Решение сферических треугольников с применением теоремы Лежандра
Если соответствующие стороны сферического и плоского треугольников равны и не превосходят 200 км, то, вероятно, для сферы радиуса R=Rср=(MN)½ углы сферического и плоского треугольников будут отличаться на небольшие величины. Исходя из этого примем с ошибкой на величины второго порядка малости (если за первый порядок принять А-А'): Доказательство теоремы Лежандра Пусть дан сферический треугольник… Читать ещё >
Решение сферических треугольников с применением теоремы Лежандра (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В 1787 г. А. Лежандр доказал теорему, которая в последующем была положена в основу решения сферических треугольников со сторонами, не превышающими 200 — 220 км. Достоинством такого решения является то, что в этом случае решение сферического треугольника заменяется решением плоского треугольника со сторонами, равными соответствующим сторонам сферического треугольника, но измененными углами. Изменения сферических углов при переходе к углам плоского треугольника вычисляются на основании теоремы Лежандра, которая гласит: если сферический треугольник заменить плоским с теми же сторонами, то углы плоского треугольника будут равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным, на одну треть сферического избытка.
Доказательство теоремы Лежандра Пусть дан сферический треугольник ABD (рис. 3) и соответствующий ему плоский треугольник A’B’D' (рис. 4) с теми же сторонами, но отличными углами А', В', D'.
Напишем очевидное соотношение.
(19).
Рис. 4.
Если соответствующие стороны сферического и плоского треугольников равны и не превосходят 200 км, то, вероятно, для сферы радиуса R=Rср=(MN)½ углы сферического и плоского треугольников будут отличаться на небольшие величины. Исходя из этого примем с ошибкой на величины второго порядка малости (если за первый порядок принять А-А'):
(20).
И тогда из (19) с учетом (20), находим.
Заменяя синусы и косинусы углов известными соотношениями:
получаем.
(формула Герона).
После разложения квадратов разностей и дальнейших простых преобразований, окончательно получаем:
(21).
Можно по аналогии написать формулы для разностей (В — В') и (D-D'):
(22).
Суммируя левые и правые части выражений (21) и (22), находим для треугольника:
(23).
С учетом равенства (23), формулы (21) и (22) можно представить в следующем виде:
(24).
которые и выражают теорему Лежандра.
Если при разложении синусов в ряд удерживались бы члены пятого порядка малости, то в результате были бы получены более точные формулы:
(25).
Где.