Локальные особенности в симплектических и контактных пространствах

В работе изучаются локальные особенности отображений, возникающих в симплектических и контактных пространствах.

Основное внимание уделено задачам, имеющим приложения в геометрии и теории дифференциальных уравнений.

Работа состоит из пяти глав.

Глава 1 посвящена теории особых лагранжевых и лежандровых подмногообразий.

Лагранжевы многообразия с особенностями встречаются во многих задачах дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, математической физики.

В работе Гивенталя [3] введено понятие устойчивости особого лагран-жева ростка по отношению к возмущениям симплектической структуры и лагранжевой проекции. Здесь мы даем геометрическую интерпретацию этого условия для лагранжевых ростков, заданых производящими семействами. Такое семейство должно быть индуцировано из версальной деформации конечнократного ростчка функци Оказывается (теоремы 1.1.3) что условие устойчивости накладывает на индуцирующее отображение пространств параметров достаточно жесткие ограничения. Так например собственное аналитическое отображение, индуцирующе устойчивый особый росток из версальной деформации простой особенности с большим числом параметров является разветвленным накрытием некоторого страта бифуркационной диаграммы функций простой особенности. Таким образом, лагранжевы ростки, связанные с группами Коксетера, естественно возникают при класификации простых устойчивых регулярных индуцирований. Во вспомогательных разделах показано, что класс лагранжевых ростков, имеющих производящие семейства достаточно широк. Излагаются также некоторые геометрические свойства устойчивых ростков.

Известно, что морсовское производящее семейство лагранжева подмногообразия, А существует только если класс его класс Маслова нулевой. Для кривой, обходящей вокруг особой точки на раскрытом зонтике Уитни, который является примером устойчивого типичного, лагранжева подмногообразия Т*И2 индекс Маслова не равен нулю. Итак, не существует производящего семейства этого многообразия (без дополнительных особых точек или компоненит).

Поэтому здесь мы рассматриваем специальные конструкции, опре-делящие одну компоненту лагранжева подмногообразия с особенностями, которая предполагается диффеоморфной образу некоторого гладкого отображения гладкого многообразия в симплектическое пространство М2п, ш. Для такого отображения /: X —> М индуцированная форма является нулевой. Такие отображения, играющие важную роль в симплектической топологии, называются изотропными.

Пространство изотропных отображений даже в случае М = К4 не является многообразием. Условия изотропности являются уравнениями типа уравнений Монжа-Ампера. Нетривиальный вопрос о плотности в таком пространстве отображений, имеющих только устойчивые особенности (например, при п = 2 такими особенностями являются трансвер-сальные пересечения и раскрытые зонтики Уитни) до сих пор не решен. Доказана плотность таких отображений среди изотропных отображений конечной кратности.

Впервые интересный класс ~лагранжевых многообразий с особенностями (раскрытые ласточкины хвосты) возник в вариационной задаче с односторонними ограничениями (задаче об обходе препятствия) [1]. Волновые фронты простых устойчивых лагранжевых проектирований раскрытых ласточкиных хвостов тесно связаны с дискриминантами кок-сетеровских групп, порожденных отражениями [2], [3].

Решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби с начальными условиями, образующими изотропное подмногообразие гиперповерхности уровня гамильтониана, приводят к другим классам особых лагранжевых многообразий — раскрытым зонтикам Уитни [4,3].

В этих примерах особые лагранжевы многообразия порождаются (иногда, с дополнительными компонентами) неморсовскими производящими семействами, то есть являются образами при симплектической редукции неособого лагранжева подмногообразия большей размерности относительно нетрансверсальной ему гиперповерхности. Условия нетрансверсальности в этих ситуациях весьма специфичны — пересечение лагранжева и коизотропного подмногообразий содержит неособое изотропное подмногообразие, имеющее коразмерность 1 в лагранжевом. Раскрытые ласточкины хвосты и зонтики Уитни имеют (за исключением случая минимальных размерностей) неизолированные особенности.

Естественной группой эквивалентностей в таких задачах является группа симплектоморфизмов, сохраняющих некоторое лагранжево расслоение (например, кокасательное). При этом устойчивость таких особенностей рассматривается в классе лагранжевых вложений заданного особого подмногообразия.

