Построение самосопряженного Гамильтониана для безмассового скалярного поля в пространстве Шварцшильда

Успехи квантовой теории поля в плоском пространстве-времени, в пространстве Минковского, и объединение электромагнитных и слабых взаимодействий с помощью теории Вейнберга-Салама, а также разработка хромодинамики для описания и сильных взаимодействий с помощью калибровочных теорий, усилили попытки на разработку квантовой теории гравитации. Однако, эта теория до сих пор полностью не сформулирована, к тому же привносятся усложнения самодействием гравитационного поля, которое ведет к появлению нелинейностей в теории. В попытке определить каким-то образом влияние гравитационного поля на физические квантовые поля, мы вынуждены прибегнуть к полуклассическому приближению.

При вычислении тензора энергии импульса, на подобие с квантовой электродинамикой, возникают расходимости. В КЭД они устраняются с помощью процедуры перенормировки. При этом возможно, путем переопределения конечного числа величин, устранить расходимости в любом порядке теории возмущений, что связано с тем, что константа связи безразмерна. В квантовой теории гравитации это уже не так. Гравитационная постоянная (7, играющая роль константы связи, не является безразмерной. Общая перенормировка невозможна. Поэтому вычисления проводятся обычно до какого то конечного порядка, и лишь в этом случае выполняется конечное число перенормировок. При этом оказывается, что если попытаться проквантовать гравитационное поле на фоне плоского пространства-времени, то перенормировку нельзя выполнить общековариантным способом. Следовательно, необходимо рассматривать квантование материальных полей в искривленном пространстве-времени, т. е. на фоне произвольной (Римановой) метрики. Таким образом мы приходим к задаче квантования материальных полей в Римановом пространстве.

Хотя сейчас основные надежды на построение полноценной квантовой теории гравитации возлагаются, например, на теорию супергравитации, однако квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени представляет самостоятельный интерес, как альтернатива плоскому пространству. Любое, даже малое возмущение метрики в пространстве Минковского приводит к появлению Римановой метрики, для которой однако, в отличие от метрики Минковского, теория поля не разработана и ведет к расходимостям. Отсюда вытекает необходимость разработки квантовой теории поля в искривленном пространстве, иначе мы сталкиваемся с ситуацией, когда к уже разработанным теориям поля в пространстве Минковского не применима даже теория возмущений.

Важнейшем элементом подобной теории должно стать построение самосопряженного Гамильтониана, определяющего эволюцию системы. Область определения Гамильтониана определяет возможные состояния системы, а его спектр значений определяет энергию системы. Самосопряженность Гамильтониана обеспечивает того, что значения энергии вещественны и, стало быть, наблюдаемы. Однако, для вещественности значений энергий достаточно, чтобы Гамильтониан был просто симметричным, т. е. не требуется равенство областей определения самого Гамильтониана и его сопряженного. Но тогда, операторы эволюции и рассеяния, которые получаются с помощью некоторого операторного выражения содержащего Гамильтониан в показателе экспоненты, не унитарны, поскольку по теореме Стоуна подобные операторы унитарны, если в показателе экспоненты стоит эрмйтовый оператор. Унитарность же этих операторов важна для возможности отождествления начальных и конечных состояний. К тому же возникает вопрос о единственности определяемого Гамильтониана: в отличие от симметричных оператров, существует единственное максимальное расширение самосопряженного оператора.

Таким образом, вопрос о построении Гамильтониана является отправным пунктом для создания любой квантовой теории поля, в том числе и в искривленном пространстве-времени, без решения которого само создание теории становится проблематичным. При этом в последние годы накапливаются данные свидетельствующие о том, что в общем случае построение самосопряженного Гамильтониана в искривленном пространстве-времени невозможно ([20]). В данной работе осуществляется построение самосопряженного Гамильтониана для безмассового скалярного поля в пространстве Шварцпгальда.

Метрика Шварцшильда является единственным сферически симметричным решением уравнений Эйнштейна в пустоте, описывающим нейтральную черную дыру. Простой вид метрики, а также ее привязанность к реальному, конкретному случаю определяют тот факт, что она используется чаще всего для демонстрации принципов построения Гамильтониана и непротиворечивой квантовой теории в искривленном пространстве-времени. Однако, даже здесь возникают трудности, которые связаны с тем, что метрика Шварцшильда имеет координатную особенность на расстоянии так называемого радиуса Шварцшильда, и конечная область внутри этого радиуса (как раз называемая черной дырой), действует как ловушка для всех классических материальных полей. Данная работа представляет собой попытку построения самосопряженного Гамильтониана в пространстве с координатной особенностью.

Структура работыВо второй главе представлены некоторые общие положения квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Обобщаются уравнения движения поля на случай искривленного пространства. Вводятся координаты, в которых обычно выражается метрика в пространстве Шварцшильда, и конкретизируется поставленная задача. Вводится оператор движения, и посредством полученного выражения для оператора Гамильтона системы, показана связь между двумя операторами, позволяющая из самосопряженности одного делать выводы о самосопряженности другого. Выводятся основные полевые уравнения движения, из которых следует, что поверхность классической черной дыры выделяется как особая точка этих уравнений, а также представлена связь между разными координатными пространствами и определяются скалярные произведения в них. Конкретизируется цель работы и вводятся обозначения, физические величины и математические понятия, на которых будут основаны полученные результаты.

