Линейные и нелинейные двух и трехмерные динамические задачи теории упругости и магнитоупругости

Проблема исследования распространения линейных и нелинейных волн в сплошных средах является актуальной ввиду динамического характера большинства промышленных процессов, работы измерительной аппаратуры, сейсмологических и других геофизических явлений. Среди этих обширных явлений в последное время значительную роль приобретают задачи изучения волн и колебаний в магнитоупрутих средах.

Эти вопросы имеют практическое значение при исследовании устройств по удержанию плазмы в термоядерных установках, в магнитогазодинамических генераторах, при создании измерительной аппаратуры, работающей в области действия электромагнитных полей, при разработке методов обработки металлов магнитным полем и т. д. Эти задачи относятся к области динамической магнитоупругости электропроводящих сплошных сред, в частности пластин и оболочек. Не менее важно изучение в указанных процессах линейных и нелинейных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и электропро — водящих пластин и оболочек в магнитном поле. Представляет не только теоретический, но и практический, интерес линейная и нелинейная задача о дифракции акустических и упругих волн в неоднородной плоской среде на экране и уголковой пластине в однородной среде (пространственная задача).

При термоядерных процессах имеет большое значение изучение распространения нелинейных пучков, как в самой плазме, так и в магнитоупрутих конструкциях. Также имеет важное значение изучение фокусирования волн в пластинах, в том числе вблизи огибающей лучей или каустики. Взаимосвя — занность напряженно—деформированного состояния и электромагнитного поля имеет сложный характер. На первых этапах развития теории магнитоупругости принимались упрощающие гипотезы для разработки приближенных математических методов исследования колебаний магнитоупрутих пластин и оболочек [5−8].

Точное решение в рамках осредненной классической теории линейной изгибных задачи о колебаниях магнитоупругой пластины в поперечном магнитном поле дано в [7, 57].

Для тонких оболочек и пластин конечной электропро — водности, находящихся во внешнем магнитном поле авторы работ [6 — 8] сформулировали гипотезу магнитоупругости тонких тел, позволящую свести трехмерную задачу к двумерной. Эта гипотеза, помимо известной гипотезы осредненной теории изгиба упругих пластин и оболочек, а именно, гипотезы неде — формированных нормалей, состоит в предположении, что нормальная компонента вектора напряженности индуцированного магнитного поля и тангенциальнья компонента вектора напряженности электрического поля остаются неизменными по толщине пластин или оболочек. Исследования в области теории упругих пластин и оболочек часто посвящаются построению уточненных теорий, в которых отказываются от основной гипотезы классической теории [1—4, 91]. Это связяно с тем, что результаты, полученные по классической теории не всегда применимы при решении прикладных задач. В работах [5, 15, 92] на основе предположения о линейном законе изменения по толщине пластинки нормальной компоненты индуцированного магнитного поля и тангенциальных компонент электрического поля получены уравнения магнитоупрутих колебаний проводящих пластин, позволяющие уточнить гипотезу магнитоупругости для случая поперечного магнитного поля. Для приведения общей трехмерной задачи магнитоупругости к двумерной в [40] используется асимптотический метод [1] интегрирования трехмерных уравнений. В работе [40] дано сравнение разных подходов уточнения гипотезы магнитоупругости тонких пластин и оболочек. В качестве следующего приближения по отношению к гипотезе магнитоупругости предложено уточненное уравнение для исследования задач колебаний во внешнем продольном поле в проводящей пластинке, установлено, что магнитное поле приводит к дисперсии. На основе гипотезы Кирхгофа в работе [75] дано сравнение различных моделей задач магнитоупругости пластин. В работе [5] дается рассмотрение широкого аспекта задач о колебании электропроводящих пластин в магнитном поле, в рамках осредненного классического подхода, рассмотрены определения частот линейных изгибных колебаний как для бесконечных, так и для конечных пластин. Для последних развит асимптотический метод определения связи волновых чисел с размерами пластинки в случае консольного и жесткого опи — рания. Кроме того найдены амплитуды вынужденных колебаний пластинок как в постоянном, так и в переменном магнитном поле. В [93, 94] рассмотрена задачи о трещине в ферроупругой пластине.

В работах [33 —35, 71, 85] дается теоретическое исследование проблемы колебаний магнитоупругих электропроводящих пластин в продольном и поперечном магнитных полях. 1.

Развивается пространственный подход к проблеме определения линейных частот изгибных колебаний. Показано, что для большой электропроводности решения в пространственном подходе и по гипотезе Кирхгофа для продольного поля совпадают, а для поперечного поля пространственный подход дает уменьшение частоты за счет поля, а осредненный классический подход дает увеличение частоты.

