Двухпетлевые поправки в N=1 суперсимметричной квантовой электродинамике

Исследование квантовых поправок в суперсимметричных теориях является интересной и сложной проблемой, которая активно исследуется в настоящее время. Хорошо известно, что ультрафиолетовое поведение суперсимметричных теорий несколько лучше по сравнению с аналогичными моделями теории поля [1, 2, 3]. Например, в суперсимметричных моделях теории поля отсутствуют квадратичные расходимости, а в теориях с расширенной суперсимметрией пертурбативные квантовые поправки существуют только в однопетлевом приближении. (Тем не менее в таких теориях существуют и непертурбативные инстантонные вклады [4], сумма которых была впервые точно вычислена для N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса в работе [5].) N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса вообще не имеет пертурбативных квантовых поправок. Тем не менее, теории супергравитации [б] оказываются неперенормируемыми также как и обычная теория гравитации Эйнштейна.

Объяснить отсутствие квантовых поправок в теориях с расширенной суперсимметрией можно, например, с помощью аргументов, основанных на исследовании структуры квантовых аномалий [1]: Хорошо известно [7, 8, 9,10], что в суперсимметричных теориях аксиальная аномалия и аномалия следа тензора энергии-импульса принадлежат одному супермультиплету. В силу теоремы Адлера-Бардина [11, 12] аксиальнал аномалия является чисто однопетлевой, тогда как аномалия следа пропорциональна /^-функции [13]. Поэтому суперсимметричная инвариантность должна по-видимому приводить к тому, что в суперсимметричных теориях поправки к /^-функции должны существовать только в однопетлевом приближении [14]. Этот факт действительно имеет место в N = 2 суперсимметричных теориях [15]. Тем не менее, описанные выше аргументы также применимы и для теорий с нерасширенной суперсимметрией. Однако вычисления, выполненные для N = 1 суперсимметричных моделей в рамках метода размерной редукции [16,17,18] показали, что двухпетлевой вклад в /^-функцию оказывается отличным от 0. Полученное противоречие получило в литературе название «проблемы аномалий» [19].

В литературе предпринимались неоднократные попытки решения этой проблемы. Например, в работе [20] возникновение проблемы аномалий объяснялось различием между вильсоновским эффективным действием и производящим функционалом Г для одночастично неприводимых диаграмм. При этом утверждалось, что константа связи в виль-соновском действии является чисто однопетлевой, тогда как константа связи в Г имеет поправки во всех порядках теории возмущений. Отличие в поведении констант связи связывалось с некоторым дополнительным аномальным вкладом, который для случая электродинамики, тесно связан с аномалией Кониши [21, 22]. При этом для /3-функции было получено точное во всех порядках выражение, связывающее ее с аномальной размерностью суперполей материи. Ранее такое выражение было построено в работе [23], исходя из требования ренорминвари-антности инстантонных вкладов в эффективное действие, и получило название «точная^{-функция} Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова (NSVZ)». Для случая N — 1 суперсимметричной электродинамики, который далее будет рассматриваться в этой работе, точная NSVZ /3-функция имеет следующий вид:

Л (о) = ^(1−7(в)),. (0.1).

7 Г где 7(a) — аномальная размерность суперполя материи. Оказалось, что NSVZ /3-функция точно согласуется с двухпетлевыми вычислениями, выполненными с использованием размерной редукции, однако в трех-петлевом приближении [24, 25, 26] были выявлены разногласия между ее предсказаниями и конкретными вычислениями. Впоследствие было показано [27], что эти разногласия могут быть устранены специальным выбором схемы перенормировки, причем сама возможность выбора такой схемы, как оказалось, является крайне нетривиальной [28]. В принципе, схему, в которой получается точная /3-функция можно построить, устанавливая ее связь с MS схемой в каждом порядке теории возмущений [29].

Заметим также, что /3-функция получается многопетлевой [30] не только при использовании регуляризации размерной редукцией, но и при использовании дифференциальной перенормировки [31].

Тем не менее, в решении проблемы аномалий, предложенном в [20], оставались некоторые до конца не ясные моменты и прежде всего связь между Г и вильсоновским действием. Существование этой нерешенной проблемы привело к появлению несколько иного решения проблемы аномалий, предложенного в работе [32]. В этой работе было показано, что преобразования масштабирования полей в суперсимметричных теориях являются аномальными, благодаря чему в зависимости от выбираемой нормировки полей может возникать либо чисто однопетлевой результат, либо точная NSVZ /3-функция. В случае т.н. голоморфной нормировки, для которой перенормированное действие записывается в виде.

Sren = A//i)Re J d4xd2eWaCabWb +.

Z (A//i)i Jd*x d*9 (ф*е2Уф + ф*е~2Уф), (0.2) было высказано предположение, что /3-функция является чисто одно-петлевой, тогда как при канонической нормировке, в которой.

Sren = ^Z3(A//i)Re J d*xd29WaCabWb + f d*x dAe (ф*е2Уф + ф*е~2Уф), (0.3) 4 ^.