Показав связь между Гамильтонианом и оператором движения, исследуется сначала оператор движения. В последующих двух главах рассматривается оператор движения и доказывается, что он является самосопряженным с дважды вырожденным для непрерывным положительным энергетическим спектром. Доказательствопроводится по отдельности для области вне классической черной дыры (третья глава), и внутри классической черной дыры (четвертая глава).

В пятой главе исследуется вопрос о построении самосопряженного Гамильтониана во всей области пространства Шварцшильда. Самосопряженность достигается продолжением собственных векторов через особую точку поверхности классической черной дыры таким образом, чтобы эта точка приобретала, в некоторой степени, свойства регулярных точек. Применение этого метода основано на результатах решения задачи Копта, которая также кратко рассмотрена в этой главе. Последняя глава содержит основные заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе была рассмотрена возможность построения самосопряженного Гамильтониана в пространстве Шварцшильда, в пространстве с вечной черной дырой, содержащем сингулярную точку, или точнее координатную особенность. Эта особенность естественным образом делит пространство на внутреннюю и внешнюю области.

Показана связь между оператором движения и Гамильтонианом, которая такова, что самосопряженность одного оператора влечет за собой самосопряженность второго, и далее исследован оператор движения.

Оператор движения рассмотрен во внешней и потом во внутренней областях по отдельности. Доказывается, что этот оператор, а стало быть и Гамильтониан, самосопряжен в каждой из этих областей по отдельности с индексом дефекта равным (0,0), т. е. имеет дважды вырожденный непрерывный положительный спектр. Это рассмотрение проводится как в пространстве так и более подробно в пространстве х. В координате? во внешней области результат получается довольно тривиально, а во внутренней области показано почему точка х — 0 не ограничивает область собственных решений оператора К. Таким образом, результаты в координатах х и? совпадают, и рассмотрение в разных координатах равносильно. Поэтому далее переход от одной координаты к другой считается законным и равносильным, и делается из соображений удобства и ясности.

Поскольку «число состояний непрерывного спектра» во внешней и внутренней областях «одинаково», то возникает возможность сопоставить эти состояния между собой. Возможное существование невырожденного отрицательного спектра не меняет картину, поскольку в данном случае собственные функции стремятся к нулю экспоненциально при приближении к особой точке, и во внешнюю область могут быть тривиально продолжены нулевой функцией.

Для построения самосопряженного Гамильтониана во всем пространстве Шварцшильда можно взять прямую сумму Гамильтонианов во внешней и внутренней областях, что обеспечить равенство области определения самого оператора и его сопряженного. Однако это не достаточно. Соотношение самосопряженности (5.3), и далее следуемые из него выражения (5.5) и (5.7) выполняются так или иначе за счет асимптотических свойств функций принадлежащих рассматриваемому пространству определения Гамильтониана, а именно за счет того, что эти функции стремятся к нулю при приближении к сингулярной точке. Таким образом пакет движущийся во внешней области не попадает во внутреннюю, возможно кроме того случая, если будет рассмотрена задача в терминах собственного времени, которое впрочем различно в каждой точке пакета. Получается, что существуют два независимых друг от друга пространства, и если мы и решим сопоставить между собой векторы во внутренней и внешней областях, то в некотором смысле это может выглядеть произволом.

Однако рассмотрение задачи Коши показывает, что начальные данные при? = 0 должны задаваться самосогласованно в пространстве Шварцшильда, чтобы иметь возможность во всем пространстве, включая внутреннюю области, вычислить решение в последующие моменты времени. Связь эта между значениями полевой функции во внешней и внутренней областях сохраняется и во времени. Сам факт существования такой связи был в дальнейшем использован для того, чтобы удовлетворить условию самосопряженности (5.7) (или равносильное ему в пространстве? (5.34)) для векторов одинаковых собственных значений. Однако в точке х = 1 имеется координатная особенность, когда метрика выражена в координатах Шварцшильда, тогда как в координатах Крускала, например, эта точка регулярна. Можно еще больше увеличить степень регулярности в особой точке х = 1 в пространстве х если предположить самосогласованный способ стремления координаты к этой точке с внутренней и внешней сторон.

Таким образом в пространстве Шварцшильда получаем, что Гамильтониан самосопряжен, а регулярность особой точки х — 1 может быть увеличена, сопоставлением векторов во внутренней и внешней областях (на основании результатов рассмотрения задачи Коши), или еще больше с помощью самосогласованного стремления координаты с двух сторон к особой точке, с учетом того, что в точке х = 1, в координатах Шварцшильда, пространство имеет координатную особенность, которая отсутствует в других системах координат.

Сформулируем основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Оператор движения, а следовательно и Гамильтониан, для безмассового скалярного поля в пространстве Шварцшильда, самосопряжены во внешней области, и их положительный непрерывный спектр дважды вырожден. Отрицательный спектр отсутствует.

2. Аналогично для внутренней области, оператор движения, а следовательно и Гамильтониан, для безмассового скалярного поля в пространстве Шварцшильда, самосопряжены во этой области. Их непрерывный спектр тоже дважды вырожден и возможно существует отрицательный невырожденный спектр.

3. При определенных условиях, накладываемых на область определения, можно построить самосопряженный Гамильтониан во всей области пространства Шварцшильда. Этот вывод основан на результатах, полученных из рассмотрения задачи Коши, главный из которых заключается в том, что начальные данные во внутренней и внешней областях должны задаваться самосогласованно между собой.

4. Способ построения самосопряженного Гамильтониана, путем самосогласованного задания собственных векторов во внутренней и внешней областях, приводит к тому, что особая точка, радиус Шварцшильда, принимает свойства регулярной точки.