Математические аспекты проблем исследования геомагнитного поля частичным данным его измерений

Диссертация посвящена проблеме восстановления пространственного описания наблюдаемого магнитного поля Земли по данным его частичных измерений на некоторой поверхности — на земной поверхности, или, если речь идет об измерениях со спутников, некоторой поверхности в околоземном пространстве. Рассмотриваться будут два широко известных на практике случая, когда результатом измерения поля в точке поверхности является не сам вектор, а либо только его модуль (=длина), либо только направление вектора. Первый случай возникает при обработке геомагнитных наблюдений, получаемых с датчиков, установленных на искусственных спутниках Земли, второй случай соответствует палеомагнит-ным данным. Математический формализм, типичный для такого рода задач, состоит в исследовании уравнения (решением которого является магнитное поле) с краевым условием, отвечающим данным измерений. Кроме того, в диссертации рассмотрена задача статистического моделирования палеомагнитного поля по данным одних только его направлений — здесь подразумевается иной формализм и иной порядок точности (во всяком случае, по состоянию на сегодняшний день).

Упомянутые два ограничения на данные не позволили тривиально свести проблему к классическим краевым задачамза последние примерно 40 лет математически ясное обоснование метода работы с такого рода данными так и не появилось, несмотря на неоднократные попытки его найти — см. подробный обзор идей и методов в [Lowes et al 1995]. Соответствующая математическая теория для этих нигде задач не была изложена, наиболее близкой изучено" областью является теория краевых задач с косой производной. Отметим, что соответствующий аналог 4.

Глава 1.

Введение

задач восстановления для двумерного случая допускает естественную переформулировку в терминах свойств голоморфных функций комплексной переменной и неплохо изученв частности, с ним связана одна из проблем Гильберта. Однако непонятно, как именно и обобщаются ли вообще соответствующие двумерные результаты об условиях существования и единственности решений на физически осмысленный трехмерный случай.

Всюду в настоящей работе под магнитным полем понимается главное магнитное поле Земли [Яновский 1978], то есть часть наблюдаемого магнитного поля в некоторых геофизически интересных пространственно-временных масштабах без учета воздействия внешних (по отношению к ограниченной поверхностью части пространства) источников. Как известно [Яновский 1978], эффект, создаваемый внешними источниками, много меньше главного магнитного поля Земли. Еще одно стандартное предположение заключается в гипотезе отсутствия токов через поверхность наблюдений (напомним, что это есть либо земная поверхность либо некоторая поверхность, объемлющая Землю — например, поверхность, заметаемая траекториями измеряющего спутника в космосе).

Хорошо известно, что в исследованиях магнитного поля земли рассматриваются не сами классические уравнения Максвелла, а некоторая их модификация, связанная с характерным масштабом наблюденийтак называемые до-максвелловские уравнения. В Главе 2 приведен вид этих уравнений и основные идеи их вывода (следуя материалу книги [Backus et al 1996]). Вид решений до-максвелловских уравнений при отсутствии токов позволяют рассматривать магнитное поле как потенциальное в неограниченной части пространства (внешней по отношению к замкнутой поверхности наблюдений). При этом (скалярный) потенциал этого поля оказывается гармонической в этой части пространства функцией, т. е решением классического уравнения Лапласа.

A U = 0.

Таким образом, основной случай для рассмотрения — это трехмерное уравнение Лапласа в неограниченной области пространства с некоторыми краевыми условиями на градиент. Значимыми для проблем геомагнетизма решениями потенциала являются т. е. градиент которых достаточно быстро убывает на бесконечности.

VL'(ir)| ~ |xj3, х —> ос.