Эволюция температурных напряжений как следствие процесса остывания и консолидации расплава при формировании слоистых материалов

Современное развитие промышленности напрямую связано с широким внедрением новых материалов, сочетающих в себе высокие технико-эксплуатационные свойства, технологичность изготовления и низкую себестоимость производства. Применение слоистых композитов, позволяет значительно снизить массу конструкций и одновременно оптимизировать эксплуатационные характеристики машин и агрегатов. В ряде конструкций оптимальные эксплуатационные свойства можно получить лишь при условии применения составных или комбинированных узлов из разнородных материалов (слоистых композитов). Из таких материалов изготавливается не вся конструкция, а лишь те участки, которые испытывают воздействие силовых нагрузок, температур или агрессивных сред.

Технологические процессы изготовления некоторых слоистых композиционных материалов, например такие как, биметаллы, триметаллы, стеклометаллокомпозит [135, 136, 137] включают температурные режимы, при которых в материалах возможны фазовые превращения первого рода. Напряжения формирующиеся температурной и структурной неоднородностями в слоистых материалах, особенно на границах контакта разных материалов и разных фаз, могут приводить к снижению эксплуатационных качеств изделий и к разрушению их на стадии изготовления. Накопленный опыт в практике термической обработки композитов и эксплуатации изделий из них не всегда позволяет контролировать величину возникающих напряжений, что может привести к разрушению или к недопустимой деформации изделий. Знание кинетики протекания и величины временных термических напряжений позволит более качественно проводить термическую обработку, управлять остаточными напряжениями и избежать преждевременного выхода из строя деталей, подверженных высокоинтенсивному температурному воздействию. Поэтому разработка и усовершенствование методов исследования кинетики формирования напряжений с учетом фазовых переходов в процессе температурного формирования слоистых композиционных материалов в настоящее время не утратили свою значимость и являются актуальными проблемами в механике деформируемого твердого тела.

Постоянный интерес исследователей к рассматриваемой проблеме определяется тем, что не только слоистые, но и большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые переходы в процессе изготовления и эксплуатации. Примером могут послужить рост кристаллов, формирование ледяного покрова, промерзание грунта, затвердевание металла в изложнице. Весьма ограничен круг моделей, которые могли бы быть использованы для проведения инженерных расчетов с целью контроля отдельных технологических процессов. А моделей изготовления слоистых композиционных материалов, когда изменение агрегатного состояния возможно сразу в нескольких слоях, причем фронтов фазовых переходов в одном слое может быть несколько и они могут двигаться навстречу друг другу, сливаясь в некоторый момент времени, вообще не было обнаружено.

Основные идеи классической теории фазовых переходов заложены еще Дж. В. Гиббсом [42] в работе «О равновесии гетерогенных веществ» в 18 751 878 гг. С тех пор интерес к исследованию фазовых переходов непрерывно возрастает. Постоянно возрастающее количество публикаций, выделение на некоторых международных конференциях отдельных секций свидетельствуют об актуальности и об открытости вопросов взаимосвязи фазовых переходов с процессами деформирования материала.

При описании фазовых превращений выделяются два основных направления исследований:

1) фазовые превращения объемного типа, когда деформирование двухфазных тел описывается при помощи введения дополнительного параметра состояния системы, например, доли твердой фазы, которая определяется по фазовым диаграммам, к такому направлению относятся работы В. А. Лихачева [88, 89], В. Г. Малинина [89, 105], В. И. Одинокова [131], АА. Мовчана [119−121];

2) фазовые превращения с выделение поверхности раздела фаз с дополнительным условием термодинамического равновесия на границе раздела фаз деформируемого материала, к этому направлению относятся работы В. И. Кондаурова [78, 79, 80, 81], В А. Еремеева [52, 53, 54], А. Б. Фрейдина [122, 123, 124, 176], МА. Гузева [39, 40, 48, 49], МА. Гринфельда [47].

Модели, использующие первый подход, наиболее часто используются при инженерных расчетах, что подтверждает их способность выявить важные особенности деформационных процессов при фазовых переходах, однако описание локальных полей деформаций и напряжений при таком подходе невозможно.

