Математическое моделирование падения тел на землю при их движении из дальнего космоса

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новый вариант метода самоподобной интерполяции для решения кинетических уравнений в области динамики разреженных газов, который позволяет получать интерполяционные формулы, описывающие кроссоверные явления любой природы на полубесконечных интервалах изменения параметров задачи.

2. Постановка задачи о моделировании падения тел на Землю при их движении из дальнего космоса на примере падения сферического метеора.

3. Алгоритм численного построения траектории движения сферического метеора и его реализация в виде комплекса программ для решения системы дифференциальных уравнений движения метеора (с учетом зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса) совместно с уравнением баланса тепла.

Актуальность диссертации.

Интерес к задачам, связанным с падением тел из дальнего космоса на Землю, появился в последнее время в связи с разнообразными проектами полетов к планетам солнечной системы (марсианские проекты, проект «Фобос-грунт», и т. п.). Наиболее близкими к таким искусственным телам, падающим на Землю, являются природные падающие тела — метеоры. В работе рассматривается падение сферических тел из дальнего космоса на Землю.

Поскольку скорости входа в атмосферу Земли тел из дальнего космоса существенно больше орбитальных (минимальная скорость входа в атмосферу это вторая космическая скорость), то силы сопротивления и тепловые потоки к таким телам будут выше чем при орбитальном движении. В работе приводятся новые зависимости коэффициента сопротивления сферы и коэффициента теплового потока от чисел Рейнольдса, построенные с помощью самоподобной интерполяции.

В процессе входа тела в земную атмосферу последовательно реализуются все режимы обтекания от свободномолекулярного до континуального. Для расчета траектории движения этого тела требуется знание аэродинамических сил действующих на него вдоль траектории движения. А для определения нагрева тела при движении в атмосфере, что особенно актуально при больших скоростях входа в земную атмосферу (вторая космическая скорость и выше), требуется знание тепловых потоков к телу. Несмотря на большие достижения вычислительной математики, определение аэродинамических характеристик и тепловых потоков в разреженном газе в настоящее время слишком трудно, что обусловлено, в главном, сложностью кинетических уравнений. Трудности решения аэродинамических задач вызвали появление инженерных, полуэмпирических методов, использующих накопленные экспериментальные и расчетные данные.

Значительное распространение получил полуэмпирический метод аэродинамического расчета тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа, основанный на гипотезе локальности, согласно которой аэродинамические коэффициенты сил, действующих на элемент поверхности тела, зависят лишь от местного угла между вектором скорости набегающего потока и нормалью к поверхности. Для аппроксимации этой зависимости используются тригонометрические разложения, единые во всем диапазоне изменения углов атаки и разреженности. Коэффициенты при членах разложения зависят только от режима обтекания (чисел Маха, Рейнольдса, температурного фактора и т. д.).

Другой полуэмпирический метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа получил развитие в работах. Любой аэродинамический коэффициент С, представляется в виде.

С| = С,.+(С, 0-С1(В)*' Здесь индекс «<�»" соответствует случаю обтекания тел идеальным газом, а индекс «О» соответствует свободномолекулярному обтеканию. Функция ^ зависит от критериев подобия и в общем случае будет определяться также формой и положением тела.

Отметим, что с помощью методов, описанных выше, можно с достаточной точностью определить только аэродинамические характеристики. В данной работе для определения аэродинамических коэффициентов и коэффициента теплового потока в критических точках предлагается новый аналитический метод основанный на самоподобной интерполяции.

Целью настоящей работы является разработка математической модели для определения траектории движения сферических тел из дальнего космоса, оценки сил, действующих на такие тела и тепловых потоков в критической точке на основе численного метода решения дифференциальных уравнений движения с помощью нового метода самоподобной интерполяции, его тестирование на задачах динамики разреженных газов.

Метод самоподобной интерполяции тестируется на решении группы задач динамики разреженных газов :

• Решение модельных кинетических уравнений для медленных течений (задачи Куэтта и Пуазейля).

• Решение уравнения Больцмана (задачи получения аэродинамических характеристик и коэффициента теплового потока при обтекании плоской и треугольной пластин и сферы высокоскоростным потоком).

Расчетам неуправляемого движения спутников Земли посвящено множество работ. В диссертации рассматриваются особенности постановки задачи о движении тел из дальнего космоса, отличающиеся от орбитального движения. Численно решаются дифференциальные уравнения движения сферы в случае постоянного коэффициента сопротивления.

Вычисляются угол и точка входа в плотные слои атмосферы в зависимости от прицельного расстояния и скорости метеора. Проводятся комплексные исследования воздействия земной атмосферы на метеор. Вычисляются скорости движения вдоль траектории, силы действующие на метеор и оценивается температура поверхности для широкого диапазона определяющих параметров (прицельного расстояния, скорости на бесконечности, размеров и материала метеоров). Делаются оценки возможности разрушения метеоров.

