Математическое оправдание модели дискретных ориентаций

Асимптотический спектральный анализ сингулярно возмущенного оператора Фоккера-Нланка или соответствующего диффузионного оператора с малым параметром при старших производных представляет собой важную задачу математической физики [Я,.

Интерес к эллиптическим и параболическим дифференциальным уравнениям с малым параметром тесно связан с задачей изучения малых случайных возмущений динамических систем [2*1. Впервые такая задача ставилась в статье Понтрягина, Андронова и Витта [ 3}, результаты которой относились к одномерным и, частично, к двумерным динамическим системам. В сущности, речь вдет об асимптотических задачах, возникающих при стремлении к нулю параметра, характеризующего малость возмущения. Малые возмущения на больших интервалах времени, вообще говоря, оказывают существенное влияние на поведение системы. Так, например, даже если соответствующая детерминированная система имеет асимптотическое положение равновесия, эффект малых случайных возмущений состоит в том, что все траектории системы покидают область притяжения соответствующего положения равновесия с вероятностью I. В случае, когда возмущение динамической системы X = fecx) представляет собой гауссовский процесс белого шума, то возмущенное движение становится случайным процессом 'X-t, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению d ^ - е 6″ (О (Ы4. Здесь uZ-t — Ч, -мерный винеровский процесс (броуновское движение), — векторное поле сноса,? — малый вещественный параметр.

К задачам, которые позволяют учесть влияние малых случайных возмущений, относятся задачи о предельном поведении стационарного распределения диффузионного процесса и задача о выходе процесса из области. Чтобы проиллюстрировать природу явления, удобно представить себе случайные возмущения как диффузию частиц в детерминированном поле сноса 6(х). Следуя Вентцелю и Фрейдлину [4}, различают три случая согласно тому, как диффундируют частицы а) вместе с полем в) поперек поля и с) против поля.

Для диффузии типа а) первые результаты были получены Левинсо-ном [б^. Для диффузии типа в) Хасьминский [б! вычислил асимптотику распределения вероятности тех точек на границе области, в которых траектории процесса впервые ее покидают (решение проблемы Колмогорова). Для наиболее сложного случая с) первые строгие результаты были получены вероятностными методами Вент-целем и Фрейдлиным М, которые показали, что время выхода растет экспоненциально с уменьшением коэффициента диффузии. Более полные результаты были получены Людвигом И. Используя формальные разложения, он вывел асимптотическую формулу для среднего времени выхода и минимального положительного собственного значения соответствующего эллиптического оператора 2g .

Теоретически движение вектора намагниченности суперпарамагнитных частиц рассмотрели Неель 8-I (f и Броун [ll-13]s. Они ввели следующую модель движения вектора М в отсутствие поля: движению И сопоставляется диффузионный процесс на сфере постоянного радиуса И I. Наиболее важное предположение, сделанное Броуном, состоит в том, что случайные тепловые воздействия имеют времена корреляции гораздо меньшие, чем временные характеристики рассматриваемой динамической системы. Это позволяет считать случайные воздействия на вектор И случайным процессом со свойствами белого шума и использовать для дальнейшего расчета уравнение Фоккера-Планка.

Броун [l2,I3}, а вслед за ним Аарони СГ5^ рассматривали уравнение диффузии на всей сфере, которое допускает разделение переменных. Броун [l3*] проанализировал решение уравнения диффузии для различных предельных случаев и получил численные оценки для первого собственного значения и его асимптотическое поведение при малых коэффициентах диффузии по сравнению с величиной поля сноса.

В работах [16−18] Аарони впервые рассмотрел релаксацию в частицах с кубической магнитной анизотропией (в соответствующем уравнении Фоккера-Еяанка переменные уже не делятся). Путем расчета на ЭВМ он получил зависимость первых трех собственных чисел от коэффициента диффузии и обнаружил, что в случае отрицательной константы анизотропии выполняется соотношение 1:2:3 между ними при малых коэффициентах диффузии. й Экспериментальное изучение магнитных свойств мелких частиц получило широкое развитие после работ Вина [141, который назвал такие частицы суперпарамагнитными: (СП), а термин СП используется для описания поведения магнитных свойств этих.

При изучении явления суперпарамагнетизма методом ЯП? наблюдаемая форма спектра возникает в результате усреднения некоторых величин (функционалов) по всевозможным траекториям процесса Н («Ь). Информация об этих траекториях в принципе имеется в уравнении диффузии, но она там содержится в «зашифрованном» виде, неудобном для применения. На практике обычно используют более простую модель, в которой предполагается, что М может принимать лишь конечное множество значений (состояния намагниченности вдоль одной из «легких» осей), а процесс движения представляет собой марковский процесс с конечным числом состояний, так называемую модель дискретных ориентаций (МДО). Этот процесс описывается с помощью времен релаксации, обратные величины которых пропорциональны вероятностям перехода вектора М из одного состояния (от одной «легкой» оси) в другое (к другой «легкой» оси).

