Развитие методов анализа и оптимизации импульсных систем управления с динамически изменяющимся интервалом регулирования

Системы фазовой синхронизации с элементами дискретизации широко используются в различных областях техники связи и управления, радиоавтоматике, радиоизмерительных комплексах и других системах авторегулирования. В частности, такие системы используются в синтезаторах частот, демодуляторах импульсных сигналов с частотной и фазовой модуляцией, устройствах тактовой, строчной и кадровой синхронизации и т. д.

Элементы дискретизации позволяют повысить надежность системы фазовой синхронизации, упростить технологию изготовления и настройки, облегчить сопряжение ее с цифровыми ЭВМ, максимально использовать преимущества микросхемотехники. При этом системы фазовой синхронизации с элементами дискретизации отличаются от непрерывных систем не только реализацией, но и наличием в них различных переходных и стационарных процессов, что требует усложнения методов их описания и исследования.

Существенный вклад в исследование практических и теоретических вопросов: связанных с изучением систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, внесли работы отечественных ученых В. В. Шахгильдяна, А. А. Ляховкина, В. Л. Карякина, В. Н. Федосеевой, А. В. Пестрякова [81,84 117−120,145,146,156−158]. Большую роль в развитии теории систем фазовой синхронизации сыграли работы ученых горьковской школы Л. Н. Белюстиной [49−51,145], В. Н. Белыха [46−48,145], В. П. Пономаренко [124,125,145], В. Д. Шалфеева [145], а также А. А. Алексеева [1−3], В. И. Горюнова [1,61−65,68−70] и многих других. Причем одной из характерных особенностей этих работ является широкое применение метода точечных отображений как при исследовании поведения решений дифференциальных уравнений, описывающих динамику непрерывных систем фазовой синхронизации [53,54], так и при построении математических моделей дискретных систем [1, 71,75−77].

Широкое распространение в разнообразных видах аппаратуры получили синтезаторы частот, или, системы синтеза (формирования) дискретного множества частот. Появление первых разработок синтезаторов относится еще к 30-м и 40-м годам, однако, поток публикаций, посвященных различным аспектам исследования и проектирования синтезаторов, не иссякает [45,48,56,59,61−65,68−70,73,76,79−85,87, 93,94,98−103,112−123,130−147,149,154,156−158]. Известны различные методы повышения быстродействия синтезаторов частот (применение аппроксимирующих алгоритмов, реализация благоприятных фазовых соотношений, изменение характеристик канала управления, уменьшение начальной ошибки установки управляемого генератора и т. д.) [61,64,98−102,112,121,123,146]. Весьма продуктивным при исследовании синтезаторов частоты является метод, основанный на создании математических моделей реальных устройств [61−65,6870,73,76,98,114,115,117,123,134,139,146]. И здесь, прежде всего, следует отметить работы В. А. Левина, В. Н. Малиновского и С. К. Романова [93,94,98−101,133−139].

В основе современных систем синхронизации в авиационной связи лежат цифровые синтезаторы частоты, т. е. синтезаторы частоты, построенные на базе импульсных систем фазовой синхронизации. Цифровые синтезаторы частоты представляют собой сложные нелинейные дискретные устройства регулирования, или импульсные системы синхронизации с динамически изменяющимся интервалом регулирования. Математическая модель такой системы должна опираться на описание работы ее элементов и системы в целом, т. е. адекватно учитывать происходящие в ней физические процессы. С другой стороны, полученные математические уравнения не должны быть настолько сложными, чтобы их интерпретация оказалась практически невозможной. Поэтому для исследования нелокальных вопросов динамики (в том числе и в диапазоне изменения частот) оказывается целесообразным использование метода точечных отображений.

