Разаработка методов планирования эксперимента при непараметрическом представлении модели объекта

Одной из центральных задач экспериментального исследования стохастических статических объектов является построение математической модели на основе полученных экспериментальных данных* успешному решению данной проблемы способствует применение математической теории планирования эксперимента (ПЭ), позволяющее при минимуме затрат получить максимум информации об исследуемом объекте*.

Обычно модель в виде математического ожидания выходной величины объекта (регрессии) известна с точностью до неизвестных параметров* В данном случае оптимальное планирование эксперимента направлено на повышение статистической точности регрессии, либо оценок параметров модели*.

Однако, применение методов, требующих априорной информации о регрессии, заданной с точностью до неизвестных параметров (параметрическая регрессия), в ряде случаев невозможно или связано с большими трудностями* Так, например, в настоящее время все чаще возникает необходимость в исследовании сложных, мало изученных объектов, встречающихся в энергетике, металлургии, химии и многих других областях* Для них, как правило, отсутствует априорная информация в виде параметрической регрессии, а имеющиеся сведения носят весьма общий характер* Причем выбор заведомо неверной параметрической регрессии может привести к значительным ошибкам* Кроме того, бывают случаи, когда известна априорная информация в виде регрессии, заданной с точностью до параметров, однако решение задачи построения математической модели объекта затруднено необходимостью определения большого количества параметров, значительно превышающих размерность вектора входных переменных*.

Цри решении задачи нахождения регрессии в подобных ситуациях довольно успешно применяются непараметрические методы оценивания регресоии (НМОР). Непараметрические методы являются одной из наиболее быстро развивающихся ветвей математической статистики и к настоящему времени достаточно неплохо изучены,.

В то же время математический аппарат ПЭ при непараметрическом оценивании регрессии начал изучаться лишь в самое последнее время и несомненно должен развиваться как с идейной, так и с вычислительной точки зрения. Достаточно сказать, что на настоящий момент пока отсутствуют какие-либо конкретные результаты по ПЭ при решении указанных задач.

Для реализации непараметрических методов оценивания необходимо применение ЭВМ, в оперативной памяти (ОП) которой хранится весь набор экспериментальных данных, а поскольку иногда возникает необходимость оценивания регрессии в реальном масштабе времени на малых машинах с ограниченным объемом ОП, то актуальным является вопрос создания НМОР, экономичных в смысле требуемого объема ОП ЭВМ.

Целью данной диссертационной работы является:

— разработка НМОР, позволяющего производить обработку экспериментальных данных в реальном масштабе времени и требующего маг-лого объема ОП;

— разработка и исследование методов оптимального ПЭ при непараметрическом оценивании регрессии, а также численных процедур синтеза оптимальных планов;

— создание алгоритмического и программного обеспечения НМОР и ПЭ.

Диссертация состоит из пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе приводятся особенности исследуемых в данной работе объектов с управляемым векторным входом и скалярным выходом. Предлагается в качестве математической модели объекта использовать непараметрические оценки регрессии (НОР).

Дана классификация и обзор НМОР, на основе которого для дальнейшего исследования выбран метод локальной аппроксимации (ША) • Указано на необходимость усовершенствования НМОР, которое бы позволило экономить ОП и осуществлять обработку данных в реальном времени.

Цриведен обзор работ по ПЭ цри непараметрическом оценивании регрессии и математическому обеспечению непараметрических методов. Поставлены задачи изучения точностных свойств рассматриваемых оценок и разработки методов ПЭ, а также создания удобного математического обеспечения непараметрических методов.

Во второй главе предложены модифицированные непараметрические оценки, а также оценки, полученные по двухэтапному непараметрическому методу, применение которых в некоторых случаях более предпочтительно по сравнению с обычными НОР*.

Рассматриваются оценки точности НОР, использующие дополнительную априорную информацию о восстанавливаемой функции ?? (X) и олучайной ошибке выходной величины. Решается задача вычисления оптимального параметра локальности при наличии дополнительной априорной информации.

В третьей главе рассматриваются вопросы оптимального планирования эксперимента при оценивании регрессии с помощью ММ. Исследуются свойства оценки сверху для среднеквадратической ошибки, на основе которых предлагается алгоритм синтеза квазиоптимальных планов (КОП). Предложен алгоритм последовательного планирования, позволяющий планировать сразу группу оптимальных уточняющих экспериментов.

