Дифракция электромагнитных волн на малом выпуклом теле в плоскослоистом пространстве

К широкому кругу задач дифракции электромагнитных волн в неоднородных средах относится целый ряд задач дифракции на трехмерных неоднородностях, расположенных в плоскослоистом пространстве. Исследованию таких задач посвящена настоящая работа. Будем считать, что среда состоит из двух полупространств. Верхнее плоскослоистое неоднородное полупространство имеет диэлектрическую проницаемость .

Изучением электромагнитного поля в плоскослоистой среде при наличии в ней локальной неоднородности занимаются уже около тридцати лет. Опишем основные направления, в которых проводились подобные исследования, разбив их на две большие группы. К первой отнесем аналитические методы, опираясь на которые сформулируем метод, применяемый в данной работе, а во вторую группу включим численные методы.

В первую группу входит широко применяемый при решении задачи двух тел метод получения бесконечной линейной системы для коэффициентов разложения искомого поля в ряд по собственным функциям. Этот метод можно назвать традиционным при решении задач дифракции. Согласно ему, решения уравнений Максвелла записываются в виде разложений по собственным функциям с неизвестными коэффициентами в двух различных системах координат: одной — связанной с телом, а другой — с плоскослоистой средой. Затем с помощью теорем переразложения собственных функций из одной системы координат в другую удовлетворяются строгие граничные условия. В случае гладких границ, разделяющих среды с различными диэлектрическими про-ницаемостями, из строгих граничных условий получаются бесконечные регулярные системы для коэффициентов разложения электромагнитного поля по собственным функциям. Сходимость этих систем определяется конкретными параметрами задачи. В некоторых случаях, когда сходимость системы хорошая, можно ограничиться одним уравнением, что позволяет получить аналитическое выражение для поля без применения численных методов. Отметим, что подобные исследования не проводились. Если же сходимость системы ухудшается, то это означает, что для ее решения необходимо применять численные методы, при которых трудно усмотреть аналитическую зависимость поля от параметров задачи. Метод численного решения полученной бесконечной системы относится уже ко второй группе методов. Следует отметить, что применение метода бесконечных систем ограничено наличием соответствующих теорем переразложения для собственных функций. К настоящему времени такие теоремы существуют для сферических и сфероидальных систем координат, начала которых находятся в разных точках, и для сферической и цилиндрической систем координат.

Другим аналитическим методом является метод отражений с заменой локальной неоднородности диполем, который можно применять в том случае, если размеры тела много меньше длины волны в окружающей среде. Этот метод применялся при решении задач, в которых источник, возбуждающий поле, располагается далеко от тела, поэтому в окрестности тела поле представлялось либо однородным, либо в виде плоской волны. Отраженное от тела поле эквивалентно в этом случае полю диполя с дипольным моментом, пропорциональным значению падающего поля в центре тела. Полное поле представляется в виде суперпозиции полей исходного источника и эквивалентного диполя в плоскослоистой среде. При этом не учитывался эффект переотражений типа тело — плоская поверхность раздела и, следовательно, такое приближение применимо в случае, когда тело находится далеко от плоской границы раздела. Лишь в одной работе сделан учет вторичных отражений от плоской поверхности раздела.

Сравнивая оба метода, укажем, что метод бесконечных систем не требует введения ограничения на размер тела (при численном решении системы), зато требует введения ограничения на форму тела (шар). Что касается метода отражений, то он позволяет оценить возмущение поля, связанное с наличием тела более сложной формы, чем шар, но с размерами меньшими по сравнению с длиной волны в окружающей среде.

Ко второй группе, помимо уже упоминаемого метода численного решения бесконечных систем линейных уравнений, относится метод интегральных уравнений. Он заключается в численном исследовании интегральных уравнений, являющихся обобщением формул Стрэттона-Чу для слоистых сред. Это обобщение связано с введением тензорной функции Грина для плоскослоистого пространства.

Помимо этих двух численных методов отметим еще метод Уотермана (метод Т — матриц), заключающийся в численном исследовании матричного уравнения для матрицы перехода.

Указав основные направления, в которых развивались методы исследования задач дифракции электромагнитного поля на локальных трехмерных неоднородностях в плоскослоистом пространстве, перейдем к конкретному изложению содержания работ, посвященных этим исследованиям.

