Образование несферических гравитирующих объектов и эффекты гравитационного линзирования

Диссертация посвящена исследованию динамики образования несферических гра-витирующих объектов, в частности приближенным методам изучения формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи и образования очень длинных гравитационных волн, и гравитационному линзированию на таких волнах, а также другим эффектам гравитационного линзирования, важным при распространении света в космическом пространстве.

Образование крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

Согласно современным космологическим представлениям основную долю вещества во Вселенной составляет так называемая темная материя. В настоящее время природа темной материи остается невыясненной, несмотря на многочисленные теоретические п экспериментальные исследования. Темная материя проявляет себя посредством гравитационного взаимодействия с окружающими объектами. Существование темной материи устанавливается на основе различных наблюдательных данных: наблюдение за движением галактик в скоплениях, исследование кривых вращения галактик, эффекты гравитационного линзирования, и на основе флуктуаций реликтового излучения.

При исследовании формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи часто используется численное моделирование на основе решения. уравнений гидродинамики и уравнений движения большого числа частиц в собственном гравитационном поле. Такое численное моделирование занимает большое количество времени, поэтому представляется важным разработать упрощенный подход. Упрощенный феноменологический подход, основанный на рассмотрении эллипсоидальных фигур, может позволить исследовать и сравнить различные варианты задачи, при этом появляется возможность увидеть некоторые особенности проблемы, которые не выявляются в процессе длительной численной работы [1].

Теория равновесных эллипсоидальных фигур разрабатывалась многими исследователями (Ньютон, Маклорен, Якоби, Пуанкаре, Чандрасекхар). Последовательное изложение теории приведено в классической книге Чандрасекхара [2]. В ней на основе вириального метода исследованы различные типы самогравнтнрующих эллипсоидов. Рассмотрены случаи идеальной и вязкой жидкостей, динамическая и вековая неустойчивости эллипсоидов из несжимаемой жидкости. В частности, найдены точки динамической и вековой неустойчивости сфероида Маклорена относительно его превращения в эллипсоид Якобп. В работах [3], [4] вириальный метод был применен для вращающихся самогравитирующих газовых сфероидов без давления, был получен рост аксиально несимметричных возмущений в процессе коллапса. Численные исследования коллапсирующих сфероидов без давления были выполнены в [3] и [5]. Динамика невращающейся сферы в двух измерениях была рассмотрена в [6]. Подробный обзор этой тематики сделан в статье [7].

Современные исследования вращающихся фигур связаны, во-первых, с быстро вращающимися звездами, во-вторых, с крупномасштабной структурой Вселенной. Детальное описание эллипсоидальной модели вращающихся звезд можно найти в работах-^], [9], [10]. Р1спользуя вариационный ирипцпп, авторы вывели и исследовали уравнения эволюции сжимающегося Риман-С эллипсоида, с учетом вязкой диссипации и гравитационного излучения. Решения этих приближенных уравнений позволяют получать равновесные модели и исследовать их динамическую и вековую устойчивость. В статье [11] с использованием этих результатов была исследована вековая неустойчивость, вызываемая вязкой диссипацией, и найдена точка неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена.

Современная теория крупномасштабной структуры основывается на идеях Зельдовича [12] о формировании существенно несферических фигур («блины Зельдовича») в результате развития гравитационной неустойчивости. Численные эксперименты, начатые в [13], были проведены впоследствии многими группами и выявили сложные структуры рождающихся объектов (см., например, [14]).

В статье Бисноватого-Когана [1] был развит приближенный подход к образованию крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Были выведены и решены уравнения для упрощенной модели динамического поведения сжимающегося вращающегося сфероида, в котором движение вдоль осей происходит в общем гравптационном поле однородного сфероида и под действием изотропного давления. Подобный подход для исследования движения невращающегося пьтлевого сфероида с нулевым давлением был использован в работе [5]. Зельдович [15] рассматривал динамику вращающегося пылевого эллипсоида с линейной зависимостью скоростей от координат, в этом случае задача решается точно.