В четвертой главе на основе сравнения КОП с равномерными планами проведено исследование предложенного алгоритма априорного планирования, построен каталог планов. Приведен пример последовательного планирования экспериментов*.

В пятой главе приведено описание практического применения разработанных методов планирования эксперимента и оценивания регрессии с помощью двухэтапного НГОР для оперативного построения регрессионных зависимостей в ходе тягово-экономических испытаний новых моделей тепловозов и путевых машин. Приведены примеры построения регрессионных зависимостей тока главного генератора от скорости движения тепловоза и скорости движения тепловоза от времени разгона".

В этой же главе дано описание разработанной подсистемы непараметрического оценивания регрессии и планирования эксперимента.

Заключение

отражает основные результаты работы, В приложении I даны весовые функции производных оценок МПА, записанные в явном виде, в приложении 2 приведены каталоги квазиоптимальных планов.

Акт о внедрении во Всесоюзном научно-исследовательском тепловозном институте алгоритмов и программ двухэтапного непараметрического оценивания регрессионных зависимостей приводится в приложении 3, Акт об использовании в каз, Госуниверситете диалогового пакета программ ИНДЭКС, в состав которого входит подсистема непараметрического оценивания регрессии и планирования эксперимента, приведен в приложении 4,.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы /101−104/ и докладывались:

— на научной конференции МЭИ, посвященной 60-летию образования СССР (Москва, 1982 г.);

— на УП Всесоюзной конференции по планированию и автоматизации эксперимента в научных исследованиях (Москва, 1983 г.);

— на П Всесоюзной конференции по перспективам и опыту внедрения статистических методов в АСУ ТП (Смоленск, 1984 г.).

Список сокращений пэ — планирование эксперимента,.

НМОР — непараметрические методы оценивания регрессии,.

НОР — непараметрические оценки регрессии, оп — оперативная память, коп — квазиоптимальный план,.

МПА — метод локальной аппроксимации,.

ДШ1 — диалоговый пакет программ,.

АСНИ — автоматизированная система научных исследований.

Список наиболее часто используемых обозначений вектор входных переменных, случайный скалярный выход, случайная аддитивная ошибка, символ математического ожидания, дисперсия случайной ошибки выхода объекта, непараметрическая оценка МПА, вектор аппроксимирующих функций, план эксперимента, равномерный план эксперимента, квазиоптимальный план эксперимента, параметр локальности, максимальные по абсолютной величине значения производных, априорная оценка сверху для среднеквадратической ошибки НОР типа МЛА,.

Х=(Х,.

У е.

Е.

2АР) ш.

Ш) -?№ -Ин) ь.

Л/.

D (У^?£(N) Д) — апостериорная оценка сверху для среднеквадрати-ческой ошибки НОР типа МДА.

I. ЗАДАЧИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ.

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКЙМИ МЕТОДАМИ.

5,3, Выводы.

I, Рассмотрены особенности, возникающие при построении регрессионных зависимостей в процессе проведения испытаний. Предложено построение зависимостей осуществлять в паузах между реализациями. Обоснована целесообразность применения двухэтапного непараметричесного метода оценивания регрессии.

2. Предложена модификация двухэтадного метода, использующая на первом и втором этапах аппроксимирующий полином нулевой степени, что позволяет экономить ОП и время на необходимые вычисления.

3. Предложена методика построения зависимостей в паузах между реализациями, где используется метод планирования опорных точек.

В соответствии с предложенной методикой разработаны программы для см-эвм.

Указанные программы использовались при построении регрессионных зависимостей тока главного генератора от скорости движения тепловоза и скорости движения тепловоза от времени разгона. разработанные программы внедрены во Всесоюзном научно-исследовательском тепловозном институте в качестве составной части прикладного программного обеспечения АСНИ и испытаний тепловозов и путевых машин.

