Вероятностный анализ производительности оптических сетей с маршрутизацией по длине волны

Первые задачи теории телетрафика состояли в изучении телефонных и телеграфных сетей. Начало теории телетрафика восходит к работам датского математика А. К. Эрланга, исследовавшего статистические характеристики работы телефонных сетей и опубликовавшего в 1909 году свою основополагающую работу «Теория вероятностей и телефония» 1. Простые модели, разработанные в первую четверть XX века А. К. Эрлангом и Т. О. Энгсетом [1, 2,18,20], позволили достаточно точно описать функционирование телефонных сетей связи и коммутационного оборудования. В течение XX века в развитие этого направления большой вклад внесли математики ряда стран, включая А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина. К середине XX века окончательно сложилась новая прикладная математическая дисциплина — теория массового обслуживания (англ. термин — theory of queues), отвечающая на запросы различных областей техники.

Связь — одна из самых динамично развивающихся отраслей. Достижения в областях электроники, разработки новых материалов, радио, вычислительной техники ставили перед учеными новые задачи [2, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 23, 34, 36, 38]. Многими известными российскими — Гнеденко Б. В., Башарин Г. П., Боровков А. А., Бочаров П. П., Вишневский В. М., Климов Г. П., Коваленко И. Н., Наумов В. А., Нейман В. И., Печинкин А. В., Пшеничников А. П., Рыков В. В., Севастьянов Б. А., Степанов С. Н., Харкевич А. Д., Шнепс-Шнеппе М.А., Яновский Г. Г. и др. — и зарубежными учеными — Feller W., Benes V.E., Cooper R.B., Iversen V.B., Kelly F.P., Kleinrock L., Neuts M.F., Perros H.G., Riordan J., Ross K.W. и др. — разработано большое количество математических моделей и численных методов их анализа, которые широко применяются при.

1 Erlang А.К. «The Theory of Probabilities and Telephone Conversations», Nyt Tidsskrit for Matematik B, Vol. 20 (1909). создании различных телекоммуникационных сетей [1, 2, 9,.

10,11,14,16,17,18,20, 21, 33, 38, 51, 56, 63].

С момента развертывания первых телефонных и телеграфных сетей потребность пользователей в пропускной способности сетей растет экспоненциальным образом. Традиционные телекоммуникационные сети связи, использующие медный кабель, достигли своего предела и уже не могут обеспечить нужную производительность телекоммуникационных сетей [15, 49, 62, 74, 82]. Поэтому в последнее время большое внимание уделяется сетям, при построении которых используются оптические компоненты — оптические волокна, оптические коммутаторы и т. д. В настоящее время технологии, позволяющие осуществлять пачечную (burst) или пакетную коммутацию в оптических сетях, находятся на стадии НИР и ОКР и еще не поступили на телекоммуникационный рынок, поэтому наибольший практический интерес сейчас представляет анализ производительности оптических сетей с коммутацией каналов. Известно, что в сетях с пачечной пакетной коммутацией трафик имеет самоподобных характер. При изучении таких сетей применяется теория самоподобных процессов [21, 24, 37, 59, 81]. Однако, при построении математических моделей для сетей, в основу которых заложен принцип коммутации каналов, применим и широко используется аппарат марковских процессов, хорошо изученный в рамках ТМО и теории телетрафика. Однако, специфические особенности оптических технологий, например, технологии мультиплексирования с разделением длин волн (Wavelength Division Multiplexing — WDM), ставят перед теорией телетрафика ряд задач, которые не возникали ранее. В частности, в отличие от традиционных сетей с коммутацией каналов, в которых в каждом звене соединение может использовать любой свободный канал, соединение в сетях WDM с маршрутизацией по длине волны может быть установлено только на одной и той же длине волны на всех звеньях маршрута. Таким образом, процессы установления и обслуживания соединений разных классов зависимы, особенно в сетях с многоадресными соединениями. Данные обстоятельства приводят к тому, что состояние системы нельзя полностью описать числом установленных соединений разных классов [84, 85, 86, 87]. Поэтому, при построении математической модели для такой сети необходимо существенно расширять количество параметров, описывающих её детальное состояние. Большая размерность пространства состояний и отсутствие обратимости приводят к необходимости разработки приближенных методов анализа сетей рассматриваемого типа.

Известные сегодня модели ТМО и теории телетрафика, применяемые для анализа производительности и качества обслуживания оптических сетей, разработаны зарубежными специалистами, такими как Birman A., Rouskas G.N., Perros H.G., Mukheijee В., Sivarajan K.N., Somani А. и др., причем в последние годы число подобных публикаций быстро растет. В российской научной литературе пока очень мало публикаций на эту тему.

Построение и анализ математических моделей как отдельных фрагментов оптических сетей, так и сетей в целом, необходим не только производителям оборудования, но даже в большей степени операторам сетей, для эффективного управления ресурсами и обеспечения качества услуг.

Таким образом, математический анализ оптических сетей является весьма актуальной задачей современной индустрии связи. Целью данной диссертационной работы является разработка математической модели оптической сети, разработка подходов к её анализу и создание эффективных алгоритмов вычисления её ВВХ.

Работа имеет следующую структуру. В главе 1 изложены основные принципы функционирования оптических сетей в объеме, достаточном для постановки задачи и физического обоснования предложенной математической модели. В главе 2 предложена математическая модель линейного фрагмента сети WDM (Wavelength Division Multiplexing) с маршрутизацией по длине волны без волновых конвертеров с однои многоадресными соединениями. В первом разделе приводятся основные предположения и вводятся необходимые обозначения. Во втором разделе производится построение пространства состояний модели и случайного процесса, описывающего функционирование линейного фрагмента сети WDM с однои многоадресными соединениями. Глава 3 посвящена приближенному анализу предложенной модели. В первом разделе рассмотрен и применен метод модификации интенсивностей переходов. С помощью данного метода получен приближенный обратимый марковский процесс (ОМП), имеющий мультипликативное равновесное распределение. Во втором разделе разработан эффективный рекурсивный алгоритм для расчета нормирующей константы равновесного распределения. В третьем разделе предлагается метод для расчета вероятностей блокировок заявок на установление однои многоадресных соединений рассматриваемой модели линейного фрагмента сети WDM. В четвертом разделе приведен метод декомпозиции, позволяющий оценивать вероятности блокировок линейных фрагментов с большим числом звеньев.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе разработана математические модель сети WDM с маршрутизацией по длине волны и предложены эффективные алгоритмы вычисления их вероятностно-временных характеристик. Ниже приводится список основных результатов, полученных в работе:

1. В главе 2 предложена математическая модель линейного фрагмента сети WDM с маршрутизацией по длине волны без волновых конвертеров с фиксированной схемой маршрутизации и схемой случайного выбора длин волн;

2. В разделе 3.1 впервые метод модификации интенсивностей переходов применен для анализа линейного фрагмента сети WDM с маршрутизацией по длине волны, поддерживающей одноадресные и многоадресные соединения;

3. В разделе 3.2 предложен рекурсивный алгоритм для вычисления нормирующей константы равновесного распределения;

4. В разделе 3.3 предложен алгоритм для расчета вероятностей блокировок линейного фрагмента сети WDM с маршрутизацией по длине волны с одноадресными и многоадресными соединениями.