Реализация связей и предельные модели в механике

Определение движения систем с идеальными связями — это одна из основных независимых аксиом механики (хотя периодически предпринимаются попытки вывести, скажем, принцип Далам-бера-Лагранжа из законов Ньютона). Здесь ситуация в чем-то напоминает геометрию Евклида с его пятым постулатом о параллельных прямых. Проводя дальше эту аналогию, с полным правом можно считать, что геометрии Лобачевского в механике соответствует вакономная динамика, развитая В. В. Козловым [41]: при описании движения механических систем с неинтегри-руемыми связями принцип Даламбера-Лагранжа заменяется на вариационный принцип Гамильтона. В результате получаются новые динамические системы, которые не совпадают с классическими неголономными моделями.

Любые модели механики (в том числе и классические тоже!) нуждаются в обосновании. Под обоснованием понимается указание границ применимости тех или иных моделей. И здесь естественным является т.н. конструктивный метод обоснования систем со связями. Идея метода в том, что вместо системы со связью предлагается рассмотреть свободную систему, на которую действуют дополнительные силы, или, в более общем случае, систему, движущуюся в вязко-упругой среде (что соответствует физическим представлениям о природе связи), а затем перейти к пределу, устремив коэффициенты жесткости, вязкости и т. д. к бесконечности. Если предел существует, то предельная система объявляется системой со связью. Т.о. конкретная механическая модель должна выбираться исходя из физических параметров задачи. В частности, вакономная механика — это механика больших присоединенных масс [41], [42].

Конструктивный метод был намечен в первой четверти XX века в работах Клейна, Прандтля, Лекорню и Пфейфера, в связи с анализом парадоксов «сухого трения», указанных Пэнлеве [83]. Речь идет о следующей модели. Две материальные точки, связанные невесомым нерастяжимым стержнем, движутся по двум параллельным прямым. При этом на одну из точек действует сила сухого трения и внешняя сила. Парадокс состоит в том, что при некоторых положениях стержня («круто поставленный стержень») задача имеет или два решения, или ни одного. Для разрешения парадокса Пфейфер по предложению Клейна заменяет жесткий стержень упругим, а затем коэффициент упругости устремляет к бесконечности. Предельное движение объ-являлость истинным. Интересно отметить, что сам Клейн для разрешения таких парадоксов предлагает следить за знаком реакции связи, т. е. фактически рассматривать систему с односторонней связью [83]. Теорема о реализации двусторонней голо-номной связи полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, была впервые сформулирована Курантом и доказана его учениками в предположении о потенциальности силового поля [161]: оказывается, что при переходе к пределу движения «свободной «системы стремятся к движениям системы с голономной связью. Позднее многие исследователи независимо формулировали и доказывали аналогичные теоремы (см., например, [2], [135] [145], [165]). Для более общего случая, когда поле сил непотенциально, терема о реализации связи упругими силами была доказана В. В. Козловым и А. И. Нейштадтом [54], и Г. Ю. Шмидтом [162]. Неголономную связь можно реализовать силами сухого трения или вязким трением, см. например, [10], [38], [33], [69], [112].

Т.о., конструктивный подход в основном (за исключением упомянутой нами вакономной механики, а также некоторых «промежуточных» моделей [42], [91]), применялся только для обоснования динамики систем со связями. Однако с нашей точки зрения, настоящая сила конструктивного подхода проявилась, когда стало понятно, что на его основе можно создавать новые осмысленные неклассические системы.

Цель нашей работы — создание и изучение «предельных» неклассических механических систем на основе конструктивного подхода к обоснованию динамики систем со связями, а также развитие методов для изучения таких систем. Мы также рассматриваем смежные задачи, в которых естественным образом применяются наши предельные системы. Подобного систематического изучения предельных систем ранее не предпринималось.

Диссертация состоит из семи глав и дополнения. Нумерация в каждой главе своя.

1. Бренделев В. Н. О реализации связей в неголономной механике ПММ. (1981) Т. 45. Вып. 3. С. 481−487.

2. Бунимович JI. А. О биллиардах, близких к рассеивающим. Мат. сб. 95 N 1. (1974) С. 49−73.

