Кинетика фазовых переходов второго рода с образованием бозе-конденсата

Представления о кинетике фазовых переходов развиты достаточно подробно для фазовых переходов первого рода и связаны с существованием как самой ме-тастабильной фазы, так и равновесного критического зародыша. Соответствующая теория была развита в работах [1], [2] и подробно изложена в обзоре [3]. В то же самое время, теоретические представления о кинетике фазовых переходов второго рода, где оба эти факта не имеют места, развиты мало. В работе И. М. Лифшица [4] предложена некоторая специальная модель возникновения упорядоченной фазы после быстрой стадии фазового перехода в «ближнем» порядке при наличии только двух типов упорядочения.

В последнее время возник интерес к проблеме фазового перехода при быстром изменении внешних параметров в связи с задачей о «Большом Взрыве», когда быстро расширяющаяся Вселенная должна охлаждаться и может пройти через серию фазовых превращений с изменением симметрии физических полей [5], а также в связи с попытками смоделировать космологические процессы в конденсированных средах [6].

В работах Зурека, подробно изложенных в обзоре [7], была развита теория фазового перехода второго рода при быстром изменении температуры в жидком 4Не. Основным в предложенном механизме является предположение о «критическом замедлении» всех процессов в окрестности температуры перехода, и «быстром» возникновении очагов новой фазы при достаточном последующем охлаждении.

Экспериментально, однако, никаких задержек в образовании новой фазы неизвестно, а критическое замедление связано с длительностью процесса установления равновесия на макроскопических расстояниях, что является несущественным при неоднородном процессе образования новой фазы.

Интерес к проблеме фазовых переходов второго рода обусловлен также проводимыми в последнее время экспериментами по конденсации бозе газа атомов щелочных металлов в магнитных ловушках [8−10] и конденсации газа экситонов в твердых телах [11, 12]. Поэтому изучение фазовых переходов на системах, в которых происходит образование бозе конденсата, интересно как для описания таких экспериментов, так и в качестве иллюстрации основных особенностей, свойственных переходам второго рода.

На практике почти всегда конденсация происходит при неравновесных начальных условиях, и поэтому интересно изучить влияние неравновесности на динамику фазового перехода. Образование бозе конденсата в слабонеидеальном бозе газе при неравновесных условиях рассматривалось Ю. Каганом с соавторами в работах [13−15]. В этих работах изучалась ситуация, когда газ находился в сильно неравновесном начальном состоянии, в котором отсутствовал конденсат, однако полная энергия газа была ниже равновесной энергии этого газа при критической температуре, так что конденсация наступала в процессе установления термодинамического равновесия. Рассмотрение проводилось в рамках анализа кинетического уравнения для бозе-газа, где в качестве начальной функции распределения бралась упомянутая выше неравновесная функция и изучалась ее релаксация к равновесному состоянию с той же энергией, в котором должен существовать бозе-конденсат. В этих работах изучалась также и квантово-полевая эволюция бозе-газа, как эволюция его матрицы плотности, выраженной через бозевские когерентные состояния. Однако, в работах [13−15] рассматривалась только замкнутая неравновесная система, не взаимодействующая с термостатом, а равновесие в ней наступало в результате внутреннего уравновешения ее подсистем друг с другом. Кроме того, в этих работах не изучалось влияние тепловых флуктуаций и пространственных неоднородностей на динамику образования конденсата.

Важной задачей, поэтому, является изучение влияния постоянного внешнего воздействия на бозе-систему, в которой происходит образование бозе-конденсата, как например, внешнее охлаждение газа до температур ниже критической. Изучению такого влияния на примере бозе-газа экситонов, находящихся в полупроводнике и охлаждающихся путем излучения фононов в решетку посвящены первые две главы диссертации. Как оказывается, при таком внешнем воздействии существенную роль начинают играть термодинамические флуктуации в бозе-системе, что приводит к образованию неоднородных зародышей сверхтекучей фазы еще до момента, когда средняя температура системы опустится ниже критической. В известной мере ситуация напоминает механизм фазового перехода первого рода, когда новая фаза может образовываться в метастабильных зародышах, которые затем могут за счет термодинамической флуктуации вырасти до критического объема, после чего новая фаза начинает развиваться, будучи энергетически более выгодной. В нашем случае, однако, возможность образования разрастающегося зародыша новой фазы связана непосредственно с наличием внешнего охлаждения — в результате флуктуации происходит локальное увеличение плотности бозе-частиц, сопровождающееся усилением фо-нонной эмиссии в этой области. Никакого энергетического барьера между до-критической и закритической областями в нашем случае не имеется, а разделение докритической и закритической областей напрямую зависит от неравновесного внешнего воздействия. Предложенный механизм позволяет глубже понять спектр явлений, происходящих в процессе формирования бозе-конден-сата в системах, находящихся под внешним воздействием, как обычно и бывает в экспериментах. Так, охлаждение бозе-атомов в ловушках часто производится под воздействием тормозящего тепловое движение частиц лазерного поля, а охлаждение экситонов, возбужденных лазером в сильно охлажденном полупроводнике может происходить непосредственно согласно предлагаемому нами сценарию. Трехмерные экситоны, однако, достаточно нестабильны и быстро ре-комбинируют, поэтому получить экспериментально бозе-конденсацию для трехмерных экситонов пока не удалось, а основные эксперименты проводились в двумерном случае. В диссертации показывается, как результаты, полученные для трехмерного случая, можно обобщить на двумерные системы.