Среди работ, в которых применялся метод бесконечных систем, прежде всего следует отметить работу Б. П. Дьяконова? 15 ^ .Он первым исследовал электромагнитное поле вертикального магнитного диполя в двухслойной среде при наличии однородного шара. До этого времени применение метода бесконечных систем к таким задачам казалось затруднительным в связи с тем, что отсутствовали теоремы переразложения для решений уравнений Максвелла из цилиндрической системы координат в сферическую и обратно. Б. П. Дьяконов? 15^ предложил обойти эту трудность следующим образом. Он рассматривал задачу дифракции электромагнитного поля на двух неконцентрических шарах и, используя теорему сложения для сферических функций 59 ], получил регулярную бесконечную систему для коэффициентов разложения поля в ряд Дебая. После этого радиус внешнего шара устремлялся к бесконечности и Б. П. Дьяконов приходил к бесконечной системе для коэффициентов разложения поля исходной задачи дифракции на шаре в двухслойном пространстве. Метод получения бесконечной системы, пред ложенный Б. П. Дьяконовым, применялся рядом авторов в последующие годы. используя метод.

Дьяконова, исследовал задачу дифракции электромагнитного поля на неоднородном по радиусу шаре, расположенном в полупространстве. £е/>-№£ 56 ] в дискуссии с указывает, сославшись на свою работу Д, что можно получить бесконечную систему для коэффициентов более рациональным путем, используя прямое переразложение поля из цилиндрической в сферическую систему координат. ?Р^илаУ^-, исследуя задачи дифракции электромагнитного поля на шаре в двухслойном [72] и трехслойном пространстве, также применял метод Дьяконова для получения бесконечной системы относительно коэффициентов разложения поля в ряд Дебая.

Отметим, что метод получения бесконечных систем линейных уравнений широко применялся при исследовании задач дифракции электромагнитного поля на двух телах. Еще в 1935 году? 75 ], исследуя задачу дифракции электромагнитного поля на двух малых шарах, пришел к бесконечной системе линейных уравнений для коэффициентов разложения поля в ряд Дебая. Используя теорему сложения для сферических функций ^ 59^, Л/е.? 69 ] исследовал электромагнитное поле, дифрагирующее на двух шарах, расположенных в однородном пространстве. Е. А. Иванов получил теорему сложения для сфероидальных функций? 27J. Используя ее, а также теорему сложения для сферических функций [ 55, 59], он исследовал задачи дифракции электромагнитного поля на двух шарах [ 31], на двух сфероидах? 28, 31 ] и на двух дисках? 29, 30] С как вырожденных сфероидах) в однородном пространстве. Отметим, что В. И. Розенберг? 45], используя тот же метод, получил бесконечную систему для коэффициентов в случае дифракции электромагнитного поля на произвольной совокупности шаров в однородном пространстве.

После выхода в свет работ В. Т. Ерофеенко |^21, 22, 23^, в которых он получил теоремы переразложения для решений уравнения Гельмгольца в цилиндрической и сферической системах координат в осесимметричном случае, появилась возможность более простого (по сравнению с методом Дьяконова) способа получения бесконечной системы уравнений для задачи дифракции электромагнитного поля на шаре, расположенном в двухслойном пространстве. Эта задача исследовалась в работе [ 24 ], где для осесимметричного случая получена такая же бесконечная система, как и у Б. П. Дьяконова. Таким образом, бесконечные системы, полученные по методу Ерофеенко, отличаются от бесконечных систем, полученных по методу Дьяконова, лишь более простым выводом. Переразложения решений уравнений Максвелла получены также в работах [^57, 58^. В. Т. Ерофеенко [ 25, 261 получил теоремы переразложения из цилиндрической системы координат в сферическую для неосесим-метричных задач.

