этих аттракторов — то есть множеству точек, стремящихся к аттрактору, то оможно отметить, что в «обычной» системе бассейны притяжения являются областями (причем, зачастую даже с кусочно гладкой границей). Однако в 1994 году Иттаи Кан ([К94]) в своей работе привел пример отображения кольца в себя, где бассейны притяжения двух компонент аттрактора метрически всюду плотны. Там же Кан анонсировал сохранение этого свойства для малых возмущений построенного отображения в классе гладких отображений, сохраняющих границу, но доказательства так и не опубликовал.

В прошедшем десятилетии, изучая так называемые «невидимые» аттракторы, Ю. С. Ильяшенко и А. Негут доказали усиление классической эргодической теоремы для случая удвоения окружности (результат впервые появился в [Ш10], а впервые опубликован в [1К808]). А именно, было показано, что множество точек, чьи временные средние вдоль орбит «сильно» отличаются от пространственного среднего, имеет хаусдорфову размерность, меньшую 1. В главе 1 настоящей диссертации этот результат распространяется на случай линейных диффеоморфизмов Аносова на двумерном торе. В главах 2 и 3 специальная эргодическая теорема применяется для получения нового доказательства гипотезы Иттаи Кана, а также для оценки доли точек, не стремящихся к компонентам аттрактора в малой окрестности компоненты. Отметим, что гипотеза Иттаи Кана была доказана Бонатти, Диасом и Виана в работе [ВБУ], однако предлагаемая техника работы с гёльдеровыми отображениями позволяет получать более сильные результаты.

Заметим, что в схожей ситуации хаусдорфову размерность размерность множества точек с сильным уклонением временных средних исследовали Б. М. Гуревич и А. А. Темпельман (см. [СГ02]). Также отметим исследования Л. С. Янг (см. [У90] и [УОЗ]) в области свойства динамических систем,-аналогичных теоремам большим уклонения в теории вероятностей. С этой точки зрения специальная эргодическая теорема представляет собой «предельный» вариант результатов Л. С. Янг.

Еще одним вопросом динамических систем является изучение «сложности» отображения. Одним из показателей может являться топологическая энтропия, впервые введенная в работе [АКМ]. В дальнейшем Кушниренко (см. [КивЬ]) показал ее конечность для гладких динамических систем на компактных многообразиях. В Главе 4 настоящей диссертации доказывается усиление теоремы Кушниренко для гиперболических систем, используя энтропийную размерность пространства.