Страховой запас. 
Модели управления запасами

На системы управления запасами оказывает влияние множество факторов, и это вызывает колебания величины параметров, становящихся таким образом случайными величинами. Случайной величиной может быть потребление и поступление материалов или время выполнения заказа. Поскольку определяющим фактором в моделях управления запасами является спрос, то проведем анализ случайных величин на примере этого фактора.

Пусть спрос на продукцию предприятия или расход материальных ресурсов — стационарная случайная величина с математическим ожиданием и конечной дисперсией.

Чтобы избежать дефицита в системе при случайных колебаниях спроса, предприятию необходимо иметь некоторый страховой запас r₀. Для бесперебойной работы системы вероятность того, что спрос за время цикла не превысит величины, должна быть достаточно велика. Эту вероятность называют коэффициентом надежности и обозначают его через б. Обычно требуется, чтобы коэффициент надежности равнялся 0,9; 0,95 или 0,99. Иногда удобнее использовать коэффициент риска р = 1 — б. Таким образом, если v — спрос между двумя последовательными моментами размещения заказа, то.

.

где f (v) — плотность распределения случайной величины спроса. Исследования показывают, что распределение объемов потребления и поступления материалов на промышленных предприятиях подчиняются нормальному закону. Функция плотности для нормального закона распределения имеет вид.

.

Обозначим.

где — среднеквадратическое отклонение случайной величины спроса (f_i — частота, с которой наблюдается величина спроса v_i, N — количество наблюдений);

— средняя величина спроса.

Тогда плотность распределения имеет вид.

.

Задача нахождения оптимального страхового запаса при нормальном распределении плотности вероятности величины спроса формулируется следующим образом: по заданному значению коэффициента риска р найти такое значение величины и_p для которого выполняется равенство.

.

Таблица 1.

ир	Р.	ир	Р.	ир	Р.	ир	Р.
0.1.	0,82 034.	1.1.	0.26 133.	2.1.	0,3 573.	3.1.	0,194.
0,2.	0.81 148.	1,2.	0,23 014.	2.2.	0,2 781.	3,2.	0,137.
0,3.	0.76 418.	1.3.	0,19 360.	2.3.	0,2 145.	3,3.	0,97.
0,4.	0,68 916.	1,4.	0.16 151.	2,4.	0,1 640.	3,4.	0,67.
0.5.	0,61 708.	1.5.	0.13 361.	2.5.	0,1 242.	3,5.	0,47.
0.6.	0.54 851.	1.6.	0,10 960.	2,6.	0,009,42.	3,6.	0,32.
0,7.	0.48 393.	1.7.	0,8 913.	2,7.	0.693.	3,7.	0,22.
0,8.	0,42 371.	1,8.	0,7 186.	2,8.	0,511.	3,8.	0,14.
0.9.	0,36 812.	1.9.	0,5 743.	2,9.	0,373.	3,9.	0,10.
1,0.	0.31 731.	2.0.	0,4 550.	3.0.	0.270.	4,0.	0.7.

Решение этого уравнения относительно и_р по заданному коэффициенту риска находится из таблиц нормального распределения, фрагмент которых приведен в табл. 1. Поскольку риск будет существовать, то, учитывая что, страховой запас должен быть по меньшей мере, таким образом.

. (13).

При наличии страхового запаса издержки работы системы в единицу времени.

.

Эти издержки достигают минимума при, т. е., если, тогда .

Функция плотности вероятности и величина страхового запаса для распределения Пуассона имеет вид:

.

а величина страхового запаса находится по формуле.

где и_р определяется из табл. 2.

Для экспоненциального (показательного) распределения с функцией плотности вероятности.

.

страховой запас.

. (15).

Таблица 2.

i.	1-р	ир	r0(Т).	i.	1-р	ир	r0(Т).
	0,383.	0,5.	1,224.		0,988.	2.5.	6,122.
	0,683.	1,0.	2,449.		0,997.	3,0.	7,347.
	0,866.	1,5.	3,667.		0,9995.	3.5.	8,571.
	0,955.	2,0.	4,898.

Порядок определения страхового запаса:

Выдвигается гипотеза о законе распределения случайной величины спроса. Для этого данные группируют и строится гистограмма. По оси абсцисс откладывается величина спроса, по оси ординат — частота. Плавной непрерывной линией соединяются верхние основания прямоугольников, образующих гистограмму. Если получена куполообразная линия, симметричная относительно (рис. 4), то делается предположение о нормальном распределении. Если куполообразная линия не симметрична (рис. 5) и, то может быть сделано предположение о пуассоновском законе распределения. Если, выдвигается предположение об экспоненциальном законе распределения (рис. 6).

Выдвинутую гипотезу нужно либо подтвердить, либо опровергнуть. Для этого можно воспользоваться критерием Пирсона.

.

где fi — эмпирические частоты, а fi `- теоретические частоты.

Для нормального распределения.

.

где h — длина шага между соседними значениями спроса.

Для распределения Пуассона теоретические частоты вычисляются по формуле.

.

для экспоненциального распределения.

.

По таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k определяется критическое значение критерия Пирсона. Количество степеней свободы для нормального распределения k = n — 3 (n — число групп), для пуассоновского и экспоненциального k = n — 2. Если, то выдвинутая гипотеза принимается, в противном случае — отвергается.

3) После выявления закона распределения остается найти величину страхового запаса, т. е. воспользоваться формулами (13), (14) или (15).

Точка размещения заказа при наличии резервного запаса .