Неустановившиеся течения термодинамически неидеальных сред с сильными ударными волнами

Последние десятилетия отмечены возрастанием интереса к физике высоких давлений [1-т]. Причин тому несколько, назовем наиболее существенные из них. Во-первых, это стремление к созданию импульсных энергетических систем [8] и появление созданных для этой цели мощных импульсных лазеров и возможности генерации релятивистских электронных пучков. Во-вторых, это появление задач перспективной технологии (синтез алмазных фаз графита и нитрида бора, взрывная, электроннолучевая и лазерная сварка и т. д.) Наконец, возможность расширить познания о фундаментальных характеристиках вещества в малоисследованной области параметров сама по себе является причиной интереса к исследованиям в области мегабарных давлений.

Изучение поведения вещества при больших давлениях и температурах связано, как правило, с исследованием сложных неустановившихся течений с сильными ударными волнами. Описание такого рода явлений связано с трудоемкими газодинамическими расчетами, а измерение параметров сильносжатого вещества — чрезвычайно сложная проблема [б]. Ситуация упрощается при сжатии вещества в плоской ударной волне постоянной амплитуды. Диагностика и расчеты в этом случае основаны на анализе системы алгебраических уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии на стационарном скачке уплотнения. Последнее и составляет основу традиционной постановки динамического эксперимента. Основы метода и наиболее важные результаты изложены в обзорных статьях [1−4] и в монографии Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера [9].

Использование традиционной постановки ударноволнового эксперимента позволило детально исследовать термодинамические, оптические и электрофизические свойства ряда веществ в диапазоне давлений до 5 Мбар [б]. Генерация ударных волн осуществлялась с помощью детонации взрывчатых веществ или легкогазовых метательных устройств.

Появление мощных импульсных лазеров и релятивистских электронных пучков позволяет надеяться на продвижение в область более высоких, нежели в традиционных экспериментах, давлений [б]. При этом, однако, энергия пучка очень быстро растет с увелисением давления за ударной волной [б], поэтому опыты со стационарными плоскими ударными волнами связаны со значительными трудностями. Таким образом, существенно новую информауию можно надеяться получить при постановке экспериментов с сильными нестационарными ударными волнами. Как уже упоминалось, описание таких течений требует трудоемких газодинамических расчетов. Ситуация существенно упрощается, когда движение среды автомодельно. В этом случае задачу об одномерных нестационарных течениях удается свести к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений ^9"12−15,22,24−27]. Под одномерными здесь и далее будем подразумевать течения с плоской, цилиндрической или сферической симметрией.

Автомодельные решения различных задач газовой динамики широко описаны в литературе. Укажем здесь на известные мино-графии Л. И. Седова |12], К. П. Станюковича Я.Б.Зельдовича и Ю. П. Райзера |9], Г. Й. Баренблатта. В соответствиии с теорией размерностей, автомодельные решения возникают, когда в задаче есть «недостаток» параметров с независимыми размерностями 12−14], и из параметров задачи нельзя составить масштабов времени? и единственной пространственной переменной X (речь идет об одномерных неустановившихся течениях"), последнее приводит к тому, что любая искомая функция представляется в виде • /Гг) (х).

Постоянная, А содержит информацию о начальных и граничных условиях полной неавтомодельной задачи, величина ^ - показатель автомодельности. При подстановке представлений вида (I) для каждой неизвестной в уравнения газовой динамики получается система обыкновенных дифференциальных уравнений для функций-представителей. В работах Г. И. Баренблатта [и] и Г. И.Барен-блатта и Я. Б. Зельдовича [15] указано, что автомодельные решения являются, как правило, асимптотиками решений соответствующих неавтомодельных задач. Возможен и еще один взгляд на автомодельные решения. С точки зрения группового анализа дифференциальных уравнений [16−19] они являются решениями, инвариантными относительно преобразований группы растяжений.

