Устойчивость систем автоматического регулирования

Всякая САР подвержена воздействию возмущающих сил. Эти силы стремятся вывести систему из состояния равновесия. Если система устойчива, то она противостоит действию возмущающих сил, а будучи выведенной из равновесия, возвращается к нему с определенной точностью. Неустойчивая система после действия возмущающих сил не возвращается к равновесному состоянию, либо удаляется от него, либо совершает недопустимые колебания около равновесного состояния.

Понятие устойчивости может быть проиллюстрировано на примере шар-плоскость (рис. 1.43).

Пример 1 (рис. 1.43, а). Под действием возмущающих сил шар переместился из точки А₀ в точку А|. После действия этих сил шар вернется в точку Ао — положение шара на вогнутой плоскости устойчиво. Поскольку есть трение, то, конечно, шар вернется не точно в точку А₀, а остановится рядом. Система будет устойчивой, если она от возмущенного состояния перейдет в некоторую конечную область, окружающую невозмущенное состояние равновесия.

Здесь и далее точка А₀ — невозмущенное состояние равновесия системы, точка А] - возмущенное состояние системы.

Рис. 1.43. Примеры на раскрытие понятия устойчивости систем: а-устойчивое положение шара: б — неустойчивое положение шара: в — система устойчива в малом и неустойчива в большом; г — полуустойчивое состояние равновесия системы; д — безразличное состояние равновесия

Пример 2 (рис. 1.43, б). Здесь шар нс вернется в свое состояние равновесия в точку А₀ — случай неустойчивого положения шара на плоскости.

Есть и другие виды систем: рис. 1.43, в_ч г, д.

От чего зависит устойчивость системы? Вспомним формулу переходного процесса: X (t) = X_B(t) + X_c(t), где X««(/) - вынужденная составляющая переходного процесса; X_Q(t) — собственная составляющая переходного процесса.

Для правильного воспроизведения входного воздействия необходимо, чтобы собственная составляющая переходного процесса X_c(t) затухала:

Для устойчивости системы требуется выполнение равенства:

где Sk — корень характеристического уравнения системы; п — число корней; Са — коэффициент.

При выполнении этого равенства говорят, что система асимптотически устойчива.

Какие условия нужно наложить на корни характеристического уравнения S*, чтобы выполнялось равенство?

Основы теории устойчивости изложил русский ученый А. М. Ляпунов. Им сформулированы теоремы об устойчивости САР.

Теорема 1. Линейная САР устойчива, если все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Теорема 2. Линейная САР неустойчива, если среди корней сс характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью.

Теорема 3. Линейная САР нейтрально устойчива (т. с. находится на грани устойчивости), если среди корней ее характеристического уравнения имеется один с нулевой вещественной частью, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

В общем случае корни характеристического уравнения могут быть вещественные, комплексные попарно сопряженные, чисто мнимые попарно сопряженные и нулевые:

Графически корни на комплексной плоскости могут быть изображены точкой (рис. 1.44).

Все корни, которые имеют положительные вещественные части, располагаются в правой полуплоскости и наоборот. Корни с положительными вещественными частями называются правыми корнями, с отрицательными — левыми. Тогда условие устойчивости может быть сформулировано: система будет устойчивой, если все корни ее характеристического уравнения будут левыми.

Рис. 1.44. Графическое представление корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

Таким образом, для определения устойчивости системы нужно найти корни ее характеристического уравнения, что является грудной задачей.

Есть другой способ определения устойчивости систем, нс находя корней характеристического уравнения, — через критерии устойчивости.