Второе направление исследований относится к интенсивно развивающемуся в направлении качественного уровня понимания фазовых переходов и здесь основными задачами являются: анализ неединственности и устойчивости двухфазных полей деформаций.

Параллельно основным направлениям развиваются некоторые альтернативные подходы к кинетике фазовых переходов, например, в работах А. Г. Князевой [71, 72, 73, 74, 154] когда в случае фазового перехода с участием твердого вещества меняется сразу несколько параметров состояния и граница представляет собой слой иногда довольно большой толщины или в работах по механике растущих тел [15, 107], когда кристаллизующийся материал представляется как растущий из жидкой фазы.

Данная работа выполнена как раз в рамках последнего альтернативного подхода, с тем существенным отличием, которое и обеспечивает ей научную новизну: в отличие от механики растущих тел рассматривается слоистое тело постоянной массы и состава, в котором при росте твердой фазы учитывается влияние давления (заранее неизвестного) на нее жидкой фазы.

В данной работе предполагается, что изменение агрегатного состояния есть следствие изменения температуры в первую очередь, а напряженно-деформированное состояние тела формируется как следствие неоднородного изменения температуры, скачка коэффициента линейного температурного расширения разных материалов (в случае слоистых тел) и изменением агрегатного состояния в отдельных слоях. Проводится моделирование технологических процессов изготовления слоистых материалов (СМ), в которых:

• температура на отдельных интервалах температурного режима достигает температуры плавления отдельных слоев;

• скорость изменения температуры незначительна и поэтому эффектом связности взаимодействия температурного и деформационного полей можно пренебречь;

• движение фронта фазового перехода является следствием изменения температуры.

В математических моделях термомеханики рассматриваются различные способы распространения тепла в сплошных средах, распространение тепла всегда сопровождается возникновением в теле напряжений и деформаций. Поэтому исследования напряженно-деформированного состояния тел с учетом различных связей между напряжениями, деформациями и температурой составляют основу современных моделей термомеханики. Особое внимание в задачах термомеханики уделяется способу задания тепловой нагрузки и ее моделированию при решении конкретных задач. В этой области проведен ряд исследований, в которых учитывались различные формы моделирования тепловой нагрузки: задание значений температуры и плотности потоков тепла на границе, сосредоточенных источников тепла, однородных потоков тепла на бесконечности [68, 101].

В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие повода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования. При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связности, обусловленный взаимодействием температурных и деформационных полей. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанный упругих и тепловых волн, термоупругом рассеянии. Работы В. Н. Новацкого [128] и В. Г. Карнаухова [67] посвящены решению связанных задач термоупругости.

Однако построение решений связанных задач термоупругости для тел конечных размеров вызывает значительные математические трудности. Вместе с тем для многих практических задач и технологических процессов адекватные решения получаются и при решении несвязных задач термоупругости. Кроме того, при моделировании температурных напряжений и в несвязной постановке существует достаточно проблем и открытых вопросов в получении решений даже в численном виде. К таким проблемным задачам несвязанной теории температурных напряжений относятся задачи исследования напряженно-деформированного состояния в материалах при фазовых переходах. Систематическое изложение несвязной теории температурных напряжений дано в работах Б. Боли и Дж. Уайнера [23]. Классическими работами в области термоупругости слоистых сред являются работы А. Д. Коваленко [75], В. М. Вигака [36], Я. С. Подстригача, В. А. Ломакина, Ю. М. Коляно [143]. Рассмотренные в них методы, однако, в большинстве случаев, касаются решения задач термоупругости для слоя либо полупространства. В несвязной постановке выполнена и данная диссертационная работа.

Моделирование эволюции напряженно-деформированного состояния (НДС) при формировании СМ в данной работе проводилось в рамках несвязной модели термомеханики.