В случае структур в темной материи мы имеем дело с бесстолкновительпыми нерелятивистскими частицами, взаимодействующими только гравитационно. Развитие гравитационной неустойчивости и коллапс в темной материи характеризуются бесстолкновительной релаксацией. Эта релаксация основана на идее о бурной релаксации («violent relaxation») Линден-Белла [16]. Численные исследования подобно]! релаксации, основанные на решении уравнений движения большого числа частиц в собственном гравитационном поле, выполнены, например, в работах [17], [18], [19]. В результате невзаимодействия частиц в темной материи сильное сжатие не приводит к образованию ударной волны и дополнительным потерям энергии вследствие излучения. Все потери связаны с уходящими частицами, и релаксация состоит только в перемешивании фаз, которое приводит к превращению кинетической энергии упорядоченного движения (коллапса) в кинетическую энергию хаотического движения и созданию эффективного давления и тепловой энергии. В присутствии хаотического движения блин, формирующийся в процессе коллапса, имеет конечную минимальную толщину, так как частицы пересекают экваториальную плоскость неодновременно. Формируется эффективное давление, которое останавливает сжатие. Эти эффекты могут быть описаны приближенно в феноменологическом подходе, в котором нет ударных волн и основной процесс переноса состоит в эффективной объемной вязкости, ведущей к релаксации и затуханию упорядоченного движения [1].

В работе [1] была выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамическое поведение сжимающегося сфероида, где релаксация и потери масс, углового момента и энергии принимаются во внимание феноменологически. В отсутствие какой-либо диссипации эти уравнения описывают самосогласованную систему, где действуют гравитационная сила и сила теплового давления. Равновесное решение этих уравнений описывает сфероид Маклорена, где плотность не задается, а находится самосогласованно, если известна эффективная энтропия.

В данной работе мы выводим и решаем уравнения динамического поведения в простой модели сжимающегося, однородно вращающегося эллипсоида. Мы получаем уравнения для осей с помощью вариации функции Лагранжа эллипсоида. Корректное описание эффектов давления, достигаемое такие подходом, и добавление релаксации позволяют нам получать динамику движения без каких-либо численных сингулярно-стей. В этой модели движение вдоль осей происходит в общем гравитационном поле однородного эллипсоида и под действием изотропного теплового давления, принимаемого во внимание в приближенном недифференцпалыюм виде. Релаксация ведет к превращению кинетической энергии упорядоченного движения в кинетическую энергию хаотического движения и увеличивает эффективное давление и тепловую энергию. Все потери связаны с уходом частиц из системы. Коллапс вращающегося трехосного эллипсоида аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, где релаксация и потери энергии, массы и углового момента приняты во внимание феноменологически. Система решается численно для различных начальных параметров, характеризующих конфигурацию. Подход в данной работе близок к статье Бисноватого-Когаиа [1], где рассматриваются только сфероиды (а = Ь ^ с) из темной материи (в этом случае мы имеем аналитические формулы для гравитационного потенциала и сил). В описании бурной релаксации и различных видов потерь мы используем подход, аналогичный [1]. В этой работе мы также находим точку вековой неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена, используя выведенные динамические уравнения, а также из анализа равновесных конфигураций. Для этой точки получена простая аналитическая формула.

Применение подобного формализма также дает возможность исследовать динамическую устойчивость ньютоновских газовых самогравитирующих объектов, в случае отклонения от сферического приближения. Запись уравнений движения для осей однородного невращающегося несферического тела и расчет коллапса позволяют расширить понимание динамики и получить качественно новые эффекты, связанные с несферичностью.

Динамическая устойчивость сферических звезд определяется средним показателем адиабаты 7 = Для распределения плотности р = р01р (т/М), звезда в ньютоновской гравитации устойчива относительно динамического коллапса, если.