В работах Белозерского и Павлова jl9−2i] была предпринята попытка обоснования ВДО на основе анализа времен выхода диффузионного процесса из специальных областей и их комбинаций на единичной сфере, которые они называют фундаментальными.

В работе Белозерского, Павлова и автора 22~] было показано, что вопрос обоснования ВДО — чисто спектральный вопрос, связанный в первую очередь с наличием серии экспоненциально малых собственных чисел оператора Фоккера-Планка. Там было показано, что ВДО естественным образом возникает, если следить за эволюцией функции распределения ориентаций магнитного момента в определенном масштабе времени и ограничиться несколькими частиц членами ее разложения в ряд Фурье по собственным функциям оператора Фоккера-Планка. При этом следует сохранять те ее компоненты, которые отвечают экспоненциальной серии собственных чисел. Тогда величина первого неучтенного собственного значения по отношению к учтенным оказывается удобным критерием эффективности замены диффузионной модели на МДО.

Примерно в то же время Матковский и Шуе с ^23−25^ предприняли попытку исследования собственных функций диффузионного оператора с малым параметром при старших производных, отвечающих экспоненциально малым собственным значениям. Они свеж проблему разыскания собственных функций к построению погран-слойных решений однородного диффузионного уравнения. Методом параболического уравнения они подучили главный член асимптотики решения. В последней из работ [яь Матковский и Щусс интересовались лишь главным собственным значением и соответствующей собственной функцией, которые определяют лишь скорость стремления решения уравнения Фоккера-Планка к равновесному распределению.

В теории суперпарамагнетизма этот этап еще не является завершающим. Дело в том, что вектор намагниченности суперпарамагнитной частицы имеет несколько равноценных положений равновесия.

Такая симметрия задачи приводит к появлению целой серии экспоненциально малых собственных чисел оператора ФоккераПланка, имеющих один порядок малости. Именно это обстоятельство позволяет смотреть на релаксацию функции распределения как на марковский процесс с конечным числом состояний в определенном масштабе времени, т. е. приводит к МДО.

Настоящая работа посвящена обоснованию перехода от зионной модели к МДО на основе подродного анализа асимптотики низших собственных значений диффузионного оператора и соответствующих собственных функций, а также оценке погрешности в форме линии поглощения при замене диффузионной модели на МДО.

Первая глава начинается с исследования основного оператора диффузионной модели с малым параметром при старших производных i€vT= -е Д<�ГЧ vyvvT, (B.I) который действует в пространстве L^CScl.) квадратично суммируемых функций на единичной сфере si. Соответствующее уравнение для функции распределения магнитного момента имеет вид.

В.2) г — = -Тг LL.

М — U0 ir^o.

Здесь^f — потенциал поля сноса (q — - vy.

Ч>= Vi-C^+xV^V), «Ч^Л 1 (В.З).

Координатные плоскости X = О, ^ = О, ^ = 0 разбивают единичную сферу на восемь сферических треугольников, которые называются фундаментальными областями.

I = 1,2,.8.

Симметрия задачи позволяет свести изучение оператора на всей сфере к исследованию краевых задач в какой-либо из фундаментальных областей скажем, в области (В.4) =0 либо^ = 0 на каждой из сторон сферического треугольника i. Оказывается, что собственные функции таких краевых задач, отвечающие экспоненциально малым собственным числам.

-£Д, К>0 СВ.5) практически постоянны во внутренней части фундаментальной области SL.

О- =. 00V4sir (В.6).

Асимптотика младших собственных функций подробно исследована в гл. ПиШ. В гл. 1 мы строим ВДО, опираясь на эти результаты. Именно, заметим, что линейные комбинации младших собственных функций оператора S.

К—V образуют базис в пространстве, натянутом на множество собственных функций этого оператора, отвечающих экспоненциально малым собственным числам. На основании анализа главного члена асимптотики младших собственных функций оператора матрица Р> в (В.7) может быть выбрана так, что функции в главном порядке своей асимптотики удовлетворяют соотношениям tu < (B.8).

Матрща M сужения оператора — 2-е) K/g в новом базисе задает систему дифференциальных уравнений u — На.

— Uo «t-0.

В.9).

