Идентификация нелинейных динамических систем методами теории детерминированного хаоса: На примере исследования вариабельности сердечного ритма

Сердечно-сосудистая система человека является одной из наиболее сложных биологических систем и занимает основополагающее место с точки зрения обеспечения жизнедеятельности организма. Она чутко реагирует на малейшие изменения в состоянии внутренних органов и окружающей среда. Визуальное наблюдение электрокардиограммы пациента традиционно является одним из основных способов получения информации о ее состоянии. Наряду с этим в последние годы медицинские учреждения проявляют все больший интерес к методам автоматизированного контроля состояния сердечно-сосудистой системы человека. Инструментальный подход в кардиологии (как и в других отраслях медицины) традиционно базируется на сопоставлении некоторых количественных показателей, свойственных норме и различным патологиям. Диагностика при этом полностью опирается на соответствие измеряемых параметров данным, накопленным в результате предыдущего опыта и на выводы, полученные другими методами (клинические анализы, история болезни и т. д.). Так, например, благодаря многолетним наблюдениям кардиологов-практиков и исследователей стало известно, что определенные патологии сердечно-сосудистой системы приводят к специфическим изменениям формы электрокардиограммы (ЭКГ). Поэтому измерение взаимного положения, формы и размеров зубцов ЭКГ стало важнейшей составляющей процесса диагностики сердечнососудистых заболеваний. Развитие техники позволило наряду с ЭКГ фиксировать также последовательность временных интервалов между соседними сердечными сокращениями — ритмограмму. Процесс сопоставления параметров ритмограммы с другими данными о состоянии пациента привел к установлению явной связи между показателями вариабельности сердечного ритма и состоянием организма. Внедрение вычислительной техники в медицинские учреждения позволило расширить круг регистрируемых показателей ритмограммы, добавив к среднему значению частоты сердечных сокращений и пульсовой дисперсии спектральную плотность мощности (СПМ) сердечного ритма. Исследователями было замечено, а затем подтверждено большим статистическим материалом, что вид СПМ центрированной ритмограммы связан с определенными изменениями в состоянии сердца. Были предложены некоторые количественные параметры для оценки этих изменений. И лишь после того, как эти параметры были признаны в медицинских кругах, начались исследования их физиологического обоснования. Следствием подобного подхода является, например, тот факт, что не все особенности СПМ сердечного ритма имеют сейчас объяснение с точки зрения физиологии.

Таким образом, процесс признания тех или иных количественных параметров ценными с точки зрения диагностики основывается на сопоставлении этих параметров с иными имеющимися данными. При этом факт совпадения изменений регистрируемого показателя с изменениями сердечно-сосудистой системы, подтвержденными другими методами, является не менее существенным, чем физиологическое обоснование результатов измерений.

Участие специалистов в области математики и технических наук в решении диагностических задач должно быть направлено на разработку методики, алгоритмов и аппаратуры для наиболее достоверного оценивания тех процессов, которые протекают в сердцеизвлечения максимального объема информации о его состоянии и выявления тех показателей, которые оказываются наиболее чувствительными к изменениям состояния сердечно-сосудистой системы.

Развитие отраслей медицины, анализирующих физиологические ритмы, традиционно связано с созданием математических моделей изучаемых ритмов. Так, например, известны модели дыхательного ритма, позволяющие объяснить его особенностимодели, описывающие изменение количества клеток крови во времени и многие другие. Обзор биологических ритмов и математических методов их описания приведен в [1]. Процесс моделирования физиологических ритмов развивается циклически. Признанная математическая модель некоторого процесса используется до тех пор, пока не выявляется ряд явлений, которые не имеют объяснения в рамках данной модели. Это приводит к усовершенствованию модели или построению ее на иных принципах. На основании предлагаемой модели получают набор регистрируемых параметров, используемых для диагностики. Чем больше показателей фиксируется, тем более достоверно может быть решена задача диагностики, так как разные показатели имеют различную чувствительность к конкретным патологиям.

