Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, курсовая, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°
ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚

Π₯арактСристика понятия размСрности

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСство S ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ n, Ссли ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСньшСй размСрности ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° S ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ пСрСсСкаСтся с S ΠΏΠΎ мноТСству размСрности n-1. НапримСр, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 2, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π° Π² ΠΊΡ€ΡƒΠΆΠΎΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ радиуса, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π₯арактСристика понятия размСрности (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ размСрности

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ «Ρ‡ΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ», ΠΈΠ»ΠΈ «Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ», Π½Π΅ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ особых Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… простых гСомСтричСских ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π°Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ. ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ любоС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»ΡŒ, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ — Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1, ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ сфСры — Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 2. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΡƒΠ±Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 3. Однако ΠΏΡ€ΠΈ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ понятиС размСрности Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ мноТСства Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слСдуСт, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ мноТСству R, состоящСму ΠΈΠ· Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ оси Ρ…, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ…-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа? ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΎΡΠΈ Ρ… Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎ, ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, казалось Π±Ρ‹, Π΅ΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ прямой, Π½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1. Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ всякими двумя Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ «Π΄Ρ‹Ρ€Ρ‹», ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ всякими двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства, ΠΈ ΡΡ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·Ρƒ размСрности 0.

Π•Ρ‰Π΅ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½Π½Π΅Π΅ обстоит Π΄Π΅Π»ΠΎ с Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства, Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ рассмотрСнного ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, построСнного ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Из Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° 0? x?1 ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΠΌ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ (ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»), Ρ‚. Π΅. всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ…, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ нСравСнству ΠžΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π‘1. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ C1 состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ²; ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π΅Π³ΠΎ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ останСтся, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π‘2. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ эту ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ, удаляя ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρƒ Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ²; ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π‘3. Π”Π°Π»ΡŒΡˆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π‘4, Π‘5, Π‘6, …. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π‘ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ останСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС срСдниС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹, Ρ‚. Π΅. Π‘ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ всСм мноТСствам Π‘1, Π‘2, Π‘3, …. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π» ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 1/3; Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ — Π΄Π²Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 1/9, ΠΈ Ρ‚. Π΄.; сумма Π΄Π»ΠΈΠ½ всСх ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π°.

Π₯арактСристика понятия размСрности.

БСсконСчный ряд Π² Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… скобках Π΅ΡΡ‚ΡŒ гСомСтричСская прогрСссия, сумма ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΈΡ‚Π°ΠΊ, сумма Π΄Π»ΠΈΠ½ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² составляСт всС-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹: мноТСство Π‘ Π½Π΅ ΠΏΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅. НапримСр, всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌΠΈ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ².

Π₯арактСристика понятия размСрности.
Π₯арактСристика понятия размСрности.

Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚. МоТно Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСство Π‘ ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΠΈΡ‚ Π² Ρ‚очности ΠΈΠ· Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ‚Π΅Ρ… чисСл Ρ…, разлоТСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ 3 ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ написаны Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Π₯арактСристика понятия размСрности.

Π³Π΄Π΅ всякоС Π°n Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ 0 ΠΈΠ»ΠΈ 2, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ для всякой ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ срСди чисСл сn Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π· встрСтится 1.

Какова ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСства Π‘? Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ процСсс, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π±Ρ‹Π»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π΅ΡΡ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСства всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ получился ΠΈ Π΄Π»Ρ мноТСства Π‘. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ СстСствСнно Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСству Π‘ Π½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1. Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Π‘ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΡ‚ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ самого ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство; это сблиТаСт Π‘ Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π°ΠΌΠΈ размСрности 0. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, восставив Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ…, y ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π° мноТСства пСрпСндикуляр Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊ ΠΎΡΠΈ Ρ… (направляя Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρƒ), ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ мноТСства, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ сомнСниС — ΠΏΡ€ΠΈΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 2 ΠΈΠ»ΠΈ 1.

ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠΎ мноТСство.