В работе [158], посвященной обсуждению перспективных направлений развития динамической теории дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частот, отмечается, что возрастающая потребность в применении новых, высокоэффективных систем синхронизации с одной стороны и недостаток соответствующих теоретических разработок с другой стороны порождают необходимость разработки прикладных методов анализа дискретных систем фазовой синхронизации, позволяющих в полной мере учитывать все эффекты дискретизации и проводить исследование конкретных моделей систем фазовой синхронизации для конкретных технических приложений. Поскольку для подавляющего большинства реальных дискретных систем фазовой синхронизации, применяемых на практике, удается осуществить замену переменных, преобразующих уравнения математической модели к системе разностных уравнений с малыми параметрами в правых частях, то разработка прикладных методов анализа этих систем сводится к созданию приемов исследования точечного отображения, функции последования которого зависят от малого (быть может, векторного) параметра.

Метод точечных отображений дает наиболее общее средство описания и достаточно эффективный математический аппарат исследования нелинейных систем, поскольку позволяет единообразно подходить к исследованию различных систем, а также исследовать бифуркации и структуры разбиения фазового пространства соответствующей математической модели на траектории в зависимости от параметров. Важный вклад в развитие этого метода и его использование для исследования конкретных систем внесли А. А. Андронов, А. Г. Майер, А. А. Витт, С. Э. Хайкин, Н. А. Железцов, Н. Н. Баутин, Ю. И. Неймарк, JI. В. Беспалова, С. Д. Киняпин, Н. Н. Леонов, JL П. Шильников, В. А. Брусин, М. И. Фейгин, 3. С. Баталова и многие другие ученые нижегородской школы [5,58,62,106,107]. При этом практическое применение этого метода оказалось связанным с рядом трудностей, главная из которых — отыскание функций последования. В связи с этим метод точечных отображений находил применение для исследования в основном кусочно-линейных систем [5], что позволяло получать функции последования в явном (аналитическом) или параметрическом виде.

Следует отметить, что в связи с трудностями аналитического исследования точечных отображений в случаях сложных нелинейных систем была предпринята разработка методики численного их исследования [40−43,77,78,85], что в значительной степени расширило возможности метода.

Наличие малого параметра в функциях последования допускает применение асимптотических методов для изучения свойств точечного отображения. При таком подходе к изучению свойств точечного отображения существо вопроса смещается к оценке достоверности (практической применимости) результатов приближенного исследования, а решение вопросов обоснования асимптотических методов [5,53,57,58,106−111] восходит еще к работам JI. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси [103]. В частности, при изучении сложных колебательных систем оказалось целесообразным применение метода точечных отображений в сочетании с методом малого параметра [106,109−111]. Однако оценка требуемой малости параметра при этом представляет трудную задачу, т. к. связана с требованием сходимости рядов [106]. В связи с этим представляет интерес метод построения точечных отображений, не связанный требованием сходимости рядов.

В настоящей работе рассматриваются вопросы применения метода точечных отображений к решению задачи исследования нелокальной динамики базовой модели синтезатора частоты со счетчиком в качестве делителя частоты и пропорционально-интегрирующим фильтром при переключениях в заданном диапазоне частот [22]. В качестве математической модели выбрано неизохронное точечное отображение, построенное в работах В. И. Горюнова, Ю. П. Кириллова [65,68]. Предложен критерий оптимальности быстродействия при переключении синтезатора по конечному диапазону частот [10], основанный на исследовании свойств выбранной математической модели. Обоснована возможность применения аналогичныого критерия при исследовании динамики импульсных систем синхронизации методом точечных отображений. Разработана методика приближенного исследования точечного отображения, функции последования которого зависят от малого параметра [13,22]. Указанная методика апробирована на примере применения метода точечных отображений в сочетании с методом последовательных приближений [106] в связи с исследованием периодических решений квазигармонических систем. Обсуждается проблема применимости результатов исследования локальных и глобальных свойств системы при конкретных, хотя и малых, значениях малого параметра [5]. Вопрос о достоверности результатов, полученных посредством построения и изучения свойств приближенно построенного отображения, решается на основе оценивания близости этого отображения к точечному отображению, порождаемому траекториями системы [66,67]. Таким образом, актуальность работы определяется с одной стороны необходимостью создания достаточно простой и наглядной методики приближенного аналитического исследования нелинейных систем, а с другойтребованием оценки достоверности (практической применимости) результатов исследования нелинейных систем приближенными (в том числе и асимптотическими) методами.