В [85] показано, что эксперимент подтверждает пра — вильность пространственной теории. В работах [68, 69, 71] показано, что для конечной проводимости значения линейных частот по пространственной и осредненной теории существенно различны как для продольных так и для поперечных полей.

В работах [16], [18] рассмотрен широкий круг задач о колебаниях (свободных и вынужденных) ферромагнитных диэлектрических и проводящих пластин на основе классической теории Кирхгофа.

В статьях [59, 60] изучены теоретически и экспериментально колебания стержня — полосы из ферромагнетика в поперечном магнитном поле. Показано, что магнитное поле уменьшает частоту колебаний.

В работе [33] развит пространственный подход к изучению изгибных волн модуляций в магнитоупругих проводящих пластинах. В статье [85] изучены теоретически и экспериментально линейные частоты изгибных колебаний магнитоупругих пластин, причем показано, что эксперимент [34, 36] подтверждает правильность пространственного, а не осредненного по классической теории подхода. В работе [68] дается подробный вывод значений частот изгибных колебаний магнитоупругих пластин на основании пространственного подхода для большой и конечной электропроводности.

В работе [84] проводится вычисление на основе прос — транственного подхода линейных частот собственных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и идеально проводящих пластин, и дано сравнение с осредненным подходом [16, 18]. В [38] экспериментально изучается влияние как продольных, так и поперечных постоянных магнитных полей на амплитуды перемещения, скорости и ускорения колебания электропро — водящих пластин. Показано, что при сравнительно небольших полях, порядка 0.05 Тл для продольного и порядка 0.5 Тл для поперечного поля имеет место значительное увеличение амплитуд.

В книге [23] и статьях [21, 29] дается линейное и нелинейное решение дифракционных плоских задач об определении окрестности точки касания произвольной волны с точечной волной для произвольной идеальной сплошной среды, описываемой квазилинейной системой гиперболических уравнений. В [22, 30] рассмотрены соответствующие задачи пространственной дифракции волн.

В работах [90, 23, 41] изучено линейное решение для монохроматической и нестационарной волн вблизи каустики в случае волнового уравнения с переменной скоростью волн. В [23, 24, 27, 87] изучены соответствующие нелинейные задачи, в том числе для магнитогазодинамоческих волн и волн в пластинах.

В работе [13] дается численный расчет нелинейных газодинамических пучков.

• В работах [25, 31] развит метод аналитического решения нелинейных задач для пучков на основе получения эволюционного уравнения для данной среды, вывод из него для значительной дисперсии нелинейного уравнения Шредингера для амплитуды первой гармоники и получения его решения в виде узких гауссовских пучков. Решена задача для двух пучков в резонаторе. В [32] этот метод обобщен для случая малой дисперсии.

В работах [50 — 55, 64 — 67] рассматриваются исследования соударения упругих тел, решения которых приводятся аналитическими методами граничных задач динамической теории упругости.

В [50, 51, 54] рассматриваются соударения тел ограниченных спереди равными двугранными углами, которые движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями, которые имеют применения в сейсмологических задачах. В [51, 54, 67] рассмат — риваются соударения тел конечной высоты со смешанными граничными условиями. Определено решение линейной задачи в виде пластинчатых продольных волн, получена формула для асимптотики решения и определено решение вблизи фронтов волн.

Выводятся нелинейные уравнения в окрестностях волны для продольных упругих волн в пластинках, которые соответствуют полученной асимптотике. В указанных линейных задачах решения находятся методом интегральных преобразований Фурье и Лапласа, а затем приводятся к форме записи через аналитиеские функции, введенной Смирновым и Соболевым [77].

В настоящей диссертации рассмотрены линейные и нелинейные задачи: об колебаниях магнитоупрутих пластин в магнитных полях, о дифракции звуковых и упругих волн на экране в плоской и пространственной постановке, о нелинейных решениях вблизи каустик для изгибных волн в магнитоупругих пластинах, о нелинейных гауссовых пучках в магнитоупрутих и магнитогазодинамических средах с дисперсией и диссипацией, о соударении упругих двугранных углов. Диссертация состоит из шести глав, введения, заключения и списка литературы.

В главе 1 рассмотрен новый пространственный подход к исследованию собственных частот колебаний электропроводящей упругой пластины.

В § 1.1 дается обзор литературы по осредненному классическому подходу.