Общие конструкции, позволяющие получать устойчивые простые (то есть, не содержащие непрерывных инвариантов) ростки лагранжевых проектирований для такой группы, описаны в [5].

В настоящей работе мы классифицируем простые лагранжевы ростки, получаемые в результате произвольной симплектической редукции, с точностью до действия большей группы — группы всех симплектоморфизмов.

Отметим, что похожая задача об особенностях симплектической редукции (правда, для группы симплектоморфизов, сохраняющих расслоение) рассмотрена в [6].

Наш список простых классов весьма поучителен — появляется еще одна новая связь простых алгебр Ли А, В, С, Б, Е, -Р с лагранжевыми особенностями.

Простейшую особенность, отвечающую морсовской нетрансверсальности мы рассматриваем более подробно. Ее устойчивость доказана по отношению к меньшей группе, состоящей из симплектоморфизмов, сохраняющих расслоение объемлющего симплектического пространства, одним из слоев которого является заданная гиперповерхность.

Эта особенность позже использовал О. М. Мясниченко для оценки числа траекторий натуральной механической системы, стартующих с заданного подмногообразия конфигурационного пространства и выходящих на границу области возможных движений.

Подмногообразие 2п-мерного симплектического пространства называется изотропным, если ограничесние симплектической формы на касательное пространство к нему в каждой точке есть нулеыая форма. Его размерность т не превосходит п. В случае равенства оно называется лагранжевым, а в случае п — т = 1 — сублагранже-вым Предположим, что симплектическое пространство имеет структуру лагранжева расслоения. Произведение вложения изотропного подмногообразия и проекции называется изотропной проекцией.

Два ростка изотропных проекций называются симплектически эквивалентными, если существует росток симплектоморфизма объемлющего пространства, соханяющего структуру расслоения и отображающий один изотропный росток в другой.

Для лагранжева случая понятие производящего семейства сводит изучение особенностей проекций лагранжевых подмногообразий к особенностям семейств функций, зависящих от параметров.

В работах Янечко и Домитца для описания особенностей изотропных проекций была постороена обобщение конструкции производящего семейства. Всякий изотропный росток может быть вложен в лагранжев. Сумма производящего семейства такого лагранжева подмногообразия с линейной комбинацией уравнений, определяющих изотропное подмногообразие в лагранжевом (с множителями, которые рассматриваются как дополнительные параметры) и предлагалась в качестве кандидата на роль производящего семейства изотропного подмногообразия. Эквивалентность таких семейств похожая на эквивалентность, используемую в теории краевых особеностей, влечет симплектическую эквивалентность соответствующих изотропных ростков. Обратное же неверно. Изотропный росток может иметь не эквивалентные производящие семейства. Поэтому имевшаяся классификация не содержит полного списка простых особенностей. Здесь мы вычисляем эти классы, задавая изотропные ростки парами, состоящими из ростка производящего семейства лагранжева продолжения подмногообразия и ростка полного пересечения, определяющего изотропный росток в этом объемлющем лагранжевом. Наш список содержит все простые классы для сублагранжева случая.

Заметим, что в различных прикладных задачах таких как, например, задача Коши для уравнения ГамильтонаЯкоби или отражения систем оптических лучей на границе двух сред, возникают изотропные подмногообразия не общего положения. Предлагаемые конструкции могут быть использованы и в этом случае.

Вторая глава посвящена особенностям каустик и волновых фронтов, симметричных относительно действия конечной группы.

В последние годы появилось много работ, посвященных изучению особенностей проекций лагранжевых подмногообразий при наличии симме-трий. (см., например, работы [13−21]). Симетричные каустики, то есть множества критических значений таких проекций возникают в оптике, термодинамике, физике твердого тела, в дифференциальной и алгебраической геометриях. В этой главе развивается параллельная теория особенностей проекций лежандровых подмногообразий контактных пространств, на которых действует група симетрий. Связь между ла-гранжевой и лежандровой теориями, многочратно использовавшаяся в симплектической и контактной геометриях похожа на взаимоотношение аффиной и проективной геометрий. При этом сходные классификационные задачи дают более простые и обозримые ответы, чем лагранжевы. Это остается верным и в случае особенностей с симметриями.