3. Вариационные принципы механики. Сборник статей. М.: Физматгиз, 1959. 932 с.

4. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. 1973. 272 с.

5. Градштейн И. С. Дифференциальные уравнения с малыми множителями при производных и теория устойчивости Ляпунова. ДАН СССР. (1949) Т. 65. N 6. С. 789−792.

6. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат. 1950. 436 с.

7. Голубев Ю. Ф. Механические системы с сервосвязями. ПММ. Т. 65. Вып. 2. (2001) С. 211−224.

8. Дерябин М. В. О реализации неудерживающих связей. ПММ. Том 58. Вып. 6. (1994) С. 136−140.

9. Дерябин М. В., Козлов В. В. К теории систем с односторонними связями. ПММ. Том 59. Вып. 4. (1995) С. 531−539.

10. Дерябин М. В. О полиномиальных интегралах динамических систем и редукции Лакса. Мат. заметки. (1997) Т. 61. N 3. С. 445−446.

11. Дерябин М. В. Общие принципы динамики и теория односторонних связей. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем., ме-хан. (1998) N 1. С. 53−59.

12. Дерябин М. В. О гамильтоновом формализме Дирака и реализации связей малыми массами. ПММ. (2000) Т.64. Вып.1. С.41−45.

13. Дерябин М. В. Об устойчивости равноускоренных вращений тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Изв. РАН, МТТ. No. 5. (2002) С. 30−34.

14. Дерябин М. В., Козлов В. В. Об эффекте «выныривания» тяжелого твердого тела в жидкости. Изв. РАН, МТТ. No. 1. (2002) С. 68−74.

15. Кориолис Г. Математическая теория явлений бильярдной игры. М.: Гостехиздат. 1956. 235 с.

16. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат. 1947. 928 с.

17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука. 1973.

18. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. M.-JI. Гостехиздат. 1950. 471 с.

19. Манаков С. В. Об интегрируемости уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела. Функц. Анал. Прилож. 10, (1976) с. 93−94.

20. Маркеев А. П. О динамике твердого тела на абсолютно шероховатой поверхности. ПММ. (1983) Т. 47. Вып. 4. С. 575 582.

21. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 336 с.

22. Нараленков И. М. Двоякоасимптотические движения тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Математические методы в механике. Изд-во МГУ, 1990. с. 66−72.

23. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 519 с.

24. Нейштадт А. И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. Жури, прикл. матем. и мех., (1984) 48 (2), с. 197−204.

25. Нейштадт А. И. О запаздывании потери устойчивости при динамических бифуркациях. Дифф. Уравнения (1987). N 23. 12 с. 2060;2067.

26. Новиков С. П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ), I. Функц. анализ и его прил. (1981). Т. 15. 3. С. 54−66.

27. Офицеров Е. Н. Частное сообщение.

28. Татаринов Я. В. Слабо неголономное представление задачи о качении твердого тела и возможности усреднения по фазовым торам. Изв. АН СССР. МТТ. (1998) N 1. С. 25−33.

29. Татаринов Я. В. Универсальная характеристическая функция динамики систем с неинтегрируемыми связями и метод подвижного репера. Вести. МГУ. Сер. 1 матем. механ, (1989) N 2, 60−67.

30. Татаринов Я. В. Следствия неинтегрируемого возмущения интегрируемых связей. Модельные задачи малой размерности. ПММ, (1987) 51, вып. 5, 741−729.

31. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. Матем. сб., нов. сер. (1952) Т. 31. Вып. 3. С. 575−586.

32. Трещёв Д. В.

Введение

в теорию возмущений гамилътоно-вых систем. М.: Фазис. 1998. 184 с.

33. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. M.-JL: Гостехиз-дат. 1937. 500 с.

34. Харламов П. В. Критика некоторых математических моделей механических систем с дифференциальными связями. ПММ. (1993) Т. 56. Вып. 4.

35. Царев С. П. О скобках Пуассона и одномерных гамиль-тоновых системах гидродинамического типа. Доклады АН СССР. (1985) Т. 282. N 3. С. 534−537.

36. Чаплыгин С. А. Полн. собр. соч. T.I. JL: Изд-во АН СССР, 1933. 300 с.

