Основная лемма. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Для доказательства теоремы Римана нам придётся воспользоваться следующим вспомогательным предложением: если последовательность функций

аналитических и однолистных в области G, сходится равномерно в каждой замкнутой области, принадлежащей G, к предельной функции f (z), отличной от постоянного, то предельная функция / (z) также однолистна.

Для доказательства допустим противное, что существуют две различные точки Zj и Zo области G, в которых аналитическая функция f (z) равна одному и тому же числу w₀. Проведём в области G замкнутый контур Г, содержащий внутри себя точки z_{ и z_2i так, что на этом контуре f (z) не равна w₀; это возможно сделать, ибо согласно условию f (z) не есть постоянное. Тогда (гл. У111, § 1, п. 5):

где v есть целое число, не меньшее 2(v²). Так как из равномерной сходимости функций f_a(z) к функции f (z) следует равномерная сходимость f_n(z) к f'(z) (гл. V, § 1, п. 1), то интеграл.

при неограниченно возрастающем п стремится к пределу v. С другой стороны, по условию, каждое уравнение f_n(z)‘=w_Q в области G либо не имеет корней, либо имеет один простой корень [в случае кратного корня производная f_n(z) должна обращаться в нуль, что противоречит взаимной однозначности отображения w=f_n{z). Следовательно, последний интеграл, имеющий значения 0 или 1, не может при неограниченном возрастании п стремиться к числу v². Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы.