Среднеквадратичный хедж при жесткой скупке акции

Для вычисления оптимального портфеля параметризуем множество мартингальных мер. Для этого рассмотрим предсказуемую последовательность:

. (3.13).

Заметим, что может быть любым числом. Так как при определении мартингальной меры, как мы увидим далее, не используется. Построим меру, определяемую последовательностью. Прежде всего, определим редуцированную меру:

(3.14).

и определим редуцированную меру:

(3.15).

Мера определяется при помощи рекуррентных уравнений:

(3.16).

— произвольный атом , — атом ,.

содержащий ,.

Покажем, что уравнения (3.14) — (3.16) определяют вероятность. Действительно, и Покажем, что. Действительно,.

Обратно, пусть .

Определим последовательность На атоме типа определим произвольным образом, например ,. На атоме типа определим.

.

Из того, что. Отсюда.

Тем самым теорема доказана.

Теорема 3.6 Множество мартингальных мер параметризуемо предсказуемой последовательностью, удовлетворяющей (3.13).

Пусть выбрана параметризующая последовательность. Оптимальный портфель рассчитывается по формулам:

.

(3.17).

Отметим одну важную особенность (3.17). Составляющие портфеля не зависят непосредственно от последовательности .

Вернемся к нижней и верхней цене дисконтированного финансового обязательства. Как отмечалось в предыдущем параграфе,.

.

.

Одновременно с этим оптимальный начальный капитал при среднеквадратичном хеджировании.

.

где некоторая мартингальная мера. Таким образом, при вычислении интервала справедливых цен можно использовать параметризующую последовательность, и формулы среднеквадратичного хеджировании (3.17). И так, для вычисления верхней и нижней цены следует решить две оптимизационные задачи:

.(3.18).

Для решения задач (3.18) применим уже упоминавшийся метод динамического программирования. Определим две последовательности:

(3.19).

Нижняя цена и верхняя цена: .

Теорема 3.7

(3.20).

Доказательство. Воспользуемся формулами (3.17).

при. В первом и во втором случаях функции линейны по переменной, поэтому достигают своего наибольшего и наименьшего значений на концах интервала. Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.

Теорема 3.7 позволяет вычислить последовательности и. Для этих последовательностей, применяя формулы (3.17), можно вычислить портфели скупщик стохастический мартингальный рубинштейн.

и.

с начальными капиталами и .

Рассмотрим задачу подобную той, которая рассматривалась во второй части пособия. Если из интервала справедливых цен выбрана цена хеджирования.

(, то требуется определить одну из возможных мартингальных мер, для которой.

.

и вычислить портфель, который является решением задачи.

.

Решение задачи дает следующая теорема.

Теорема 3.8. Для мартингальной меры.

оптимальный портфель.

.

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из равенств:

.

и формул (3.17).

Если достигнута компромиссная цена, то естественным является выбор компромиссной меры, что приводит к портфелю .