Целые числа. 
Числовые системы

Определение системы целых чисел Формирование определения

Множество целых чисел мы представляем себе как объединение натуральных чисел, нуля и чисел противоположных натуральным. Целые числа можно складывать и перемножать, причем эти операции обладают всеми свойствами, которыми они обладают для натуральных чисел. Кратко можно скатать, что множество целых чисел относительно сложения и умножения образует полукольцо. Но это полукольцо в отличие от полукольца натуральных чисел содержит нуль и для всякого целого числа содержит противоположное ему число. Эти дополнительные свойства превращают полукольцо в кольцо в смысле следующего определения.

• 3.1.1. Определение. Система (К, +, •> называется кольцом, если выполнены следующие условия:
• 1) Система (АГ,+) является коммутативной группой (она называется аддитивной группой кольца), то есть

a) сложение + ассоциативно и коммутативно,.

b) существует элемент ОеК, называемый нулем, такой, что а + 0 = а для любого ае К,.

c) для всякого аеК существует элемент -аеК, называемый противоположным для а, такой, что а + (-л) = 0.

• 2) Система (К, •) является полугруппой (она называется мультипликативной полугруппой кольца), то есть умножение ассоциативно.
• 3) Умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть. а (Ь + с) = ab + ас и (Ь + с) а = Ьа + са для любых а, Ь_усе К.

Если умножение в кольце коммутативно, то кольцо называется коммутативным.

Таким образом, полукольцо является кольцом, если его адтитивная полугруппа является группой.

Итак, систему целых чисел мы представляем себе как кольцо, основное множество которого состоит из натуральных чисел, нуля и чисел, противоположных натуральным. Закрепим это представление в виде определения.

• 3.1.2. Определение. Системой целых чисел называется кольцо (Z, +, •>, которое удовлетворяет следующим условиям:
• 1) оно содержит полукольцо натуральных чисел (N> +, •);
• 2) всякий элемент из Z принадлежит одному из подмножеств: N, {0} и — N = {-/? | п е Щ. Элементы множества Z называются целыми числами, а система (Z, +, •) называется кольцом целых чисел.

Определяя систему целых чисел как кольцо, мы тем самым в краткой форме указываем на выполнимость свойств сложения и умножения, перечисленных в определении кольца.

Существуют кольца далеко не похожие на кольцо целых чисел. Например, кольцо квадратных матриц порядка п > 1, элементы которых целые числа, не коммутативно. Кольцо классов вычетов по модулю т конечно, оно содержит т элементов. Кольцо с условием 1) из 3.1.2 бесконечно и, наряду с множеством натуральных чисел N, содержит 0 и — N — числа противоположные натуральным. Но, помимо этих элементов, такое кольцо может содержать и другие элементы. Так, кольцо рациональных чисел, кроме этих множеств, содержит еще дробные числа. Условие 2) из 3.1.2 требует, чтобы в кольце (Z,+, •), кроме названных подмножеств, не было посторонних элементов.

Кольцо целых чисел как расширение полукольца натуральных чисел Напомним определение подкольца.

• 3.1.3. Определение. Пусть дано кольцо {К, +, •). Подмножество Н с К называется подкольцом, если выполнены следующие условия:
• 1) Н замкнуто относительно сложения и умножения, т. е. если aj> е Н, то а + ЬеН и аЬ&Н;
• 2) 0еЯ;
• 3) если а е Н, то -аеН.

В полукольце натуральных чисел уравнение вида а + х = Ь не всегда разрешимо. Поставим перед собой задачу: найти минимальное полукольцо, которое содержало бы полукольцо натуральных чисел и в котором было бы разрешимо названное уравнение. Но полукольцо, в котором разрешимо уравнение а + х = Ь для любых элементов а и b, является кольцом (докажите это). Таким образом, нужно найти кольцо, которое содержало бы полукольцо натуральных чисел и не содержало бы собственных подколец, содержащих натуральные числа (свойство минимальности).

Докажем, что кольцо целых чисел решает поставленную задачу. Вместе с тем получим новое краткое по формулировке определение системы целых чисел.

3.1.4. Теорема. Система (К, +, •) есть система целых чисел тогда и только тогда, когда она является минимальным кольцом, содержащим полукольцо натуральных чисел.

Доказательство. (=>) По определению 3.1.2, Система целых чисел (Z, +, •) является кольцом, содержащим полукольцо натуральных чисел <N, +, •). Докажем свойство минимальности. Пусть И — подкольцо, содержащее N. По определению подкольца (3.1.3), 0 е Я и — N с Н. Но тогда Z = N kj {0} и — N с Н. Следовательно, Н = Z.

• (<=) Пусть система (/Г,+, •) является минимальным кольцом, содержащим полукольцо натуральных чисел {N, +, •). Докажем, что (К, +, •) является системой целых чисел в соответствии с определением
• 3.1.2. Для этого остается лишь установить, что К = Nkj{0}^j-N. Обозначим N kj {0} j-N = Z. Легко видеть, что 7. является подкольцом, содержащим N. По свойству минимальности Z = К. ?

Доказанная теорема позволяет определить систему целых чисел как минимальное кольцо, содержащее полукольцо натуральных чисел.