37. Шевалле К. Теория групп Ли. Т.1. М.: ИЛ. 1948. 316 с.

38. Ярощук В. А. Новые случаи существования интегрального инварианта в задаче о твердом теле катящемся по неподвижной поверхности без проскальзывания. Вести. Моск. Ун-та, сер. 1 матем., мех. 6 (1992) 26−30.

39. Adler М., van Moerbeke P. A systematic approach towards solving integrable systems. Perspectives in Mathematics. New York: Academic Press, 1987.

40. Arnold V. I., Khesin B. A. Topological Methods in Hydrodynamics. Springer-Verlag. 1998. 376 p.

41. Bates L., Sniatycki J. Nonholonomic Reduction. Rep. Math. Phys. 32,(1993) 99−115.

42. Bates L. Problems and Progress in Nonholonomic Reduction, Rep. Math. Phys. 49,(2002) 143−149.

43. Baumgarte J. Stabilization of Constraints and Integrals of Motion in Dynamical Systems. Computer Methods in Appl. Mech. and Engng. (1972) V.l. No 1. P. l-16.

44. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A. Realization of Holonomic Constraints and Freezing of High Frequency Degrees of Freedom in the Light of Classical Perturbation Theory. Communs. Math. Phys. (1987) V. 113. No 1. P. 87−103.

45. Bertotti M. L., Bolotin S. V. Doubly Asymptotic Trajectories of Lagrangian Systems in Homogeneous Force Fields. Annali di Matematica pura ed applicata. (IV), Vol. CLXXIV (1998), 253−275.

46. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Rolling of a ball on a surface. New integrals and hierarchy of dynamics. Reg. & Chaot. Dyn., v.7, No. 2, (2001) pp. 201−220.

47. Brenier Y. The least action principle and the related concept of generalized flows for incompressible perfect fluids. J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 225−255.

48. Cantrijn F., de Leon M., D. Martin de Diego. On almost-Poisson structures in nonholonomic mechanics. Nonlinearity 12,(1999) 721−737.

49. Cantrijn F., de Leon M., D. Martin de Diego. On the Geometry of Generalized Chaplygin systems. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 132,(2002) 323−351.

50. Caratheodory C. Der Schlitten. Z. Angew. Math. Mech. 13 (1933) 71−76.

51. Cayley A. Sur quelques properties des determinant gauches. J. Reine Angew. Math. 32 (1846), 119−123.

52. Deryabin M. V. On asymptotics of Chaplygin equation. Reg. & Chaotic Dyn. 3 no. l, (1998) 93−97.

53. Deryabin M. V. Brackets and Braces. Examples of modem mathematical methods in classical mechanics. MAT-PR, 14, Danmarks tekniske universitet, 2001.

54. Deryabin M. V., Pustyl’nikov L. D. Generalized relativistic billiards. Regular and Chaotic Dynamics 8 No. 3 (2003) 283 296.

55. Deryabin M. V., Gravesen J. Calculating the optimal shape of a vibration part feeder. ESGI-41, Final report. 2002. 41−54.

56. Deryabin M. V., Hjorth P. G. On integrability of a heavy rigid body sinking in an ideal fluid. Z. Angew. Math. Phys. 54 (2003), 195−207.

57. Deryabin M. V., Hjorth P. G. High-dimensional Bowling. Abstract, SIAM Conference (2003).

58. Deryabin M. V., Hjorth P. G. High-dimensional Bowling, n-dimensional ball rolling on (n — l)-dimensional surface. Regular and Chaotic Dynamics 8 No. 3 (2003) p. 319−329.

59. Deryabin M. Generalized relativistic billiards. Kolmogorov and contemporary mathematics abstracts. Vol.2. (2003).

60. Deryabin M. V. On stability of uniformly-accelerated motions of an axially-symmetric rigid body in an ideal fluid. Z. Angew. Math. Mech., 83, no.3, (2003) 197−203.

61. Deryabin M. V., Pustyl’nikov L. D. On generalized relativistic billiards in external force fields. Letters in Math. Phys. 63 (3) (2003), 195 207.