20], [21]. Этот приближенный критерий становится точным для адиабатических звезд с постоянным 7. Здесь ро — центральная плотность, М — масса звезды, т — масса внутри Лагранжевого радиуса г, так что т = 4тг /0Г рг2? г, М = т (В), В — радиус звезды. Таким образом, сферическая звезда устойчива относительно коллапса в сингулярность, только если 7 > 4/3. Коллапс сферической звезды может быть остановлен только если уравнение состояния становится более жестким, например, при образовании нейтронной звезды на поздних стадиях эволюции, или при формировании полностью ионизованного звездного ядра с 7 = 5/3 при коллапсе облака в течение образования звезды. Если уравнение состояния не становится более жестким, то сферическая звезда в ньютоновской теории сколлапсирует в точку с бесконечной плотностью (сингулярность).

В присутствии вращения звезда становится более динамически устойчивой относительно коллапса. Вследствие более быстрого возрастания центробежной силы в течение сжатия по сравнению с ньютоновской гравитационной силой, коллапс вращающейся звезды всегда останавливается на конечной плотности центробежными силами. В этой работе, с использованием формализма, развитого для динамики эллипсоидов, мы показываем, что отклонения от сферической симметрии у невращающихся звезд с нулевым угловым моментом приводят к подобной стабилизации, и несферическая звезда без диссипативных процессов никогда не достигнет сингулярности. Таким образом, коллапс, происходящий в реальности, связан с различными типами диссипации.

Мы рассчитываем динамическое поведение несферической невращающейся звезды после потери устойчивости и исследуем нелинейные стадии сжатия. Мы используем приближенную систему динамических уравнений, описывающих три степени свободы однородного самогравнтирующего сжимающегося эллипсоидального тела. Мы получаем, что развитие неустойчивости ведет к формированию регулярно или хаотически осциллирующего тела, в котором динамическое движение предотвращает формирование сингулярности. Мы находим области хаотических и регулярных пульсации с помощью построения диаграмм Пуанкаре для различных значений начального эксцентриситета и начальной энтропии. Для простоты мы ограничиваемся расчетом только сфероидальных фигур с 7 = 4/3, и только кратко обсуждаем результаты для 7 = 6/5. Также мы качественно обсуждаем эффекты общей теории относительности на несфе-рпческий коллапс невращающихся тел.

В работе [1] было оценено излучение гравитационных волн в процессе коллапса и образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Также в [1] указано, что одним из наблюдательных эффектов, связанных с динамикой образования крупномасштабной структуры Вселенной, может выступать гравитационное лннзирование: как на самих объектах, так и на гравитационных волнах, излучающихся при их образовании.

Эффекты гравитационного линзирования.

Гравитационное линзирование является одной из наиболее активно развивающихся областей современной астрофизики [22], [23], [24]. С одной стороны, это разработка теоретических аспектов гравитационного линзирования, построение теоретических моделей, численное моделирование линзирующих объектов, с другой. — поиски и изучение новых наблюдательных примеров (кратные изображения, дуги), исследования эффектов мнкролинзирования. Кроме того, эффект линзирования имеет значение в других астрофизических явлениях, например, при изучении проблемы темной материи и наблюдениях реликтового излучения.

Важность эффектов гравитационного линзирования заключается, во-первых, в проверке общей теории относительности, гравитационное линзирование является одним из предсказаний общей теории относительности и интересно с фундаментальной-точки зрения. Во-вторых, отклонение света от удаленных объектов дает уникальную возможность изучить как источник, так и объект, выступающий в роли гравитационной линзы.

Согласно общей теории относительности, любое гравитационное поле может менять траекторию фотонов или, иными словами, отклонять лучи света. Таким образом, гравитационное поле может действовать как, гравитационная линза: Общая теория относительности предсказывает, что луч света, проходящий около сферического тела массы М с прицельным параметром отклоняется на «угол Эйнштейна» :

4 СМ 2Из при условии, что? много больше Шварцшильдовского радиуса Яд: = (2).

О).