Первым этапом при решении несвязных задач вычислительной термомеханики является определение температурных полей. Теоретическое описание динамики фазовых переходов первого рода в случае зависимости фазового состояния только от температуры приводит к различным вариантам задачи Стефана. Основной особенностью задач Стефана является отсутствие явного выражения для скорости движения фазовых границ. Поэтому большинство задач Стефана являются нелинейными даже при постоянных значениях теплофизических параметров, так что аналитическое решение их известно только для некоторых специальных случаев. Основными методами решения остаются численные методы, среди которых заслуженной популярностью пользуются, конечно-разностные методы, поскольку они обеспечивают высокую точность результатов, учитывают большое число параметров и не требуют грубых ограничений и допущений.

В разработку разностных методов решения задач теплои массопереноса с подвижными границами существенный вклад внесли A.A. Самарский [149, 152], Б. М. Будак [27−30], П. Н. Вабищевич [32, 33, 152, 153], Н. И. Никитенко [126], Дж. Дуглас [184, 186], Л. Эрлих [187], Ж. Мейер [192].

Необходимость описания фазовых превращений, в которых поверхность раздела фаз зависит только от одного параметра — температуры, стала одной из причин, вызвавших к жизни такое направление в современной математике как теория задачи Стефана [85, 133, 134].

Особенностью задачи Стефана является наличие только одного параметра состояния — температуры, и тем не менее, методы задачи Стефана нашли многочисленные приложения, например, при моделировании практических задач при выращивании кристаллов, изучении затвердевания отливок [2−7, 41, 63, 154, 161, 165, 180].

Общепринятой моделью, используемой при математическом описании разнообразных процессов кристаллизации, является классическая постановка задачи, предложенной Й. Стефаном в 1889 г [193]. Основные физические предположения, принятые в классической постановке выглядят следующим образом [1]:

1) считается, что агрегатное состояние среды изменяется только вследствие теплопроводности среды под воздействием внешних и внутренних источников теплоты;

2) передача энергии в каждой фазе рассматриваемого вещества описывается уравнением теплопроводности с соответствующими теплофизическими характеристиками;

3) фазовый переход происходит на границе раздела фаз, определяемой уравнением:

Ф (х, у,2,^ = 0, (0.1) причем предполагается существование, однозначно определенной, достаточно гладкой поверхности раздела фаз;

4) фазовый переход происходит в равновесных условия, т. е. на границе раздела задана температура плавления:

Уфэ^фэ^ф) — Т, при.

5) поведение границы фазового превращения, называемой свободной границей, описывается условием Стефана: (0.2) оп дп наличие которого относит задачу к нелинейным. Условие Стефана выражает баланс энергии при переходе среды из одного агрегатного состояния в другое, подробный вывод которого для одномерного случая приведен в [101] и для многомерного — в работе [164].

Ключевым условием на свободной границе, помимо условия Стефана, является равенство температуры среды температуре плавления данного вещества, которая считается известной постоянной величиной. Это условие имеет характер аксиомы, так как не следует ни из каких фундаментальных законов, но достаточно точно отражает многие реальные процессы.

Исторически впервые постановка задачи Стефана и ее решение были исследованы в классической работе Г. Ламе и Б. Клапейрон [190] по замерзанию жидкости. В 1931 году Л. С. Лейбензон [61] предложил, нашедший широкое практическое применение, приближенный метод решения задачи Стефана. Суть этого метода состоит в задании функции температурного распределения внутри каждой фазы, удовлетворяющей стационарному уравнению теплопроводности и граничным условиям. Подстановка температурного распределения в условие Стефана приводит к дифференциальному уравнению для определения подвижной границы, которое обычно легко разрешается относительно переменной, характеризующей положение фронта. Для учета теплоемкости обеих фаз Л. С. Лейбензон предложил второй метод [62], заключающийся в удовлетворении заданного температурного распределения не условию Стефана, а уравнению баланса тепла. В дальнейшем метод Л. Лейбензона был применен в работах А. Н, Тихонова и Е. Г. Швидковского [165], И. А. Чарного [179] для усложненных граничных условий.

