Модель стохастического порога нейрона

В результате экспериментов было установлено, что процесс выделения медиатора в синапсе реального нейрона является случайным процессом [6]. В клетке нейрона также происходят некоторые случайные процессы, влияющие на обработку сигнала нейроном. Чтобы учесть эти и многие другие случайные явления, которые не моделируются явно, в модель нейрона также вводят некоторые случайные параметры.

Чтобы учесть случайные процессы в нашей модели динамического нейрона, мы заменим строгий классический порог нейрона стохастическим. Такой порог является размытым, при приближении потенциала к условному пороговому значению вероятность генерации спайка возрастает. Причем существует ненулевая вероятность того, что спайк произойдет при потенциале мембраны, лежащем ниже порогового значения.

Введем функцию — «интенсивность плотности вероятности спайка», характеризующую вероятность генерации спайка в данный момент времени. Вероятность генерации спайка должна зависеть от напряжения на мембране нейрона, поэтому можно представить функцию в виде.

.

где — функция, описывающая мгновенную интенсивность вероятности спайка, основываясь на значении потенциала на мембране. Функция характеризует стохастический порог. В качестве, возьмем сигмоидальную функцию.

(2.1).

где — параметр, определяющий крутизну сигмоида и степень стохастичности нейрона. График функции для при различных представлен на Рис. 2. При функция все больше походит на строгую пороговую функцию Хэвисайда.

.

где — фиксированный порог нейрона, что соответствует детерминированному случаю, когда при превышении порога потенциалом вероятность спайка равна единице, а в остальных случаях равна нулю.

Потенциал на мембране нейрона зависит от входного сигнала, следовательно, для различных входных последовательностей спайков значения функции в различные моменты времени будет меняться. Таким образом, зависимость интенсивности плотности вероятности от входных последовательностей спайков представляется в виде условной интенсивности.

.

где — время последнего спайка, — обозначает некую входящую совокупность спайков на синапсах нейрона.

Наиболее важным для дальнейшего описания динамического нейрона является распределение вероятности, описывающие процесс генерации нейроном последовательности спайков в процессе получения на входы последовательности спайков. Пусть на каждый из синапсов динамического дендрита нейрона поступает некая фиксированная последовательность спайков (двоичная последовательность сигналов). Обозначим последовательность, поступающую наый синапс, через.

где — количество входящих спайков в последовательности, а — времена спайков относительно некого заданного времени. Тогда можно из таких последовательностей сформировать вектор

где — количество синапсов в дендрите.

Пусть нейрон в процессе получения входной последовательности спайков выдает последовательность выходных спайков, которую можно обозначить через.

.

где — количество исходящих спайков в последовательности, авремена генерируемых нейроном спайков относительно того же заданного времени. Будем рассматривать функционирования нейрона на интервале .

Можно доказать, при использовании вероятностной функции интенсивности, что для плотности вероятности справедливо следующее выражение [7]:

(2.2).

Итак, плотность вероятности генерации последовательности спайков при получении входящего набора последовательностей прямо пропорциональна мгновенным вероятностям в моменты спайков и уменьшается при возрастании в интервалах между спайками.