Эти уравнения и определяют МДО при малом?. Вычисленная в гл.1У асимптотика низших собственных значений оператора позволяет заключить, что перенормированная матрица М — U) имеет в качестве предела при? вается марковской в.

О матрицу, которая оказы.

Ъ&tradeН (.г~) = L L.

1 в.

— 3 I I I 0 0 0.

I -3 0 0 I I 0.

I 0 -3 0 I 0 I.

I 0 0 -3 0 I I.

0 I I 0 -3 0 0.

0 I 0 I 0 -3 0.

0 I I 0 0 -3 о 0 0 0 I I I о о о 0.

1 I I.

— 3,.

B.I0).

Это ее свойство связано с тем, что низшие собственные числа J*, v t оператора удовлетворяют так называемым соотношениям Аарони: р: v: =1:2:3. Аарони установил эти соотношения путем численного эксперимента на ЭВМ [17^. В нашем случае соотношения Аарони получаются простым подсчетом числа точек минимума и точек перевала потенциала у, дающих основной вклад в соответствующие вариационные оценки, полученные в гл.1У.

Возможность замены диффузионной модели на МДО основана на следующем основном предположении о разделении спектра оператора.

Сг)00 (в.п) ->о.

Вычисление собственные чисел, проведенное в гл.1У на основании вариационного принципа, показывает, что это соотношение выполняется.

Рассмотрим наряду с процессом М («V) соответствующий процесс п[-1) с «укрупненными состояниями» .

Теорема. Пусть 0, W) — функция распределения процес.

4,, % о са Mtt) —> где UA^/fr) — функция распределения процесса т) удовлетворяющая уравнению Фоккера-Планка (В.2). Пусть, далее,~tU) -функция, задающая временной масштаб, такая, что.

Для всех начальных распределений U* «ионного процесса Н It), не сильно уклоняющихся от стационарного распределения w»?

Ы г к II ц£&bdquoW0? 11 < f—i ««» г 7u) процесс Hfo) является асимптотически марковским (при? 0), и его функция расцределения эволюционирует по закону с Со).

Г 1 Г. —.

Г ,.

Следующие главы посвящены получению результатов, на которых основана эта теорема.

Во второй главе строится формальная погранслойная асимптотика младших собственных функций оператора е. Ввиду экспоненциальной малости соответствующих собственных чисел, дело сводится к построению решения уравнения.

В.12).

— О ч имеющего погранслойный характер вблизи стороны Z сферического треугольника. Погранслойное решение уравнения изучается в трубчатой окрестности седловой точки потенциала ч «расположенной вдоль границы фундаментальной области 2-л. Вводя на? естественные координаты (S, V) (s = 0 в седловой точке) и переходя к новым переменным.

N ~ ^ > (B.I3) получаем следующую задачу для выделения погранслойного решения.

I (В.14) оГ — 0, 1 v=0 V-><*> где? ", (у — формальные ряды по степеням? с полиномиальными по ^ коэффициентами, причем ряд? в главном порядке нигде не обращается в нуль на контуре? , а главный член ряда tf обращается в нуль лишь в критических точках потенциала = О СО.

О СО, CwО, C'(4)U 0. (ВЛ5).

S-o.

Т = 1 л О СО.

Погранслойное решение уравнения (В. 14) получается в виде в.16) где Е г ^ - интеграл ошибок г ТГ J у J «> (В.17) О, а ^ - формальный ряд по степеням с полиномиальными по V коэффициентами.

YK^O-^ j) (B.I8).

VC^O u.

Лемма Z.i. Главный член асимптотики удовлетворяет нелинейному уравнению в частных производных.

Единственное нетривиальное полиномиальное решение этого уравнения, регулярное в окрестности седловой точки S =0, имеет вид v^Cs) где ^ - специальное решение уравнения Бернулли +? «о ds CCsH сс^.

В.19) s -4/г о.

Здесь — ненулевое решение однородного уравнения.

Старшие члены разложения^k (S^) удовлетворяют уже линейным уравнениям, разрешимость которых в полиномах гарантирует.

Лемма 2. Я,. Старшие члены асимптотики являются решениями рекуррентной системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений tx* - tvl (s)* V [ьы-ади* ^ С (#Лы.

U 0 4>V IS (B.20).

Правые части Фус зависят от уже построенных решений ", ив предположении полиномиальности последних сами являются полиномами по V: н< степени не выше Z K+i. Коэффициенты полиномиального решения удовлетворяют рекуррентной системе обыкновенных сингулярных дифференциальных уравнений ЬМк, VI (в.21).