Научная новизна.

1. Впервые применен новый вариант метода самоподобной интерполяции для решения кинетических уравнений и его тестирование на задачах динамики разреженного газа.

2. Построенный комплекс программ позволяет получить более широкий спектр характеристик движения сферических тел, чем существующие методики.

Степень обоснованности результатов.

Метод самоподобной интерполяции апробируется на задачах о решении кинетических уравнений в области динамики разреженных газов. Решаются задачи о медленных течениях разреженного газа (задача Куетта и задача Пуазейля) и задачи о течениях гиперзвуковых течениях разреженного газа (обтекание сферы). Решение этих задач, полученных с помощью самоподобной интерполяции, аэродинамических коэффициентов и коэффициета теплового потока сравниваются с известными эмпирическими и расчетными данными.

Научная и практическая ценность.

Комплекс программ позволяет получить целый комплекс важных характеристик движения сферических тел: скорости движения тел в зависимости от высоты полета, сил, действующих на эти тела и тепловых потоков в критической точке вдоль траектории движения. Учет новых зависимостей аэродинамических коэффициентов и коэффициента теплового потока в критической точке от параметров разреженности, полученных с помощью варианта метода самоподобной интерполяции, позволяет оценивать коэффициенты сопротивления и коэффициент теплового потока для тел произвольной формы в гиперзвуковом потоке разреженного газа. А также позволяет делать выводы о высотах, на которых возможно разрушение метеоров либо вследствие давления, превышающего предел прочности вещества метеоров, либо вследствие нагрева поверхности до температур плавления и выше в зависимости от определяющих параметров.

Апробация результатов.

Результаты работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:

• 50-ая научная конференция МФТИ (Жуковский, 2007).

• 52-ая научная конференция МФТИ (Жуковский, 2009).

• 53-я научная конференция МФТИ (Жуковский, 2010).

• Семинары кафедры компьютерного моделирования ФАЛТ МФТИ (Жуковский, 2004;2011).

Публикации.

1. Зея Со, Падение тел на Землю // Труды 50-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2007.

2. Зея Со, Падение метеора // Труды 52-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2009.

3. Зея Со, Математическое моделирование падения тел на Землю при их движении из дальнего космоса // Труды 53-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2010.

4. С. Л. Горелов, Зея Со, Самоподобная интерполяция в задачах динамики разреженного газа. // Ученые записки ЦАГИ — М: изд. отд. ЦАГИ, № 5, 2010.

5. С. Л Горелов, Зея Со, Падение тел на Землю из дальнего космоса. // электронный журнал Труды МАИ, 2010 год.

Статьи 4 и 5 опубликованы в журналах, включенных в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и библиографического списка из 34 наименований. Работа содержит 78 страницы текста, 46 рисунков.

Заключение

.

В заключении сформулированы выводы по проведенной автором диссертации работе.

1. Рассмотрен ряд задач газовой динамики (задача Куэтта, задача Пуазейля, обтекание треугольного крыла), для которых были известны асимптотические решения в граничных точках кроссоверного интервала. Для получения решения во всей области использованы самоподобные кроссоверные аппроксимации различных порядков. Для проверки точности были получены численные решения для промежуточных значений параметров. Сравнение показывает сравнительно высокую точность полученных аналитических формул. Делается вывод, что подобные методы можно использовать для экономии вычислительных средств в ряде практически важных задач.

2. В результате исследования моделей падения тел на Землю из дальнего космоса можно сделать вывод, что скорость падения метеора на поверхность Земли зависит от трех определяющих параметров. Скорость с которой метеор может коснуться поверхности Земли прежде всего зависит от параметра а, который обратно пропорционален квадрату скорости метеора на бесконечности. Скорость падения метеора зависит также от параметра с, который является безразмерным баллистическим коэффициентом, зависящим от вещества метеора и его размеров и прицельного параметра Ъ.

3. Математическая модель для расчета траекторий движения тел типа метеоров в атмосфере позволяет оценивать давление, тепловой поток и температуру поверхности объектов. Математическая модель позволяет делать выводы о высотах, на которых возможно разрушение объектов либо вследствие давления, превышающего предел прочности вещества объектов, либо вследствие нагрева поверхности до температур плавления и выше.

Список литературы

.

1. Алексеева Е. В., Баранцев Р. Г. Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе. Л., Изд. ЛГУ, 1976, 210 с.

2. Галкин B.C., Ерофеев А. И., Толстых А. И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа. Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1833, с. 6−10.

3. Бунимович А. И., Чистолинов В. Г. Аналитический метод определения аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке газа различной разреженности. Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1833, с. 11−27.

4. Галкин B.C., Ерофеев А. И., Толстых А. И. О приближенном методе аэродинамического расчета в разреженном газе. Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2111, с. 27−35.