Так, например, полученная в работах М. Робертса [20,21,29] классификация симметричных каустик относительно симплектической эквивалентности, основанная на конструкции П. Слодови преднормальных форм производящих семейств [27] и свойств особенностей инвариантных, от-носителььно действия компактных групп Ли оказалась слишком сильной и привела к появлению непрерывных инвариантов (модулей) уже в простейших случаях. Ряд попыток улучшить результаты [20] используя классификацию относительно диффеоморфного типа каустик (опирающуюся на эквивариантную версию результатов Д. Деймона о контактной эквивалентности вложенных подмногообразий с особенностями столкнулся с техническими трудностями, даже в случае 2-у симметрии, вызванной тем, что каустики (в отличие от фронтов) многих простых особенностей (Б, Е) не являются свободными дивизорами в смысле Саито. Приведенные в этой главе результаты дают гораздо более легкий споссоб получать обозримые классификации особенностей волновых фронтов.

Лагранжеву подмногообразию Ь <�—" Т*В отвечает график Л интеграла от формы действия Лиувилля, а С П1(Т*В) из пространства ^(ВтИ) ~ Ы х Т*В 1-струй функций на В. Этот график и является лежандровым подмногообразием отвечающим Ь. Образ проекции, А на Л х В является фронтом Дд, каустика Ед, являющаяся образом проекции И х В —" В ограниченной на множество особых точек Дл-Для многообразия Ь общего положения фронт Дд однозначно определяет Л. Росток Л совпадает с множеством 1-форм обращающихся в нуль на ДлДиффеоморфным фронтам отвечают контактно эквивалентные ле-жандровы подмногообразия и соответственно контактно эквивалентные производящие семейства [38].

Таким образом, классификация особенностей (с точностью до диффеоморфизмов) волновых фронтов, симметричных относительно действия некоторой группы О полностью совпадает с класификацией с точностью до контактной эквивалентности С-инвароиантных семейств функций. Последняя же получается применением развитой техники теории особенностей. Более того, классификация симметричных каустик в В сводится к классификации проекций соответствующих особых стратов фронта вдоль слоев типичного одномерного слоения.

Приведен также вспомогательный материал о лагранжевых и лежан-дровых подмногообразия, инвариантных относительео действия конечной групы. Рассмотрены симметрии, которые меняют знак симплекти-ческой или контактной формы (как например, симметрия обращения времени изучавшаяся Д. Монтальди [23]) так и сохраняющие его. Утверждения этого раздела, включая критерии устойчивости каустик и фронтов, используются в дальнейшем.

Во втором разделе главы обсуждается классификация особенностей для простей шей симметрии 2ч действующей отражением в гиперплоскости. Класификация устойчивых фронтов тесно связана с классификацией^{-инвариантных} особенностей функций, то есть с краевыми осо-беностями [22,11, 24, 32]. В качестве приложения описано появление симметричных особенностей в задаче о полном отражении света на границе раздела двух сред [26]. Рассматриваются и другие действия и соответствующие классификации особенностей волновых фронтов [44].

В следующем разделе рассмотрено линейное ортогональное действие неприводимой группы Кокстера на конфигурационном пространстве И х Вп, которе является суммой стандартного неприводимого действия отражениями и тривиального действия. Классифицируются устойчивые унимодальные фронты малых размерностей, отвечающие действиям групп Кокстера наИх И3. Эти классы представляют интерес в задачах кристаллической симметрии. В частности, рассмотрен случай каустики геометрической оптики, имеющей симметрию квадрата, которая экспериментально была изучена в работах Д. Ная [25], дано доказательство его гипотезы о классификации таких каустик.

Наконец, в полследнем разделе рассмотреныРЪ инвариантные деформации ростков функций инваринатных относительно действия отражениями диэдральных групп /г (п). Доказано, что все кокстеровские группы, включая Я4, появляются как инвариантные подгруппы монодромии этих особенностей. Тем самым улучшен результат работы Варченко и Чмутова [41], в которой были найдены особенности с циклической симметрией, отвечающие группам монодромии изоморфным всем группам Кокстера, за исключением Н4.

