Исследование потенциальной точности параметрической аппроксимации локационных сигналов

При решении задач обработки сигналов зачастую используются параметрические модели при их описании. В ряде случаев это обусловлено спецификой помеховой обстановки. Так, например, при обработке радиолокационного сигнала необходима априорная информация о функциональной модели полезного сигнала, чтобы провести оценку ее параметров по принятой реализации.

В ряде радиотехнических задач сигнал, приходящий в момент t= О, поражает помеха, появляющаяся с некоторой задержкой т, вследствие чего на входе приемника имеем: y (t) = a (t)x (t) + a (t — T) C (t) (B.l).

Таким образом в ряде случаев мы располагаем непораженной частью сигнала x (t), t е (0, т).

В измерительной практике зачастую возникает задача оценки временных характеристик каузальных систем с сосредоточенными параметрами, описываемых линейными дифференциальными уравнениями вида.

N-1, п Мim.

В.2) п=О ш т=О ш где x (t) и y (t) — сигналы на входе и выходе системы.

Импульсная характеристика h (t) таких систем может быть представлена экспоненциальным рядом при t > 0: м, (в.з) к=1 где — полюсы передаточной функции системы (Яе /Ц<0), А^ — вычеты в этих полюсах.

При формировании коротких радиолокационных сигналов методом ударного возбуждения антенных систем, полученный сигнал представляет собой импульсную реакцию системы и может быть с достаточной точностью аппроксимирован рядом (В.З).

Для задач описания таких сигналов целесообразно экстраполировать их значения путем соответствующей обработки с учетом априорной информации о структуре, которой может служить параметрическое описание (В.2). Одним их наиболее эффективных средств получения такого представления является метод Прони [15,16,18].

Метод Прони — это метод моделирования выборочных данных в виде линейной комбинации экспонент [15]: м.

Х (0 = (В.4) к=1 на интервале? е[0,Г], где М — заранее известное количество членов (порядок) разложения, Ак, Хк — комплексные константы. С помощью этого метода осуществляется аппроксимация данных с использованием некоторой детерминированной экспоненциальной модели при эквидистантной выборке {х^.}, где хк — х (кАТ).

Применение традиционных методов обработки радиотехнических сигналов при измерении характеристик гидролокационных излучателей и приемников не учитывает ряд специфических особенностей измерительных систем гидроакустики.

Достаточно эффективным средством борьбы с переотражениями является переход к импульсному зондированию и регистрации отклика до прихода первого сигнала, отраженного стенками бассейна. При таком методе, однако, удается зарегистрировать только часть сигнала на ограниченном временном интервале, в то время как для расчета его спектральных характеристик необходим весь сигнал.

Для таких задач целесообразно экстраполировать значения сигнала путем их соответствующей обработки с учетом априорной информации о его структуре, которой может служить параметрическое описание (В.4).

В настоящее время существуют и применяются различные методы аппроксимации экспериментальных данных, отличающиеся выбором базисных функций. Критерий выбора базисных функций обычно основывается на информации о виде исследуемого процесса и удобстве расчета. В тоже время, практически ничего не известно об оптимальности и точности аппроксимации измерительной информации, особенно в задачах экстраполяции экспериментальных данных. Для таких задач наиболее эффективным и распространённым способом параметрического описания служит описание в виде линейной комбинации экспонент, например, в задачах распознавания целей при широкополосном зондировании.

Во многих задачах радиолокации при обработке принятого излучения для параметрического описания данных зачастую пользуются одномерными моделями. Однако некоторые приложения требуют описания исследуемых данных более высокой размерности, например, двумерное параметрическое описание в задачах двумерного спектрального анализа, обработка радиолокационных изображений, например, для оценки двумерных частот. При распознавании цели в радиолокации — определение точек рассеяния (т.н. «блестящие точки»), расположение свойства которых зависит от геометрии цели.