При изучении кинетики неравновесного состояния под влиянием тепловых флуктуаций не учитывалась конечность времени жизни бозе-частиц (так, например, экситоны в твердом теле со временем распадаются в следствие аннигиляции составляющих их электронов и дырок) и в системе отсутствовали источники частиц и энергии. Конечность времени жизни бозе-частиц не играет ключевой роли в процессе формирования критических зародышей новой фазы, описанных в первых двух главах, если это время (как и предполагалось при выводе) достаточно велико. Его учет только несколько перенормирует входящие в ответ параметры и потому, чтобы не загромождать вычисления и сделать физическую картину явления более прозрачной время жизни бозе-честиц полагалось в этих главах бесконечным. В то же время, при наличии источников и стоков энергии и массы, неустойчивость, связанная повышением сжимаемости бозе-газа при приближении к критической температуре может проявляться при образовании неравновесного стационарного состояния в слабонеидеальном бозе-газе. Исследованию такого влияния посвящена третья глава диссертации. Актуальность производимого в ней исследования проявляется еще и в связи с тем, что в последнее время также вообще возрос интерес к бозе-системам в которых имеются как стоки, так и источники энергии и массы. Причиной этому полужили работы Тимофеева, Гобунова и Ларионова [16−19], в которых докладывались результаты экспериментов по бозе-конденсации бозе-газа непрямых экситонов в двумерных гетероструктурах. В этих экспериментах двумерный образец GaAs/AlGaAs подвергался облучению лазерным полем, которое возбуждало непрямые экситоны, являющиеся бозе-частицами. Частицы имели конечное время жизни, и температуру в несколько раз превышающую температуру самой гетероструктуры. В результате устанавливался баланс между потоками энергии (нагрев экситонного газа лазерным полем и теплоотдача в решетку гетероструктуры) и массы (возбуждение лазерным полем и естественная аннигиляция экситонов) и возникало стационарное, но неравновесное состояние бозе-газа. Экспериментально наблюдалось не непосредственно распределение температуры и плотности бозе-газа, а люминисцентное излучение, возникающее в результате аннигиляции экситонов. Неожиданным результатом работ [16−19] явилось то, что пространственное рапределение интенсивности люминисцент-ного излучения оказалось сильно неоднородным, представляя собой периодические максимумы и минимумы интенсивности. В настоящее время пока нет общепризнанного теоретического объяснения данного явления. Так, в работе [20] указывалось, что пространственно неоднородный характер люменисценции в подобных системах может быть связан с образованием вихревой структуры в сверхтекучем бозе-газе. Такого же взгляда, по-видимому, придерживаются и сами авторы экспериментов [16−19], однако остается не выясненным вопрос о причинах возникновения вихрей в системе. Другого мнения придерживаются авторы работ [21, 22], которые считают, что наблюдаемые структуры возникают в результате обменного притяжения между экситонами, возникающего в результате взаимодействия электрона одного из экситонов с дыркой другого и наоборот, а максимумы и минимумы люменисценции соответствуют максимумам и минимумам плотности экситонного газа. С этим взаимодействием конкурирует диполь-дипольное отталкивание экситонов — и механизм подобного рода может иметь место только для достаточно тонких гетероструктур и при достаточно больших плотностях экситонного газа. При этом механизм, предложенный в [21, 22] никак не учитывает бозе-природу экситонного газа и связан исключительно с видом взаимодействия частиц. В третьей главе диссертации рассматривается механизм неустойчивости однородного состояния слабонеиде-ального бозе-газа и возможности формирования в нем структур неоднородной плотности, в котором бозе-природа газа и его близость к критической температуре, напротив, играют ключевую роль. При этом показывается, что в бозесистемах, которые могут быть описаны в рамках модели слабонеидеального газа, в условиях, сходных с описанными в [16−19], состояние с пространственно однородной плотностью и температурой неустойчиво в некоторой области Фурье-пространства. Важную роль при этом играет увеличение сжимаемости слабонеидеального бозе-газа вблизи сверху и ниже критической температуры. При этом при температурах ниже критической неустойчивость развивается в модах, соответствующих второму звуку.