Отметим, что существует еще один путь получения бесконечной системы для коэффициентов, /е-е. исследовал осе-симметричную? 67 ^ и неосесимметричную ^ 68 ^ задачи дифракции электромагнитного поля на шаре в плоскослоистом пространстве. Он исходил из интегрального уравнения, являющегося обобщением формул Стрэттона-Чу для слоистых сред. Подставляя в это уравнение тензорную функцию Грина и неизвестное поле в виде разложения по сферическим функциям, получает для коэффициентов разложения искомого поля в ряд Дебая бесконечную линейную систему, аналогичную тем, которые получаются методами Дьяконова и Ерофеенко.

Представление тензорной функции Грина плоскослоистого пространства в виде ряда по сферическим функциям эквивалентно наличию переразложений для решений уравнений Максвелла из цилиндрической системы координат в сферическую.

Таким образом, изложенные методы позволяют получать бесконечные регулярные системы уравнений для коэффициентов разложения искомого поля в ряд Дебая в задаче дифракции электромагнитного поля на шаре, расположенном в плоскослоистом неоднородном пространстве. Отсутствие работ, посвящен' ных исследованию таким методом задачи дифракции электромагнитного поля на отличных от шара телах, расположенных в плоскослоистом пространстве, обусловлено прежде всего отсутствием теорем переразложения для электромагнитного поля из цилиндрической системы координат, связанной с плоскослоистым пространством, в систему координат, связанную с телом. Отметим, что в перечисленных работах для исследования полученных бесконечных систем применялись численные методы, хотя в некоторых случаях при хорошей сходимости системы возможно получение приближенных аналитических выражений для электромагнитного поля.

Другим аналитическим методом решения задач дифракции электромагнитного поля на локальных неоднородностях, расположенных в плоскослоистом пространстве, является метод отражений, применяемый к задачам дифракции на таких телах, размеры которых много меньше длины волны в окружающей среде. Известно, что при падении на малое тело плоской волны отраженное от тела поле С то есть возмущение поля, связанное с наличием тела) может быть представлено суперпозицией полей диполей, расположенных внутри тела 7, 42,.

63. Дипольные моменты этих эквивалентных диполей прямо пропорциональны значению падающего поля в центре тела. В работах 76 ^ найдено поле в двухслойном пространстве в присутствии однородного малого шара. В них принято, что источник электромагнитного поля расположен далеко от тела, и шар заменяется диполями по указанному выше методу. Таким образом, полное поле представляется суперпозицией полей исходного источника и диполей, расположенных в центре шара, в двухслойном пространстве. Очевидно, что это приближение справедливо в том случае, когда шар расположен далеко от плоской поверхности раздела, ибо не учитываются отражения типа шар — плоскость. А. А. Кауфман в работе [ 32^ показал, что и при близком расположении диполя, возбуждающего поле, шар можно заменить эквивалентным диполем. Он исследовал задачу дифракции электромагнитного поля магнитного диполя на однородном шаре, расположенном в свободном пространстве, считая, что радиус шара много меньше длины волны в окружающей его среде. Предполагалось также, что расстояние от источника поля до шара много меньше длины волны в однородном пространстве, но при этом расстояние от центра шара до диполя и до точки наблюдения значительно больше радиуса шара. Входящие в коэффициенты разложения электромагнитного поля в ряд Дебая сферические функции Бесселя были представлены главными членами при малых значениях аргументов. Отраженное от шара поле с погрешностью порядка отношения радиуса шара к расстоянию до точки наблюдения описывается первым членом ряда Дебая. Полученные результаты А. А. Кауфман использовал в работе ^ 33^, исследуя задачу дифракции электромагнитного поля на малом шаре в полупространстве. Полное поле представлено в виде суперпозиции полей исходного диполя и эквивалентных диполей, расположенных в центре шара, в двухслойном пространстве. Тем самым, снова не учтено влияние отражений типа шар — плоскость, откуда следует указанное выше ограничение на расположение шара относительно плоской поверхности раздела. В работе? 60, используя зеркальные граничные условия для отражения от плоской поверхности раздела, учтены отражения типа шар — плоскость. В ней исследовалось электромагнитное поле в двухслойной среде (верхнее полупространство — вакуум, нижнее — хорошо проводящее полупространство) при наличии однородного малого шара. Принято, что источник поля находится далеко от шара. Возмущение поля, связанное с наличием шара, представлено в виде суперпозиции полей эквивалентных диполей, расположенных внутри шара. Использовалось то, что поле в дальней зоне в двухслойном пространстве определяется боковой волной, и, следовательно, падающее на шар первичное поле можно представить в виде плоской волны. Следует отметить, что использование зеркальных граничных условий хотя и позволяет учесть переотражения типа шар — плоскость, однако, не позволяет рассмотреть задачу, в которой шар находится вблизи от плоской поверхности раздела. В работе 64 ] обобщен метод работы? 60 ] для случая тела произвольней формы, но без учета переотражений типа тело — плоскость. О. Г. Козина, используя представление электромагнитного поля в двухслойной сре.