Общепринято разделение автомодельных решений на две большие группы — I и 2 рода. Для решений I рода показатель автомодельности определяется из законов сохранения. В терминологии Г. И. Баренблатта это случай полной автомодельности [и]. Классическим примером решения I рода является решение задачи о сильном точечном взрыве [12,13,20~], в котором показатель автомодельности определяется из условия сохранения энергии. Для автомодельных решений 2 рода (случай неполной автомодельности [14]) показатель автомодельности определяется не законами сохранения, а, как правило, при численном интегрировании системы уравнений для функций-представителей из условия однозначности решения. Примеры автомодельных решений 2 рода — решение задачи о движении газа под действием кратковременного удара по поверхности (см., например, [9]) и задачи о сходящейся сферической ударной волне (задача Ландау-Гудерлея [13,21]). Здесь уместно упомянуть обзор 22, посвященный сферически-симметричным автомодельным решениям, в котором есть примеры решений как I, так и 2 рода.

В дальнейшем нас будут интересовать автомодельные течения 2 рода, для которых показатель автомодельности зависит от термодинамических свойств среды для идеального газа с постоянной телпоемкостыо — от величины показателя адиабаты .Мы будем рассматривать течения с сильными ударными волнами. В автомодельном случае фронт ударной волны распространяется по закону т. е. на фронте автомодельная переменная постоянна.

9,12−14]. Последнее обстоятельство и определяет интерес к автомодельным течениям именно 2 рода, т.к. для таких течений даже относительно простые измерения закона движения фронта ударной волны могут дать информацию об уравнении состояния вещества.

Различные автомодельные решения уравнений газовой динамики хорошо изучены для случая идеального газа ?9,12−14,22]. Решения для автомодельных течений в термодинамически неидеальных средах немногочисленны. Автору известны решение задачи о сильном взрыве [23]в среде, описыавющейся моделью твердых сфер (см., например, [Ю-П]) и решение задачи о сходящейся сферически-симметричной ударной волне в среде с простейшим уравнением состояния рссм^Ь-?. (р — давление, <Е — удельная энергия) ^24^. В настоящей работе описаны автомодельные решения для задачи о «коротком ударе» и о сходящейся ударной волне в среде с уравнением состояния типа Ми-Грюнайзена [25−27] .

Проблема уравнения состояния вещества занимает одно из центральных мест в динамической физике высоких давлений. Сведения о термодинамических свойствах вещества необходимы для адекватного описания конкретных газодинамических явлений. С другой стороны, основная экспериментальная информация о свойствах вещества в области мегабарных давлений получена динамическими методами [l-4].

Принято разделять способы описания уравнения состояния на модельные и полуэмпирические [3−5]. Не последнюю роль как в тех, так и в других, играет экспериментальная информация. Сравнение с экспериментом позволяет судить о пределах применимости упрощенных моделей уравнения состояния и подбирать численные значения параметров в функциональных зависимостях при полуэмпирическом описании. Вид зависимостей в последнем случае определяется в соответствии со строгими асимптотическими решениями.

Построение модельных уравнений состояния требует, как правило, сложных численных расчетов [з, 4,10,II]. Область применимости полученных результатов не всегда адекватно определяется соответствующими буквенными критериями, примером является модель Томаса-Ферми и её различные модификации [3,4,28?. Использование модельных уравнений состояния часто затрудняется тем, что данные по этим уравнениям состояния существуют в виде таблиц и графиков.

В данной диссертации будет использовано уравнение состояния, являющееся упрощением наиболее распространенной, по-видин мому, полуэмпирической модели уравнения состояния — модели Ми-Грюнайзена [1−4,9].

Лазерная генерация сильных ударных волн представляет интерес не только для решения перечисленных выше задач, но и с точки зрения моделирования высокоскоростных ударных явлений [29,34]. Для определения параметров лазерного импульса, моделирующего удар частицы с заданными скоростью и массой о массивную преграду, необходимы детальные численные расчеты. Безусловно, в такой ситуации полезен приближенный подход к задаче, позволяющий получить простые оценки. Установление приближенных соотношений между параметрами лазерного импульса и газодинамическими характеристиками среды позволяет оценить возможности постановки соответствующих экспериментов.