Цель работы состоит.

— в решении задачи оптимизации быстродействия импульсной системы синхронизации с динамически изменяющимся интервалом регулирования в заданном диапазоне изменения частот,.

— в разработке методики определения момента окончания переходных процессов как в непрерывных, так и в дискретных, динамических системах, основанной на использовании квадратичных функций Ляпунова, при условии наложения ограничений на первую производную (первую разность) функции Ляпунова вдоль траекторий соответствующей линеаризованной системы,.

— в расширении практических возможностей применения метода точечных отображений в сочетании с методом последовательных приближений в задачах исследования периодических решений квазилинейных систем,.

— в апробации предложенной методики оценки достоверности результатов приближенного исследования на примерах изучения конкретных квазилинейных систем с одновременной оценкой допустимых значений малого параметра.

Научная новизна.

В работе впервые задача оптимизации быстродействия импульсной системы синхронизации с динамически изменяющимся интервалом регулирования, описываемой неизохронным точечным отображением, решается с помощью применения косвенного (корневого) критерия к соответствующему линеаризованному отображению с последующим уточнением полученных результатов на основе вычислительного эксперимента.

Впервые предложена методика построения для непрерывных (дискретных) динамических систем функций Ляпунова квадратичного вида, удовлетворяющих условию ограничения первой производной (первой разности) вдоль траекторий системы.

Впервые предложен подход к изучению глобальных свойств динамики квазилинейных систем с помощью применения метода последовательных приближений с одновременной оценкой достоверности результатов приближенного исследования.

Практическое значение.

Предложенный критерий оптимизации и методика его применения могут быть использованы при проектировании для определения параметров цепей систем управления, исследование свойств которых сводится к изучению соответствующих точечных отображений.

Разработанная методика построения функций Ляпунова, удовлетворяющих условию ограниченности первой производной (первой разности), может быть эффективно использована для определения с помощью ЭВМ длительности переходных процессов.

Рассмотренный подход к изучению динамики квазилинейных систем с оценкой достоверности результатов приближенного исследования может быть реализован в различных задачах исследования систем с малым параметром.

Результаты работы вошли в 20 научно-технических отчетов, выполненных по важнейшей тематике и внедренных в практику проектирования изделий новой техники.

Работа выполнялась при поддержке научной программы Минобразования РФ «Университеты России — фундаментальные исследования» (проект № 992 870 и проект УР.03.01.027).

Апробация работы. Основные результаты работы доложены на Всесоюзных конференциях.

Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи", Горький, 1988 [16],.

Нелинейные колебания механических систем", Горький, 1990 [3], 4-х межгосударственных (Международных) конференциях.

Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 1993 [26], «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1996 [20], «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1999 [38], «Дифференциальные уравнения и их применение», С. Петербург, 2000 [29], научно-технических конференциях.

Повышение качества и эффективности устройств синхронизации в системах связи", Ярославль, 1993 [17],.

LIV научная сессия, посвященная дню радио, Москва, 1999 [24], «Проблемы радиосвязи», Нижний Новгород, 1999 [29], «Проблемы синхронизации третьего тысячелетия», Ярославль, 2000 [29], и на V Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 1998) [28].

Публикации результатов исследований. Основные материалы опубликованы в 35 работах.