5. Алексеева. С.Н., Мирошин Р. Н. О зависимости параметров локального взаимодействия от числа Кнудсена. В сб.: Аэродинамика разреженных газов, № 7, Л. Изд. ЛГУ, 1974, с. 180−190.

6. Perminov V.D., Gorelov S.L., Freedlender O.G., Khmelnitsky A.A. Approximate Aerodynamic Analysis for complicated Bodies in Rarefied Gas Flows. In Rarefied Gas Dyn., 17 th Symp., 1990, New York, N.Y., 1991, p. 554−561.

7. Горенбух П. И. О приближенном расчете аэродинамических характеристик простых тел при гиперзвуковом обтекании разреженным газом. Труды ЦАГИ, 1990, вып. 1833, с. 28−43.

8. Gluzman S., Yukalov V.l. «Unified approach to crossover phenomena», Physical review, 1998, V58, № 4.

9. Коган M.H. «Динамика разреженног газа», M., «Наука», 1967.

10. Lo S.S., Loyalka S.K. An efficient computation of near-continuum rarefied gas flows. J. of Applied Math. And Phys. (ZAMP), 1982, V33, № 3,.

11. Горелов С. Л., Зейяр Со. Самоподобная интерполяция в задачах динамики разреженного газа. Ученые записки ЦАГИ. 2010, № 5.

12. Горелов С. Л. Применение метода самоподобной интерполяции к задачам динамики разреженного газа. ПММ, 2005, т.69, вып. 3, с. 438−444.

13. Николаев B.C. «Аппроксимационные формулы для аэродинамических коэффициентов плоской пластины в широком диапазоне параметров подобия», Ученые записки ЦАГИ, 1979, № 4.

14. Перепухов В. А. Применение метода Монте-Карло в динамике сильно разреженного газа. — В сб. Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика. — Труды ЦАГИ, 1972, вып. 1411, с. 54−72.

15. Горелов С. Л., Ерофеев А. И. «Особенности обтекания пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа», Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2111.

16. Горелов С.JI., Ерофеев А. И. «Пространственное обтекание тел простой формы разреженным газом», Труды ЦАГИ, 1985, вып. 2269.

17. Кошмаров Ю. А., Рыжов Ю. А. Прикладная динамика разреженного газа. М: Машиностроение, 1977, — 184 с.

18. Горелов C.JI., Русаков С. В. «Физико-химическая модель гиперзвукового обтекания тел разреженным газом», Изв. РАН, МЖГ, 2002, № 3.

19. Ботин А. В., Провоторов В. П., Рябов В. В., Степанов Э. А., «Теплообмен в окрестности пространственной критической точки неравновесного вязкого ударного слоя при произвольной каталитической активности поверхности», Труды ЦАГИ, 1993, вып. 2514.

20. Фэй ДА., Риддел Ф. Р., «Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом» / В кн.: Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций.—М.: ИЛ, 1962.

21. G. Contopoulos. Problems In Stellar Dynamics. In «Space Mathematics», Part 1, Amer. Math. Soc., 1966, p. 169.

22. Эльясберг П. Е.

Введение

в теорию полета искусственных спутников Земли. М: Наука, 1965.

23. S.L. Gorelov, V.A. Zharov, Y.I. Khlopkov. The velocities distribution function for particles in a space «debris». Proceedings of the 20th Int. Symp., 1996, Beijing, China.

24. S.L. Gorelov and A.S. Zarubkin. The Initial Stage of «Space Debris» Cloud Formation during Planetary Satellite Breakdown. Cosmic Research, vol. 43, No. 4, 2005, pp. 254−258. Translated from Kosmicheskie Issledovaniya, vol. 43, No. 4, 2005, pp. 269 273.

25. Ярошевский В. А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. с. 336.

26. Зея Со, Падение тел на Землю // Труды 50-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2007.

27. D. King-Hele, Theory of satellite orbits in an atmosphere. London, Butterworths, 1964, p.190.

28. W. Brofman, Approximate Analytical Solution for Satellite Orbits Subject to Small Thrust or Drag, AIAA Journal, v.5, 6, JUNE 1967, p. 1121−1128.

29. JIox У. Динамика и термодинамика спуска в атмосфере планеты. — М: Мир, 1966.

30. Мартин Дж. Вход в атмосферу. — М: Мир, 1969.

31. Чепмен Д. Р. Приближённый аналитический метод, исследования входа тел в атмосферу планет. — М.: ИЛ, 1962.

32. Зея Со, Падение метеора // Труды 52-ой научной конференции МФТИ, «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2009.

33. Тирский Г. А. Взаимодействие космических тел с атмосферам Земли и планет. — Соросовский образовательный журнал (СОЖ), 2000, т.6, № 5, с.76−82.

34. С. Л Горелов, Зея Со, Падение тел на Землю из дальнего космоса. // электронный журнал Труды МАИ, 2010 год.7.