Предполагаемая диссертационная работа посвящена проблеме идентифиV лУ кации нелинейной динамической системы — сердца как генератора ритма. Решение подобной задачи должно опираться на свойства и физиологические характеристики сердца, а также на основополагающие свойства изучаемого процесса — сердечного ритма.

В отличие от традиционного подхода к исследованию сердечного ритма в рамках данной работы учитываются его хаотические свойства. Развиваемый в диссертационной работе подход означает, что ритмограмма рассматривается как хаотический детерминированный процесс, порождаемый нелинейной динамической системой.

Многочисленные исследования, проводимые в последнее десятилетие специалистами в области обработки физиологических данных математическими методами, позволили установить, что динамика многих физиологических процессов, протекающих в организме человека, является хаотической. Хаотические флуктуации наблюдаются не только в сердечном, но и в дыхательном ритме, в электроэнцефалографических данных, при исследовании количества лейкоцитов и содержания гормонов в крови человека, а также являются неотъемлемым свойством многих других процессов, управляемых нервной системой [1, 2]. Нелинейная хаотическая динамика дает организму много функциональных преимуществ. Системы, в которых проявляется детерминированный хаос, способны работать в широком диапазоне условий и поэтому легко адаптируются к изменениям окружающей среды. Хаотическое поведение внешне проявляется в вариабельности (изменчивости) регистрируемых данных. Уменьшение вариабельности, сопровождаемое четко выраженной периодичностью наблюдаемых данных, является проявлением патологических изменений в организме. Так, например, установлено {2], что вариабельность сердечного ритма уменьшается по сравнению с нормой за несколько минут, а иногда и за несколько месяцев перед внезапной остановкой сердца. Проявление хаотической динамики у здорового организма, конечно, не означает, что абсолютно все патологические изменения связаны с уменьшением хаотичности и проявлением повышенной регулярности. Однако своевременное измерение параметров хаотического поведения физиологических процессов может облегчить задачу диагностики состояния организма и уменьшить вероятность тяжелого заболевания или смерти пациента.

В связи с тем, что методики и алгоритмы, направленные на изучение вариабельности сердечного ритма, завоевали прочные позиции в клинической и исследовательской медицине, рабочая группа Европейского кардиологического общества и Северо-Американского общества стимуляции и. электрофизиологии разработала Рекомендации, регламентирующие характер и направления исследования ВСР [3].

В Рекомендациях, в частности, указывается, что спектрально-временные методы анализа вариабельности сердечного ритма (ВСР) к настоящему времени достаточно хорошо изучены и дальнейшие их усовершенствования должны быть направлены лишь на увеличение точности получаемых оценок и разработку программно-аппаратных средств для полностью автоматического измерения параметров ВСР. Вместе с тем, утверждается, что алгоритмы, направленные на исследование динамики кардиоинтервалов и переходных состояний ВСР разработаны недостаточно, в то время, как наличие подобных методов и алгоритмов могло бы существенно улучшить понимание процессов, приводящих к различным изменениям в сердечном ритме.

Согласно Рекомендациям Европейского Кардиологического общества и Северо-Американского общества стимуляции и электрофизиологии, изучение применимости методов нелинейной динамики для анализа вариабельности сердечного ритма, а также разработка математических моделей и алгоритмов для лучшей адаптации принципов измерений к физиологической природе сердечного ритма являются в настоящее время одними из наиболее приоритетных направлений исследований, что подтверждает актуальность темы данной диссертационной работы.

Актуальность работы подтверждается также тем, что ряд исследований проводился в рамках НИР РС-25 и РС-28, а также присуждением грантов для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов Санкт-Петербурга 1997 и 1998 гг и гранта СПбГЭ ТУ 1999;2000 гг.

При проведении исследований использовались аналитические методы теории нелинейных динамических систем, теории детерминированного хаоса, теории аффинных преобразований и фрактальной геометрии, а также методы имитационного моделирования.

Основные и промежуточные результаты были представлены на 11 Российских и международных конференциях [4−14], а также на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ 1995;1999 гг.

По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 2 авторских свидетельства.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

4.7. Выводы.

