Программное обеспечение для исследования фрактальных свойств пространственного распределения изолированных нагруженных точек

Общая характеристика работы.

Актуальность работы.

В настоящее время развитие естественных наук невозможно без применения вычислительной техники, в связи с чем требуется разработка программного обеспечения, содержащего реализации современных математических методов. Фрактальная геометрия нашла широкое применение во многих приложениях, в различных областях знания [17, 11, 24, 14] — в физике, биологии, экономике и др. Фрактальные методы анализа данных требуют больших объемов вычислений и использования специфических математических понятий. Особенность фрактальных методов такова, что многие задачи могут быть разбиты на классы подобных подзадач, для решения которых требуется одинаковая структура математического обеспечения. В связи с этим для решения ряда задач, возникающих в различных областях науки, требуется создание специфического программного обеспечения для численного анализа фрактальности множеств исследуемых объектов.

В настоящее время существует множество программ [12], таких как Ргас1>0−11ата [50] или Спой: ас14с1 [51], по генерации фрактальных множеств, рассчитанных главным образом на визуализацию или моделирование фрактальных изображений, а исследователи, применяющие численные методы фрактальной геометрии в конкретных науках, не публикуют и не выкладывают на сайтах создаваемые ими программы. Также, из-за крайне большого объема вычислений, уделяется мало внимания ЗБ фрактальным структурам — в большинстве случаев исследователи не имеют доступа к кластерам и суперкомпьютерам, поэтому важно создание соответствующих прикладных программ именно для ПК.

Кроме анализа естественных распределений точек (например, каталогов галактик) важно исследование искусственных фрактальных и однородных конечных множеств точек — как для сравнения сгенерированных множеств с реальностью, так и для проверки самих методов расчета фрактальных характеристик. В связи с этим представляет интерес создание программного пакета, который бы объединил в себе возможности исследования фрактальных свойств искусственных и естественных конечных множеств изолированных точек, снабженных дополнительными характеристиками, в трехмерном (или вообще, в многомерном пространстве), и визуализацию полученных результатов.

Хотя представляемый пакет и берет свое начало в космологии, где методы фрактальной геометрии используются для описания свойств крупномасштабной структуры Вселенной [30], его применение возможно и к другим подобным конечным множествам — как в астрофизике (например, грануляция на Солнце), так и в других областях знаний (множества молекул в газе, бактерий, людей, предприятий и т. п.). Программный пакет Б? Р представляет собой интерпретатор разработанного языка сценариев. При создании пакета автором решался ряд задач программирования на ПК, связанных с большим количеством точек (в пределах 109) исследуемого множества в многомерном пространстве.

В рамках современной космологической модели (АСБМ) однородность распределения материи, постулируемая в модели Фридмана, обеспечивается однородностью скрытого небарионного вещества и темной энергии. При этом переход к обычному видимому веществу (галактикам) требует дополнительных гипотез о возможной связи скрытого вещества с видимым веществом, что создает трудности в предсказании крупномасштабного распределения непосредственно наблюдаемых галактик [38]. В связи с этим, актуальной задачей современной космологии является изучение и сравнение с предсказаниями статистических характеристик пространственного распределения галактик в имеющихся реальных каталогах, содержащих сотни тысяч объектов. В частности, актуальным является вопрос об оценке масштаба неоднородности и фрактальной размерности крупномасштабного распределения галактик [25, 30, 34, 35, 39, 40, 43, 42, 44, 45].

Цель работы.

Разработать пакет прикладных программ, позволяющий.

• как загружать готовые (полученные сторонними средствами) множества точек (в частности, каталоги галактик), так и средства для исследования базовых стандартных фрактальных распределений разной размерности (для сравнения свойств с реальными распределениями и для проверки методов исследования);

• проводить автоматизированную массовую обработку различных выборок (например, сетку выборок разной глубины или исследование выборок множества с разным значением ограничения по параметру) — то есть требуется возможность пакетной обработки выборок;

• эффективно исследовать большие множества (в пределах ~ Ю9) — повторно использовать ранее полученные результаты вычисления, как при возникновении одинакового этапапри исследовании похожих задачах, так и при выполнении вычислений, с измененными параметрами (когда изменение параметров приводит к расхождению вычислений лишь на каком-то этапе расчета).