О характере совместных работ. Ряд статей по теме диссертации опубликован вместе с В. И. Горюновым [7−15, 18−23, 28], совместно с которым выполнены постановки соответствующих задач В. И. Горюнову принадлежит идея доказательства в работах [13,18,22]. Доказательство основных результатов этих работ принадлежат автору. Им же получены результаты исследования конкретных систем предложенными методами.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. В первой главе исследуется возможность применения метода точечных отображений для численно-аналитического изучения динамики существенно нелинейных импульсных систем. Задача оценки запаса устойчивости и быстродействия системы автоматического регулирования, исследуемой во второй главе, сводится к изучению условий существования и характера устойчивости неподвижных точек точечного отображения, описывающего динамику системы, и к анализу чисел в таблицах длительности переходных процессов, устанавливаемых по числу его итераций (раздел 1.1). Предлагается косвенный (корневой) критерий минимизации длительности переходных процессов, основанный на определении минимума максимального по модулю корня соответствующего характеристического уравнения при изменении параметра системы в заданном диапазоне для случаев пропорционально-интегрирующего фильтра порядка п=1 (раздел 1.2) и пг:2 (раздел 1.3), приводятся результаты вычислительного эксперимента, подтверждающие его применимость. Дается обоснование необходимости развития теории функций Ляпунова, обладающих свойствами, наиболее удобными для определения момента окончания переходного процесса в системе, а также обоснования достоверности результатов исследования, полученных с помощью асимптотических методов (раздел 1.4).

Вторая глава посвящена вопросам применения прямого метода Ляпунова в задачах построения областей притяжения асимптотически устойчивых состояний равновесия систем дифференциальных уравнений, полученным его приближением.

В разделе 2.1 решается вопрос о существовании квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей ограничению равенства минимума модуля отношения ее первой производной вдоль траекторий линейной системы дифференциальных уравнений на заданной поверхности уровня к значению самой функции заданному положительному числу. Определяются коэффициенты квадратичной функции Ляпунова, гарантирующей ограниченность сверху ее первой производной на заданном сечении максимальным по модулю отрицательным числом.

В разделе 2.2 решается вопрос о существовании квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей ограничению равенства минимума модуля отношения ее первой разности в силу формул линейного точечного отображения на заданной поверхности уровня к значению самой функции заданному положительному числу. Определяются коэффициенты квадратичной функции Ляпунова, гарантирующей ограниченность сверху ее первой разности на заданном сечении максимальным по модулю отрицательным числом.

В разделе 2.3 приведен алгоритм выбора точек на сечении квадратичной функции Ляпунова, позволяющий установить знак ее первой разности на поверхности уровня по значениям первой разности в конечном числе точек сечения.

В третьей главе изучаются возможности исследования вопросов существования и устойчивости неподвижных точек точечного преобразования плоскости в плоскость и n-мерного пространства в себя по его приближению. При этом основной упор делается на обоснование возможности исследования близких к тождественным точечных отображений.

В разделе 3.1 формулируются условия, при выполнении которых погрешность задания формул близкого к тождественному точечного преобразования плоскости в плоскость не влияет на существование и характер устойчивости неподвижных точек. Оценивается расстояние между неподвижными точками точного и приближенного преобразований. Таким образом, решение вопроса о достоверности результатов исследования близкого к тождественному точечного отображения по его приближению сводится к необходимости проверки ряда ограничений на величину малого параметра.

В разделе 3.2 приводится обобщение результатов раздела 1.1 на случай произвольной размерности. Для доказательства соответствующих теорем была использована методика, предложенная в работах [73,74] В. И. Горюнова.

В разделе 3.3 рассматривается вопрос о погрешности задания точечного отображения при исследовании квазилинейных систем методом последовательных приближений. Оценивается погрешность задания точечного отображения, порожденного траекториями исходной системы дифференциальных уравнений, полученным его приближением.

Четвертая глава посвящена описанию и апробации методики исследования периодических решений квазигармонических систем с периодом внешней силы на основе метода точечных отображений в сочетании с методом последовательных приближений с последующей оценкой достоверности результатов исследования.