Глава 4 диссертационной работы посвящена решению методами фрактальной геометрии задачи идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма) в широком смысле.

Идентификация нелинейной динамической системы в данном случае сводится к решению обратной задачи фрактальных множеств, заключающейся в том, чтобы по виду аттрактора сердечного ритма найти итерационную систему функций, посредством которой он может быть порожден. Обратная задача фрактальных множеств сформулирована в разделе 4.1. В разделе 4.2 рассмотрен метод ее решения, основанный на построении аффинного коллажа. Аффинный коллаж состоит из уменьшенных копий исходного аттрактора, подвергнутых преобразованиям поворота и смещения. В качестве невязки между исходным аттрактором и полученной моделью предложено использовать традиционно применяемую для этой цели метрику Хаусдорфа. Показано, что в соответствии с теоремой о коллаже, увеличивая число его элементов и уменьшая коэфициент сжатия, можно аппроксимировать исходный аттрактор с любой заранее заданной точностью.

В разделе 4.3 приведено теоретическое обоснование эквивалентности нелинейной динамической системы, порождающей сердечный ритм, и модели, заданной итерационной системой функций, реализующей аффинный коллаж.

В разделе 4.4 дано теоретическое обоснование и предложены практические рекомендации по реализации процедуры оптимизации аффинного коллажа. На основании теоремы о непрерывности обоснована допустимость использования градиентных методов оптимизации параметров коллажа. Ввиду того, что теорема о коллаже не накладывает ограничений на вид используемых сжимающих функций, для упрощения оптимизации коллажа предложено использовать аффинные преобразования подобия, характеризующиеся одинаковым коэффициентом сжатия по каждой из координат пространства, в котором расположен аттрактор. Выбрана форма представления матрицы коэффициентов аффинного преобразования, основанная на произведении матриц вращения Гивенса. Подобное представление позволило существенно уменьшить число параметров коллажа, подвергаемых оптимизации. Для упрощения задачи расположения элементов коллажа предложено осуществить предварительный переход к пространству главных компонент.

В разделе 4.5 рассмотрены два основных метода, применяемые для практического формирования фрактала, после того, как определены параметры аффинного коллажа. Для построения фрактальной модели сердечного ритма предложено использовать алгоритм случайных итераций, позволяющий получить не только сам аттрактор, но и временную последовательность отсчетов, обладающую теми же метрическими свойствами, что и изучаемый процесс.

В разделе 4.6 приведены результаты построения ИФС применительно к реальным ритмограммам. Ввиду того, что полная оптимизация параметров аффинного коллажа является весьма длительной и трудоемкой, разработана квазиоптимальная процедура, позволяющая получить аффинный коллаж, состоящий из четырех элементов. Расположение и степень сжатия элементов коллажа определяются размерами исходного аттрактора и не требуют оптимизации. Полученные значения невязки между исходным аттрактором и квазиоптимальным коллажем не превышают 15% от наибольшей протяженности аттрактора, что можно считать весьма приемлемым результатом. Показано, что дальнейшее уменьшение невязки возможно при увеличении числа элементов коллажа и уменьшении коэффициентов сжатия, что требует дополнительных временных и вычислительных затрат.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Целью диссертационной работы являлось решение задачи идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма) на основе теории детерминированного хаоса. Под идентификацией динамической системы в работе понималось построение математической модели системы и вычисление ее параметров.

В отличие от традиционного подхода, в рамках данного исследования при построении модели сердечного ритма и разработке алгоритмов для оценивания ее характеристик учитывались хаотические свойства сердечного ритма. При этом ритмограмма рассматривалась как хаотический детерминированный процесс, порождаемый нелинейной динамической системой (сердцем как генератором ритма).

Проведенные исследования позволили получить следующие результаты.

1. Проведены классификация и сравнительный анализ современных методов исследования вариабельности сердечного ритма.