В теории гравитационного линзирования [22], [23], [24] одним из основных приближений является приближение слабого линзирования, то есть малых углов отклонения. В случае Шварцшильдовского линзирования на точечной массе это приближение означает, что прицельные параметры для налетающих фотонов много больше Шварцшильдовского радиуса линзирующей системы. В этом случае траектория фотона представляет собой почти прямую линию со слабым отклонением на угол Эйнштейна. В большинстве астрофизических ситуаций, связанных с гравитационным лиизированием, условие слабого линзирования хорошо выполняется и им можно.ограничиться. Большая часть как теоретических, так и наблюдательных исследований в гравитационном линзировании основано на применении угла Эйнштейна для отклонения света, когда линза представляется как совокупность точечных масс. Приближение слабого линзирования позволяет аналитически рассчитывать угловые положения и коэффициенты усиления для изображений источника как для случая точечной линзы, так и для целого ряда других случаев и моделей [22]. В численном моделировании также в большинстве случаев используется такое приближение. В некоторых случаях интересно, однако, рассмотреть эффекты, связанные с сильным лиизированием и большими углами отклонения. Некоторые эффекты, связанные с учетом движения фотонов вблизи гравитационного радиуса черной дыры, рассматривались в работах [25], [26]. Точное выражение для угла отклонения фотона при движении в метрике Шварцшильда можно получить из уравнений, определяющих орбиту фотона. Это выражение сводится к эллиптическим интегралам первого рода [27], [28].

Фотоны, испытавшие слабое отклонение на линзирующем объекте, меняют наблюдаемое положение источника, его форму, образуют два или более изображения источника. В простейшем случае точечной линзы наблюдатель будет вместо одного источника видеть два его изображения по разные стороны от линзы (если источник, линза и наблюдатель не находятся на одной прямой). Кроме изображений источника, образованных фотонами, испытавшими слабое отклонение, возможно формирование изображений фотонами, совершившими один или более оборотов вокруг черной дыры (углы отклонения близки к 2тг, 4тг и так далее). Изображения источника, образованные такими фотонами, называют релятивистскими [29], [30]. Таким образом, если линза представляет собой шварцшильдовскую точечную линзу, будут наблюдаться два изображения источника (слабое отклонение) и две бесконечные последовательности релятивистских изображений по разные стороны от линзы. Отклонение фотона на углы 2тг и большие происходит при значениях прицельного параметра, близких к критическому. В работах [27], [30], [31] было выведено в явном виде аналитическое выражение для угла отклонения в шварцшильдовской метрике в пределе сильного отклонения. Таким образом, для описания релятивистских изображений можно использовать, кроме точного выражения для угла отклонения [29], выражение в пределе сильного поля [27], [30], см. также [32].

В настоящей работе исследуются свойства релятивистских колец, которые возникают в изображении источника в случае, когда источник, линза и наблюдатель находятся на одной прямой. Кроме того, исследуются эффекты сильного искажения изотропного излучения звезды вследствие влияния гравитационного поля черной дыры.

В качестве гравитационных линз могут выступать не только массивные объекты, но и гравитационные волны. Изучение линзирования на гравитационных волнах представляет интерес, прежде всего, с фундаментальной точки зрения, так как гравитационные волны до сих пор не открыты экспериментально. Для их прямого обнаружения проводятся и планируются многочисленные эксперименты (LIGO, VIRGO, LISA и другие). Гравитационное линзирование на гравитационных волнах в различных случаях рассматривалось многими авторами ([33], [34], [35], [36], [37], [38] и ссылки в этих работах). Недавно было показано, что угол отклонения обращается в ноль для любого локализованного гравитационно-волнового пакета вследствие поперечно-сти гравитационных волн [38]. Таким образом, если фотон проходит через конечный гравитационно-волновой импульс, его отклонение вследствие этой волны равно нулю. Тем не менее мы отмечаем, что может происходить смещение в траектории фотона до и после прохождения волны.