62. Deryabin M. V., Pustyl’nikov L. D. Exponential attractors in generalized relativistic billiards. Communs. Math. Phys. 248 (3) (2004), 527 552.

63. Deryabin M. V., Fedorov Yu. N. On reductions of geodesic flows with leftor right-invariant metrics onto Lie groups and their symmetry fields. Journal of the London Mathematical Society. Second Series: A. (2004) in print.

64. Dirac, P. A. M. On Generalized Hamiltonian Dynamics. Can. J. Math. 2, No. 2, 129−148 (1950). Zbl. 36, 141.

65. Ebin D. G. The motion of slightly compressible fluids viewed as a motion with string constraining force. Annals of Math. 105 (1977), 141−200.

66. Ebin D. G. Motion of slightly compressible fluids in a bounded domain. Comm. Pure anf Appl. Math. 35 (1982), 451−485.

67. Fedorov Yu. N., Kozlov V. V. Various aspects of n-dimensional rigid body dynamics. Dynamical Systems in Classical Mechanics. AMS Translations. Ser.2, Vol. 168. (1995) 141−172.

68. Fedorov Yu. N. Backlund transformations on extended Stiefel varieties with application to discrete Euler top on the Lie group SO (3). Lett. Math. Phys. (2004). In print.

69. Fermi E. On the origin of the cosmic radiation, Phys. Rev. 75 (1949), 1169−1174.

70. Feynman R. P. Statistical mechanics. New York, Bemjamin, 1972.

71. Frahm F. Uber gewisse Differentialgleichungen. Math. Ann. 8 (1874), 35−44.

72. Furta S. D. On nonintegrability of general systems of differential equations. Z. Angew. Math. Phys. 47 (1996) 112 131.

73. Gallavotti G. The Elements of Mechanics. Springer, Berlin, 1983.

74. Guckenheimer J., Holms P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, 1983.

75. Hermans J. A symmetric sphere rolling on a surface. Nonlinearity 8 (1995) P. 493−515.138. van Kampen N. G. Elimination of Fast Variables. Phys. Repts. (1985) V. 124. No 2. P. 69−160.

76. Khesin В. A., Chekanov Yu. V. Invariants of the Euler equation for ideal or barotropic hydrodynamics and superconductivity in D dimensions. Physica D 40 (1989), no. 1, 119−131.

77. Kirchhoff G. Uber die Bewegung eines Rotationskorpers in einer Fliissigkeit. J. fur die reine und angewandte Mathematik 71 (1870) 237−262.

78. Knudsen J. M., Hjorth P. G. Elements of Newtonian Mechanics. Including nonlinear dynamics Springer-Verlag, Berlin, 2000. 447 p.

79. Kodama Y., Gibbons J. A method for solving the dispersionless KP hierarchy and its exact solutions II. Phys. Letters A. 135 3 (1989) P. 167−170.

80. Kodama Y. Exact solutions of hydrodynamic type equations having infinitely many conserved densities. Phys. Letters A. 135 3 (1989) P. 171−174.

81. Koon W. S., Marsden J. E. The Hamiltonian and Lagrangian Approaches to the Dynamics of Nonholonomic Systems. Rep. Math. Phys. 40 (1997), no. 1. P. 21−62.

82. Koppe H., Jensen H. Das Prinzip von d’Alambert in der Klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik. Akad. Wiss. Univ. Heidelberg, Math. Nat. wiss. Klasse (1971) S. 123 140.

83. Kozlov V. V., ed. Dynamical Systems in Classical Mechanics. AMS Translations, Ser. 2, Vol. 168 (1995). 254 p.

84. Kriiger Т., Pustyl’nikov L. D. and Troubetzkoy S. E. Acceleration of bouncing balls in external fields. Nonlinearity 8 (1995), 397−410.

85. Lebovitz N. R., Neishtadt A. I. Slow Evolution in Perturbed Hamiltonian Systems. Studies in Appl. Math. 92 127−144. (1994).

86. Leonard N. E. and Marsden J. E. Stability and drift of underwater vehicle dynamics: mechanical systems with rigid motion symmetry. Physica D 105 June 1997. 130−162.