2. Исследована возможность применения традиционных методов теории нелинейных динамических систем для оценивания основных показателей хаотического поведения сердечного ритма. В качестве основных количественных показателей, позволяющих судить о наличии или отсутствии хаотического поведения в системе и степени его выраженности, выбраны нижняя граница размерности Хаусдорфа и нижняя граница энтропии Колмогорова, которые могут быть определены по измеренной ритмограмме. На примере анализа отображений, хаотические свойства которых известны, показано, что традиционные методы оценивания данных параметров позволяют получить достоверные результаты лишь при больших объемах выборочных данных (не менее 2000 отсчетов). При регистрации коротких реализации, что является традиционным для исследовании сердечного ритма, общепринятые методы оценивания нижней границы размерности Хаусдорфа и нижней границы энтропии Колмогорова признаны неприменимыми.

3. Для оценивания основных показателей хаотического поведения при малых объемах выборочных данных разработаны алгоритмы, основанные на построении функции распределения вероятности расстояний между точками аттрактора динамической системы. Произведен анализ погрешности предложенных алгоритмов. Показано, что получаемая погрешность в основном определяется объемом выборки и видом функции распределения вероятности расстояний между точками аттрактора.

4. Экспериментально определена размерность вложения аттракторов сердечного ритма. Полученное значение, равное четырем, обусловливает выбор четвертого порядка динамической модели сердечного ритма.

5. Экспериментально исследованы показатели хаотического поведения реальных ритмограмм. Для исследованных ритмограмм оценки нижней границы размерности Хаусдорфа лежат в пределах от 2.75 до 3.96- оценки нижней границы энтропии Колмогорова — в пределах от 0.667 до 1.403. Полученные результаты позволяют предположить, что во многих случаях основные показатели хаотичности могут быть более чувствительными к состоянию сердечно-сосудистой системы, чем традиционно регистрируемые характеристики.

6. Исследовано влияние высокочастотного шума, вызванного ошибками формирования ритмограммы, на устойчивость применяемых алгоритмов. Показано, что для реализаций, в спектре мощности которых явно присутствует высокочастотный шум, вызванный ошибками формирования ритмограммы, предварительная фильтрация с помощью фильтра нижних частот позволяет повысить устойчивость оценок основных показателей хаотического поведения. Установлено, что частота среза подобного фильтра близка к 0.4 Гц.

7. Разработаны методы и алгоритмы для исследования хаотического поведения сердечного ритма, основанные на.

— рассмотрении аттрактора в пространстве главных компонент,.

— оценивании старшего показателя Ляпунова;

— определении фрактальной размерности ритмограммы. Произведены экспериментальное исследование данных характеристик для реальных ритмограмм и анализ их чувствительности по отноше нию к основным показателям хаотического поведения и традиционным показателям.

В. На основе теории фрактальной геометрии разработан метод идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма), позволяющий по аттрактору сердечного ритма решить обратную задачу фрактальных множеств. Используемый метод основан на построении аффинного коллажа.

9. Выбрана форма представления матриц аффинных преобразований, содержащая минимально возможное число ненулевых параметров. Обоснована возможность применения градиентных методов оптимизации параметров коллажа, а также разработан алгоритм оптимизации. Для упрощения задачи расположения элементов коллажа предложено осуществить предварительный переход к пространству главных компонент.

Ю.Теоретически доказана эквивалентность динамической системы, порождающей сердечный ритм, и модели, заданной итерационной системой функций, реализующей аффинный коллаж.

11.С целью уменьшения временных и вычислительных затрат, неизбежных при полной оптимизации параметров аффинного коллажа, разработана квазиоптимальная процедура, позволяющая получить аффин.

168 ный коллаж, состоящий из четырех элементов. Расположение и степень сжатия элементов коллажа определяются размерами исходного аттрактора и не требуют оптимизации. Для реальных ритмограмм экспериментально исследована невязка между исходным аттрактором и квазиоптимальным коллажем. Показано, что уменьшение невязки возможно при увеличении числа элементов коллажа и уменьшении коэффициентов сжатия.

12.Разработаны инженерные методики и программное обеспечение для определения показателей хаотического поведения и параметров динамической модели сердечного ритма.