Принципиально новую точку зрения на сущность задачи Стефана высказали в начале пятидесятых годов А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [149]. Основная идея этого подхода состоит во введении понятия «эффективной» теплоемкости, включающей в себя также скрытую теплоту фазового перехода, сосредоточенно выделяющуюся на поверхности раздела фаз. Это дает возможность с использованием 8 -функции записать единое квазилинейное уравнение энергии сразу во всей области, занятой теплоносящей средой, причем условие Стефана является следствием этого уравнения: ср + р&д (Т — Т*))?!ШЛ = ¿-¡-«{ягай Т (М, 0) + д (М, 0. (0.3).

Наряду с вопросами построения решения задачи Стефана, большое значение так же имеют вопросы ее разрешимости. Фундаментальные результаты по вопросам существования и единственности решения получены в работах А. М. Мейрманова [112], Л. О. Каменомостской [66] и O.A. Олейник [133, 134].

Численные методы решения задач теплопроводности для сложных тел и систем тел являются в настоящее время наиболее эффективными и универсальными в арсенале современных методов теории теплопроводности. Из-за нелинейности основным методом решения задач типа Стефана являются численные методы. Только в отдельных частных случаях возможно применение аналитического метода.

Разработке разностных методов решения краевых задач теплопроводности посвящено большое количество, как монографических работ, так и огромное число статей в периодических журналах и различных сборниках. Основы методов конечных разностей подробно изложены в монографиях Н. С Бахвалова [16], H.H. Калиткина [65], Г. И. Марчука [111], А. И. Тихонова и A.A. Самарского [150, 151].

Существенный вклад в разработку конечно-разностных методов решения задач теплопереноса внесли Б. М. Будак [27−30], П. Н. Вабищевич [32, 33, 152, 153], Ф. П. Васильев [34, 35].

Существующие в настоящее время методы численного решения задач Стефана можно условно разбить на два класса: методы с явным выделением фазовых границ и методы сквозного счета (с выделением некоторой размазанной границы фронта фазового перехода).

Численные методы, содержащие процедуру выделения фазовых фронтов, отличаются большим разнообразием подходов к решению проблемы. Среди них наиболее распространенными являются: метод ловли фронта в узел [29], в котором с помощью итерационной процедуры шаг интегрирования по временной координате подбирается так, чтобы фазовая граница сместилась на один интервал по пространствуметод прямых [18],.

35]- метод выпрямленных фронтов [28, 30, 170], основанный на замене пространственной переменнойметоды миграции изотерм [185, 188], где зависимая и независимая переменные меняются местамиметоды, базирующиеся на различных способах интерполяции [183]. Как правило, эти методы обладают достаточно высокой точностью выделения межфазной границы, но становятся алгоритмически весьма громоздкими в случае многофазных и многомерных задач. Следует отметить, что методы с явным выделением неизвестной границы фазового превращения для случая циклического изменения температуры на границе не подходят, т.к. число немонотонно движущихся фронтов может быть несколько, при этом некоторые из них могут сливаться друг с другом или исчезать.

Методы сквозного счета [27, 149] оказались эффективными при математическом моделировании многомерных задач, учитывающих только теплофизические процессы и в которых точное положение границы раздела не играет существенной роли. Для построения этих методов используется обобщенная формулировка задачи Стефана (0.3). Используя этот подход, A.A. Самарский и Б. Д. Моисеенко [149] разработали экономичную схему сквозного счета со сглаживанием разрывных коэффициентов в уравнении теплопроводности по температуре в окрестности фазового превращения. Схемы со сглаживанием коэффициентов предложены и в работе Б. М. Будака, E.H. Соловьевой, А. Б. Успенского [27]. Обе работы основаны на одной и той же идее сглаживания. В методах сквозного счета вместо условия Стефана используется функция сглаживания, в которой влияние фазового перехода учитывается с помощью сингулярной добавки к теплоемкости в точке фазового перехода. К недостаткам методов сквозного счета обычно относят низкую точность определения положения фазового фронта и их чувствительность к выбору параметра сглаживания, значение которого определить априори в ряде случаев затруднительно.

Все рассмотренные численные методы решения задачи Стефана кратко отражены на Схема 0.1.