В разделе 4.1 исследуется задача нахождения условий существования решений с периодом внешней силы у неавтономной колебательной системы, описываемой дифференциальным уравнением квазигармонического осциллятора при произвольном отношении периода собственных колебаний системы к периоду внешней силы.

В разделе 4.1 для решения задачи нахождения условий существования решений уравнения квазигармонического осциллятора с периодом внешней силы на основе метода последовательных приближений строится близкое к тождественному точечное отображение, приближающее точечное отображение, порожденное траекториями исходной системы, с точностью до членов порядка ц2. Предложенная методика иллюстрируется на примере изучения конкретных квазилинейных систем.

В качестве частного случая рассматривается дифференциальное уравнение, описывающее движение квазигармонического осциллятора вблизи главного резонанса (разделы 4.2−4.4). Изучаются условия существования и характер устойчивости простых неподвижных точек приближенно построенного точечного отображения, соответствующих периодическим решениям системы. Изучаются бифуркации неподвижных точек при переходе через границы области устойчивости. Производится качественное сравнение результатов исследований в случае применения метода усреднения и метода приближенных точечных отображений.

Раздел 4.5 посвящен вопросам исследования поведения траекторий точечных отображений в удаленных частях плоскости.

В разделе 4.6 решается задача о влиянии характера нелинейности на результаты исследования методом точечных отображений в сочетании с методом последовательных приближений. При этом, поскольку используемый метод исследования является асимптотическим методом, в разделе 4.7 ставится вопрос о достоверности полученных ранее результатов, который решается посредством оценки близости построенного точечного отображения к точному точечному отображению, порожденному траекториями системы.

В заключении изложены выводы о практической применимости результатов проведенных исследований, а также об универсальности методик, изложенных в работе.

Основные результаты раздела 4.7 изложены в работах [14,36,37].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В заключении остановимся кратко на основных результатах проведенных исследований. На основе наиболее полного использования возможностей метода точечных отображений для решения задач исследования динамики нелинейных систем были предложены и апробированы на примерах изучения конкретных систем численно-аналитические методы их качественного исследования с использованием приближенно построенных математических моделей достаточно простого вида с последующей проверкой достоверности результатов приближенного исследования. Разработаны алгоритмы определения времени установления синхронных режимов, использущие аппарат метода функций Ляпунова. Основными результатами работы являются следующие:

1) Изучена динамика переходных процессов в системе синхронизации с динамически изменяющимся интервалом регулирования. Показана целесообразность применения метода функций Ляпунова для точного определения момента окончания переходного процесса.

2) На основе косвенного (корневого) критерия изучена задача оптимизации быстродействия в импульсной системе синхронизации с динамически изменяющимся интервалом регулирования. Применимость результатов аналитического исследования подтверждена вычислительным экспериментом.

3) Решены задачи о существовании квадратичных функций Ляпунова, обладающих свойствами, удобными для их применения при решении практических задач.

4) Разработана методика сведения исследования квазилинейных неавтономных систем к изучению свойств точечных отображений достаточно простого вида, при построении которых используется метод последовательных приближений. С ее помощью исследовано явление синхронизации квазигармонического осциллятора для различных видов нелинейности.

5) Выявлены эффекты стохастизации динамического поведения приближенной математической модели при больших значениях расстройки в случае неограниченной нелинейности и построена бифуркационная диаграмма процесса удвоения периода.

6) Разработана и апробирована процедура установления факта достоверности результатов приближенного исследования, основанная на проверке близости приближенного точечного отображения к точному точечному отображению, порожденному траекториями системы, и сводящая задачу к проверке ряда ограничений на максимально допустимую величину малого параметра.

Необходимо также отметить, что предложенная в работе методика приближенного исследования квазигармонических систем с последующей проверкой достоверности полученных результатов может быть использована для изучения и других классов систем, содержащих малый параметр. Применение предложенной модификации в постановке задачи в методе функций Ляпунова является направлением повышения достоверности качественного и численно-аналитического изучения переходных процессов в конкретных динамических системах.