Понятие о системах счисления

Любая система счисления определяется своим основанием, которое определяет число символов, содержащееся в алфавите данной системы счисления.

Так, например, десятеричная система счисления имеет основание, равное 10, и содержит в своем алфавите десять различных десятичных цифр от 0 до 9. Восьмеричная система счисления имеет основание 8 и, следовательно, содержит в алфавите 8 различных десятичных цифр от 0 до 7; двоичная система счисления с основанием, равным 2, использует только две цифры 0 и 1.

Любое десятичное число N_A можно представить в любой из систем счисления с основанием, А в виде суммы, состоящей из произведений одного из символов m_i (0, …, А — 1) алфавита данной системы на ее основание, возведенное в степень r, которая изменяется от 0 до n — 1, где n — число произведений в сумме:

N_A =. (1.1).

Так, например, десятичное число 123 в десятеричной системе счисления может быть представлено согласно выражению (1.1) в виде суммы трех произведений:

123₁₀ = 1•10² + 2•10¹ + 3•10⁰ = 100 +20 + 3.

Это же число в двоичной системе счисления может быть представлено как:

123₁₀ = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 1•2⁶ + 1•2⁵ + 1•2⁴ + 1•2³ + 0•2² + 1•2¹ + 1•2⁰ = 1 111 011₂.

Это же число в восьмеричной системе счисления:

123₁₀ = 64 + 56 + 3 = 1•8² + 7•8¹ + 3•8⁰ = 173₈.

Как видим из приведенных примеров для записи любого десятичного числа в какой-либо системе счисления вместо суммы произведений достаточно показать только последовательность значений символов (коэффициентов) при степенях основания, А этой системы счисления и указать в качестве индекса преобразованного числа само значение взятого основания.