Эти результаты приводят к обобщениям систем корней (в смысле работ К. Саито [42]) с симметрией конечной группы. Инвариантное подпространство решетки исчезающих циклов таких особенностей само содержит решетку, порожденную некоторой системой корней.

Устойчивые фронты, классифицированные в разделах 2,3 являются линейными деформациями Ее наблюдающиеся в них особенности получаются бифуркациями симметричных. Такие бифуркации описываются распадениями симметричных диаграм Дынкина.

Глава 3 посвящена некоторым геометрически и топологоче-ским свойствам устойчивых фронтов и каустик.

Плоскость, касательная к фокальному множеству (то есть к каустике системы нормалей) поверхности в евклидовом трехмерном пространстве, содержит направление главной кривизны и нормаль в соответствующей точке поверхности [43,44,45,46,47]. Этот факт, наряду с другими подобными (см., например, книгу И. Портеуса[48]), показывает, что гиперповерхность двойственного пространства, образованная касательными гиперплоскостями к каустике, вложенной в аффинное или проективное пространство, играет важную роль в дифференциальной геометрии. Для того, чтобы описать особенности этих двойственных поверхностей, мы доказываем (теорема 2.1.1), что раздутие Нэша устойчивого ростка каустики является гладким проективным подмногообразием.

Это утверждение очевидно для особенностей коранга 1, то есть для каустик с особенностями типа поскольку эти кустики диффеоморф-ны волновым фронтам гладких лежандровых подмногообразий, отвечающим особенностям типа А"Эти лежандровы подмногообразия как раз изоморфны раздутиям Нэша своих фронтов.

Но росток каустики с особенностью коранга большего единицы не диффеоморфен никакому волновому фронту гладкого ллежандрова подмногообразия, поскольку его раздутие Нэша содержит над особой точкой исключительный дивизор положительной размерности. Например, раздутие Нэша каустики с особеностью типа 1)4 диффеоморфно цилиндру, а исключительный дивизор является окружностью на нем.

Для простого устойчивого класса особенности (в изолированной точке) каустики, которая расположена возможно олбгцим образом в проективном или аффинном пространстве, вычислена кратность переечения исключительного дивизора с множеством параболических точек (то есть точек, отвечающих особым точкам двойственной гиперповерхности). Эта кратность ограничена сверху числом /х — 1, где ц — число Милнора особености.

Во второй части этой главы описана новая универсальная конструкция, связанная с семейством функций на многообразии, зависящих аф-финно от параметров, число которых равно к). Всякая аффинная гиперплоскость в пространстве параметров с точностью до право-левой эквивалентности определяет отображение многообразия в пространство ЫА Мы доказываем, что гиперплоскость касательная к каустике этого семейства соответствует неустойчивому отображению в НД имеющему тип §*.

Этот факт, связывающий гиперповерхности, двойственые каустикам со стратом бифуркационной диаграммы проектирования, объясняет появление таких двойственных гтперповерхностей в качестве компонент бифуркационных диаграмм многих задач, связанных с особеностями, возникающими в дифференциальной геометрии [49,50].

Недавно В. И. Арнольд [51] получил обобщение классической теоремы о четырех вершинах замкнутой кривой в виде замечательного общего утверждения симплеетической геометрии.

Он рассматривал специальную вырожденную лагранжеву проекцию, названную лагранжевым коллапсом, лагранжева цилиндра вложенного в тотальное пространство кокасательного расслоения Т*И2 на его базу И2 .Она является моделью системы геодезических на поверхности, проходящих через одну точку. Множество критических точек проекции является образующей окружностью на цилиндре, а единственое критическое значение — сама эта точка поверхности. В. И. Арнольд доказал, что каустика малой деформации коллапса имеет не менее четырех точек возврата.

Здесь мы изучаем свойства страта Максвелла деформации общего положения лагранжева коллапса произвольной размерности. Деформации предполагаются существенно меньшими, чем в работе Арнольда. Такие деформации изоморфны лагранжевому подмногообразию Ьх образованному единичными векторами нормалей к выпуклой гиперповерхности X, которая является малой деформацией стандартной сферы б*" -1 евклидова п-мерного пространства. Лагранжев цилиндр Ьх имеет естественную структуру линейного расслоения над сферой Б71'1.