4. На основе типовых программных средств конструирования диалоговых пакетов (ТПС-1) создана подсистема непараметрического оценивания регрессии и планирования эксперимента. Указанная подсистема вошла в качестве составной части в ДПП ИНДЭКС, который используется в АСНИ МЭЙ и в Казахском Госуниверситете.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

I. Проведен анализ работ, посвященных непараметрическому оцениванию регрессионных зависимостей и имеющихся подходов к планированию эксперимента при непараметрическом оценивании регрессии, Для дальнейшего исследования выбран метод локальной аппроксимации, обладающий рядом преимуществ при решении регрессионных задач.

Поставлены задачи: разработки непараметрических методов оценивания регрессии, экономичных в смысле требуемого объема оперативной памяти ЭВМ, разработки методов планирования эксперимента, а также создания удобного программного обеспечения для решения задач оценивания регрессии и планирования эксперимента,.

2, Предложена модификация оценки метода локальной аппроксимации, позволяющая для случаев с использованием повторных измерений в точках спектра плана сократить вычислительные затраты и необходимый объем оперативной памяти. Разработан двухэтапный непараметрический метод оценивания регрессии, предназначенный для обработки большого количества экспериментальных данных, позволяющий сократить требуемый объем оперативной памяти ЭВМ, отведенной для хранения этих данных.

Исследованы статистические свойства оценок метода локальной аппроксимации и оценок, полученных с помощью двухэтапного непараметрического метода, предложена оценка сверху для средне-квадратической ошибки непараметрической оценки регрессии, основанная на экспериментальных данных и априорной информации. Разработан метод априорного вычисления оптимального значения параметра локальности,.

3, Изучен вопрос оптимального планирования эксперимента, Цре дложен критерий оптимальности минимизирующий априорную оценку сверху для среднеквадратической ошибки непараметрической оценки регрессии.

Установлено, что задачу планирования эксперимента необходимо решать одновременно с задачей вычисления оптимального параметра локальности.

По аналогии с планированием эксперимента при нелинейной параметризации предложен критерий последовательного планирования, минимизирующий апостериорную оценку сверху для среднеквадратической ошибки непараметрической оценки регрессии.

4. Предложен численный метод решения задачи априорного планирования эксперимента и вычисления оптимального параметра локальности. Установлено, что наибольшие вычислительные трудности, возникающие при использовании этого метода, связаны с процедурой точного планирования. Предложено вместо процедуры точного планирования использовать уцрощенную процедуру, которая позволяет синтезировать квазиоптимальные планы. Разработан алгоритм квазиоптимального планирования эксперимента.

Для решения задачи последовательного планирования разработан численный метод и алгоритм группового планирования, позволяющий спланировать оразу несколько оптимальных уточняющих экспериментов.

5. Предложенные методы априорного и последовательного планирования экспериментов были использованы для планирования опорных точек при двухэталном непараметрическом оценивании регрессии. Численные методы решения таких задач полностью соответствуют методам, предложенным в случае использования оценок локальной аппроксимации. б. Построены области существования квазиоптимальных планов для оценок метода локальной аппроксимации с нулевой и первой с тепенями аппроксимирующих полиномов. Эти области позволяют определить условия, при которых целесообразно вместо равномерных планов применять квазиоптимальные планы.

Построены каталоги квазиоптимальных планов для оценок с нулевой и первой степенями аппроксимирующих полиномов. Каталоги содержат точки спектров планов, оптимальные значения параметров локальности, а также показатели, характеризующие выигрыш в точности при использовании квазиоптимальных планов вместо равномерных.

7. Предложена структура подсистемы непараметрического оценивания регрессии и планирования эксперимента, разработаны ее программные модули. Указанная подсистема вошла в диалоговый пакет программ ИНДЭКС, который используется в Автоматизированной системе научных исследований МЭИ и внедрен в Каз. Госуниверситете.

8. Предложена методика оперативного построения регрессионных зависимостей по реализации с помощью двухэтапного непараметрического метода, где опорные точки размещаются по квазиоптимальному плану. В соответствии с предложенной методикой разработаны программы для СМ ЭВМ, выполняемые под управлением бездисковой операционной системы II5 .

Программы внедрены во Всесоюзном научно-исследовательском тепловозном институте, где использованы для оперативного построения зависимостей в ходе проведения тягово-экономических испытаний новых моделей тепловозов и путевых машин.