Идентификация полости в ортотропной упругой полосе

В настоящее время большой научный и практический интерес представляют такие проблемы, как сейсмостойкость сооружений, разведка месторождений полезных ископаемых, проектирование сооружений и безопасность конструкций, работающих в условиях динамического нагружения, прочность которых в значительной степени определяется мелкомасштабными дефектами (включения, микротрещины, поры), и многие другие проблемы, связанные с неразрушающим контролем прочности конструкций. Своевременная диагностика дефектов в элементах конструкций позволяет скорректировать рабочий режим и не допустить разрушения.

Многие из аспектов перечисленных проблем могут быть изучены на основе исследования математических моделей, которые базируются на решениях краевых задач о колебаниях анизотропного слоя с дефектами различной природы: полости, трещины, включения, а также задач об определении конфигурации дефекта и его месторасположения по информации о полях перемещений на поверхности слоя.

С точки зрения причинно-следственной связи задачи о колебаниях упругих тел условно принято разделять на два класса. Первый — класс прямых задач (ПЗ), целью которых является определение волнового поля в упругом теле на основе задания граничных нагрузок. Второй класс это обратные задачи, в которых требуется по известным полям смещений, заданным на части границы области, определить местоположение и конфигурацию полости. В последнее время методы решения ОЗ активно разрабатываются, что связано с моделированием различных динамических процессов в упругих средах (дефектоскопия, геофизика, сейсморазведка).

Также надо отметить, что учет анизотропии продиктован свойствами сталей, грунтов и композитов, и т. д. Расчеты волновых полей на основе модели ортотропной среды для таких видов материалов более адекватно описывают процессы распространения волн, нежели расчеты на основе модели изотропной среды [3].

Задачи динамической теории упругости о колебаниях слоистых сред тел изучались в работах И. И. Воровича [49−51], В. А. Бабешко [4, 6, 49], А. О. Ватульяна [30, 34⁴⁶], И. П. Гетмана, Ю. А. Устинова [56], А. Н. Соловьева [9, 45, 46], А. В. Белоконя [11, 12], Сумбатяна [11, 21, 42, 50, 51], Н. В. Боева [21, 51], А. А. Ляпина [72], М. Г. Селезнева [82], Р. В. Гольдштейна [58], А. Г. Угодчикова, Н. М. Хуторянского [87], В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко [60], А. Ф. Улитко, Н. А. Шульги [90], Е.В. и Н. В. Глушковых [3], А. Н. Гузя, В. Д. Кубенко, М. А. Черевко [61, 62], Т. В. Рангелова [144], D. Kolton, R. Kres [110— ИЗ, 130], J.D. Achenbach [92, 154], Y. Niwa, S. Kobayashi [138−140], G.D. Manolis [134] и других отечественных и зарубежных авторов [25, 35, 36, 39, 41, 43, 44, 65, 76, 77, 95, 96, 100, 106, 106, 117, 118, 121, 122, 123, 142]. В отмеченных исследованиях использовались методы сведения динамических задач к граничным интегральным уравнениям, сведение к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, метод многократных отражений, метод суперпозиции. Кроме отмеченных подходов для решения исследуемых задач применялись методы интегральных преобразований и метод, основанный на применении теоремы взаимности.

По типу приложенной нагрузки, возбуждающей колебания тела, прямые и обратные динамические задачи принято разделять на стационарные, когда рассматривается установившийся во времени режим колебаний, и нестационарные, когда осуществляется импульсное воздействие на объект. В последнем случае реконструкция дефекта осуществляется по времени прихода и амплитуде отраженного сигнала. С позиции построения операторных соотношений такие задачи значительно сложнее по сравнению со стационарными задачами.

Одним из наиболее эффективных методов решения стационарных задач колебаний тел с полостями, особенно неканонической формы, является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), которому посвящен ряд работ [20, 22, 23, 68, 87, 134].

Согласно этому подходу, исходная краевая задача при помощи функций Грина сводится к системам граничных интегральных уравнений относительно функций смещений на контуре дефекта. Основная идея метода ГИУ состоит в построении операторных связей между значениями’искомых функций внутри рассматриваемой области и на ее границе. Метод ГИУ для слоистой среды позволяет снизить размерность исследуемой задачи на единицу и перейти к рассмотрению систем интегральных уравнений только лишь по границе дефекта, а также сформулировать систему операторных уравнений для решения обратной задачи. На основе решения систем граничных интегральных уравнений возможно построение волнового поля перемещений в исследуемой области. Методу сведения краевых задач к системам ГИУ и построению функций Грина для большого числа операторов с постоянными коэффициентами посвящены работы [1, 12, 37, 38, 69, 94, 105, 129, 131, 139−141, 144, 151, 154].