Мы доказываем, что в типичном слое этого расслоения между двумя соседними точками, принадлежащими прообразу каустики, расположена по крайней мере одна точка из прообраза страта Максвелла. Оказывается, что эта точка, а также другой парный ей прообраз соответствующей точки страта Масквелла имеют равные значения индекса Маслова. Доказательство основано на конструкции подходящего раздутия лагранжева цилиндра и использовании теории Морса [52,54].

Для эллипсоида число таких промежуточных точек прообраза страта Максвелла равно в точности минимальному возможному значениюединице, таким образом, можно сказать, что эллипсоид имеет наиболее простую структуру бифуркационного множества по сравнению с произвольной малой деформацией лагранжева коллапса.

Построена также специальная ориентация прообраза каустики и страта Максвелла, превращающая это множество в цикл гомологичный сечению расслоенного лагранжева цилиндра. Отсюда вытекает, что соответствующий класс гомологий прообраза страта Максвелла равен нулю при четном п и отличен от нуля при п нечетном.

Численный эксперимент показывает, что для малой деформации двумерного лагранжева коллапса прообраз страта Максвелла может быть стягиваемым.

Глава 4 посвящена классификации особенностей контактна подмногообразий с флагами, являющихся обобщениями контактных особенностей, то есть особенностей волновых фронтов.

Под флагом в аффинном пространстве Ап мы понимаем набор Fs вложенных друг в друга аффинных подпространств.

Lkl С Ьк22 С. С Lks С Ап размерностей кг < к2 <. < ks < п.

Рассматриваются локальные особенности контакта с заданным флагом Fs образа гладкого отображения / гладкого многообразия Мт в аффинное пространство Ап.

Группа диффеоморфизмов пространства прообраза и диффеоморфизмов в: Ап —> Ап пространстваобраза, сохраняющих флаг Fs (that is в (Ак') = Ак') называется группой Fs-жвивалентностей. Она дейстиву-ет на пространстве ростков отображений /.

Орбиты этого действия называются особенности контакта с флагом (ОКФ). Они естественно возникают в различных контекстах теории собенностей. В частности, они связаны с краевыми особенностями [7,9,11,12,22,24] с особенностями функций на многообразии с углами [67] с проекциями полных пересечений на прямую [62,73] с уплощениями проективных кривых [64,68], с особенностями дробей из недавней работы Арнольда [57] отображений.

Их приложения в дифференциальной геометрии приводят к ряду новых классификационных результатов о контактах поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве со сферами и окружностями [65]. Типичные особенности функции относительного минимума, используемой в теории оптимального управления [60,70] также тесно связаны с ОКФ.

В этой главе расматриваются общие свойства таких особенностей, позволяющих установить новые связи между различными классификационными задачами теории особенностей.

Глава 5 посвящена приложениям особенностей огибающих семейств волновых фронтов и особенностей контакта с флагами к теории управления.

Во многих задачах теории дифференциальных уравнений и оптимального управления используются хорошо известные особенности волновых фронтов и их перестроек с течением времени в пространствах небольшого числа измерений, при этом используются группы диффеоморфизмов пространства-времени, расслоенных над осью времени. Такие диффеоморфизмы не сохраняют огибающих фронтов.

Естественный вопрос об исследовании особенностей эволюционирующего фронта относительно группы диффеоморфизмов пространства-времени, расслоенных над точками пространства, весьма близок к ряду других задач теории особенностей. Простейшие особенности встречаются во многих контекстах, например, в работах Горюнова [62, 73] - как особенности проектирований гиперповерхностей на прямую, в работах Д. Брюса [44,15] - как особенности отображений пространства, содержащего дискриминант простой особенности, в работах О. Щербака [2] - при изучении бикаустик.

Однако в явном виде для семейств волновых фронтов ответы не выписывались. Здесь мы восполняем этот пробел, получая список нормальных форм типичных особеностей дискриминантов систем фронтов, состоящих из огибающих, каустик и стратов Максвелла, встречающихся в пространствах не более четырех измерений. Вплоть до размерности 3 этот сйисок совпадает со списком дискриминантов простых проектирований гиперповерхностей, связанным также со многими другими классификациями: краевыми особенностями, уплощениями проективных кривых.