Структура диссертации такова: в первой главе изучается влияние внешнего охлаждения на кинетику перехода бозе-газа в сверхтекучее состояние. В первой части главы предлагается для изучения модель слабовзаимодействующих бозе-частиц, с температурой несколько выше критической, помещенных в матрицу твердого тела, охлажденного до более низких температур. Для описания флук-туаций температуры вводится уравнение теплопроводности бозе-газа, снабженное дополнительным членом, учитывающим усиление охлаждения в области, где происходит сильное увеличение плотности (которое, как показываетсясвязано с изменением температуры). Кроме того, в это уравнение добавлены члены, описывающие случайные тепловые потоки, что приводит к описанию флуктуации в рамках гидродинамической теории флуктуаций. Выписывается уравнение Фоккера-Планка для вероятности реализации критической конфигурации поля температуры в такой системе.

Во второй части главы рассматривается для иллюстрации модельный случай, когда система описывается единственной скалярной величиной, а не полем (как в случае поля температур), для иллюстрации основных особенностей систем с внешним охлаждением. Показано, как полученные результаты обобщаются на случай векторной и полевой переменных.

В третьей части главы строится решение уравнения Фоккера-Планка в вариационных производных из первой части главы с точностью до безразмерной константы. Обсуждаются численные методы вычисления этой константы.

В четвертой части главы показывается, как предыдущие результаты, полученные для случая трех пространственных переменных, обобщаются на двумерный случай.

Во второй главе приводится более упрощенная модель, в которой одна из предложенный численных схем вычисления безразмерной константы становится просто реализуемой. Производятся вычисления констант в трехмерном и двумерном случаях. Подробности вычислений вынесены в Приложение А.

В третьей главе изучается устойчивость слабонеидеального бозе газа при внешней подкачке массы и энергии и конечном времени жизни составляющих его частиц, показывается, что неустойчивость имеет место в широкой области Фурье-пространства для изменений плотности и температуры.

В первом разделе главы описывается поведение бозе-газа в рамках гидродинамических уравнений в трехмерном случае, в непосредственной близости от критической температуры. Показывается, что неустойчивость однородного решения имеет место в полосе векторов Фурье-пребразования при выполнении ряда естественных для системы критериев.

Во втором разделе главы рассматривается аналогичная модель для слабонеидеального бозе-газа в двух измерениях. Основные эксперименты, в которых наблюдались неоднородные структуры производились над двумерным бозе-газом непрямых экситонов, что связано с их большей стабильностью. Для двумерного бозе-газа используется модель, аналогичная предложенной в четвертом разделе первой главы. При этом показано, что неустойчивость будет иметь место при к < |&-о| как и в первом разделе главы, но при этом ко определяется не отношением длины рассеяния частиц к среднему межатомному расстоянию, которое являлось малым параметром в первом разделе этой главы, а двойным логарифмом обратной величины этого отношения, который, как и в четвертом разделе первой главы, предполагается малым параметром для двумерной системы.

В третьем разделе третьей главы производится учет сверхтекучести, считая, что параметры нагрева подобраны так, что однородная стационарная температура То находится достаточно ниже критической Тс (оставаясь все еще близкой к критической). В этом случае показано, что описываемая неустойчивоть проявляется в спектре второго звука. При этом неустойчивость имеет место при к < ко, где к0 — имеет тот же вид (с учетом выбранного предела для вязкости и времени жизни частиц), что и без учета сверхтекучести. Различие состоит лишь в том, что теперь Л не является чисто действительной вблизи ко, а содержит соответствующую второму звуку колебательную часть. Таким образом, наличие сверхтекучести не меняет ни главного вывода о наличии неустойчивости вблизи однородного состояния для к меньших некоторого ко, ни само выражение для ко.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Заключение

.

В работе были получены следующие результаты:

1. Предложен новый сценарий перехода бозе газа при внешнем охлаждении в сверхтекучее состояние посредством гидродинамических флуктуаций температуры и плотности в трехмерном случае. Получено выражение для вероятности таких флуктуаций и вычислено число таких флуктуаций, образующихся в единицу времени в единице объема.

2. Получены уравнения, описывающие развитие критической флуктуации во времени и в предельном случае слабых флуктуаций предложена численная схема для их анализа.

3. Предложенный сценарий для трехмерного бозе газа обобщен на случай двумерного, в котором нет истинного бозе конденсата, но существует БКТ переход в сверхтекучее состояние. Численная схема модифицирована для двумерного случая.

4. Показана неустойчивость однородного состояния слабонеидеального бозе-газа вблизи критической температуры с источниками массы и энергии и наличии внешнего охлаждения по отношению к формированию структур с неоднородной в пространстве плотностью.