Сказанное выше определяет актуальность темы настоящей диссертации. Целью этой работы является построение автомодельных решений, описывающих движения конденсированных сред в практически интересных случаях, а также оценка возможностей мощьных импульсных лазеров для моделирования высокоскоростных соударений частиц с преградами.

Научная новизна результатов данной диссертации заключается в следующем. Получено автомодельное решение задачи о движении термодинамически неидеальной среды под действием кратковременного удара по её поверхности. Эта задача ранее раасматрива-лась только при описании термодинамики среды уравнением состояния идеального газа, см. [9,35−40]. В данной работе используется уравнение состояния типа Ми-Грюнайзена. Для вещества с таким уравнением состояния получено решение задачи о сходящейся ударной волне со сферической или цилиндрической симметрией. Аналогичная задача для весьма упрощенной термодинамической модели среды рассматривалась в [24]. В диссертации использована более реалистическая, нежели в [24], аппроксимация уравнения состояния и рассмотрено поведение решения как до, так и после момента коллапса. Указаны свойства решения, отличающие его от решения аналогичной задачи в случае идеального газа. Вопрос о том, какие аппроксимации уравнения состояния допускают существование автомодельных решений, рассмотрен с помощью группового анализа уравнений газавой динамики. Для задачи о лазерном моделировании высокоскоростного удара получены оценки, связывающие параметры лазерного импульса: полную энергию, длительность е импульса, площадь фокусировки — с парамтрами моделируемого процесса: массой и скоростью частицы.

О содержании диссертации можно судить по оглавлению, а здесь бедет дано краткое описание её общей структуры. В первой главе проводится групповой анализ уравнений газовой динамики, описывающих одномерные нестационарные течения. В результате этого анализа устанавливается функциональный вид уравнений состояния, допускающий существование автомодельных решений. Последние при этом естественным образом трактуются как решения, являющиеся инвариантными многообразиями группы растяжений. Результаты группового анализа используются при выборе уравнения состояния, кратко обсуждаются пределы применимости используемых приближений. Оставшаяся часть первой главы посвящена поиску автомодельного решения для задачи о движении вещества под действием кратковременного удара по его поверхности. Термодинамика вещества описана уравнением состояния типа Ми-Грюнай-зена. Процедура поиска показателя автомодельности отличается от аналогичной в случае идеального газа.

Результаты первой главы существенно используются во второй главе, где рассмотрена задача о сходящейся к центру ударной волне, обладающей сферической или цилиндрической симметрией. Впервые эта задача для случая термодинамически неидеальной среды решена в полном объеме — то есть найдены все необходимые параметры решения на всей временной оси — как до, так и после момента коллапса. Поиск показателя автомодельности осуществляется с помощью численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Во второй главе диссертации обсуждается вопрос о точности вычисления показателя автомодельности о (. Даже малые отличия o? от точного значения способны существенно изменить некоторые параметры решения. В связи с этим приведены результаты решения задачи о сходящейся волне для идеального газа с различными значениями показателя адиабаты с целью сравнения с имеющимися в литературе данными.

В третьей главе рассматривается вопрос о лазерной генерации ударных волн. Предлагается приближенный подход к этой задаче, основанный на анализе задачи о распространении поглощенной энергии импульса путем нелинейной электронной теплопроводности и о возникновении гидродинамического движения на фоне тепловой волны. Полученные результаты применяются при оценке возможностей лазеров как средства моделирования высокоскоростного удара. В работе выделены характерные режимы формирования ударной волны, сделаны оценки применимости полученных результатов.

Результаты настоящей диссертации отражены в публикациях ^25−27, 34].