Надо отметить, что исследование прямых задач для слоистых сред сопряжено с вычислительными трудностями. Особое внимание уделено! эффективным методам решения интегральных уравнений и систем, а так же их численной реализации для построения волновых полей, таких как, метод конечных элементов (МКЭ) [57, 133], асимптотический метод [88], метод граничных элементов (МГЭ) [20, 22, 23, 68, 87]. Наиболее эффективным методом является метод ГЭ, в соответствии с этим подходом, граница области аппроксимируется ломаной, на каждом элементе которой неизвестные функции интерполируются при помощи набора базисных функций. Системы ГИУ записываются в дискретной форме и вычисляются интегралы по каждому граничному элементу. В результате применения МГЭ система ГИУ сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений неизвестных функций смещений на полости.

В настоящей диссертационной работе методы ГИУ и ГЭ применены к задачам о колебаниях ортотропного слоя на основании построенных функций Грина в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости. Следует отметить, что такое представление функций Грина позволяет эффективно строить коэффициенты матриц систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), к которым сводятся системы ГИУ на основе МГЭ в виде однократных интегралов при простейшей аппроксимации поля смещений на элементе и рассчитывать волновые поля в любой точке среды.

Обратные задачи идентификации полостей [30, 51, 59, 97, 104, 110, 130] уже давно являются предметом исследования в механике и привлекают внимание многих ученых ввиду практического приложения во многих областях науки и техники. Задачи определения местоположения и конфигурации дефектов встречаются в геофизике, сейсморазведке и строительной промышленности, медицине. Однако исследование обратных задач достаточно сложно. В первую очередь это связано с тем, что как правило, такие задачи нелинейны и некорректны [8, 30, 127, 128, 130], и для их решения необходимы методы исследования с учетом этих свойств. Одним из основных моментов при решении обратных задач является формулировка условий единственности решения [111, 142].

С математической точки зрения обнаружение дефектов в упругой среде по измеренным полям перемещений на границе тела приводит к достаточно сложным и малоизученным обратным геометрическим задачам теории упругости, при решении которых используются различные подходы. Один из них основан на рассмотрении дефекта в волноводе и определении его характеристик по амплитудам и фазам распространяющихся волн. Другой подход опирается на дифракционную постановку, в которой неизвестный дефект, расположенный в неограниченной плоскости или пространстве, определяется по данным диаграмм направленности [51, 66]. Эта постановка приводит либо к нелинейным операторным уравнениям, либо к минимизации неквадратичного функционала невязки. Однако такая постановка неприменима при наличии приповерхностных дефектов. В этом случае граница тела оказывает существенное влияние на формирование поля перемещений в упругом теле, в том числе и у границы. В этом случае необходимо рассматривать модель полупространства с внутренней полостью для расчета полей перемещений и в рамках этой модели решать обратную задачу. Для правильного расчета волновых полей необходим учет граничных поверхностей и составление граничных уравнений по границе полости. Формулировкам таких уравнений посвящены многочисленные работы [36 -40,44,66,94, 105, 107,146].

Наиболее используемые методы определения внутренних дефектовакустические [50,52, 59, 63, 64]. При этом используются разнообразные подходы, позволяющие выявить наличие дефекта, основанные на измерении компонент физических полей. В настоящее время существует несколько подходов решения ОЗ динамической теории упругости по определению неизвестного дефекта, которые основаны на измерении компонент физических полей на границе тела.

Первый подход основан на сведении краевой задачи, описывающей колебания тела с дефектом, к системам граничных уравнений по границе полости. Последние уравнения являются базовыми для формулировки разрешающих уравнений в обратных задачах об определении формы полости. При решении таких задач с помощью метода линеаризации получаются операторные уравнения 1-го рода с гладкими ядрами, которые требуют регуляризации. Они могут быть решены с помощью сочетания метода граничных элементов и методов регуляризации [74, 86, 132, 143].

Другой подход основан на некоторой априорной информации о малости характерного размера дефекта. В этом случае используются асимптотический метод и приближение Борна или так называемый метод однократного рассеивания [88, 137] для расчета волновых полей.

