Теоремы о существовании ситуаций равновесия для непрерывных антагонистических игр

Ответ:

Существуют несколько теорем, которые обозначают необходимые условия существования равновесий в непрерывных играх. Определим такое свойство функций:

Определение: Пусть X — подмножество конечномерного Евклидова пространства.

Функция u: X > R является квазивогнутой если для всех, множество является выпуклым.

Легко показать, что каждая вогнутая функция является квазивогнутой, но не наоборот.

Также верно то, что каждая монотонная функция одной переменной является квазивогнутой.

Примеры квазивогнутой и не квазивогнутой функций приведены на рисунке.

На рисунке (a) функция удовлетворяет условиям: для данного (как и для любого другого) множество (показанное на рисунке) является выпуклым. На рисунке (b) условия квазивогнутости нарушаются: для данного множество является объединением двух отрезков — то есть не выпуклым.

На свойство квазивогнутости опирается следующая теорема, доказанная Гликсбергом (1952):

Теорема 1. Рассмотрим непрерывную игру G, в которой множества стратегий Si являются компактными. Предположим, что для каждого игрока i функция полезности является квази-вогнутой по s_i для всех s_?i? S_?i. Тогда в игре существует равновесие Нэша в чистых стратегиях.

Доказательство этой теоремы похоже на доказательство теоремы Нэша: мы показываем, что точечно-множественное отображение, построенное из функций реакции игроков, удовлетворяет условиям теоремы Какутани и имеет непрерывную точку. Более того, теорема о существовании смешанного равновесия в конечных играх является частным случаем этой теоремы. Действительно, смешанное расширение любой конечной игры является непрерывной игрой, удовлетворяющей условиям Теоремы 1.

Доказательство этой теоремы технически более сложно, чем доказательства предыдущей теоремы, ибо множество смешанных стратегий в непрерывной игре является бесконечномерным. Здесь необходим более сильный результат, чем теорема Какутани; доказательство (или даже формулировка) которого выходят за рамки этой книги. Однако можно рассуждать (весьма приблизительно), что нарушение непрерывности функций полезности по чистым стратегиям ведет к нарушению непрерывности по смешанным стратегиям.