В настоящей работе для определения движения и формы границы раздела фаз предложена модель и численная схема, которые явно не содержат условие Стефана (0.2) и с>-функцию, то есть обобщенного уравнения по типу (0.3). Разработанная модель содержит функцию, которую примерно можно назвать «фиктивным источником тепла» и ее введение позволяет с одной стороны упростить задачу, но с другой можно усложнить геометрию, граничные и начальные условия, а так же рассматривать слоистый материал с произвольным количеством слоев и возможностью фазовых переходов в каждом слое.

Схема 0.1.

При решении несвязных задач термомеханики в результате решения температурной задачи получают пространственно-временное поле распределение температуры и исследуют динамику фронта фазового перехода, с учетом которых далее решается задача определения НДС в материале. Обзор работ по фазовым переходам и альтернативным подходам в механике деформируемого твердого тела натолкнул на идею использовать интенсивно развивающуюся достаточно молодую (первые работы по механике растущих тел датируются 60-ми годами ХХ-го века [87, 140, 177]) теорию растущих тел.

Моделирование напряженно-деформированного состояния для слоистых материалов с учетом фазовых переходов первого рода в данной работе рассматриваются с использованием подходов механики растущих тел. Результаты ряда фундаментальных работ по механики растущих тел обобщены в монографиях Н. Х. Арутюняна, A.B. Манжирова, В. Э. Наумова [11, 12], отдельные задачи и экспериментальные исследования проводились дальневосточными учеными Г. И. Быковцевым и A.C. Лукановым [31, 91]. Процесс кристаллизации материала рассматривается как рост твердой фазы из жидкой, причем в отличие от классического подхода при неизменной массе в целом материале и с учетом влияния давления со стороны жидкой фазы.

Задачи о механическом поведении наращиваемых тел обладают в общем случае целым рядом специфических черт и образуют особый класс задач механики деформируемого твердого тела. Поскольку в настоящей работе будет идти речь только о процессах непрерывного роста фазы (кристаллизация из расплава), то в далее мы проследим ключевые моменты в истории изучения лишь такого рода процессов и обсудим основные результаты, достигнутые в соответствующем направлении механики.

Построение теории было начато в работах В. Д. Харлаба [177] и Н. Х. Арутуняна [8], посвященных вопросам постановки квазистатической задачи наращивания для произвольного тела при малых деформациях. Была отмечена невозможность использования в такой постановке стандартных для механики деформируемого твердого тела условий Сен-Венана совместности компонент тензора деформации и формул Коши, выражающих эти величины через перемещения, и при этом было указано на целесообразность перехода к их аналогам для скоростей деформации и скоростей перемещений, справедливых, в том числе, и для растущего тела.

В работах [13, 167] были сформулированы произвольные начальные условия для тензоров напряжений и деформации во всех точках дополнительной части тела на основании представления о том, что для замкнутости рассматриваемой математической задачи наращивания должно быть заранее известно полное напряженно-деформированное состояние всех дополнительных материальных элементов, в котором эти элементы присоединяются к растущему телу. При этом было замечено, что такого рода начальные условия эквивалентны заданию граничных значений всех компонент названных тензоров на текущей поверхности непрерывного роста, и показано, что из них вытекают определенные условия на скорости изменения компонент тензора напряжений, аналогичные по виду классическим граничным условиям в напряжениях и зависящие как от начальных напряжений в материале и закона движения поверхности роста, так и от действующих на тело объемных сил. В [13] было указано также на необходимость наличия информации в общем случае о всей истории изменения напряженно-деформированного состояния присоединяемых к телу элементов вплоть до момента их присоединения.

Не приводя здесь подробной библиографии, касающейся данных исследований, укажем только, что соответствующие ссылки, а также описания многих задач можно найти, например, в книгах [11, 12, 17, 166, 167].

Характерной особенностью, отличающей растущее тело, является присоединение дополнительного материала извне к внешней поверхности, в результате которого изменяется масса и напряжено-деформированное состояние тела. В работе [17] предложены механизм образования остаточных напряжений, методы их расчета в системе покрытие — основа с учетом процесса плазменного напыления слоев.

