Асимптотическая формула в проблеме Варинга-Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами

Настоящая диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих ее содержание, является изучение поведения тригонометрических сумм с простыми числами и вывод асимптотической формулы для количества представлений натурального числа в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел.

И.М. Виноградов [1]-[12] создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Он обнаружил, что суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм (решето Виноградова), хорошие оценки которых могут быть получены с помощью метода оценок двойных сумм и средств, не имеющих какого-либо отношения к теории функции или Ь-рядов (метод сглаживания двойных сумм). Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы.

Полученная оценка для 5(а, х) в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде N — Рг + Р2 + Рз 5 следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

В 1937 г. И. М. Виноградов с помощью указанного соображения с последующим применением метода Г. Вейля получил оценку суммы = Ее (/(р))' = ++ • • •+.

Ю.В.Линник [13]-[18] с помощью идей Г. Харди и Д. Литтлвуда [19]—[20], применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей Ь — рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической суммы х). Тем самым Ю. В. Линником было дано новое доказательство теоремы И. М. Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха).

Н.Г. Чудаков [21]-[22] также предложил подобный метод исследования тригонометрических сумм ¿->(а, х) с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение которой в свою очередь основывается па распределении нулей ¿—рядов Дирихле в критической полосе.

В 1938 г. Хуа Ло Геи [23], пользуясь оценкой И. М. Виноградова для суммы ?>" (/), при п = 2, доказал асимптотическую формулу для числа представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов простых чисел и показал, что особый ряд этой формулы больше абсолютной положительной постоянной при N = 5(тос124:). Тем самым Хуа Ло Ген доказал, что всякое достаточно большое натуральное число N = Ь (то (12А) является суммой пяти простых квадратов.

А в 1948 -1956 гг. И. М. Виноградов, используя вместо метода Г. Вейля свой метод тригонометрических сумм, доказал общую теорему об оценке суммы 5'(/). С помощью этой теоремы и упрощенной верхней границы в теореме о среднем он нашел асимптотическую формулу в проблеме Гольдбаха — Ва-ринга, о том, что каждое достаточно большое натуральное N может быть представлено в виде где Р1, Р2, • • •, Рк — простые числа.

Если в асимптотической формуле И. М. Виноградова особый ряд, а = а (к] А/") отличен от нуля, то из этой формулы при фиксированном значении к следует представимость достаточно больших натуральных чисел N суммою ограниченного количества слагаемых вида рп, то есть полное решение проблемы Гольдбаха — Варинга. Наименьшее число /с, при котором, а — а (кА/") > 0 обозначается символом У (п) [24] и называется функцией Виноградова. Эта функция подобна функции Харди — Литтлвуда С (п) в проблеме Варинга. Вопросы о существовании функции У{п) и ее верхней оценки в зависимости только от значений параметра п до 2009 г. оставался открытым и, следовательно, проблема Гольдбаха — Варинга в полном объеме до самого последнего времени оставалась нерешенной.

В.Н.Чубариков [24]—[27] создал теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, являющуюся дальнейшим развитием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова и решил проблему Гильберта — Камке в простых числах. В. Н. Чубариков указал арифметические условия, позволяющие свести эту проблему к исследованию разрешимости в р — адических числах при всех р < 2п некоторой системы уравнений варинговского типа. Использование подобных арифметических условий разрешимости позволили ему полностью решить и проблему Гольдбаха — Варинга. Он доказал.

Теорема (В.Н. Чубариков). Пусть п > 2 — фиксированное натуральное число, Р1, Р2, ¦ ¦ ¦, Рк ~ пробегают значения простых чисел, превосходящих 2п. Тогда существует функция У (п) такая, что при к < У (п) для всех достаточно больших N имеет место представление где функция, а — а (п, р) определяется из соотношения ра\п, (р — 1) | п. Первая глава диссертации посвящена исследованию поведения тригоно.

Более того, справедливы неравенства п + М (п) < У (п) < М (п) + Сі (п) — 1,.

Сі(п) < 4ппп + 161п 1пп + 8п, ра+1, если п — четноеесли п — нечетное, метрических сумм с простыми числами вида.

Sm (a-, x, k) =^A (n)e (a (n + A-)m), п<�х, а = - + Л, (а, q) = 1, |Л| < —, 1 < q < т, q qr и состоит из трех параграфов. В первом параграфе приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах.

Во втором параграфе этой главы изучается поведение тригонометрических сумм с простыми числами Sm{a х, к), когда, а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем и устанавливается их связь с плотност-ными теоремами для нулей L — рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

Определение. Пусть с > 2, 9 < 1 и В > 1 абсолютные постоянные,.

Т >Т0 > 0- Н >Т°, тогда оценка вида.

YlW&T + H^-NfaT^x)] «(qT)^-alnqT)B (1) называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей L — рядов Дирихле по модулю q.