В работах [46, 108, 149, 152] для решения обратных задач определения дефекта, в частности идентификация параметров трещины и восстановления упругих постоянных ортотропного материала использованы новые вычислительные технологии, такие как генетические алгоритмы [70, 119,124].

Все вышеизложенное определяет актуальность и практическую значимость настоящей работы.

Целью настоящей работы является решение обратной задачи идентификации цилиндрической полости в ортотропной упругой полосе по полям смещений, измеренных на части его верхней границы. Задача решается в два этапа. На первом этапе строятся волновые поля смещений в слое по известным граничным нагрузкам. На втором этапе, на основании решения прямой задачи и дополнительной информации о волновых полях решается обратная задача определения месторасположения и конфигурации цилиндрической полости. Прямая задача решается при помощи метода ГИУ, который позволяет перейти к рассмотрению интегральных уравнений в ограниченной области. Дальнейшее исследование полученных систем ГИУ осуществляется с позиций двух подходов. Первый из них связан с дискретизацией ГИУ на основе метода граничных элементов. В результате получается система линейных алгебраических уравнений для определения узловых значений функций смещений на полости, которые используются в-дальнейшем при построении волнового поля перемещений в слое, в частности для определения поля перемещений на верхней границе слоя. Второй подход связан с решением ГИУ на основе асимптотического подхода для полостей малых характерных размеров. При наличии априорной информации о малости относительного размера дефекта анализ систем ГИУ позволяет построить поля смещений на контуре, не прибегая к дискретизации ГИУ методом ГЭ. Поля на поверхности также строится исходя из малости характерного размера полости и известных функций смещений на полости.

Решение обратной задачи строится на основе информации о полях смещений, измеренных на верхней границе слояв качестве входной информации при решении обратной задачи задаются значения поля перемещений на верхней границе слоя, полученные из решения прямой задачи.

Для реконструкции цилиндрических полостей, где направляющая имеет произвольную конфигурацию, существует несколько подходов. Опишем их кратко.

1. Метод линеаризации исходной системы нелинейных уравнений в окрестности некоторого начального положения полости. Такой подход был реализован в работах [35, 36, 40]. Основная идея метода состоит в построении итерационной процедуры на основании линеаризованных уравнений, на каждом шаге которой происходит уточнение начального приближения неизвестного контура полости. Однако при таком подходе к решению задачи* идентификации дефекта на сходимость итерационного процесса существенно влияет выбор начального приближенияконтура полости.

2. Метод регуляризации на компактных множествах. Для реализации настоящего подхода необходимо наличие априорной информации о принадлежности контура дефекта кольцу с известными радиусами и центром. Такой подход к проблеме описан в работе [66].

3. Метод регуляризации на конечномерных множествах. Такой метод реализуется при наличии априорной информации о том, что контур дефекта однозначно описывается конечным числом параметров таких как, например, характерный размер контура, его площадь, месторасположение в слое, определение которых и есть решение обратной задачи. Поиск характеристик дефекта осуществляется из условия минимума неквадратичного функционала невязки.

Целью исследования обратной задачи теории упругости о реконструкции дефекта в ортотропном упругом слое было предложить практические рекомендации по выбору частоты колебаний, определить диапазон частот, наиболее эффективных с точки зрения реконструкции параметров дефекта и дать рекомендации по выбору точек зондирования на поверхности слоя, в которых будут произведены измерения компонент поля перемещений.

В настоящей диссертационной работе при решении обратной задачи идентификации дефекта особое внимание уделено первому и третьему подходам. Также в рамках третьего подхода рассмотрена идентификация цилиндрических полостей малого характерного размера на основании асимптотического подхода. Стоит отметить, что поиск минимума функционала невязки осуществлялся итерационной процедурой, которая на каждом шаге рассчитывала поля на поверхности слоя на основе МГЭ. В случае асимптотического подхода удалось получить расчетные формулы полей смещений на контуре полости и полей перемещений на поверхности слоя, что позволило при таком подходе сократить на порядок машинное время, затраченное на поиск минимума неквадратичного функционала:

Научная новизна результатов работы В настоящей работе впервые получены расчетные формулы решения прямой задачи теории упругости об установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя с цилиндрической полостью кругового поперечного сечения на основе асимптотического подхода. Разработаны и развиты численные методы решения прямых и обратных задач о колебаниях слоя с полостью, установлены границы применимости асимптотических подходов при решении прямых. и обратных задач.