В этой работе мы подтверждаем аналитически обращение в ноль угла отклонения для плоских волновых импульсов. Однако, мы находим, что гравитационная волна влияет на распространение фотона другим образом, сдвигая всю траекторию целиком после прохождения гравитационной волны. Это смещение найдено аналитически для фотона, прошедшего через плоскую гравитационную волну. На основе этого результата мы получаем приближенную формулу для оценки наблюдательных эффектов. Мы оцениваем наблюдательный эффект такого линзирования для очень длинных гравитационных волн, излучающихся в процессе коллапса и образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

Стандартная теория гравитационного линзирования разработана для распространения света в вакууме. Гравитационное линзирование в вакууме является ахроматическим, так как угол отклонения фотона не зависит от частоты фотона [22], [23]. Космическая среда заполнена плазмой, поэтому представляется интересным рассмотреть распространение света в плазме и гравитационное линзирование в плазме.

Распространение лучей света в среде в присутствии гравитации рассматривалось многими авторами ([39], [40], [41], [24] и ссылки в этих работах). Известно, что в неоднородной среде (без гравитации) лучи света двигаются по криволинейным траекториям. В работах, исследующих гравитационное отклонение света в плазме, рассматривались неоднородные среды. Отклонение за счет гравитации и оклонеппе за счет неоднородности плазмы рассматривались отдельно, без учета влияния дисперсивных свойств плазмы на распространение света в гравитационном поле. Таким образом, отклонение света складывалось из эйнштейновского гравитационного отклонения (вакуумного) и нерелятивистского отклонения траектории за счет неоднородности среды, которое в однородной среде обращается в ноль. В работах [39], [40] было рассмотрено распространение радиолучей вблизи Солнца, с учетом неоднородной плазмы (см. также [42]). В книге [24] авторы подробно рассматривают гравитационное линзирование в неоднородной плазме и выводят угол отклонения, состоящий из эйнштейновского угла отклонения и угла отклонения вследствие неоднородности плазмы, плотность которой задается убывающим степенным законом с произвольным показателем степени. Вычисления угла отклонения в неоднородной плазме со степенным распределением плотности можно найти также в [43].

Самосогласованный формализм для рассмотрения геометрической оптики в среде с гравитацией был разработан в книге [44]. На основе гамильтонова формализма автор вывел уравнения для распространения фотона в произвольной среде с гравитацией. Уравнения [44] показывают, что учет дисперсии среды при наличии гравитации имеет принципиальное значение, так как частота фотона меняется при движении в гравитационном поле (гравитационное красное смещение).

В данной работе мы рассматриваем гравитационное линзирование в плазме. Плазма является диспергирующей средой, где показатель преломления зависит от частоты фотона. Поэтому в плазме фотоны с различными частотами двигаются с различными скоростями, а именно фотоны с меньшими частотами (или большими длинами волн) двигаются с меньшей групповой скоростью светового сигнала.

На основе уравнений [44] мы выводим общие уравнения для распространения фотона в неоднородной плазме при наличии слабого гравитационного поля, а также выражение для угла отклонения фотона. В частных случаях, полученные выражения приводят как к углу Эйнштейна, так и к выражению для угла отклонения в неоднородной плазмы. Используемый подход позволяет также получить, в частности, известные уравнения для распространения света в однородных средах без дисперсии в присутствии гравитации, а также уравнения для распространения света в неоднородной среде без гравитации.

Основной новый результат, следующий из наших уравнений, состоит в том, что даже в однородной плазме гравитационный угол отклонения света зависит от длины волны и отличается от постоянного (не зависящего от частоты) угла отклонения в вакууме. В работах, которые не учитывали эффекты дисперсии в плазме и рассматривали отклонения света в плазме как сумму двух отдельных эффектов, зависимость угла отклонения от частоты была связана только с неоднородностью плазмы, и исчезала в однородной плазме. Наши вычисления показывают, что свойства дисперсии плазмы приводят к тому, что гравитационный угол отклонения в однородной плазме отличается от вакуумного.