35^, полуде с помощью полей эквивалентных источников чила выражение для поля в дальней зоне при дифракции на полой сферической неоднородности, расположенной в проводящем полупространстве? 36 .В работе [ 39 ] найдено в однократном приближении (без учета отражений типа тело — плоскость) поле, рассеянное сфероидом малых размеров в двухслойном пространстве. Во всех перечисленных работах, за исключением 60, где произведен учет отражений типа шар — плоскость, электромагнитное поле находилось в однократном приближении и предполагалось, что расстояние от тела до поверхности раздела велико.

Отметим еще одну работу, в которой малое тело заменялось источником. И. В. Крутецкий [ 40^, исследуя поле вертикального магнитного диполя в однородном пространстве в присутствии бесконечно проводящего малого по сравнению с длиной волны шара, показал, что отраженное от шара поле может быть представлено полем вертикального магнитного диполя, помещенного в сферически симметричную точку (Я*-^/#, где О- - радиус шара, а? — расстояние от диполя до центра шара). В этой работе, так же, как и у А. А. Кауфмана? 32 ], предполагалось, что расстояние от диполя до центра шара много меньше длины волны в окружающей среде, но, в отличие от работы 32^, поле сдвинутого из центра шара диполя дает правильное выражение для отраженного поля во всем пространстве.

Перейдем к изложению содержания работ, относящихся ко второй группе, в которых проводились исследования задач дифракции электромагнитного поля на локальной трехмерной неоднородности в плоскослоистой среде численными методами.

Помимо рассмотренных выше работ, в которых применялся численный метод решения бесконечных систем, существует целый ряд работ, в которых развивается метод интегральных уравнений применительно к аналогичным задачам. Этот метод заключается в численном исследовании интегральных уравнений, получаемых аналогично формулам Стрэттона-Чу? 48 ] для слоистых сред. В. И. Дмитриев ввел понятие тензорной функции Грина для плоскослоистого пространства [ ю] «В работах [ 12, 17, 1в| предложен метод получения интегральных уравнений в задачах дифракции электромагнитного поля на локальных неод-нородностях в плоскоелоистом пространстве с использованием тензорной функции Грина. Для электромагнитных полей или поверхностных токов получаются интегральные уравнения Фред-гольма второго рода, содержащие интегралы по поверхности тела, ядром которых является тензорная функция Грина. Описанным методом в? 13, 19 ^ исследуется поле, дифрагирующее на диске, помещенном в плоскоелоистую среду, а в? I, 2, II метод применяется к телам вращения. Причем, используя симметрию по азимутальному углу, поле представляется, согласно? 16^, в виде ряда азимутальных гармоник, и интегральное уравнение составляется для отдельной азимутальной гармоники. В работе? 20 J проведено исследование тензорной функции Грина осесимметричных задач. В работах [ 14,43,52J исследуются задачи дифракции электромагнитного поля на локальных трехмерных неоднородностях в плоскослоистой среде при отсутствии осевой симметрии. Размерность полученных интегральных уравнений в этом случае выше. Как уже отмечалось, исследование полученных интегральных уравнений проводилось численными методами (например, поверхность тела разбивается на конечное число кусков, в которых неизвестные подынтегральные функции считаются постоянными). Исследование задач дифракции поля на теле, помещенном в плоскослоистую среду, описанным выше способом проводилось также в работах [ 62, 79]. Л. А. Табаровский 49, 50, 51 ] предложил несколько другой метод получения интегральных уравнений Фредгольма второго рода для аналогичных задач. В работе 34 ^ приведены результаты численного интегрирования для задачи дифракции электромагнитного поля на сплюснутом сфероиде в трехслойной среде. Метод вспомогательных источников, предложенный Л. А. Табаровским, заключается в помещении «фиктивных источников» на поверхность тела, благодаря чему ядром полученных интегральных уравнений является решение задачи дифракции поля различных диполей в плоскослоистом пространстве. Следовательно, эти уравнения аналогичны интегральным уравнениям, описанным выше. Обзор [ 8 ] посвящен численным методам решения задач дифракции электромагнитного поля на локальных неоднородностях.

