Алгоритм решения. 
Система линейных алгебраических уравнений

1. Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что, так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на —, к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на, и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на. Система уравнений после таких преобразований примет вид.

где .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x₁ через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x₁ исключена из всех уравнений, начиная со второго.

2. Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке.

Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где). Приступаем к исключению неизвестной переменной x₂ из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на, к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на, и так далее, к n-омууравнению прибавим второе, умноженное на. Система уравнений после таких преобразований примет вид.

программа линейное алгебраическое уравнение.

где .

Таким образом, переменная x₂ исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x₃, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы.

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид.

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x_n из последнего уравнения как, с помощью полученного значения x_n находим x_n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x₁ из первого уравнения.