Итогом работы пакета должны быть числовые результаты (например, величина фрактальной размерности) и графики (например, корреляционной функции).

Также была поставлена задача применения разработанного пакета:

• для получения результатов анализа поведения корреляционных функций и радиального распределения галактик на фрактальных распределениях, подобных по структуре выборкам из каталогов галактик;

• сравнивая результаты вычисления корреляционных функций для искусственных распределений с корреляционными функциями для реальных каталогов галактик, сделать выводы о фрактальной размерности и масштабе однородности крупномасштабной структуры Вселенной (КСВ).

Объект исследования.

Объектом исследования работы являются фрактальные свойства больших пространственных множеств точек, снабженных дополнительными численными характеристиками, числом элементов в пределах 109.

Результаты, выносимые на защиту.

• Разработан язык сценариев и его интерпретатор, ориентированный на работу с конечными множествами изолированных точек, снабженных дополнительными характеристиками.

• Разработан и реализован механизм расширения языка сценариев как новыми функциями, так и новыми типами данных при помощи плагинов для объединения в одном пакете средств анализа фрактальных свойств конечных множеств изолированных точек (с числом элементов в пределах 109).

• Реализованы и включены в язык посредством плагинов алгоритмы загрузки конечных множеств нагруженных точек (таких как каталоги галактик), генерации базовых конечных фрактальных множеств, анализа основных фрактальных характеристик, создания графиков.

• Построена сетка выборок фрактальных распределений точек с известной размерностью, различной глубины, с ограничением по телесному углу и без такого ограничения (подобных каталогам галактик), для которых проанализировано поведение полной и редуцированной корреляционных функций. Анализ численного эксперимента показал, что определять фрактальную размерность целесообразно только на масштабах на 0.5−1 порядка меньших радиуса, до которого может быть выполнена оценка корреляционной функции, из-за систематических ошибок.

• Величина первого корня редуцированной корреляционной функции показывает зависимость от глубины подвыборки, что делает ее ненадежным индикатором масштаба выхода на однородность.

Корреляционная функция не показывает систематических эффектов, связанных с несферичностыо выборки и взятием полных по объему выборок.

• Исследование радиальных распределений галактик на фрактальных множествах различной размерности показало, что не параметры аппроксимации эмпирической функцией, а уровень относительных флуктуаций зависит от фрактальной размерности. Уровень флуктуаций в распределениях галактик согласуется с оценкой границ размерности в 2.2−2.4.

• Анализ данных каталогов галактик показал оценку фрактальной размерности КСВ в 2.25 ± 0.2 на масштабах от 5 до 100 Мпк1. Эксперимент показал, что в настоящее время корреляционным методом на больших масштабах сделать надежный вывод о величине размерности не представляется возможным. Исследование первого корня редуцированной корреляционной функции показало нижнюю границу оценки масштаба выхода на однородность в 200−300 Мпк.

Научная новизна.

Разработанный и реализованный программный продукт является новым, аналогов в научной литературе и сети интернет не найдено. Впервые выявлены численным экспериментом и сформулированы ограничения на применимость корреляционных методов, используемых для вычисления фрактальной размерности и масштаба однородности в исследованиях КСВ, связанные с эффектами ограниченности выборки в пространстве.

Практическая ценность.

Представляемый программный продукт выложен в сети интернет по адресу http ://swpproject.sourceforge.net и использован для исследования фрактальных свойств природных множеств изолированных точек, в частности, в космологии. Полученные ограничения на применимость корреляционных методов, используемых для исследования фрактальных свойств КСВ, должны учитываться при дальнейших исследованиях.

Реализация.

Пакет прикладных программ представлен в виде интерпретатора языка сценариев и документации. Пакет написан на С++ и является кросс-платформеннным (для Linux и Windows).

Достоверность.

Все модули программного пакета протестированы при проведении исследований искусственных и реальных каталогов в том числе путем сравнения полученных результатов с теоретически ожидаемыми для однородных распределений и с результатами, проведенными другими исследователями другими средствами.

Основные выводы.