Практическая ценность Практическая ценность результатов настоящего исследования состоит в развитии метода ГИУ, методов идентификации полостей малых характерных размеров. Выявлена зависимость эффективности восстановления геометрии контура от частоты зондирования, расположения точек зондирования на > поверхности слоя.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2006 г., 2007 г.), на IV, V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк 2006, 2008 гг.), на III и IV школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, г. Краснодар 2004, 2007 гг.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Достоверность результатов Достоверность выносимых на защиту результатов работы основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении краевых задач для слоя с цилиндрической полостью произвольного поперечного сечения к системам ГИУ. Полученные результаты в настоящей диссертационной работе подвергались проверке путем сравнения с результатами полученными иными способами. Так, например, получение расчетных формул в асимптотическом подходе при решении прямой задачи проводилось четырьмя различными способами. Проведено также сравнение решения прямой задачи полученного в рамках асимптотического подходас решением, полученным на основании метода граничного элемента для различных вариантов дискретизации систем ГИУ.

Во введении приводится обзор основных проблем и результатов исследований в области изучения колебаний слоистых сред, проводившихся отечественными и зарубежными учеными. Обосновывается необходимость развития новых подходов к исследованию задач о колебаниях тел с дефектами.

Главы 1, 2, 3 посвящены решению прямой задачи о построении волновых полей перемещений в слое, глава 4 посвящена решению обратных задач идентификации полостей в ортотропном слое.

Первая глава диссертации посвящена постановкам задач, которые рассмотрены в настоящей работе и состоит из пяти параграфов. В параграфе.

1 дана общая постановка задач* о вынужденных колебаниях полосы с полостью произвольной конфигурации. В параграфах 2, 3 изложены постановки прямых задач: антиплоской (задача 1) и плоской (задача 2), о колебаниях ортотропного слоя с полостью цилиндрической формы. В параграфах 4, 5 даны постановки обратных задач идентификации полостей произвольной конфигурации по заданным на границе полям перемещений в случае антиплоских и плоских колебаний слоя.

Вторая глава посвящена сведению исходных краевых задач к системам интегральных уравнений и их исследованию, и состоит из четырех параграфов. В параграфе 1, 2 строятся специальные фундаментальные решения (функции Грина) в случае плоских и антиплоских колебаний ортотропного слоя. Функции. Грина удовлетворяют условиям излученияи представлены в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости. Они представлены в виде суммы фундаментального решения для неограниченной среды и регулярнойвсюду, за исключением границ добавки, которая в сумме с решением для неограниченной среды удовлетворяет однородным граничным условиям. В параграфе 3 изложеносведение краевых задач к системам ГИУ на основании динамической теоремы взаимности. В этом случае система ГИУ относительно неизвестных функций смещения, на контуре нерегулярна, при этом ядра полученных ГИУ выражаются в виде интегралов, по контуру в комплексной плоскости. Построены волновые поля в полосе в случае одной или двух полостей. В четвертом параграфе настоящей главы осуществлена дискретизация полученных систем ГИУ на основе МГЭ. Здесь неизвестная функция смещений на каждом элементе интерполировалась постоянной или линейной функцией. В параграфах 5 и 6 представлены результаты проведенных численных экспериментов решения систем ГИУ и построения волновых полей смещений на верхней границе слоя для задач 1 и 2 соответственно. Результаты проведенного численного анализа рассматриваемых задач в виде графиков вынесены в приложение. Приведенные графики отражают влияние частоты, геометрии полости и ее расположения в слое на основные характеристики возбуждаемых в среде волновых полей и иллюстрируют эффективность предлагаемого метода расчета волновых полей в ортотропном упругом слое с полостями произвольной конфигурации. Данные таких расчетов были использованы в качестве входной информации при решении обратных задач 3 и 4 соответственно при антиплоских и плоских колебаниях слоя. Анализ поля на поверхности в задачах 1 и 2 позволяет сделать наиболее эффективным выбор точек зондирования для лучшей реконструкции полости в обратных задачах, речь о которых пойдет в 4-й главе.