Двумерный спектральный анализ может использоваться при обработке изображенийгидролокационных, сейсмических и радиолокационных сигналов в случае синтезируемой апертуры, а также при анализе интервала повторения радиолокационных импульсов в зависимости от момента их прихода. Обработка двумерных данных приводит к таким проблемам, как увеличение (по сравнению с одномерным случаем) вычислительных трудностей, а также возникновение проблемы распространения многих одномерных методов на двумерный случай. Кроме того, недостатки одномерных методов переходят и на двумерный случай обработки сигнала.

Так же как и в одномерных задачах, при двумерном описании пользуются параметрическими моделями, самая распространённая из которых — двумерный экспоненциальный ряд. Как в одномерном, так и двумерном случаях вопросам потенциальной точности уделено недостаточно внимания. Таким образом, исследование потенциальной точности методов параметрической аппроксимации радиосигналов на ограниченном интервале наблюдения на фоне помех представляет несомненный научный и практический интерес.

Целью диссертационной работы является исследование потенциальной точности аппроксимации радиосигналов с помощью линейной суммы экспонент на ограниченном интервале наблюдения на фоне помех. Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Теоретический анализ методов оценивания нескольких параметров радиосигналов на фоне белого гауссова шума.

2. Анализ точности потенциальной точности параметрической аппроксимации сигналов, вычисление границ Крамера-Рао для оценок параметров разложения экспоненциальной модели.

3. Исследование точности аппроксимации по методу Прони и методу пучка матриц для однои двумерных сигналов и оценка возможности их последующего уточнения.

4. Исследование возможностей использования метода Прони.

Рассмотрен подход к исследованию потенциальной точности аппроксимации и экстраполяции сигналов линейной комбинацией экспонент на основе функционала правдоподобия. Получены аналитические выражения для границы Крамера-Рао оценки параметров представления сигналов экспоненциальным рядом.

Исследована помехоустойчивость метода пучка матриц и метода Прони и предложен способ повышения точности оценок параметров разложения сигнала.

Исследована потенциальная точность параметрической аппроксимации двумерных сигналов с помощью линейной комбинации двумерных экспонент. Разработаны модификации метода Прони и метода пучка матриц для двумерных сигналов и исследованы их помехоустойчивость. Разработаны способы повышения точности оценки параметров разложения двумерных сигналов с помощью двумерного метода Прони.

Положения, выносимые на защиту.

1. Аналитические выражения границы Крамера-Рао оценки параметров разложения сигнала, состоящего из двух комплексно-сопряжённых экспонент без учёта и с учётом начальной фазы.

2. Аналитические выражения для элементов информационной матрицы Фишера для сигналов, описываемых линейной суммой экспонент.

3. Алгоритм повышения точности аппроксимации сигналов по методу Прони, позволяющий уточнить оценки параметров разложения и сравниться по точности с методом пучка матриц.

4. Оценка границы Крамера-Рао для параметров разложения двумерных сигнала, состоящего из двух комплексно-сопряжённых двумерных экспонент.

5. Алгоритмы построения разложения двумерных сигналов для двумерного метода Прони и двумерного метода пучка матриц.

6. Алгоритм повышения точности аппроксимации двумерных сигналов с помощью двумерного метода Прони.

Проведенные исследования позволяют решить ряд практических задач, имеющих важное значение при разработке радиолокационных систем, таких как: распознавания целей в ближней локации, повышение точности измерения параметров и разрешения сигналов, повышение помехоустойчивости работы в условиях действия активных и пассивных помех.

1. Использование неравенств Крамера-Рао при определении потенциальной точности оценки параметров разложения сигналов для оценки оптимальности процедуры.

2. Проведено сравнение двух процедур оценки параметров экспоненциальной модели — метода Прони и метода пучка матриц. Результаты моделирования показали, что погрешность оценок метода пучка матриц ниже в 10−15 раз погрешности оценок по методу наименьших квадратов (МЕЖ) Прони. В тоже время вычислительные затраты для получения оценок данных методов диаметрально противоположны — временные затраты по оценке параметров методом МНК Прони на несколько порядков меньше, чем при использовании метода пучка матриц.