В данной работе, в отличие от уже классических подходов в механике растущих тел (рассматривающих тела переменного состава с непрерывно или дискретно увеличивающейся массой), рассматривается тело постоянного состава и массы — слоистый материал. Однако, ввиду того, что объектом исследования является НДС твердой фазы СМ, которая в случае остывания его непрерывно увеличивается по массе и по объему и в итоге занимает весь отведенным СМ объем, то для описания НДС твердой фазы можно использовать подходы механики растущих тел. При этом, условие на границе роста твердой фазы кардинально отличается от условия, обычно используемого в механике растущих тел (заключающего в задании известного вектора напряжения или полностью тензора напряжений) и учитывает:

• влияние заранее неизвестного давления со стороны жидкой фазы, которое для СМ может достигать значительных величин и меняться в зависимости от граничных условий;

• скачок плотности при переходе материала из жидкого состояния в твердое.

Целью работы является исследование напряженно-деформированного состояния слоистых материалов в процессе изготовления с учетом фазовых переходов первого рода в отдельных слоях.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем: математическая модель определения температурных полей и движения границ фазовых переходов первого рода строится без использования классического условия Стефана и сосредоточенной теплоемкости, что позволяет определять положение фронта фазового перехода, обходя все алгоритмические сложности, возникающие в случае многофазных и многомерных задачпредложено краевое условие на границе раздела фаз, которое позволяет в рамках теории растущих тел решать задачу об эволюции напряженно-деформированного состояния при формировании слоистых материалов с учетом фазовых переходов в отдельных слоях.

Практическая значимость. Построенная математическая модель использовалась для определения напряженно-деформированного состояния в процессе изготовления слоистого композиционного материала на базе стекла и металла. И может быть использована при моделировании технологических процессов включающих температурные режимы, при которых в материалах возможны фазовые превращения первого рода, а также для дальнейшего развития теории фазовых превращений в механике деформируемого твердого тела.

Достоверность результатов основана на использовании законов сохранения и принципов равновесной термодинамики при построении новой модели, математической строгостью постановок задач и их анализа, получены сравнения решений по разработанной модели и численной схеме с некоторыми известными аналитическими и численными решениями. Результаты работы докладывались автором на:

II Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций», посвященной 85-летию со дня рождения профессора О. В. Соснина, г. Новосибирск, 2011; всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления», посвященной 75-летию со дня рождения академика В. П. Мясникова — г. Владивосток, 2011; совместных семинарах лаборатории необратимого деформирования и лаборатории нелинейной динамики деформирования ИАПУ ДВО РАН, 2010, 2011; семинаре Института прикладной математики ДВО РАН, 2011.

По теме диссертации опубликовано 9 научных работ, в том числе 3 статьи в ведущих рецензируемых журналах из списка ВАК [93, 94, 95]. Работы [138, 139] выполнены автором лично. В работах [94, 95, 96, 191] автор участвовал в обсуждении модели, разрабатывал численную схему и выполнил все необходимые расчеты. В работе [93] автор принимал участие в постановке задачи, в [136, 137] автор принимал участие в предварительном математическом моделировании технологического процесса.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (194 наименований). Объем работы — 122 страниц с 38 рисунками.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1) Предложена математическая модель процесса теплообмена в слоистых материалах с учетом фазовых переходов 1 рода, которая не содержит граничного условия Стефана на границе раздела фаз и эффективной теплоемкости.

2) Для предложенной математической модели разработан метод численного решения двухфазной задачи, в слоистом материале. Получено сравнение решений по предложенному методу с аналитическим решением Стефана, Лейбензона и с решением полученным численно методом сквозного счета.

3) Записана эволюционная краевая задача для многослойного тела с нестационарной границей раздела фаз в кристаллизующихся слоях, с учетом изменяющихся термомеханических характеристик материалов. Предложено краевое условие на границе раздела фаз, которое отличается от краевого условия на поверхности роста обычно используемого в механике растущих тел.

4) Получено численное решение задачи определения температурных напряжений в процессе формирования слоистого стержня на базе стекла и стали соединяемых через прокладку из легкоплавкого металла в упругом и упругопластическом приближении.

5) Получено численное решение задачи для трехслойного стеклометаллокомпозита цилиндрической формы с крайними кристаллизующимися слоями в упругой постановке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.