Теорема 1.1 Пусть х > xq, т > хт~с exp (ln0'76 х), q < х^ ехр (— In0,76 ж), b > (В+3)(т+1) — произвольное фиксированное число, к — фиксированное натуральное число, ехр (— In4 In ж), если q < (Ina-)6,.

F (q, x)=l.

I (Ina:)-®4″ 3, если q > (Ina:)6.

Тогда справедливо равенство: X.

Sm{a]x, k) = ^j^~ J eMu + kDdu + Rmfax). viq) 2.

Rm (q, rc).

Xmodq ip{q).

Доказательство теоремы 1.1 основывается на дальнейшем развитии методов работы Ю. В. Линника [13] и Н. Г. Чудакова [28], в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы.

Zhan Тао [29] доказал, что соотношение (1) имеет место при с < 8/3, 0 < 1/3 и В < 216. Поэтому из теоремы 1.1 получим следующие безусловные результаты:

Следствие 1.1.1 Пусть т > хт~% ехр (1п0'76 х), д < ж* ехр (— 1п0,76 х), Ь > 220(тЬ 1), тогда для остаточного члена теоремы 1.1 справедлива оценка:, ч ж) т.

Ч>{<1).

Следствие 1.1.2 Пусть д > (1п.-г)ь7 тогда при выполнении условий следствия 1.1.1 справедлива оценка:

В третьем параграфе первой главы получена оценка сверху для модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами 5ш (сг, ж, к), т = 2, к = 1, то есть для сумм вида ж, 1) = ^ А (п)е (а (п + I)2), п<�х когда, а приближается рациональным числом с большим знаменателем.

Теорема 1.2 Пусть х > гго > 0- а-вещественное число, а — ^ + ф, (а, д) = 1, д > 1, < 1, тогда.

32(ах, 1) =^Л (п)е (а (п + I)2) <�С (5 + х&tradeЬ8, Ь = riqx, п<�х.

Доказательство теоремы проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова [1], [2], [3]. Основу доказательства составляют леммы 1.15 и 1.16 об оценке двойных тригонометрических сумм от квадратичного многочлена.

Лемма 1.15 Пусть М > 1 и N > 1 произвольные положительные числа, М < N, МЫ < х, ат и Ьп функции натурального аргумента такие, что.

Г |ат|2"МЬс%? Ъп2 «С Л/ХСь, С1 = 4с* + 4О, + 9.

М<�т<2М ЛГ<�п< 2ДГ.

Тогда справедлива оценка а&tradeЬпе{а (тп+1)2) МЫ + Лг1 + М~* + ^(МАГ)-*) Ьс.

М<�т<1М к<�п< 2 М тп<�х.

Лемма 1.16 Пусть М > 1 и N > 1 произвольные положительные числа, М < N, МN < х, ат функция натурального аргумента, ат < 1пт. Тогда для суммы.

IV = ^ ат 52 е (а (тп + 1)2).

М<�т<2М N <�п<2М тп<�х справедлива оценка.

IV С ((МДГ)д-з + + х/АШ^) Ь5'5.

Теоремы 1.1 и 1.2 являются уточнением соответствующего результата И. М. Виноградова для тригонометрической суммы -?'(/) соответственно для многочленов вида /(п) = (п + к) т и /(п) = (п + I)2.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию особого ряда оо 9=1 а, д)=1 у (п, 9) = 1.

Суть этого исследования заключается в следующем:

• показано, что особый ряд & = (5(ТУ) абсолютно сходится, является вещественным числом и равен бесконечному произведению по простым числам р функций.

• найдены точные значения числовых рядов ТУ), из которых следует арифметическое условие, при выполнении которого особый ряд & = (5 (ТУ) больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N.

Теорема 2.1 Справедливо соотношение где с (ІУ) — абсолютная полоэюительная постоянная, зависящая только от.

Основу доказательства теоремы 2.1 составляют теорема 2.2 о точном значении ряда 3~(2, ТУ), ее следствие 2.2.1 об оценке снизу 3², N) при огс12 (ТУ) > 2 и теорема 2.3 о точном значении ряда 3(р, Ы) со своими следствиями 2.3.1, 2.3.3, 2.3.5, в которых соответственно получены оценки снизу для /У) сю если ТУ = 0(тос14) — если ТУ ф 0(гаос£4),.

N, и при р > 7, 5(3, ТУ), ^(5, ТУ).

Теорема 2.2 Пусть огд= ?3, огс?2(Л^ -2 ^ — 5) = г), тогда справедлива формула.

О, если (3 < 1;

26 15.

—1—-21−5(/31)+3, если В > 2 и В — четное, г? Ф 2;

7 28.

26 13.

——21−5(р-1)+3 если в>2 и (3 — четное, г] = 2;

7 28 г-н, ,.

26 15 + — • 2−1,5^-1)+3 если ?3 > 3 и ?3 — нечетное.

Следствие 2.2.1 При огв, 2(-/V) > 2, справедливо неравенство ^ &bdquo-ч 26 13%/2 13, 65.

Теорема 2.3 Пусть р — нечетное простое число, огс1р (М) = (3, тогда справедлива формула.

