Экспоненциальный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальный (показательный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид.

(2.33).

Рис. 2.6. Кривая экспоненциального распределения.

Функция распределения случайной величины X, распределенной по экспоненциальному закону, есть.

(2.34).

ее математическое ожидание.

(2.35).

а ее дисперсия.

(2.36).

График функции распределения F (x) случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределение, представлен на рис. 2.1.

Рис. 2.7. График F (x) случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределение.

Экспоненциальный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, например, интервал времени ? между двумя соседними событиями в простейшем потоке событий имеет экспоненциальное распределение с параметром? — интенсивностью потока [16].

Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями.

(2.37).

где

Ряд геометрического распределения имеет вид:

					m.

Очевидно, что вероятности образуют геометрическую прогрессию с первым членом ? и знаменателем q (отсюда и название «геометрическое распределение»).

Случайная величина X = т, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число т испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью ? наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром ?, равно: , а ее дисперсия , где

Треугольное распределение (распределение Симпсона)

Случайная величина имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке ?, если ее плотность вероятности вычисляется по формуле.

(2.38).

Характеристическая функция треугольного распределения имеет вид.

(2.39).

Дисперсия имеет вид.

(2.40).

Если и  — независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке , то случайная величина имеет треугольное распределение.

Рис. 2.8. Функция плотности распределения вероятностей треугольного распределения.

Треугольное распределение часто используется при моделировании случайных явлений при отсутствии достаточных данных, позволяющих сформулировать гипотезу об ином распределении. Однако использование треугольного распределения ограничивает исследователя невозможностью независимого варьирования такими параметрами, как мода, медиана, математическое ожидание [13].