Остановимся еще на одном численном методе — методе Уотермана (Т — матриц). 65, 66 ] обобщил метод Уотермана [бЗ, 77, 78 ], применяемый для решения задач дифракции поля на телах в однородном пространстве, для случая тела произвольной формы в двухслойной среде. Метод Т — матриц заключается в сведении задачи дифракции к исследованию матричного уравнения для матрицы перехода (Т — матрицы) от коэффициентов разложения падающего поля по ортогональной системе функций к коэффициентам разложения отраженного поля. Исследование матричного уравнения проводится численными методами.

Решения задач дифракции электромагнитного поля на локальных неоднородностях в плоскослоистой среде применяются в геофизических исследованиях. В монографиях? 3,6,44,46 ] обсуждается использование электромагнитного поля при исследовании электропроводности Земли. В обзоре ^ дан каталог геофизических моделей, расчитанных до 1973 года. При решении обратных задач авторы работ 3, 46^ опираются на решения прямых задач, описанные выше. В работах [^4, предлагается новый метод решения обратной задачи обнаружения трехмерной аномалии в Земле. Предполагается, что электромагнитное поле, связанное с присутствием тела, можно аппроксимировать полем дипольных источников, расположенных внутри тела, с неизвестными дипольными моментами. Эти дипольные моменты выражаются в виде квадратур по поверхности раздела Земля — воздух от измеренных полей.

Перечислим основные недостатки изложенных методов, причем, заострим внимание на аналитических методах, так как в нашей работе основной упор делается на метод, исключающий необходимость численного решения задачи. Основным недостатком метода бесконечных систем линейных уравнений для коэффициентов разложения поля в ряд по собственным функциям является ограничение на форму тела, связанное с отсутствием теорем переразложения решений уравнений Максвелла из цилиндрической системы координат в систему координат, в которой поверхность тела является координатной поверхностью (кроме сферы). Другим недостатком метода является необходимость численного исследования бесконечной системы при ухудшении ее сходимости. Аналитическое исследование системы возможно лишь при очень хорошей сходимости. Что касается метода отражений, то во всех работах, за исключением £б0 J, предполагалось, что тело расположено далеко от поверхности раздела, и поле находилось в однократном приближении С без учета переотражений типа тело — плоскость). Зато этот метод позволяет, в отличие от метода бесконечных систем, оценить возмущение, вносимое в поле в плоскослоистой среде малым телом, отличным по форме от шара.

Метод, предлагаемый в данной работе, заключается также в замене тела эквивалентными источниками, но на этом мы не останавливаемся. Опираясь на полученные О. Г. Козиной в работе [ 35^ представления для поля в полупространстве через шля «фиктивных источников» в однородном пространстве и получив аналогичные выражения для задач с другими параметрами, мы будем заменять верхнее полупространство, так же, как и тело, эквивалентными источниками. Вследствие того, что размеры тела и расстояния от него до плоской поверхности раздела и до источника поля малы по сравнению с длиной волны в окружающей среде, удается получить такие эквивалентные источники, с которыми удобно решать задачу дифракции электромагнитного поля в цилиндрической системе координат, связанной с плоскоелоистым пространством, и в системе координат, связанной с телом. Согласно предлагаемому методу, окончательное выражение для электромагнитного поля представляется суперпозицией полей исходного источника и эквивалентных источников, расположенных в области, занимаемой телом, в плоскослоистом пространстве.