Третья глава посвящена асимптотическому подходу построения волновых полей в слое с полостью малого характерного размера и содержит два параграфа. В первом изложен асимптотический подход и приближение Борна к исследованию задачи колебаний слоя с цилиндрической-полостью малого характерного размера. В рамках приближения Борна или так называемого приближения однократного рассеивания поля смещений на контуре заменяется эталонными полями. Если направляющая цилиндрической полости — окружность, то удается получить явное представление для полей смещений на контуре, выраженное через эталонные поля смещений (поля смещений в слое без полости). Приведено сравнение описанных подходов решения задачи о колебаниях слоя с малой полостью и определена область применения таких подходов к решению задач 1, 2 в зависимости от характерного размера полости и числа распространяющихся волн в слое. В параграфе 2 описаны численные эксперименты расчета волновых полей на полости и на поверхности слоя в зависимости от частоты колебаний и размера дефекта. Проведено сравнение таких волновых полей с полями, рассчитанными для таких же задач, но при использовании МГЭ. Проведен анализ численных данных и выявлена область корректной работы асимптотического подхода и приближения Борна. Результаты проведенных численных экспериментов рассматриваемых задач 1, 2 в виде графиков вынесены в приложение.

Четвертая глава посвящена решению обратной задачи об идентификации полости в слое по полям смещений, заданным на части верхней границы слоя. В первом параграфе представлены основные методы исследования обратных задач динамической теории упругости и сформулированы операторные уравнения, к которым сводятся исследуемые обратные задачи (задача 3 и задача 4) в случае антиплоских и плоских колебаний слоя с цилиндрической полостью произвольной конфигурации. В параграфе 2 дана линеаризованная постановка обратных задач о колебания слоя с полостью. Получены операторные уравнения 1-го рода с гладкими ядрами. В параграфе 3 изложен метод регуляризации на конечномерных множествах. В рамках такого подхода обратная задача сводится к определению конечного числа неизвестных параметров, характеризующих дефект, которые определяются из условия минимума неквадратичного функционала невязки. Поиск минимума осуществлялся генетическим алгоритмом и методом оврагов. В параграфах 4, 5 приведены численные исследования задач 3 и 4 для различных конфигураций дефекта и его местоположения. Представлены результаты численных расчетов задач 3 и 4 в случае малого характерного размера полости. Осуществлено сравнение методов определения параметров полости на основе ГЭ подхода и минимизации функционала невязки с асимптотическим методом. Выявлены преимущества и недостатки обоих методов. На основании численных экспериментов даны практические рекомендации по выбору и расположению точек зондирования, а также установлен диапазон частот, наиболее эффективных с точки зрения реконструкции параметров дефекта.

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в 11 работах [16 — 19, 31 -33, 47, 83, 84], опубликованных в открытой печати, из них 2 статьи в журналах, определенных ВАК РФ для публикации основных научных результатов. В цикле работ [31 — 33, 47] А. О. Ватульяну принадлежит постановка задач и идеи их решения, О. А. Беляк (Суворовой) принадлежит решение прямой и обратной задач на основе асимптотического подхода, создание программ для численной реализации метода ГИУ, расчеты и анализ полученных результатов. В работе [18] И. В. Баранову принадлежит модуль, который реализует генетический алгоритм, О. А. Беляк осуществлено создание программы, использующей данный модуль для расчета поставленных обратных задач. В работе [19] Беляк О. А. принадлежит решение задачи о колебаниях слоя с полостью в рамках асимптотического подхода, Явруян О. В. принадлежит решение задачи о колебаниях слоя с трещиной в рамках асимптотического подхода.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Разработаны методы сведения краевых задач, описывающих установившиеся колебания ортотропного слоя с цилиндрической полостью произвольной конфигурации, к системам ГИУ с нерегулярными ядрами.

2. Развиты численные методы расчета полей смещений на базе дискретизации систем ГИУ на основе МГЭ (постоянные и линейные граничные элементы) применительно к задаче о колебаниях ортотропного слоя с цилиндрической полостью произвольной конфигурации.

3. Создан комплекс программ на языке программирования Fortran, позволяющий производить расчеты полей смещений в задачах 1, 2- произведена серия расчетов для полостей различной конфигурации для различного числа бегущих волн.

4. Разработан асимптотический подход для расчета волновых полей в случае колебаний ортотропного слоя с цилиндрической полостью малого характерного размера, на основе сравнения с МГЭ оценена область применимости асимптотического подхода и приближения однократного рассеяния (приближение Борна).

5. Решена задача идентификации параметров цилиндрической полости по полю смещений на части границы слоя в рамках асимптотического подхода.

6. Разработаны численные методы решения обратной задачи об определении формы цилиндрической полости произвольной конфигурации в ортотропной упругой полосе на основании информации о поле перемещений на части границы слоя, которые реализованы в среде Delphi.

Заключение

.