Ф (р, ТУ) = -г^ (—Ср (ЛГ — 5) — Ю^рсДУУ — 3).

— 5р2Ср (М — 1) + - 4) + 10еЛ (ЛГ — 2) р2 + др (АГ)р3) ,.

О,.

Р5 ~Р.

1(р, Ю = { р — I)5 (р — 1)5(р3 — 1) V р1'5^-1) у '.

1 если ?3 = 0-. если /3 > 1 — нечетное- (р-1)4(р3−1) (Р + 1)2 1 + ер5р (Ю р1, Б (/9−2)+4 у (р 1)5р1,509−2) ' если /3 >2 — четное.

Следствие 2.3.1 При р >7 справедливо неравенство зг (р, ло>1- 10 р2(р).

Следствие 2.3.3 Справедливо неравенство.

Э~(3, ./V) > 1 — 2~4.

Следствие 2.3.5 Справедливо неравенство.

Доказательства теорем 2.2 и 2.3 в свою очередь опираются на точные значения суммы Ф (а. ра), которые найдены соответственно в леммах 2.2, 2.3, 2.4 при р — 2 и в леммах 2.7, 2.8, 2.9, 2.10 при р > 3.

Третья глава диссертации посвящена выводу асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р + 1:

N = (Р1 + I)2 + (ра + I)2 + Срз + I)2 + (Р4 + I)2 + (Р5 + I)2, и нахождению арифметического условия, при выполнении которого особый ряд задачи больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N.

Теорема 3.1. Для числа 1) представлений N суммою пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р—1 справедлива асимптотическая формула:

А — 31п N 1п6ЛГ) где &-(Ы) — особый ряд абсолютно сходится, и справедливо соотношение.

Следствие 3.1.1. Существует такое Щ, что касисдое натуральное число N, N > Ы0 N = 0(тос14¦) есть сумма пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р + 1.

Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди — Литтл-вуда — Рамануджаиа в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова. Основу доказательства составляют теорема 1.1 о поведении суммы когда, а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем, теорема 1.2 об оценке сверху модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами 82(0:', х, 1), когда, а приближается рациональным числом с большим знаменателем, и теорема 2.1 об арифметическом условии, при выполнении которого особый ряд задачи <5(іУ) > с (АГ), где с (Ы) -абсолютное положительное постоянное, зависящее только от N.

В заключении автор выражает глубокую благодарность профессору В. Н. Чубарикову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе. если N = 0(гпос14) — если N ф 0(тое£4),.

5ш (о— х, к) = п< X.

1. Виноградов И. М. Избранные труды. —М.: Изд-во АН СССР, 1952.

2. ВИНОГРАДОВ И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М, Наука, 1980, 144 с.

3. ВИНОГРАДОВ И. М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976.

4. ВИНОГРАДОВ И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981.

5. ВИНОГРАДОВ И. М. Об одной общей теореме Варинга // Математический сборник, 1924, т.31, № 3−4, с.490−507.

6. ВИНОГРАДОВ И.М. О теореме Варинга // Известия АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393−400.

7. ВИНОГРАДОВ И. М. Новое решение проблемы Варинга // ДАН СССР, 1934, № 2, с.337−341.

8. ВИНОГРАДОВ И.М. О верхней границе в проблеме Варинга // Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с. 1455−1469.

9. ВИНОГРАДОВ И. М. Новый вариант вывода теоремы Варинга // Труды Физико-математического института АН СССР, 1935, № 9, с.5−16.

10. ВИНОГРАДОВ И. М. Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Труды МИАН, 1937, т. Ю, с.5−122.

11. ВИНОГРАДОВ И. М. Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Известия АН СССР, Сер. мат., 1951, т.15, № 2, с.109−130.

12. ВИНОГРАДОВ И.М. К вопросу о верхней границе для С (п) // Известия АН СССР, сер. мат., 1959, т.23, N0 5, с.637−642.

13. ЛИННИК Ю. В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Математический сборник, 1946, т. 19, вып.1, с. 3−8.

14. ЧУДАКОВ Н.Г. On Goldbach-Vinogradof's theorem // Ann of Math., 1947, 48, p. 515−545.

15. ЧУДАКОВ Н.Г.

Введение

в теорию L-функций Дирихле. — М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1947.

16. ЧУВАРИКОВ В. Н. Многомерная аддитивная задача с простыми числами // ДАН СССР. 1986, т.290, № 4, с.805−808.

17. CHUDAKOV N.G. On the difference between two neighboring prime numbers // Mat. Sb., 1, 1936, 799 814.29. zhan tao, On the mean square of Dirichlet L functions // Acta Math Sinica, 8(1992), No 2, pp.204−224. '.

18. ДЭВЕНПОРТ Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971.

19. ПРАХАР К. Распределение простых чисел.—М.: Мир, 1967.32. карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983, 2-ое изд.

20. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР, 1939, т.22, No 7, с. 391 -393.

21. КОРОБОВ Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. — М.: Наука. 1989, 240 с.