Первая глава работы посвящена изложению метода отражений с использованием эквивалентных источников. В ней обсуждается применение этого метода к задачам дифракции электромагнитного поля на трехмерном теле в плоскослоистом пространстве с различными степенями точности. Вторая глава посвящена исследованию осесимметричной задачи дифракции электромагнитного поля на шаре, расположенном в двухи трехслойном пространстве. В этой главе получено формальное выражение для ряда последовательных отражений в случае однородного шара и произвольного плоскослоистого верхнего полупространства. В третьей и четвертой главах рассмотрены не-осесимметричные задачи дифракции электромагнитного поля на шаре и сфероиде в двухслойном пространстве. Пятая глава работы посвящена приложениям изложенных исследований для решения обратных задач. В шести приложениях приведены вычисления, опущенные, в силу своей громоздкости, в основном тексте.

Сформулируем основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод эквивалентных источников для нахождения электромагнитного поля в плоскоелоистом пространстве в присутствии малого тела.

2. Теоремы отражения электромагнитного поля произвольного диполя от шара, сфероида и верхнего полупространства.

3. Исследование электромагнитного поля в трехслойном пространстве в присутствии малого шара и в двухслойном пространстве при наличии малого бесконечно проводящего сфероида.

4. Рекомендации по решению обратной задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Перечислим основные результаты, полученные в работе:

1. Предложен метод эквивалентных источников для исследования задачи дифракции электромагнитного поля на малом выпуклом теле, расположенном в плоскослоистом пространстве. Этот метод заключается в нахождении электромагнитного поля в виде ряда последовательных отражений, который получается путем последовательной замены тела и верхнего полупространства эквивалентными источниками.

2. С помощью переразложений однокомпонентных векторов Герца в цилиндрической и сферической системах координат получено формальное выражение для ряда последовательных отражений в случае однородного шара и произвольного плоскослоистого верхнего полупространства при осесимметричном возбуждении поля вертикальным электрическим или магнитным диполем. Полученный ряд последовательных отражений исследован в частном случае малого, по сравнению с длиной волны в нижнем полупространстве, шара и однородного (для электрического диполя) или двухслойного (для магнитного диполя) верхнего полупространства. Выражение для электромагнитного поля получено в мультипольном приближении, что позволяет использовать его для нахождения поля как в ближней, так и в дальней зоне при произвольном расположении шара относительно плоской поверхности раздела.

3. Получена теорема отражения от двухслойного верхнего полупространства электромагнитного поля вертикального электрического диполя, с помощью которой его поле в трехслойном пространстве в присутствии малого шара найдено в дальней зоне в виде ряда последовательных отражений в дипольном приближении. Полное поле представляется суперпозицией полей исходного диполя и эквивалентного диполя, расположенного в центре шара, в трехслойном пространстве.

4. Получены теоремы отражений поля произвольного диполя от малого бесконечно или плохо проводящего шара, от малого бесконечно проводящего сфероида и от верхнего однородного полупространства. С их помощью выражение для электромагнитного поля произвольного диполя в двухслойном пространстве в присутствии малого шара или сфероида найдено в дальней зоне в виде ряда последовательных отражений в дипольном приближении. Показано, как влияет положение и ориентация диполя, а также форма и положение сфероида на электромагнитное поле в дальней зоне.

5. На основании проведенного исследования даны рекомендации для решения обратной задачи обнаружения локальной трехмерной неоднородности в двухслойном пространстве.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Г. И. Макарову за помощь, оказанную в процессе работы над диссертацией, а также доценту О. Г. Козиной за участие в выборе темы диссертации.

ПРИНОШЕНИЕ I.

Для доказательства интегрального соотношения J г ^ {{ЯТГТ^) «р/ а.

— -. ((/Л г, /е>г') воспользуемся методом математической индукции. Используя вычисленный в? 9 ] интеграл I) ж* (2).

— 1 можно показать, что равенство (I) выполняется при У)-О и П = ±. Следуя методу математической индукции, предположим, что выражение (I) справедливо при П М Если воспользоваться соотношениями, связывающими полиномы Лежандра разных значков? 47 J, то для Лможно получить следующую рекуррентную формулу: т — ¦ 4Хм м.

• (з).

Подставив в (3) выражения для и -?V-.* из (I) и используя рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и сферических функций Бесселя [47^, можно показать, что равенство (I) выполняется при л — //+1. Следовательно, интегральное соотношение (I) справедливо при любом П.