Рассмотрен простой проимер задачи на быстродействие, в которой возникает одна из особенностей списка как особенность границы множества достижимости.

Пусть на (С00) гладком многообразии ]У&tradeбез края задана пара, состоящая из гладкой функции: /: —"¦ Я и гладкого отображения д: ./V" —> Мт, т < п. Отображение д будем называть отображением ограничения, и предполагать, что оно явяляется собственным. Много-бразие Мт образа этого отображения будем называть пространством параметров, а функцию / - минимизируемой. На пространстве параметров определим функцию условного минимума.

F (q) = min{f (p) I д (р) = q, qe g{N)}.

Эта функция доставляет решение гладкой элементарной задачи f (p) —> min при условии д (р) = q.

Функции условного минимума естественным образом появляются при решении гладких экстремальных задач с ограничениями типа равенств, зависящими от параметров, а также при изучении времени быстродействия в гладких управляемых системах со строго выпуклыми индикатрисами. Список типичных особенностей таких функций на одномерных и двумерных пространствах параметров был получен в работах А. Давыдова [60, 70].

Мы классифицируем также все простые устойчивые особеносги и определяется область хороших размерностей, для которых все типичные особенности являются устойчивыми и простыми.

Случай трехмерного пространства параметров принадлежит области хороших размерностей.

Всего имеется 34 различных типа особенностей общего положения при т = 3. Только 24 из них появляются при п > 4, и список остается без изменений для всех таких п благодаря свойству стабилизации особенностей.

Доказательства классификационных теорем основаны на изучении особенностей диаграмм отображений предыдущей главы. Согласно классической теореме Д. Мазера класификация устойчивых (по отношению к право-левой эквивалентности) отображений сводится к перечислению версальных деформаций контактных особенностей. Мы доказываем, что классификация устойчивых диаграмм отображений, отвечающих особенностям условного минимума, сводится к изучению версальных деформаций особенностей контакта гладких подмногообразий (графиков отображений) с координатным флагам из двух элементов.

Задачи на быстродействие в управляемых системах с выпуклыми индикатрисами приводит к специальным классам особенностей условного минимума, имеющих особенности семейств фронтов, расклассифицированных в предыдущем разделе этой главы.

1. Арнольд В. И. Лагранжевы многообразия с оосбенностями, асимптотические лучи и раскрытый ласточкин хвост. Функц. анализ и его прил., 15, вып.4, 1−14 (1981).

2. Щербак О. П. Волновые фронты и группы отражений. УМН, 43, вып 3, 125−160 (1988).

3. Ги&енталъ А. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения. В кн.: Современные пробл. матем. Новейшие достижения. Т. 33, 1988, с.55−112.

4. Закалюкин В. М. Одно обобщение лагранжевых триад. УМН, 41, вып. 4, 180 (1986).

5. Закалюкин В. М., Роберте P.M. Об устойчивых лагранжевых многообразиях с особенностями. Функц. анализ и его прил., 26, вып.3, 28−34 (1992).

6. Janeczko S., Domitrz W. Relative Lagrange submanifolds, Preprint, Warsaw, 1997.

7. Арнольд В. И., Варченко A.H., Гусейн-Заде C.M. Особенности дифференцируемых отображений 1. М. Наука, 1982.

8. A. Weinstein, Lectures on symplectic manifolds, Reg. Conf. Ser. Math, vol. 29, Amer. Math. Soc., 1977.

9. V. I. Arnold, Wave front evolution and equivariant Morse Lemma. Comm. Pure Appl. Math. 29(1976), 557−582.

10. V. I. Arnold, A. N. Varchenko and S. M. Gussein-Zade, Singularities of differentiable maps, 1, Birkhauser. Boston etc. 1985., 2, Birkhauser 1988.

11. V. I. Arnold, Critical points of functions on the manifold with boundary, simple Lie groups Bk, Ck, and singularities of evolutes, Russian Math. Surveys 34(2) (1979), 3−38.

