Центр тяжести тел

На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действуют силы — силы тяжести этих точек или их вес. Вообще эти силы будут сходящимися — линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.

Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется центром тяжести тела.

Значит находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил. Например, координаты его.

(2).

где — вес каждой точки тела, а — вес всего тела.

Рис. 3.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.

Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии (рис. 3), то для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами. И координата по (2), будет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и, вычисленные по формулам (2), окажутся равными нулю.

Аналогично доказывается и третья теорема.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

И ещё несколько замечаний.

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (2) — определять как вес соответствующей части и — как координаты её центра тяжести.

Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его, где — удельный вес материала, из которого сделано тело, а — объём этой части тела. И формулы (1) примут более удобный вид. Например,.

И аналогично, где — объём всего тела.

Третье замечание. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластины где — площадь пластины, d — толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с помощью площадей:

где — координаты центра тяжести отдельных пластин; - общая площадь тела.

Четвёртое замечание. Если тело состоит из стержней, прямых или криволинейных, однородных и постоянного сечения, то вес их где l_i — длина, — вес единицы длины (погонного метра), а координаты центра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участков:

где — координаты центра тяжестиго участка;

Отметим, что согласно определению центр тяжести — это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).