Требование регулярности решений в окрестности перевальной точки S =0 устраняет произвол при решении уравнений (В.20). В частности, следующий член разложенияполином третьей степени по V где коэффициенты^Аг, л задаются явными формулами.

Уравнение Бернулли (В.19) и все его высшие аналоги (В.21) имеют сингулярности в седловой точке потенциала S = 0 и в вершинах (^ =) — точках максимума потенциала Ч5 на границе стороны сферического треугольника Si^. При этом регулярные решения этих уравнений в окрестности перевальной точки S = 0 перестают быть регулярными в окрестности точек вершины S = S**". Вычисляя асимптотику главных членов в окрестности вершины, например (*) — ~ fe (s-i>*fU*-S) + 0(s-s"f) (В.22) получаем при К > 2.

В.23) что указывает на непригодность полученного разложения для описания пограничного слоя в fiL — окрестности вершины <> = S* .

В третьей главе строятся локальные асимптотические разложения, описывающие поведение пограничного слоя в окрестности вершин. Здесь существует два типа погранслойных решений. К первому типу относится решение, описывающее сшивание двух пограничных слоев, приходящих в вершину, ко второму — решение, описывающее сшивание четырех пограничных слоев (угловой пограничный слой).

Пусть? и — стороны сферического треугольника 2.1, приходящие в вершину S = S. Тогда погранслойные решения первого и второго типов определяются соответственно как решения следующих задач е е е*.

Сделав масштабное преобразование (В.25) где эс, ^ - декартовые локальные координаты на единичной сфере, получим уравнение.

I-1 Г—7.

A^tf^^-v^i^-v e ulL+ € Z tfj +.

Здесь функции l! Hj и Z — формальные ряды по степеням? , с полиномиальными по и 3 коэффициентами. Решение, описы-ывющее сшивание двух погранслоев, определяется как решение уравнения (В.26), удовлетворяющее условиям tfU о, =0, яГ 1.

В.27).

Условия nrl — о яГ i (в.28) соответствуют угловому пограничному слою.

Решение уравнения (В.26) с условиями (В.24) строим в виде: св.29) где — ряд по степеням ?. и ?. с полиномиальными по 3 коэффициентами ft =21 0|/j).

Необходимость введения логарифмических членов по € связана с наличием логарифмического слагаемого в главном члене ряда V в окрестности вершины, построенного в гл. П, и делает впоследствии возможным сшивание разложения (В.29) с разложением (В.18).

Подстановка (В.30) в уравнение (В.26) дает рекуррентную систему для определения членов ряда Л. Выпишем уравнения для главных членов ряда.

А^оо — [ldЬс" }-1.

— doc, =0, ? =.. (B'3I).

Здесь функции, А определяются через потенциал Ч> следующим образом, (в>32).

Уравнения старших порядков имеют следующий вид.

В.33) также разрешимы в полиномах по • Доказана однозначная разрешимость полученных уравнений в главных порядках, исходя из вида граничных условий (В.27) и условий сшивания с разложением гл.П. При этом оказывается, что =0 при ZZ" I.

Если — аналогичное решение, сосредоточенное в oiqpeстности стороны Ь е* - Е<4(CD (B.34) то решение ЖвгЛ, описывающее угловой пограничный слой, шцем в виде где и — уже описанные ряды с полиномиальными по Т и коэффициентами соответственно, а ряд подлежит определению. Уравнения для коэффициентов ряда Г7 определяются уже известными рядами Л и и однозначно разрешимы в пространстве функций, представимых в виде суммы полиномов по ^ с коэффициентами, зависящими от 3 «и наоборот, если потребовать выполнимости граничных условий на ряд р: Г1 = П = О е, е* и ограничить рост коэффициентов ряда при 00 условием.

В.36).

Из этого условия следует, что решение if^*.

Чи*- Е^С^еv V +*Г Е<�ЛС$) EriCi) е,? (в.37) автоматически сшивается с разложениями и lie* ЦРИ и «3 соответственно, которые, в свою очередь, хорошо сшиты с разложениями гл.П. Следовательно, решение li^e,*- описывает угловой пограничный слой. Вычислены главные члены разложешш для ряда Р .

В четвертой главе проводится спектральный анализ диффузионного оператора. Используя вариационный принцип для определения его собственных значений (в) l-=zt Yn’vK vw% WoAx ^ U*W0()l% (в#38) ш доказываем наличие экспоненциальной серии собственных чисел •• > и получаем оценку сверху для девятого собственного значения.

Теорема, А Л. Справедливы вариационные оценки для первых собственных чисел оператора (J = = ,.

V = = ^ =^, j = Ах).