12. V. I. Arnold, V. V. Goryunov, V. V. Liashko and V. A. Vasiliev, Singularities II. Classification and applied problems. Current problems of Math. 39(1989) VINITI, Moscow.

13. M. V. Berry and C. Upstill, Catastrophe optics: morphology of caustics and their diffraction pattern, in Progrees in optics XVIII (ed. E. Wolf), Amsterdam, 1980, 257−346.

14. J. W. Bruce, Functions on discriminants, J. London Math. Soc. 30(1984), 551−567.

15. J. N. Damon, Deformation of sections of singularities and Gorenstein surface symmetric, Amer. J. Math. 109(1987), 695−722.

16. J. B. Delos, Catastrophes and stable caustics in bound states of Hamiltonian systems, J. Chem. Phys. 86(1987), 425−435.

17. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. 31(1983), 183 190.

18. J. L. Ericksen, Some phase transition in crystals, Arch. Rational Mech. Ann. 79(1980), 99−124.

19. S. Janeczko, A. Kowalzuk, Equivariant singularities of Lagrangian manifolds and uniaxial ferromagnetics, SIAM Journal of Appl. Math. 47(1987), 1342−1360.

20. J. Montaldi, Caustics in time reversible Hamiltonian systems, in Singularity Theory and its applications, Warwick 1989, Part I (eds R. M. Roberts and I. N. Stewart), Lecture Notes in Mathematics 1463. Springer-Verlag, Heidelberg, Berlin, 1991, 266−277.

21. Nguyen Bun Due, Nguyen Tien Dai, Stabilite de l’interaction geometric entre deux composant, C.R. Ac. Sci. Paris 291(1980), 113−116.

22. J. F. Nye, The catastrophe optics of liquid drop lenses, Proc. R. Soc. London. A403(1986), 1−26.

23. M. E. Kazarian, Caustics of full reflection on the interface of two media, Proc. Moscow Aviation Institute 324(1988), 214−215.

24. V. Poenaru, Singularites C°° en presence de symmetrie, Lecture Notes in Mathematics 510, Springer-Verlag, Heidelberg, Berlin, 1976.

25. R. M. Roberts, On the genericity of some properties of equivariant map germs, J. Lond. Math. Soc. 32(1989), 177−192.

26. R. M. Roberts, Characterization of finitely determined equivariant map germs, Math. Ann. 275(1986), 583−597.

27. J. L. Ericksen, Some phase transition in crystals, Arch. Rational Mech. Ann. 79(1980), 99−124.

28. K. Saito, Primitive forms for an unfolding of a function with an isolated critical point, J. Fac. Set. IJniv. Tokyko Sect. IA 28(1982), 775−792.

29. I. G. Scherback, Duality of boundary singularities, Russian Math. Survey, 32(2) (1984), 220−221.

30. P. Slodowy, Einige Bernerkungen zur Entfalfung symmetrischer Functionen, Math. Z. 158(1978), 157−170.

31. L. Solomon, Invariants of finite reflection groups, Nagoya Math. J. 22(1) (1963), 57−64.

32. R. P. Stanley, Invariants of finite groups and their applications to combinatorics, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1(1979), 475−511.

33. С. Т. C. Wall, Functions on quotient singularities, Phil. Trans. R. S. London. A324(1987), 1−45.

34. J. P. Wolfe, Ballistic heat pulses in crystals, Phys. Today, 33(12) (1980), 44−50.

35. Закалюкин B.M. Перестройки фронтов, каустик, зависящих от параметров, версальность отображений// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1983. Т.22. С. 56−93.

36. A. N. Varchenko, S.V. Chmutov, Finite irreducible groups, generated by reflections, are the monodromy groups of appropriate singularities Functional Analysis and its Applications, 18(3) (1984), 1−13.

37. K. Saito, Extended Affine Root Systems II (Flat Invariants) Publ. RIMS Kioto Univ., 26(1990), 15−78.

38. V.I.Arnold, Geometry of spherical curves and quaternion algebra, Russian Mathematical Survey (UMN), 1995, v.50 (1), 3−68.

39. J.W.Bruce, Lines, circles, focal and symmetry sets, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1995) 118, 411−436.

40. J.W.Bruce, D.L.Fidal, On binary differential equations and umbilics, Proc. Royal Soc. of Edinburgh, IIIA, 1989, 147−168.