В § 1.2 приводится получение частот собственных колебаний бесконечной упругой электропроводящей пластины в поперечном магнитном поле. На основании нового пространственного подхода для упругих пластин предложенного в [33], получены дисперсионные соотношения (o±co{k) для большой и конечной электропроводности. Показано, что для большой электропроводности <�у-й)00(/г)<0, где com{k) есть упругая частота изгибных колебаний, в то время, как по осредненному подходу со-сот (1г)>0. Дается вывод более общей формулы частоты для случая конечной электропроводности. Показано, что для нее значение частоты не совпадает с рёзультатом осредненной теории, вывод которого приведен в § 1.3.

В § 1.4 рассмотрены пространственный и осредненный подходы к определению частот колебаний в продольном поле. Показано, что для большой электропроводности значения частот и декремента затухания для обоих подходов совпадают.

В § 1.5 рассмотрен случай конечной электропроводности и показано, что указанные подходы дают разные результаты.

В § 1.6 даны результаты экспериментальных исследований по определению частот изгибных колебаний для магнитоупрутих (алюминий, латунь) пластин. Показано хорошее соответствие с новым пространственным подходом. Затем в § 1.7 использованием полученных значений линейных частот развивается нелинейная теория распространения волн модуляций в магнитоупрутих пластинах и исследована их устойчивость.

В § 1.8 на основе экспериментального исследования и теоретического анализа показано, что постоянное магнитное поле приводит к сдвигу собственной частоты консольный пластинки — полосы. Выяснено, что при сравнительно небольших постоянных продольных и поперечных полях имеется значительное увеличе — ние амплитуд.

В главе 2 проводятся аналогичные исследования для ферромагнитных диэлектрических и идеально проводящих упругих пластин. Показано, что во всех случаях как для продольного так и поперечного магиитиого поля значения частот по пространственному подходу отличаются от значений по осредненному подходу.

Дается сравнение с результатами эксперимента по изгиб — ным колебаниям ферромагнитных пластин. Определены частоты собственных колебаний и дано сравнение с теорией. Определены амплитуды вынужденных колебаний электропроводящей и ферромагнитных пластин и влияние на них магнитного поля. Дано сравнение с теоретическими выводами [5].

В главе 3 получаются аналитические решения линейных и нелинейных, плоских и пространственных задач дифракции упругих волн на экранах. Полученные замкнутые решения годятся также для задач по определению окрестности точек (линий) касания произвольных волн, отраженных от клина, с точечной или дифракционной волной, произведенной его вершиной.

Приведены графики распределения решения вдоль ударных волн. Дано аналитическое решение линейных и нелинейных трехмерных задач дифракции плоской акустической или продольной упругой волны на плоском экране, имеющем форму утроенного прямого угла.

В приложении к главе 3 дается рассмотрение линейной и нелинейной задачи дифракции в общей квадратично и кубично нелинейной среде. В качестве примеров взяты волны в сегнето — электрике или феррите. Рассмотрены случаи, когда распространяющая волна является ударной и когда непрерывной, причем в последнем случае имеется висячая ударная волна.

В главе 4 исследуются линейные и нелинейные решения для квазимонохроматической волны вблизи каустики для волн изгиба в электропроводящей упругой пластине. Выведено нелинейное обыкновенное дифферсциальное уравнение для амплитуды волны и дано его численное решение, сращиваемое с линейным. Рассмотрен также случай комплексной нелинейности (для конечно — проводящих пластин).

В главе 5 выводятся нелинейные уравнения модуляций для амплитуд первой и второй гармоник квазимонохроматических волн в магнитоупрутих и магнитогазодинамических средах с диссипацией и дисперсией. В случае задачи о гауссовых узких пучках выводятся восемь обыкновенных дифференциональных уравнений.

Дется их численный расчет на компыоторе и дано сравнение с результатами упрощенной теории, когда пренебре — гаются в уравнении для второй гармоники членами с ее производными и удается получить аналитическое решение, аналогичное решению нелинейных оптики [9].

В главе 6 исследуются линейные и нелинейные задачи соударения упругих тел, ограниченных спереди равными двугранными углами.

Указанные задачи возникают при изучении практических задач связанных с запросами техники такими, как задача о направленном взрыве с перемещением масс грунта [81], задача о сварке взрывом, задача стыкования металлических и, вообще, строительных конструкций (Еремянц В. Э., Модели продольных колебаний в ударных системах машин: Тезисы, докл. X междунар. конф. По нелинейн. Колебаниям., Варна, 1984, с. 76). В строительной технике может возникнуть также и задача о соударении тел при смешанных граничных условиях, которая может иметь приложения в сейсмологических задачах и к задаче удара летящих тел об объекты, которые находятся на земле (или на воде), при подземных работах, при проходке тоннелей.