— функция имеет поправки от всех порядков теории возмущений и совпадает с точной NSVZ /5-функцией. Тем не менее, вычисления диаграмм Фейнмана, которые бы подтвердили этот результат, в [32] выполнены не были.

Было бы естественным предположить, что чисто однопетлевой результат может возникать при использовании регуляризации высшими ковариантными производными [33, 34], дополненной регуляризацией Паули-Вилларса для устранения остаточных однопетлевых расходимос-тей. Известно, что на однопетлевом уровне результаты вычислений в такой регуляризации всегда согласуются с результатами вычислений в размерной регуляризации (редукции) [35, 36]. Конкретные двухпет-левые вычисления при использовании регуляризации высшими производными были впервые выполнены в работах [37, 38] для N = 1 суперсимметричной электродинамики. При этом для двухпетлевого вклада в /^-функцию действительно был получен нулевой результат, согласующийся с результатами [32]. Однако до конца непонятым оставался вопрос о том, почему методы размерной редукции и высших производных приводят к различным результатам для схемно независимой двухпет-левой /3-функции. В принципе уже в работе [37] было замечено, что по сравнению с методом размерной редукции в методе высших производных появляется нетривиальный вклад диаграмм со вставкой однопет-левых контрчленов. Более аккуратный анализ этого вклада был выполнен в работе [39]. Предложенное в ней объяснение различия между результатами было основано на том, что регуляризация при помощи размерной редукции [40] является математически противоречивой [41]. В частности, непосредственное применение размерной редукции к вычислению аномалий приводит к неправильному нулевому результату, поскольку размерная редукция сохраняет киральную симметрию. При этом необходимо подчеркнуть существенную разницу между размерной регуляризацией [42] и размерной редукцией: В размерной регуляризации аксиальная аномалия может быть легко вычислена [42]. Однако, размерная регуляризация явно нарушает суперсимметрию и для проведения вычислений в суперсимметричных теориях неудобна. Отметим, что в принципе можно вычислять аномалии и с помощью размерной редукции, однако, для этого необходимо накладывать некоторые заведомо противоречивые условия, например tr (А В) ф ti (BA) [43] или требовать выполнение некоторых тождеств между 7-матрицами, справедливых только при п > 4 для п < 4 [44]. (В методе размерной редукции размерность пространства п с необходимостью должна выбираться меньше 4 [40].) Однако, такие условия автоматически не выполняются, если вычисления проводятся с использованием техники суперграфов. Поэтому аксиальная аномалия и, как следствие, аномалия Кониши оказываются в методе размерной редукии равными 0 и дополнительный аномальный вклад, существование которого было доказано в [20], оказывается пропущенным в случае если для регуляризации используется размерная редукция. Метод высших производных лишен противоречий, присущих размерной редукции, и позволяет правильно вычислять аномалии. Поэтому при его использовании аномальный вклад вычисляется правильно и оказывается отличным от 0. Как оказалось, он представляет собой сумму диаграмм Фейнмана с контрчленными вставками. Их сумма равна 0 при использовании размерной редукции и согласуется с выражениями, приведенными в [20] и [32] при использовании высших производных. После масштабирования, соответствующего. переходу от (0.2) к (0.3), диаграммы с контрчленными вставками исчезают, после чего /^-функция оказывается равной NSVZ выражению.

Тем не менее, описанное выше решение проблемы аномалий было проверено только на двухпетлевом уровне. Во избежание возможных ошибок или неправильной интерпретации результатов было бы желательно осуществить соответствующую проверку на трехпетлевом уровне. Это является особенно интересным поскольку трехпетлевая /3-функция, как функция а, является схемно зависимой.

Кроме того, еще одним интересным аспектом исследований является сравнение результатов вычислений в различных регуляризаций, поскольку в силу вышесказанного результат вычислений /3-функции в суперсимметричной электродинамике оказывается чувствительным к выбору регуляризации.

Данная диссертация посвящена исследованию структуры двухпетле-вых вкладов в эффективное действие N = 1 суперсимметричной электродинамики при использовании регуляризаций обрезанием петлевого импульса и высшими производными.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений, заключения и списка используемой литературы.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

• Проведено вычисление двухпетлевой /3-функция для N = 1 суперсимметричной электродинамики, регуляризованной обрезанием петлевого импульса.

• Вычислена двухпетлевая аномальная размерность суперполя материи для N = 1 суперсимметричной электродинамики, регуляризованной с помощью обрезания петлевого импульса.

• Проведено компонентное вычисление аномалии Кониши для N = 1 суперсимметричной электродинамики, регуляризованной с помощью метода высших производных.

• Выполнено численное исследование ряда характерных интегралов, возникающих в суперсимметричных теориях при использовании регуляризации высшими ковариантными производными.

Работа была выполнена на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова.

Я глубоко признателен моему научному руководителю Халилову В. Р., а также доценту Пронину П. И. и доценту Степаньянцу К. В. за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.