Мы выводим формулу для угла отклонения при движении фотона в случае однородной плазмы и слабого поля со шварцшильдовской метрикой. Угол отклонения возрастает с уменьшением частоты (и, соответственно, с уменьшением групповой скорости сигнала). Для более низких частот угол отклонения может быть много больше, чем в вакууме. Такой эффект существен только для фотонов с радиочастотами, таким образом, гравитационная линза в плазме действует как гравитационный радиоспектрометр. Мы обсуждаем возможные наблюдательные эффекты, наиболее сильно проявляющиеся для частот, близких к плазменной, что соответствует очень длинным радиоволнам.

Разработанная модель гравитациоиного линзирования в плазме самосогласованно учитывает эффекты преломления и дисперсии света в плазме. Наблюдательное изучение эффекта «гравитационного радиоспектрометра» может позволить получить информацию о среде, через которую распространяется свет, и о гравитационной линзе и ее окружении. Этот эффект был предложен нами для наблюдения в проекте «Радиоастрон» (АКЦ ФИ АН).

Основное содержание диссертации.

Во Введении обсуждается современное состояние теорий эллипсоидальных самогра-витирующпх фигур и гравитационного линзировапия, обосновывается актуальность работы, охарактеризована ее научная новизна, кратко изложена структура диссертации и сформулпровапы положения, выносимые на защиту.

В первой главе, состоящей из пяти параграфов, рассмотрена приближенная динамика формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. В первом параграфе записана функция Лагранжа трехосного однородного сжимающегося вращающегося эллипсоида и выведены уравнения движения для его осей. Во втором параграфе выведены уравнения движения осей эллипсоида с учетом бурной релаксации, получены уравнения, описывающие эволюцию во времени массы, углового момента, энтропии эллипсоида. В третьем параграфе приведены безразмерные уравнения и представлены результаты численных расчетов динамики эллипсоида для различных начальных параметров. В четвертом параграфе исследованы равновесные конфигурации и устойчивость, двумя способами найдена точка неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена относительно перехода в трехосный эллипсоид. В пятом параграфе подытожены основные результаты этой главы и оценено излучение гравитационных волн при формировании крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

Во второй главе, состоящей из пяти параграфов, рассмотрена динамика невраща-ющихся несферическпх конфигурации. В первом параграфе записана функция Лагранжа трехосного однородного невращающегося эллипсоида и выведены уравнения движения для его осей для случая 7 = 4/3. Во втором параграфе записаны уравнения движения и гамильтониан для сфероида, проводится их обезразмеривание, сделаны разложения вблизи сферы. В третьем параграфе приводятся результаты численного решения уравнений движения сфероида. Показано, что в случае несферических конфигураций коллапс в сингулярность не происходит, так как происходит динамическая стабилизация коллапса за счет колебаний. В четвертом параграфе исследованы регулярный и хаотический режимы возникающих колебаний на основе построения диаграмм Пуанкаре, приведены диаграммы Пуанкаре для различных случаев. В пятом параграфе обсуждаются результаты этой главы, формулируется основной вывод о вырожденном характере формирования сингулярности в самогравитирующих ньютоновских газовых телах с неустойчивым уравнением состояния. Обсуждается коллапс, происходящий в реальности вследствие наличия вязкости, излучения гравитационных волн и других процессов, связанных с диссипацией. Обсуждаются эффекты общей теории относительности.

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, рассмотрено сильное гравитационное линзирование на Шварцшильдовской черной дыре. В первом параграфе приведены основные понятия гравитационного линзирования. Во втором параграфе выведено выражение для точного угла отклонения фотона при движении в Шварцшильдовской метрике, подробно описано сведение выражения для точного угла отклонения к эллиптическим интегралам. Также рассмотрены предельные случаи: приближение слабого отклонения п приближение сильного отклонения. В третьем параграфе исследуются свойства релятивистских колец, возникающих в изображении источника при наличии черной дыры между источником и наблюдателем. Рассчитаны прицельпые параметры, угловые размеры п коэффициенты усиления, сделаны численные оценки. В четвертом параграфе проведено исследование влияния поля черной дыры на изотропное излучение звезды.

