Способ существенной выборки, использующий «вспомогательную плотность распределения»

В качестве оценки интеграла принимают, где n — число испытаний; f (x) — плотность распределения «вспомогательной» случайной величины X, причём; - возможные значения X, которые разыгрывают по формуле .

Функцию f (x) желательно выбирать так, чтобы отношение при различных значениях x изменялось незначительно. В частности, если, то получим оценку .

Задача. Найти оценку интеграла .

Решение. Так как, то в качестве плотности распределения «вспомогательной» случайной величины X примем функцию. Из условия найдём. Итак, .

Запишем искомый интеграл так:

.

Таким образом, интеграл I представлен в виде математического ожидания функции. В качестве искомой оценки примем выборочную среднюю (для простоты ограничимся десятью испытаниями):

.

где — возможные значения X, которые надо разыграть по известной плотности. По правилу (для того, чтобы разыграть возможное значение непрерывной случайной величины X, зная её плотность вероятности f (x), надо выбрать случайное число и решить относительно уравнение.

или уравнение ,.

где a — наименьшее конечно возможное значение X), имеем. Отсюда находим явную формулу для разыгрывания возможных значений X:

.

В таблице 2 приведены результаты 10 испытаний.

Сложив числа последней строки таблицы 2, получим. Искомая оценка равна .

Таблица 2.