Рис. ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠΎ мноТСство

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠŸΡƒΠ°Π½ΠΊΠ°Ρ€Π΅ (Π² 1912 Π³.) ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ» Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСлСния размСрности. ΠŸΡƒΠ°Π½ΠΊΠ°Ρ€Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΈΠ»ΠΈ кривая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, удаляя ΠΎΠ΄Π½Ρƒ-Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (мноТСство размСрности 0); ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 2 ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для раздСлСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ (мноТСство размСрности 1). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΌΡ‹ΡΠ»ΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ понятиС размСрности ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ «ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΡƒΡŽ» ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρƒ: Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ «ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранству» слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ n, Ссли Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Π½Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ подмноТСства Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ размСрности n-1 (Π½ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΡ подмноТСства мСньшСй размСрности ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ достаточно). Π’ ΡΡƒΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСявно содСрТится ΡƒΠΆΠ΅ Π² Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… «ΠΠ°Ρ‡Π°Π»Π°Ρ…», Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· толкуСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° Ρ‡Π΅Π³ΠΎ состоит ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ; Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· — ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° Ρ‡Π΅Π³ΠΎ состоит ΠΈΠ· Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ; Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· — ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° Ρ‡Π΅Π³ΠΎ состоит ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ностСй. Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ Π—Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚Π° ΠΎΠ±ΡˆΠΈΡ€Π½Π°Ρ тСория — тСория размСрности. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ размСрности начинаСтся с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ смысл Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° «Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство размСрности 0». Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΌ свойством, Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТдая Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π° Π² ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ пространства, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ области Π½Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ мноТСства. Π­Ρ‚ΠΎ свойство принимаСтся Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π·Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ размСрности 0. Условимся Ρ€Π°Π΄ΠΈ удобства Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пустоС мноТСство ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ -1. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС мноТСство S ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 0, Ссли ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ размСрности — 1 (Ρ‚. Π΅. Ссли 5 содСрТит Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ) ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° S ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ пСрСсСкаСт S ΠΏΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Ρƒ размСрности — 1 (Ρ‚. Π΅. совсСм Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΡ‚ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ S). Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, мноТСство Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 0, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ каТдая Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ рассматриваСма ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° с ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌΠΈ. ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠΎ мноТСство Π‘ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ размСрности 0, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ мноТСству Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΎΠ½ΠΎ получаСтся посрСдством удалСния Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ прямой.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ понятия «Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ — 1» ΠΈ «Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 0». Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ «Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1»: говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСство S ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ «Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ!», Ссли ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ — 1, Π½ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ 0 ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° S ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ пСрСсСкаСтся с S ΠΏΠΎ мноТСству размСрности 0. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ прямой ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ этим свойством, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‚. Π΅. мноТСство размСрности 0 ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π”Π°Π»ΡŒΡˆΠ΅, продолТая Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 2, Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 3 ΠΈ Ρ‚. Π΄., ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ основываСтся Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСство S ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ n, Ссли ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСньшСй размСрности ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° S ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ пСрСсСкаСтся с S ΠΏΠΎ мноТСству размСрности n-1. НапримСр, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 2, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π° Π² ΠΊΡ€ΡƒΠΆΠΎΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ радиуса, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1*. Π’ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ пространствС Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ‡Π΅ΠΌ 3, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ любая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пространства Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ сфСры, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 2. Но Π² ΡΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранство» употрСбляСтся Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ смыслС; ΠΎΠ½ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ систСму ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ понятиС «Ρ€Π°ΡΡΡ‚ояния» ΠΈΠ»ΠΈ «ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚ности», ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° абстрактныС «ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранства» ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ, Ρ‡Π΅ΠΌ 3. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ являСтся Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ пространство, «Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ» ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡƒΡ‚ΡŒ систСмы ΠΈΠ· ΠΏ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, взятых Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ порядкС:

P = (x1, x2, …, xn),.

Q = (y1, y2, …, yn),.

Π° «Ρ€Π°ΡΡΡ‚ояниС» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π  ΠΈ Q ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅.

Π₯арактСристика понятия размСрности.

* (Π‘ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, 2 Π² ΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅ нашСго опрСдСлСния, ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π΅Π½ΠΎ: остаСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° (ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1 ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ сама ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ размСрности 0 ΠΈΠ»ΠΈ 1. Π­Ρ‚ΠΈ утвСрТдСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ утвСрТдСния для Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… размСрностСй. ВсС ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ рассуТдСния ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ размСрности Π½Π΅ ΡΡ‚ΠΎΠΈΡ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠΈ с ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.).

МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это пространство ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ n. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ размСрности n, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ n, называСтся пространством бСсконСчной размСрности. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… пространств.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠΈ.

Рис. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠΈ

Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ размСрности устанавливаСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ интСрСсноС свойство Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€. НачнСм с Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ случая. Если какая-Ρ‚ΠΎ простая двумСрная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ малСнькиС «ΡΡ‡Π΅ΠΉΠΊΠΈ» (ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТдая ячСйка содСрТит свою Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ), Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ найдутся Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ сразу ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ ячСйкам, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π±Ρ‹ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ячССк. ВмСстС с Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ разбиСния Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π° ΡΡ‡Π΅ΠΉΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ никакая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ сразу большС Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ ячСйкам. Π’Π°ΠΊ, Ссли рассматриваСмая двумСрная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ (рис. 131), Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΠΉ, которая сразу ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ ячСйкам 1, 2 ΠΈ 3, Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ разбиСния Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, которая сразу ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Π»Π° Π±Ρ‹ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ числу ячССк. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли нСкоторая объСмная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° (Ρ‚Π΅Π»ΠΎ) Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚Π° Π½Π° Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ малСнькиС ячСйки, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ ячСйкам, ΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡ‚Π΅ с Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ разбиСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ никакая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ сразу большС Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ ячСйкам.

ВсС эти сообраТСния приводят нас ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅, высказанной А. Π›Π΅Π±Π΅Π³ΠΎΠΌ ΠΈ Π‘рауэром: Если n-мСрная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚Π° Π½Π° Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ малСнькиС ячСйки, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ этой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ сразу ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ n+1 ячСйкам; вмСстС с Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ разбиСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ сразу Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚+1 ячСйкам. Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ рассматриваСмой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹: всС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π²Π΅Ρ€Π½Π°, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, всС ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΈΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. По ΡΡ‚ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ указанная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ взята Π·Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ размСрности (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹).

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ относится ΠΊ Ρ‡ΠΈΡΠ»Ρƒ топологичСских Π΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²: Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… размСрностСй Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ топологичСски эквивалСнтными. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎΠ± «ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ности размСрности»: Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, стоит Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ (Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ΡΡ‚Ρ€. 113), согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. БоотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, установлСнноС ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ этой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, Π½Π΅ Ρ‚опологичСскоС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ нСпрСрывности Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