87. Lichtenberg A. J. and Lieberman M. A. Regular and Chaotic Dynamics, 1992, New York: Springer.

88. Marsden J., Ratiu T. and Weinstein A. Semidirect product and reduction in mechanics. Trans. Am. Math. Soc. 281 (1984), 147−177.

89. Marsden J.E., Simo J.C. The energy-momentum method. La «Mechanique Analytique» de Lagrange et son Heritage, Atti della Accademia delle Scienze di Torino 124 (1990), 245−268.

90. Nagumo M. Proc. Phys.-math. Soc. Japan (3), 21 (1937) 529 534.

91. Perram J.W., Shiriaev A., de Wit C.C., Grognard F. Explicit formula for a general integral of motion for a class of mechanical systems subject to holonomic constraint. IF AC Workshop on Hamiltonian Systems Sevilla, August 2003.

92. Poincare H. Reflexions sur la theorie cinetique des gaz. J. Phys. Theoret. et Appl. (4) 5 (1906), 349−403.

93. Pustyl’nikov L. D. The law of entropy increase and generalized billiards. Russian Math. Surveys 54 (1999), no. 3, 650−651.

94. Pustyl’nikov L. D. Stable and oscillating motions in nonautonomous dynamical systems. II. Trans. Moscow Math. Soc. 1978, no 2.

95. L.D.Pustyl'nikov. On the measure of one-way oscillating motions for the Kolmogorov model and its generalization in the n-body problem. Russian Math. Sur. 5 (1998), 1102−1103.

96. Roger C. Extensions centrales d’algebres et de groups de Lie de dimension infinite, algebre de Virasoro et generalisation. Rep. Math. Phys. 35 (1995), no.2−3. 225−255.

97. Routh E. J. Advanced Dynamics of a System of Rigid Bodies. 6th edition, New York, Dover. 1905.

98. Rubin H., Ungar P. Motion Under a Strong Constraining Force. Communs. Pure and Appl. Math. 1957. V.10. No 1. pp. 65−87.

99. Schmidt H.-J. Models for Constrained Motion and d’Alambert’s Principle. Fachbereich Physik, Universitat Osn. Preprint.

100. Shiriaev A., de Wit C.C. Virtual Constraints a Constructive Tool for Orbital Stabilization of Underactuated Nonlinear Systems. I, II. IEEE Trans, on Automatic Control. (2004) In print.

101. Shnirelman A. Generalized fluid flows, their approximation and application. Geom. and Func. Analysis 4 (1994), no. 5, 586−620.

102. Takens F. Motion Under Influence of a Strong Constrainig Force. Global theory Dynamic Systems. B.:Springer-Verlag. 1980. P.425−445.

103. Treschev D. V. An estimate of irremovable nonconstant terms in the reducibility problem. Dynamical Systems in Classical Mechanics. Amer. Math. Soc. Transl., Ser.2, 168. RI: Am. Math. Soc., 1995, p. 129−140.

104. Ulam S. M. On some statistical properties of dynamical systems. Proc.4th Berkeley Sympos. on Math. Statist, and Prob., Vol.111, Univ. California Press, Berkeley, CA 1961. PP. 315−320.

105. Walker G. T. On a dynamical top. Qurt. J. Pure Appl. Math. 28 (1896). pp. 175−184.

106. Woolsey C. A., Leonard N. E. Stabilizing underwater vehicle motion using internal rotors. Automatica 38 (2002) 2053;2062.

107. Yoshida H. Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. Celestial Mechanics. 31 (1983), 363−399.

108. Zampieri G. Nonholonomic versus vakonomic dynamics. J. Diff. Equat. 163 No. 2. (2000) 335−347.

109. Zaslavskii G. M. and Chirikov В. V. The Fermi acceleration mechanism in the one-dimensional case. Soviet Phys. Dokl. 9 (1964).

110. Zeitlin V. On the structure of phase-space, Hamiltonial variables and statistical approach to the description of two-dimensional hydrodynamics and magnetohydrodynamics. J. Phys. A. 25 (1992) no.4, L171-L175.

111. Zharnitsky V. Instability in Fermi-Ulam 'ping-pong' problem. Nonlinearity 11, (1998), 1481−1487.