В четвертой главе, состоящей из двух параграфов, рассмотрено гравитационное линзирование на гравитационной волне в вакууме. В первом параграфе из уравнения геодезической выведено выражение для угла отклонения фотона, движущегося в слабом гравитационном поле. Вычислен аналитически угол отклонения фотона при проходе его через синусоидальный волновой пакет. Угол оказывается равным нулю, что сходится с результатами исследований других авторов. Во втором параграфе показано, что несмотря на равенство нулю угла отклонения, происходит смещение всей траектории фотона. Это смещение вычислено аналитически. Рассмотрен наблюдательный эффект от такого смещения и сделаны его оценки для длинных волн, излучающихся в процессе формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

В пятой главе, состоящей из трех параграфов, рассмотрено гравитационное линзирование в плазме. В первом параграфе выведено выражение для угла отклонения фотона в слабом гравитационном поле в неоднородной плазме. Во втором параграфе исследуются различные частные случаи: движение фотона в вакууме и однородной среде без дисперсии, движение фотона в слабом Шварцшильдовском поле в однородной плазме, движение фотона в слабом Шварцшильдовском поле в слабо неоднородной плазме. В третьем параграфе подробно обсуждается эффект зависимости угла отклонения фотона в гравитационном поле в однородной плазме от частоты фотона. Оценены наблюдательные эффекты.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Результаты исследований приближенной динамики формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Уравнения движения для осей однородного вращающегося сжимающегося трехосного эллипсоида, в которых бурная релаксация и потерн массы, энергии и углового момента учитываются феноменологически. Переход сфероида в трехосный эллипсоид в процессе релаксации. Аналитическая формула для точки неустойчивости сжимающихся сфероидов Маклорена относительно перехода в трехосный эллипсоид.

2. Вырожденный характер формирования сингулярности в ньютоновских невра-щающпхея самогравитирующих газовых телах с неустойчивым уравнением состояния. Динамическая стабилизация несферпческпх тел относительно неограниченного коллапса, формирование регулярно или хаотически колеблющегося объекта. В реальности коллапс происходит за счет присутствия диссипации, ведущей к затуханию колебаний.

3. Исследования свойств релятивистских колец, возникающих в изображении источника, при наличии черной дыры между источником и наблюдателем (прицельные параметры, угловые размеры и коэффициенты усиления).

4. Исследования гравитационного линзнрования на гравитационной волне. Формула для смещения в траектории фотона при проходе через плоский гравитационно-волновой импульс.

5. Исследования гравитационного линзнрования в плазме. Зависимость траектории фотона от его частоты вследствие дисперсивных свойств плазмы, в случае, если гравитационная линза окружена плазмой. Аналитическая формула для угла отклонения в случае линзнрования в Шварцгаильдовской метрике в однородной плазме. Действие гравитационной линзы, находящейся в плазме, как гравитационного радиоспектрометра.

Основные результаты и выводы диссертации:

1. Исследована приближенная динамика формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Развита физико-математическая модель для коллапса однородного вращающегося сжимающегося трехосного эллипсоида. Получены уравнения движения для его осей, в которых бурная релаксация и потери массы, энергии и углового момента учитываются феноменологически. Система уравнений решена численно, вплоть до формирования стационарных вращающихся фигур в случае релаксации. Получено, что при малом угловом моменте формируется сплюснутый сфероид, в то время как при больших моментах происходит развитие трехосной неустойчивости и формирование трехосного эллипсоида. Точка неустойчивости сжимающихся сфероидов Маклорена относительно перехода в трехосный эллипсоид найдена аналитически в виде простой формулы, численное и аналитическое рассмотрение приводят к одинаковым результатам.