3. Разработаны алгоритмы уточнения оценок параметров разложения экспоненциальной модели, позволили по эффективности приблизиться к методу пучка матриц и увеличивающие вычислительные затраты примерно в 1,5 раза по сравнению с первоначальной процедурой оценки.

Методы исследований. Проведённые в работе исследования базируются на применении методов статистической радиотехники, матричного анализа, линейной алгебры. Экспериментальная часть работы основана на статистическом и компьютерном моделировании с использованием языка программирования Фортран-90 и численных методах прикладной математики.

Результаты диссертационных исследований нашли применение в работах, поддержанных грантом РФФИ (проект № 08−07−175а), в разработках ОАО «НИИ Гидросвязи «Штиль» (г. Волгоград), а также использованы в учебном процессе Волгоградского государственного университета при чтении специального курса «Современные проблемы радиотехники», читаемом магистрантам ВолГУ.

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложений.

Заключение

.

В настоящей диссертационной работе исследован ряд вопросов, связанных с потенциальной точностью методов экстраполяции локационных сигналов на ограниченном интервале наблюдения. Подводя краткий итог исследования, отметим следующие основные результаты.

1. Исследована потенциальная точность метода Прони для различных моделей сигнала. Получены аналитические выражения для границы Крамера-Рао, описывающие предельно достижимую точность оценки параметров разложения сигнала в ряд Прони.

2. Исследована потенциальная точность и оптимальность разложения сигнала с помощью метода пучка матриц. Показано, что данный метод эффективнее классического метода МНК Прони. Результаты статистического моделирования показали, что точность оценки параметров разложения по методу пучка матриц в среднем выше точности метода МНК Прони на 20−30 дБ, а расстояние до границы Крамера-Рао составляет примерно 10 дБ.

3. Предложены алгоритмы повышения точности аппроксимации сигналов по методу МНК Прони, показана их эффективность. Алгоритм позволяет повысить точность метода Прони на 10−20 дБ, что сравнивает его по эффективности с методом пучка матриц.

4. Исследована потенциальная точность разложения двумерной последовательности отсчётов в ряд двумерных экспонент для модели, содержащей две комплексно-сопряжённые экспоненты. Получены оценки границы Крамера-Рао, описывающие наивысшую достижимую точность оценки параметров разложения двумерного сигнала.

5. Предложены модификации метода Прони для оценки параметров разложения двумерного сигнала, проведено сравнение точности двух модификаций. Предложена модификация метода пучка матриц для оценки параметров разложения двумерного сигнала на основе одномерного метода, показана эффективность оценки параметров разложения с помощью данной модификации. Точность метода практически достигает границы Крамера-Рао (1−3 дБ разницы).

6. Предложены способы повышения точности оценки параметров разложения сигнала по двумерному методу Прони, используя алгоритмы для одномерного случая. Проведено исследование точности предложенных методов оценки параметров двумерного сигнала. Эффективность уточнения увеличивается и приближается к потенциальной точности (7−8 дБ до границы Крамера-Рао).

По результатам выполненного исследования была подана заявка на патент Российской Федерации «Способ увеличения точности параметрической аппроксимации сигналов по методу Прони» (авторы Верстаков Е. В., Захарченко В. Д., per. № 2 008 149 741 от 16.12.2008).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08−07−175а).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору В. Д. Захарченко за постоянное и внимательное руководство.

Автор считает приятным долгом поблагодарить д.т.н., профессора В. В. Латышева (МАИ) и к.т.н., доцента В. Г. Андреева (РРТУ), которые обсуждали с ним ряд вопросов, отражённых в рукописи.

Автор благодарен сотрудникам кафедры радиофизики и кафедры теоретической физики ВолГУ, и отдельно д.т.н., профессору Литюку В. И. (ТТИ ЮФУ) за многочисленные ценные замечания и обсуждение работы.