Автор выносит на защиту:

1. Автомодельное решение задачи об ударной волне в конденсированной среде, генерируемой кратковременным импульсом давления.

2. Результаты численнего решения указанной задачи для некоторых конкретных аппроксимаций уравнения состояния вещества уравнение состояния Ми-Грюнайзена, одноатомный идеальный газ .

3. Автомодельное решение задачи о сходящейся ударной волне в конденсированной среде.

4. Результаты численных расчетов для задачи о сходящейся ударной волне при описании термодинамики среды как уравнением состояния типа Ми-Грюнайзена, так и уравнением состояния идеального газа с постояннной теплоемкостью и различными значениями показателя адиабаты.

5. Приближенное решение задачи о лазерном моделировании высокоскоростного удара и численные оценки, связанные с этим решением.

ЗАКЛШЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Построено автомодельное решение задачи об ударной волне в конденсированной среде, генерируемой кратковременным импульсом давления (задача о «коротком ударе»). Как следует из группового анализа уравнений газовой динамики, существование автомодельных решений возможно, если термодинамические свойства вещества описываются уравнением состояния идеального газа или уравнением состояния вида р~ Г (р) р. При этом автомодельные решения уравнений газовой динамики для течений с плоской, цилиндрической, сферической симметрией образуют инвариантное многообразие однопараметрической группы растяжений.

Уравнение состояния |р-Г (^)р?. является уравнением состояния Ми-Грюнайзена —?в пренебрежении упругой частью давления. Такая аппроксимация приближенно описывает термодинамику вещества при больших температурах, I 10^ К, и давлениях р-^ Мбар.

2. Получено численное решение задачи о «коротком ударе» для некоторых значений параметров П> и в аппроксимации для коэффициента Грюнайзена вида 3 ал.

Указаны особенности используемого алгоритма, проводится сравнение с решением задачи в случае идеального газа.

3. Рассмотрена задача об автомодельном коллапсе сферически (цилиндрически) -симметричной ударной волны в неидеальной среде с уравнением состояния типа Ми-Грюнайзена, использованном при решении задачи о «коротком ударе». В автомодельной постановке возникает нелинейная задача на собственные значения. В её решении важную роль играют особые точки, расположенные на поверхности удвоения решений. Показано, что в окрестности этих особых точек фазовое пространство задачи в неидеальной среде подобно таковому для задачи о сходящейся ударной волне в идеальном газе. При численном определении показателя автомодельшсши и других параметров решения использована та же аппроксимация коэффициента Гргонайзена, что и при решении задачи о «коротком ударе» .

4. Для задачи об автомодельном коллапсе в идеальном газе рассмотрен вопрос о влиянии точности вычисления показателя ав-томодельности на другие параметры решения, в частности, на величину чтепени сжатия на фронте отраженной от центра ударной в волны. Показано, что малое отклонение величины о1 от точного значения может привести к существенным изменениям параметров решения. Для устранения имеющихся в литературе разногласий проведено вычисление с большой точностью показателей автомодельноети параметров особых точек, величин сжатия и т. д. для задачи о сферическом (цилиндрическом) коллапсе в идеальном газе с различными значениями показателя адиабаты.

5. Рассмотрен вопрос о лазерном моделировании высокоскоростного удара. В рамках используемых приближений вццелены два характерных режима образования ударной волны — плоский и сферический. В первом из них моделируемые параметры удара, скорость V и масса М налетающей частицы, определяются поглощенной частью энергии лазерного импульса и площадью фокусировки.

В сферическом режиме.

М и 17 определяются только величиной ?

Найдены пределы, в которых зависимость.

Ж и гУ от существенна. Показано, что существует минимальная интенсивность 3-ю24 Г Вт/см2 определяющая нижнюю границу интервала, в котором могут осуществляться указанные режимы.

В заключение автор считает приятным долгом поблагодарить С. И. Анисимова за руководство работой и подцержку.