2. Исследована ньютоновская динамика самогравитирующего невращающегося сфероидального объекта после потери устойчивости. Показано, что формирование сингулярности в ньютоновских самогравитирующих газовых телах с неустойчивым уравнением состояния имеет вырожденный характер: только чисто сферические модели могут коллапсировать в сингулярность, любое отклонение от сферической симметрии останавливает сжатие за счет стабилизирующего действия нелинейных несферических колебаний (как регулярных, так и хаотических). В реальности присутствие диссипации ведет к затуханию таких колебаний, и в итоге, к коллапсу невращающпх-ся объектов, в случае когда полная энергия тела отрицательна. Детальный анализ нелинейных колебаний выполнен с использованием диаграмм Пуанкаре.

3. Изучено сильное гравитационное линзирование на Шварцшильдовской черной дыре. Исследованы свойства релятивистских колец, возникающих в изображении источника, при наличии черной дыры между источником и наблюдателем. Рассчитаны прицельные параметры, а также расстояния минимального сближения лучей, образующих релятивистские кольца, их угловые размеры и коэффициенты «усиления», которые оказываются много меньше единицы.

4. Исследовано гравитационное линзирование на гравитационной волне. Показано, что, хотя начальное и конечное направления фотонов совпадают, происходит сдвиг между начальной и конечной траекториями. Это смещение вычислено аналитически для плоского гравитационно-волнового импульса. Сделаны оценки для наблюдательного эффекта линзирования на очень длинных волнах, излучающихся в процессе формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи.

5. Развита физико-математическая модель гравитационного линзирования в плазме. Выведены выражения для угла отклонения фотона в плазме. Получено, что если гравитационная линза окружена плазмой, то траектория фотона зависит от его частоты вследствие дисперсии плазмы. Показано, что даже в однородной плазме угол линзирования зависит от частоты фотона, это приводит к тому, что гравитационная линза действует подобно гравитационному радиоспектрометру. Получена аналитическая формула для угла отклонения в случае линзирования в шварцшильдовской метрике в плазме. Обсуждаются возможные наблюдательные эффекты, наиболее сильно проявляющиеся для частот, близких к плазменной, что соответствует очень длинным радиоволнам.

Публикации.

1. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Approximate dynamics of dark matter ellipsoids // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2005. V.364. P.833.

2. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. A simplified model of the formation of structures in dark matter // Astronomical and Astrophysical Transactions. 2005. V.24. N.5. P.377.

3. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Strong gravitational lensing by Schwarzschild black holes // Astrophysics. 2008. V.51. Issue 1. P.99.

4. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Gravitational lensing by gravitational waves // Gravitation and Cosmology. 2008. V.14. N.3. P.226.

5. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Dynamic stabilization of non-spherical bodies against unlimited collapse // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2008. V.386. P.1398.

6. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Approximate Dynamics of Dark Matter Ellipsoids // In: Proceedings of the Eleventh Marcel Grossniann Meeting on General Relativity / Ed. by H. Kleinert, R.T. Jantzen and R. Ruffini, World Scientific, Singapore, 2008. P.2331.

7. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Gravitational lensing by gravitational wave pulse // In: Proceedings of the Manchester Microlensing Conference: The 12th International Conference and ANGLES Microlensing Workshop / Eds. by E. Kerins, S. Mao, N. Rattenbury and L. Wyrzykowski, SISSA, Proceedings of Science, 2008. P.63 http: / / pos.sissa.it//archive / conferences/054/063/GMC8063.pdf).

8. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. The Dynamics of Non-Symmetrically Collapsing Stars // In: G. Contopoulos, P.A. Patsis, Cliaos in Astronomy, Astrophysics and Space Science Proceedings, Springer, Berlin Heidelberg, 2009. P.461.

9. Bisnovatyi-Kogan G.S., Tsupko O.Yu. Gravitational radiospectrometer // Gravitation and Cosmology. 2009. V.15. N.l. P.20.

Заключение

.