41. J.W.Bruce, N.P.Kirk and A.A.du Plessis, Complete transversals, Nonlinearity, 1997.

42. J.W.Bruce, T.C.Wilkinson, Folding maps and focal sets, Proceedings of Warwick Symposium on Singularities, Springer Lecture Notes in Math., vol 1462, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1991, 63−72.

43. I. Porteous, Geometric differentiation, Camb. Univ. Press, 1993.

44. J.W.Bruce, M.C.Romero Fuster, Duality and orthogonal projections of curves and surfaces in Euclidean 3-space, Quart. J. Math. Oxford (2), 42 (1991), 433−441.

45. C.T.C.Wall, Geometric properties of generic differentiable manifolds, Geometry and Topology, Springer Lecture Notes in Math., 597, (1977).

46. V.I.Arnold, Topological invariants of plane curves and caustiques, University Lecture Notes 5 (1994), AMS, Providence, RI.

47. M. Chaperon, Les solutions faibles des equations differentielles, Comptes Rendus Ac. Sci. Paris 2'25A (1990).

48. Yu.V.Chekanov, Caustics in geometrical optics, Functional Analysis and its Applications 20 (1986) 223−226.

49. Duan Haibao and E.G.Rees, The existence of bitangent sphere, Proc. Roy. Soc. Edin. 111A (1989) 85−87.

50. J.N.Mather, How to stratify manifolds and jet spaces, Springer Lecture Notes in Mathematics 535 (1976), 128−176.

51. V.D.Sedykh, Invariants of strictly convex manifolds, Functional Analysis and its Applications 27 (1993) 67−76.

52. Arnold V.I. Singularities of fractions and behavior of polynomials at infinity // Proceedings Steklov Mathematics Institute V. -221, 1998, p.48−68.

53. Zakalyukin V.M. Concave Darboux theorem // C.R.Ac.Sci.Paris, 327(1), 1998, 633−638.

54. Damon J. The unfolding and determinacy theorems for subgroups of U and К //Mem. Amer. Math. Soc., 1984, V.50, No.306, 100 pp.

55. Davydov A. A. Singularities of the maximum function over the preimage// Geometry in nonlinear control and differential inclusions, Banach Center Publications, 1995, Vol.32, p. 167−181.

56. Закалюкин В.M. Огибающие семейств волновых фронтов и теория управления // Труды Математического института РАН, 1995, Т.209, 133−142.

57. Goryunov V. V. Geometry of bifurcation diagrams of simple projections onto the line // Functional Analysis and its Applications V.15, 1981, n.2, p.77−82.

58. Guisti M. Classification des singularites isolees d’intersections completes simples // C.R.Ac.sci. Paris, ser A, V. 284, 1977, p.167−170.

59. Казарян М. Э. Особенности границы фундаментальных систем, уплощения проективных кривых и клетки Шуберта// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1988. Т.ЗЗ. С. 215−234.

60. Zakalyukin V.M. Singularities of circles contact with surfaces and flags // Functional analysis and applic., V.31, 1997, n.2, p. 73−76.

61. Koenderink J.J. Solid shape // MIT, 1993.

62. Duc N.H. Involutive singularities// Kodai Math.J., 17(1994), p.627−635.

63. Kazarian M.E. Flattenings of projective curves, singularities of Schubert stratifications of Grassmannians and flag varieties and bifurcations of Weierstrass points of algebraic curves// Russian Math. Surv., v.46(1991), n.5, p.91−136.

64. Bruce J. W., West J.M. Functions on a cross-cups // Mat.Proc.Camb.Phil.Soc. 123,1998, n.7,p.7−27.

65. Давыдов А. А. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях// Труды Математического института РАН, 1995, Т.209, 84−123.

66. Арнольд В. И. Особенности в вариационном исчислении.// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1983. Т.22. С. 3−55.

67. Арнольд В. И. Теория катастроф.// М.: Наука. 1990. 128 с.

68. Горюнов В. В. Векторные поля и функции на дискриминантах полных пересечений и бифуркационных диаграммах проектирований// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1988. Т.ЗЗ. С. 31−54.