Для получения эффективного решения рассматриваемых задач используется метод интегральных преобразований Лапласа и Фурье, в сочетании с методами Винера — Хопфа [62] (при смешанных граничных условиях), причем удается с помощю контурного интегрирования привести окончательные формулы к форме записи через аналитические функции, предложенной Смирновым и Соболевым [77], который по идее близок к методу Каняра [88], введенному для изотропной упругой среды в задаче о точечном источнике, действующем в одном из контакируюшах полупространств. Отличие состоит в том, что в [88] предположено, в отличие о применяемого нами метода, что действительное значение имеет не частота со, а параметр преобразования Лапласа S=-ico, поэтому соответствующие гиперболы, на которые заменяется контур интегрирования повернуты на 90° и при вычислении интегралов приходится учитывать все особенности подинтегральной функции. При этом вычисление интегралов в [88] дает все имеющиеся волны, и в этом смысле метод [88] является более эффективным. Но следует отметить, что необходимость учета всех особенностей при получении решения ограничивает применимость прямого метода [88]. В применяемом нами методе [51—54] процесс получения решения не связан с учетом особенностей подынтегральных функций, которые находятся на действительной оси вне замкнутых контуров, используемых при замене интегралов по действительной оси в преобразовании Фурье на интегралы по контурам, проходящим через точки Смирнова —Соболева. Решение во всех рассматриваемых задачах находятся в форме суммы решений, записанных через аналитические функции, а исследование особых точек решения проводится после получения решения в общей форме Смирнова —Соболева путем выделения соответствующих особенностей около волн [51—55].

Ясное представление о связи метода контурных интегралов с формой записи Смирнова —Соболева позволяет включить точки разрезов в вышеуказанные контуры, что дает единую форму записи решения во всей области в форме аналитических функций, а также получить обобщение для произвольной гиперболической системы уравнений с постоянными коэффициентами.

Особенно эффективно применение обсуждаемого метода в задачах со смешанными граничными условиями, в которых для изображений применяется простой метод Винера —Хопфа [62] а затем проводится обращение преобразований Лапласа и Фурье, решение записывается в форме Смирнова —Соболева.

Метод интегральных преобразований особенно удобен при получении асимптотического решения для больших моментов времени. В работе [Малков М. А. Асимптотика двумерной задачи об упругом соударении стержней. — ПММ, 1968 —Т32, выпЗ, с. 467 — 479]* получается для задачи соударения полуполос асимптотическое решение из общего решения в форме [77] весьма длинным способом. С другой стороны при применении метода интегральных преобразований асимтотическое решение задачи получается просто путем вычисления вычета в интеграле дающим обратное преобразование Фурье в точке, соответствующей продольным волнам в упругой пластине.

В § 6.1 главе 6 рассмотрена, имеющая приложение в сейсмологии, задача соударения двугранных бесконечных вверх и вниз углов. Решение получено методом интегральных преобразований и приведено к форме Смирнова —Соболева.

В § 6.2 с помощью решения § 6.1 поставлена и решена задача соударения полубесконечных двугранных углов.

В § 6.3 решается линейная задача соударения тел конечной высоты со свободными поверности. Выделяется двумерное решение задачи соударения безграничных по высоте тел, которое позволяет для добавочных смещений в слое записать нулевые начальные условия. Решение трехмерной задачи находится методом интегральных преобразований и получено асимптотическое решение в виде двухмерных волн в пластине для объемного расширения. Вблизи плоских и точечных воли получены простые формулы, а всюду в области решение имеет форму Смирнова — Соболева.

В § 6.4 проводится устранение особого характера решения линейной задачи, учетом геометрического характера нелинейных эффектов. На основе порядков величин и размеров волновой области вблизи точки касания плоской и точечной волны, которое следует из формы линейного решения, получаются упрощенные нелинейные уравнения, которые по форме совпадают с системой уравнений коротких волн [20, 56], для жидкости. Отличие состоит в том, что нелинейные коэффиценты имеют обратный знак по отношению к жидкости и имеют место ударные волны разрежения. Для этого случая около волны вводятся нелинейные уравнения, подобные уравнения м гл. 3 для случая а°у<0.

