Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если известно, что случайная величина задана плотностью распределения, то вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу, находится по формуле.

.

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону.

Тогда вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу, равна.

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться таблицами нормального закона распределения. Введем переменную. Отсюда.

.

Найдем новые пределы интегрирования: если то.

если, то Таким образом, имеем.

Пользуясь функцией Лапласа окончательно получим.

(*).

Пример. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами: и Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу (,).

Решение. По формуле (*):

По таблице Приложения (функция Лапласа), находим, что.

Отсюда.

Вычисление вероятности заданного отклонения

Требуется вычислить вероятность осуществления неравенства, где — заданное положительное число.

Заменим неравенство равносильным ему двойным неравенством.

или.

По формуле.

Получим.

Функция нечетная, поэтому Следовательно,.

и.

.

В случае будем иметь.

и Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех, т. е.

Решение. Будем пользоваться формулой.

.

т.к. по таблице.

Искомая вероятность.