Оий v ^ (14 р ^ ^ С i*0W) < *.

При доказательстве теоремы пробные функции конструируются из главных членов формальной погранслойной асимптотики собственных функций оператора, изученной в главах П и Ш. Критерием близости пробных функций к младшим собственным функциям оператора 2 е служит отношение где — вариационная оценка для восьмого собственного числа, А %. С другой стороны, явный вид пробных функций позволяет доказать их близость в L^Woнорме к кусочно постоянным функциям.

В.40) где fc — коэффициенты матрицы асимптотических значений собственных функций я/к в фундаментальных областях SJ. (, введенной в (В.7). Доказана следущая аппроксимационная теорема.

Теорема, А Ъ. Кусочно-постоянные функции хорошо аппроксимируют младшие собственные функции оператора в том смысле, что.

Ик-ЧЦ. «(Ж {Щ.

Здесь ^ - любое положительное число. Полученная оценка становится эффективной, если спектр оператора разделяется (В.II). Все дальнейшие теоремы основаны на предположении разделения спектра (В.II), и поэтому их следует считать условными.

Аппроксимационная теорема позволяет изучить геометрию подпространства младших собственных функций. Оказывается, что это подпространство — «почти» инвариантно относительно оператора^ умножения на гладкую функцию 1 г .

Теорема 1А. Пусть — стохастические состояния, введенные в гл. 1, Р — цроектор на пространство первых восьми младших собственных функций оператора «тогда матрица оператора ЗД в базисе почти диагональна.

Ala, а пространство младших собственных функций «почти» инвариантно относительно оператора умножения *<(С: u u-pm к= ос^) здесь через Xl обозначены точки минимума потенциала vp в фундаментальных областях.

SL:).

Теорема LM обобщается на случай оператора умножения на операторно-значную функцию во вспомогательном конечномерном пространстве.

В последнем параграфе главы полученные результаты применяются для оценки погрешности в форме линии поглощения при замене диффузионной модели на МДО. В диффузионной модели форма линии определяется билинейной формой резольвенты оператора-ЗСв точке t.

В.41) вычисленной на элементах специального вида, которые, так же как и параметры Эс и «Z., оцределяются физикой задачи. В ВДО форма линии Whao {.ъ) определяется выражением, в котором диффузионный оператор — ь заменяется на марковскую матрицу ъсН, а оператор умножения на операторно-значную функцию в пространстве — на оператор-функцию, принимающую конечное число значений, по одному в каждой фундаментальной области. Оценена погрешность при замене диффузионной модели на МДО: V/ Ы — WMe, U) < С СО Ч- (в.42).

Таким образом, в предлагаемой работе дается последовательное оправдание перехода диффузионного процесса в симметричном поле сноса в марковский цроцесс с конечным числом состояний, основанное на асимптотике спектральных характеристик диффузионного оператора. В качестве приложений этих результатов дана оценка погрешности формы линии поглощения, полученной с помощью модели дискретных ориентаций, тем самым определена область применимости этой модели в теории суперпарамагнетизма.

В приложении вычислена по методу Лапласа асимптотика некоторых интегралов, возникающих при доказательстве вариационных оценок.

Заключение

.

Перечислим основные результаты диссертации.

1. Проведен спектральный анализ диффузионного оператора с малым параметром при старших производных, отвечающего диффузионному процессу в симметричном потенциальном поле сноса. Изучено расположение узловых линий младших собственных функций.

2. Показано, что в окрестности узловых линий младшие собственные функции имеют погранслойный характер. Построено полное асимптотическое разложение типа пограничного слоя решения однородного диффузионного уравнения, описывающее формальную асимптотику младших собственных функций.

3. Построена локальная погранслойная асимптотика в окрестности вершин — точек максимума потенциала поля сноса. Изучено явление пересечения двух пограничных слоев в окрестности вершин. Выведены асимптотические формулы, описывающие главные члены полученных разложений.

4. Главные члены асимптотики младших собственных функций использованы для получения эффективных оценок низших собственных чисел диффузионного оператора. С помощью вариационного принципа доказано существование экспоненциально малой серии собственных чисел и оценен порядок минимального собственного числа, не входящего в эту серию.

5. На основе проведенного спектрального анализа корректно построена модель дискретных ориентаций. Доказана возможность аппроксимации диффузионного процесса в оцределенном масштабе времени марковским процессом с конечным числом состоянии.

6. Дана оценка погрешности формы линии поглощения, полученной с помощью модели дискретных ориентации, определена область применимости этой модели в теории суперпарамагнетизма.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю — профессору Б.С.ПАВЛОВУ за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.