Автором разработан и реализован на ПК пакет программ для исследования фрактальных свойств конечных множеств изолированных точек в многомерном пространстве, снабженных дополнительными характеристиками. Пакет позволяет легко встраивать в него новые функции и возможности посредством плагинов.

С использованием данного пакета, путем численного эксперимента и анализа каталогов галактик автор показал возможность использования ПК для анализа распределений конечных (в пределах 109) фрактальных свойств и что.

• по корреляционным функциям можно надежно определять фрактальную размерность только до масштабов на 0.5−1 порядка меньших наибольшего масштаба, до которого оценка корреляционной функции может быть вычислена;

• первый корень неполной корреляционной функции не является прямым критерием значения масштаба выхода на однородность;

• в радиальных распределениях галактик в выборках, ограниченных по предельной видимой звездной величине, от фрактальной размерности зависит уровень относительных флуктуаций: чем меньше размерность, тем уровень флуктуаций выше;

• по данным каталога SDSS фрактальная размерность КСВ оценивается в 2.25 ± 0.2 на масштабах от 5 до как минимум 100 Мпк. Корреляционными методами на больших масштабах определить фрактальную размерность невозможно из-за систематических ошибок данного методанижняя граница оценки масштаба выхода на однородность по первому корню корреляционной функции составляет 200−300 Мпк.

Апробация.

Результаты работы докладывались на.

• Второй Пулковской молодежной конференции в ГАО РАН в 2009 году;

• Конференции (школе-семинаре) по физике и астрономии для молодых ученых Санкт-Петербурга и северо-запада в СПбГПУ в 2009 году;

• Всероссийской Астрономической Конференции ВАК-2010 в Специальной Астрофизической Обсерватории РАН в 2010 году;

• Конференции «Технологии Microsoft в теории и практике программирования» в СПбГПУ в 2011 году (доклад занял третье место);

• Международной конференции молодых ученых в Киеве Young Scientists Conference в 2011 году;

• Семинаре кафедры астрофизики математико-механического факультета СПбГУ в 2011 году.

• Семинаре кафедры информатики математико-механического факультета СПбГУ в 2011 году.

Публикации.

Основные результаты, полученные при выполнении диссертационной работы опубликованы в 6 работах автора. Работа [8] опубликована в издании по перечню ВАК 2011 г. для специальности 05.13.11, работа [10] по перечню ВАК 2011 г. для специальности 01.03.02.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа объемом 105 страниц состоит из введения, 5 глав, 1 приложения и списка литературы, включающего 55 наименований. Работа содержит 26 иллюстраций и 9 таблиц.

Заключение

.

Автором разработан язык сценариев для класса задач исследования фрактальных свойств пространственного распределения конечных множеств изолированных точек, снабженных дополнительными характеристиками и реализован его интерпретатор.

Разработанный и реализованный автором программный продукт полезен для проведения прикладных исследований.

Возможности пакета могут быть легко расширены путем создания подключаемых модулей (плагинов).

С использованием данного пакета путем численного эксперимента автором получены важные космологические результаты.

• по корреляционным функциям можно надежно определять фрактальную размерность только до масштабов на 0.5−1 порядка меньших наибольшего масштаба, до которого оценка корреляционной функции может быть вычисленана больших масштабах возникают систематические ошибки;

• первый корень неполной корреляционной функции не является прямым критерием значения масштаба выхода на однородностьего значение зависит от пространственных размеров выборки;

• в радиальных распределениях галактик в выборках, ограниченных по предельной видимой звездной величине, от фрактальной размерности зависит уровень относительных флуктуаций: чем меньше размерность, тем уровень флуктуаций выше;

• по данным каталога ЗБЗБ фрактальная размерность КСВ оценивается в 2.25 ± 0.2 на масштабах от 5 до как минимум 100 Мпк. Корреляционными методами на больших масштабах определить фрактальную размерность невозможно из-за систематических ошибок данного методанижняя граница оценки масштаба выхода на однородность по первому корню корреляционной функции составляет 200−300 Мпк.

Вывод о статистическом свидетельстве существования структур галактик с размерами 200−300 Мпк согласуется с обнаруженными отдельными сверхбольшими неоднородностями в распределении галактик, такими как Великая стена Слоуна [26, 22] и Суперкластер Шаплея [36, 21].