В § 6.5 вводятся нелинейные уравнения при учете физической нелинейности. Показано, что уравнения по форме те же, но характер нелинейности различен для металлов [43] и жидко — подобной нелинейной среды. Для жидкости знак коэффицента при нелинейном члене уравнений обратный по сравнению со случаем геометрического вида нелинейности. При этом будут ударные волны сжатия, что соответствует плоской и точечной волнам, впереди которых возмущение равно нулю. Позади плоской ударной волны решение постоянно. При этом условия на ударной волне удовлетворяются достаточно точно (рис. 9).

В § 6.6 находятся асимтотнческне решения линейной задачи о соударении рассматриваемых тел при наличии твердого опирания на части границ. Вершины углов соединившихся тел находятся на краю опоры. Решается уравнение Винера —Хопфа и получено решение в форме записи через аналитические функции, которое упрощается вблизи волн. Вблизи точки касания плоской и точечной волн получается решение в виде, подобном задаче соударения при свободных границах.

Далее приведены основные выводы и литература.

Формулировка задачи о соударении упругих тел.

Пусть упругие тела, движущиеся навстречу друг другу со скоростями Va+V',-V0 направленными вдоль оси х', сливаются в момент? = 0. В предположении, что после соударения они образуют одно целое, из уравнения сохранения количества движения (при равных массах, что неограничевает общности рассмотрения) можно получить для скорости частиц упругой среды: где V'/2 есть скорость образовавшегося тела после соударения.

Интегрируя, можно получить при x'<-at, UQ=(V"+V')t, при x'-at, U0=-V0t, или.

2 V а) а.

U0={V0+V')ta (-x'-at)-V0tcj (x'-at)+ — t-—V'+—) a (at-x');

Vx’f.

В дальнейшем рассматриваются задачи при V' = 0, что не уменьшает общности рассмотрения. При V' = -V0 получим задачу удара об упругую преграду. Отметим, что удар о жесткую преграду х'<0 [26] соответствует:

U0 =-V0ta (x'-atyV0^-a (at-x'), а дх, а что вдвое превышает значение при ударе об упругую преграду и совпадает с задачей симметричного соударения стержней, которая дается приведенными формулами при V'=0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В настоящей работе рассматривается широкий круг линейных и нелинейных волновых задач. Основную часть работы составляют аналитические иследования, которые дополняются численными расчетами, в основном, путем решения полученных обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Рассмотрена теоретическая задача применения пространственного подхода к получению линейных частот колебаний магнитоупрутих пластин. Единым методом получены частоты магнитоупрутих колебаний в поперечном и продольном магнитном поле, для больших и конечных электропроводностей. Показано, что для большой электропроводности в поперечном поле имеется качественное отличие от результатов осредненного подхода. Получена также пространственным подходом частота для конечной электропроводности.

В продольном поле для большой электропроводности пространственный и осредненный подходы дают совпадающие частоты, а для конечной электропроводности пространственный и осредненный подход дают существенно различные значения частот.

2. Применен пространственный подход к получению линейных частот изгибных колебаний — ферромагнитных магнитомягких пластин в продольном и поперечном поле. Задача осложняется наличием начальных напряжений за счет магнитных полей и более сложными граничными условиями на границе диэлектрика и для ферромагнитных пластин. Получена пространственным подходом линейная частота в продольном магнитном поле для диэлектрических и идеально проводящих ферромагнитных пластин. Качественно полученные результаты согласуются с магнитоупрутими пластинами. Также получена линейная частота в поперечном магнитном поле. И здесь пространственный подход даеты результаты, качественно согласутциеся с магнитоупругим случаем. Осредненный подход дает количественно, а в ряде случаев, и качественно другие результаты.

3. Проведены аналитические исследования задач дифракции акустических и упругих волн на крае непрозрачного экрана и в других дифракционных задач, где имеется точка касания распространяющейся волны и точечной волны. Рассмотрение ведется для общего случая неоднородной среды и произвольной распространяющейся волны, а затем дается применениеполученных результатов на однородную среду и плоскую волну. Для этого случая построено численное решение на ударной волне путем решения обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрен также случай висячей ударной волны, который имеет место для волны сжатия в упругой среде.

4. Проведены аналитические и численные исследования по определению решения для квазимонохроматической волны в нелинейно упругой и магнитоупругой пластиные вблизи каустики.

5. Выведено эволюционное уравнение для магнитоупругой среды в общем случае направления магнитных полей. Из него получены для амплитуд первой и второй гармоник уравнения модуляций. Для случая узких пучков получены 8 обыкновенных дифференциальных уравнений, которые численно решены. При этом постоянные в этих уравнениях взяты из подобной по математической постановке задачи о движении плазмы в звездах и термоядерном синтезе.

6. Решена задача соударения упругих двугранных углов, важная для сейсмологии.